弹性力学 应力分析
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
工程力学中的应力与应变分析方法探讨
工程力学中的应力与应变分析方法探讨在工程力学中，应力与应变是研究材料和结构力学性能的重要概念。
应力是指单位面积内的力的大小，而应变则是指材料的形变程度。
应力与应变的分析方法是工程力学中的核心内容之一，本文将对工程力学中的应力与应变分析方法进行探讨。
一、应力分析方法在工程力学中，常用的应力分析方法有静力学方法、接触力学方法和弹性力学方法。
静力学方法是通过平衡方程分析物体所受到的力，并计算得出应力分布情况；接触力学方法则是研究物体间的接触行为，通过接触区域的应力分布来分析力的传递情况；弹性力学方法则是应用弹性力学原理，通过杨氏模量和泊松比等参数计算得出应力分布情况。
静力学方法是应力分析中最基本的方法之一，它基于物体所受到的力的平衡条件进行分析。
静力学方法分为静力学平衡和弹性力学平衡两种情况。
静力学平衡是指物体在外力作用下不发生形变，通过将物体分解为若干个力的平衡条件方程来求解各个部位的应力；而弹性力学平衡则是物体在外力作用下发生形变，通过应力-应变关系来求解应力分布情况。
静力学方法在工程力学中应用广泛，可以分析各种载荷下的应力情况。
接触力学方法是研究物体与物体之间接触行为的力学方法，通过分析接触面的应力分布来推导出力的传递情况。
在实际工程应用中，接触力学方法广泛用于轴承、齿轮、摩擦等接触问题的分析与设计。
接触力学方法主要利用弹性力学和接触力学理论，通过建立接触面的几何模型和接触条件，求解接触区域的应力分布。
弹性力学方法是应力分析中最常用的方法之一，它基于弹性力学理论，通过材料的弹性参数计算得出应力分布。
弹性力学方法广泛应用于材料和结构强度分析中。
弹性力学方法主要使用线弹性理论，通过杨氏模量和泊松比等参数来描述材料的弹性性能，根据应力-应变关系计算得出应力分布情况。
二、应变分析方法在工程力学中，常用的应变分析方法有光栅衍射法、电测法和应变计法。
光栅衍射法是利用光学原理来测量物体表面的应变分布情况，通过测量光栅的位移来计算应变大小；电测法则是利用电阻应变片等设备来测量物体表面的应变分布情况；应变计法则是通过安装应变计来测量物体表面的应变分布情况。
弹性力学_第二章__应力状态分析
弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀、内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆、重点1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3、⾯⼒边界条件；4、应⼒分量的转轴公式；5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；知识点：体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量§2.1 体⼒和⾯⼒学习思路:本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。
体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。
弹性力学一点应力状态
有限元法
有限差分法
将物体离散化为有限个小的单元，然 后对每个单元进行应力分析，最后将 所有单元的应力结果进行汇总。
将物体离散化为有限个小的差分网格， 然后对每个差分网格进行应力分析， 最后将所有差分网格的应力结果进行 汇总。
边界元法
将物体表面离散化为有限个小的边界 元，然后对每个边界元进行应力分析， 最后将所有边界元的应力结果进行汇 总。
04
一点应力状态的测量和计 算
测量方法
直接测量法
通过在物体表面打孔或钻 孔，将应变片粘贴在孔内， 然后通过测量应变片的电 阻变化来计算应力。
光学干涉法
利用光学干涉原理，通过 测量物体表面的微小变形 量来计算应力。
声学法
利用声波在物体中的传播 特性，通过测量声波的传 播时间和速度来计算应力。
计算方法
我们还发现，在某些条件下， 一点应力状态会出现奇异行为 ，如应力集中、应变局部化等 现象。
对未来研究的展望
通过实验和数值模拟，深入研究不同材料在不 同条件下的应力状态特性，以揭示其与材料性
能和结构稳定性的关系。
此外，还可以将弹性力学一点应力状态的研究成果应 用于其他领域，如生物医学、地质工程等，以促进相
弹性力学一点应力状 态
目录
