弹性力学第二章 应力理论
弹性力学 第二章应力状态理论
同理，由 Fy 0, Fz 0 :
fvx , fvy , fvz为fv在 x, y, z轴上的投影
fvy ms y n zy l xy fvz ns z l xy m yz
➢应力张量为对称张量。
➢ 一点的应力状态完全 由应力张量确定。
应力状态理论
§2－4 与坐标倾斜的微分面上的应力
z
C
o x
v
xy sx
sy
yx
xzfv
yz P zy zx
B
A
sz
PABC 的体积为 V
体力为 Fx，Fy，Fz
ABC 上的应力为 fv
v ― 平面ABC的外法线 v的方向弦为：
cos(v, x) l cos(v, y) m cos(v, z) n
应力状态理论
x面的应力： s x , xy , xz
y面的应力： s y , yx , yz
z面的应力： s z , zx , zy
应力状态理论
➢ 一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
偶排列 有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的 排列 奇排列
e123 e231 e312 1
e132 e321 e213 1
应力状态理论
二阶对称张量 反对称张量
Tij T ji Tij T ji
任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张 量和一个分对称张量之和。
张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上 高阶张量。
应力状态理论
第二章 应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关
弹性力学 第二章 应力分析
ν
∫∫ ∫∫∫ eijkr j T k dS + eijk rj Fkdv = 0
S
V
ν
因为Tk = σ rkν r ，所以由 Gauss 公式有
∫∫ ∫∫∫( ) eijkr jσ rkν r dS =
eijk rjσ rk ,r dv
S
V
又因为
rj ,r
= δ jr
=
∂x j ∂xr
故使上式成为
方程(2.5.3)式有根，应有三个根，即σ1 ,σ 2 ,σ 3 ，称为主应力，(2.5.3) 和 (2.5.4)式可重写成
(σ − σ1 )(σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) = 0
J1 = σ1 + σ 2 +σ 3
J 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1
J 3 = σ1σ 2σ 3
消去公因子得 (2.3.1a) 式的第二式，同理由另两个方向的平衡得到其余的两式，
∂σ xx ∂x
+
∂σ yx ∂y
+
∂σ zx ∂z
+
X
=
0
∂σ xy ∂x
+
∂σ yy ∂y
+
∂σ zy ∂z
+Y
=0
∂σ xz ∂x
+
∂σ yz ∂y
+
∂σ zz ∂z
+
Z
=0
或
(2.3.1a)
2
对应σ 2 , 可求出 ν j = a j − ib j ，因此 (4) 式中的因子
( )( ) 1 2
② 积分方程法 上述的平衡方程也可用积分方程的方法得到。作用在被分割出物体上的合力为零的矢量 方程为
弹性力学的应力分析与优化
弹性力学的应力分析与优化弹性力学是一门研究物体在受力作用下的变形和恢复性质的学科。
在工程领域中，弹性力学的应用十分广泛，特别是在结构设计和材料优化方面。
本文将探讨弹性力学中的应力分析与优化方法。
一、应力分析弹性力学的应力分析研究了物体在受力作用下的应力分布情况。
应力是物体内部分子间相互作用的结果，是描述物体抵抗外力的能力的物理量。
应力在弹性力学中分为三种类型：拉应力、剪应力和压应力。
拉应力（tensile stress）是指物体在受拉力作用下产生的应力，通常用符号σ表示。
拉应力的计算公式为：σ = F / A其中，F为物体上的拉力，A为物体上受力截面的面积。
拉应力越大，物体的变形程度越大。
剪应力（shear stress）是指物体在受剪力作用下产生的应力，通常用符号τ表示。
剪应力的计算公式为：τ = F / A其中，F为物体上的剪切力，A为物体上受力截面的面积。
剪应力越大，物体的变形程度越大。
压应力（compressive stress）是指物体在受压力作用下产生的应力，通常也用符号σ表示。
压应力的计算公式与拉应力相同，即：σ = F / A不同的是，压应力与拉应力的方向相反。
压应力越大，物体的变形程度越大。
在应力分析过程中，我们可以通过解析法或数值模拟法来求解物体内部的应力分布情况。
解析法主要适用于简单几何形状的物体，例如直杆或简支梁。
数值模拟法则可以用来求解复杂几何形状的物体，例如复杂结构的建筑或机械零件。
二、优化设计在弹性力学的应用中，我们常常需要通过优化设计来提高物体的性能或减少材料的使用量。
优化设计旨在寻找最优的结构形式或材料参数，使得物体在给定的约束条件下达到最佳的性能指标。
优化设计可以分为两种类型：形状优化和拓朴优化。
形状优化主要是通过改变物体的几何形状来优化结构。
例如，在某一受力部位增加材料的厚度或减小切削孔的直径，以提高物体的刚度或承载能力。
形状优化的方法有很多，包括拟合法、参数法和拓扑有机化等。
2 第二章 应力和应变
第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。
现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。
虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。
三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。
应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。
2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。
平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。
在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。
在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。
t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。
在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。
上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。
图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。
应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
弹性力学第二章 应力理论
主应力 & 应力不变量
应力1、第二主应力2和第三主应力3 ，且
1 2 3
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
主应力的性质
3I12I2I30
➢ 不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征 根的主应力及相应主方向都是不变量。
1, 2, 3
1, 2 , 3
➢ 实数性 即特征方程的根永远是实数。
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
➢ 极值性
主应力1和3是一点正应力的最大值和最小值。
在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：
n==ijij =11 222 233 2
= 1 (1 2 )2 2 (