• 引言 • 弹性力学基础 • 一点应力状态的定义和分类 • 一点应力状态的测量和计算 • 一点应力状态的应用 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学
弹性力学是研究物体在力的作用 下产生的弹性变形的学科。
一点应力状态
一点应力状态是指在弹性力学中 ，选取一个点作为研究对象，分 析该点在各种应力作用下的状态 。
02
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学 第二章 应力分析
ν
∫∫ ∫∫∫ eijkr j T k dS + eijk rj Fkdv = 0
S
V
ν
因为Tk = σ rkν r ，所以由 Gauss 公式有
∫∫ ∫∫∫( ) eijkr jσ rkν r dS =
eijk rjσ rk ,r dv
S
V
又因为
rj ,r
= δ jr
=
∂x j ∂xr
故使上式成为
方程(2.5.3)式有根，应有三个根，即σ1 ,σ 2 ,σ 3 ，称为主应力，(2.5.3) 和 (2.5.4)式可重写成
(σ − σ1 )(σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) = 0
J1 = σ1 + σ 2 +σ 3
J 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1
J 3 = σ1σ 2σ 3
消去公因子得 (2.3.1a) 式的第二式，同理由另两个方向的平衡得到其余的两式，
∂σ xx ∂x
+
∂σ yx ∂y
+
∂σ zx ∂z
+
X
=
0
∂σ xy ∂x
+
∂σ yy ∂y
+
∂σ zy ∂z
+Y
=0
∂σ xz ∂x
+
∂σ yz ∂y
+
∂σ zz ∂z
+
Z
=0
或
(2.3.1a)
2
对应σ 2 , 可求出 ν j = a j − ib j ，因此 (4) 式中的因子
( )( ) 1 2
② 积分方程法 上述的平衡方程也可用积分方程的方法得到。作用在被分割出物体上的合力为零的矢量 方程为
弹性力学理论
弹性力学理论弹性力学理论是研究物体在受力作用下的变形和应力分布规律的科学理论。
它是应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析至关重要。
本文将从理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面对弹性力学进行论述。
一、理论概述弹性力学理论是力学中的重要分支，它研究的是物体在受力作用下的弹性变形和应力分布规律。
从宏观上来看，弹性力学理论可以用于解释物体的形变和变形后的恢复情况。
从微观角度来看，弹性力学理论涉及到原子和分子之间的相互作用力，以及它们之间的位移和应力的关系。
二、基本原理弹性力学理论建立在几个基本原理之上。
首先是虚功原理，它表明物体在受力作用下的形变能量等于外力对物体所做的功。
其次是共轭原理，说明应力与应变之间存在一一对应的关系。
弹性力学还依赖于线性弹性假设，即假设物体的应力与应变之间是线性关系。
三、应力分析弹性力学理论对于应力分析提供了有力的工具。
应力是物体内部的力分布，它可以通过弹性模量、泊松比等参数进行描述。
弹性力学理论可以计算各个部位的应力大小和分布情况，从而评估物体在受力下是否会发生破坏。
在工程实践中，应力分析是设计结构和材料的重要环节。
四、变形分析除了应力分析，变形分析也是弹性力学理论的重要内容。
变形是物体在受力作用下发生的形状改变，它可以通过应变进行描述。
弹性力学理论可以计算物体在受力下的变形情况，包括线性弹性变形和非线性变形等。
通过对变形进行分析，可以判断物体是否满足设计要求，以及设计参数的合理性。
五、应用弹性力学理论在工程领域有广泛的应用。
在结构设计中，弹性力学理论可以用于计算各个部位的应力和变形情况，从而预测结构的安全性和可靠性。
在材料工程中，弹性力学理论可以评估材料的弹性性能和变形行为，为材料选择和优化提供指导。
此外，弹性力学理论还被应用于地质勘探、地震学和生物力学等领域。
结论弹性力学理论作为应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
通过理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面的论述，对弹性力学进行了全面介绍。
应力分析
10. 偏应力
σ1′＝σ1－σ
σ2 ′＝σ2－σ
σ3 ′＝σ3－σ
地壳深部一般应力状态：σ1＝σ2＝σ3＝ρgh，接近于静岩应力状态。
1. 应力场：受力物体内部各点瞬时应力状态的组合
均匀应力场：各点应力状态相同（可以按点应力方法处理）
5. 主应变和应变主方向
在均匀变形条件下，变形物体内部总是可以截取这样一个立方体，其三个相互垂直的截面上只有线应变而无剪应变，这三个线应变称为主应变，这三个主平面称为主应变面。
最大伸长方向：最大应变主方向(λ1)或最大主应变轴(X or A)
最大压缩方向：最小应变主方向(λ3)或最小主应变轴(Z or C)
3. 均匀变形和非均匀变形
均匀变形：各部分的变形性质、方向、大小均相同。特征：
变形前的平面、直线变形后仍保持平面和直线；
变形前相互平行的平面和直线变形后仍保持平行
非均匀变形：物体内部各部分变形的方向、大小和性质不一致。
非均匀连续变形可以分解成若干部分，按均匀变形的方法加以研究。
1.应力状态:过物体中某一点的各个不同方向截面上的应力情况(18个)。
弹性力学(剪应力互等定理)证明：任何受力 主平面（主应力面）：
主应力所作用的截面：S1, S2, S3
3. 主应力：
σ1(最大)，σ2 (中间) ，σ3 (最小) ；?1- ?3 之值称为应力差。
4. 主应力轴：σ1，σ2，σ3每对主应力的方向线
5. 应力椭球：以物体内一点主应力s1， s2 ， s3为主轴的椭球体。
直观表达物体内该点受力状况。
6. 应力椭圆：应力椭球的三个主切面
弹性力学的应力分析与优化
弹性力学的应力分析与优化弹性力学是一门研究物体在受力作用下的变形和恢复性质的学科。
在工程领域中，弹性力学的应用十分广泛，特别是在结构设计和材料优化方面。
本文将探讨弹性力学中的应力分析与优化方法。
一、应力分析弹性力学的应力分析研究了物体在受力作用下的应力分布情况。
应力是物体内部分子间相互作用的结果，是描述物体抵抗外力的能力的物理量。
应力在弹性力学中分为三种类型：拉应力、剪应力和压应力。
拉应力（tensile stress）是指物体在受拉力作用下产生的应力，通常用符号σ表示。
拉应力的计算公式为：σ = F / A其中，F为物体上的拉力，A为物体上受力截面的面积。
拉应力越大，物体的变形程度越大。
剪应力（shear stress）是指物体在受剪力作用下产生的应力，通常用符号τ表示。
剪应力的计算公式为：τ = F / A其中，F为物体上的剪切力，A为物体上受力截面的面积。
剪应力越大，物体的变形程度越大。
压应力（compressive stress）是指物体在受压力作用下产生的应力，通常也用符号σ表示。
压应力的计算公式与拉应力相同，即：σ = F / A不同的是，压应力与拉应力的方向相反。
压应力越大，物体的变形程度越大。
在应力分析过程中，我们可以通过解析法或数值模拟法来求解物体内部的应力分布情况。
解析法主要适用于简单几何形状的物体，例如直杆或简支梁。
数值模拟法则可以用来求解复杂几何形状的物体，例如复杂结构的建筑或机械零件。
二、优化设计在弹性力学的应用中，我们常常需要通过优化设计来提高物体的性能或减少材料的使用量。
优化设计旨在寻找最优的结构形式或材料参数，使得物体在给定的约束条件下达到最佳的性能指标。
优化设计可以分为两种类型：形状优化和拓朴优化。
形状优化主要是通过改变物体的几何形状来优化结构。
例如，在某一受力部位增加材料的厚度或减小切削孔的直径，以提高物体的刚度或承载能力。
形状优化的方法有很多，包括拟合法、参数法和拓扑有机化等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 应力分析
第一节 柯西应力张量 第二节 斜截面上应力分量 第三节 应力张量坐标变换 第四节 主应力和主方向 第五节 八面体上的应力 第六节 平衡微分方程
2020/4/14
1
土木工程专业：弹性力学
第一节 柯西应力张量
一、柯西应力矢量
dFj
❖应力矢量定义
符号说明
PdA ni
p 0 0
pI
0
p
0
0 0 p
ij
1 3
kk
ij
sij
矩阵形式
sij ij p ij
11 p
s
21
31
12 22 p
32
13 x p
23
xy
33 p zx
xy y p
yz
zx
yz
z p
2020/4/14
9
土木工程专业：弹性力学
13 23
nn12
31 32 33 n3
世 俗
px xl xym zx n py xyl ym yzn pz zxl yzm z n
xxy zx
xy y yz
zx yz
l m
z n
2020/4/14
10
土木工程专业：弹性力学
二、应力矢量的法切分量
力矢量的分量 dFj , 微元面积 dA ，外法线单位矢量的分量 ni 柯西应力矢量
t (n) dF dA
or
t (n) j
dFj dA
2020/4/14
2
土木工程专业：弹性力学
❖正六面体上的应力矢量
矢量表示
e1、e2、e3为沿坐标的单位矢量
t (e1) 11e1 12e2 13e3 1 je j
第二节 斜截面上应力分量
一、应力矢量的坐标分量
t (n) i
ji n j
ij n j
展 开
t1(n) 11n1 12 n2 13n3
t
(n) 2
21n1
22n2
23n3
t
(n) 3
31n1
32n2
33n3
t(n) σ n 矩阵
11 21
12 22
❖解
11
t(n) σ n 21
12 22
13 23
nn12
31 32 33 n3
2020/4/14
12
土木工程专业：弹性力学
50 50 80 0.5 106.6
t(n) 50
0
σ 21
22
23
31 32 33
Where 11, 22, 33 are normal stresses, and 12, 13, 21, 23, 31, 32 are shear stresses.
According to the theorem of conjugate
shear stresses in Strength of Materials, we
deviator stress tensor.
❖球形应力张量
平均正应力p
设 p 表示平均正应力 mean normal stress
p
1
3
kk
2020/4/14
展开 世俗
1 3
( 11
22
33 )
1 (
3
x
y
z
)
8
土木工程专业：弹性力学
球形应力张量
1 3
kk
ij
p ij
❖偏斜应力张量
分量形式
矩阵 形式
世 俗
l2 x m2 y n2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx
❖剪应力（ shear stress ）
N
t
2
2 N
2020/4/14
11
土木工程专业：弹性力学
❖例题3.1
已知某点的应力张量（MPa）
50 50 80 50 0 75 80 75 30
试求法线方向余弦为（1/2、1/2、1/2） 斜面上的总应力、正应力和剪应力。
❖总应力t（ total stress ）
t 2 ti(n) ti(n) ( ij n j )( ik nk ) ij ik n j nk
❖正应力（ normal stress ）
N
t
(n i
)
ni
ij ni n j
展 开
n1211 n22 22 n32 33 2(n1n212 n2n3 23 n3n1 31)
22
t (e2 ) 21e1 22e2 23e3 2 je j
t (e3 ) 31e1 32e2 33e3 3 je j
that is
t(ei ) ij e j
分量表示
t (ei )
j
ij
2020/4/14
23
21 12
32 31 13
11
33
x2
x3
x1
3
土木工程专业：弹性力学
❖任意斜截面上的应力矢量
面积 dA，外法线单位矢量n
斜平面上应力矢量t(n)
四面体为 脱离体：
微元面积之 间的关系：
2020/4/14
dA1 dAcos dA n1 dA2 dAcos dA n2 dA3 dAcos dA n3
dAi dA ni
4
dAi dA ni
土木工程专业：弹性力学
components ji are components of a second-
order Cartesian tensor. This tensor is called
Cauchy工程专业：弹性力学
❖二阶应力张量的矩阵表示
11 12 13
3
j 3n j
t (n) i
ji n j
5
土木工程专业：弹性力学
二、柯西应力张量
❖应力张量
t (n) i
ji n j
Since ti(n) and ni denote vectors, it follows from the quotient rule of Chapter 2 that the
have
ij ji
2020/4/14
7
土木工程专业：弹性力学
三、应力张量分解
1
柯西应力张量还可以表示为
ij
1 3
kk
ij
sij
The first term in the right-hand is called spherical stress tensor and the second term called
在x1方向平衡： t1(n)dA 11dA1 21dA2 31dA3 0
t (n)
1
dA
11dA
n1
21dA n2
31dA n3
0
消去dA，得 t1(n) 11n1 21n2 31n3 j1n j
同理；在x2、 x3方向平衡：
2020/4/14
t(n) 2
j2nj
t(n)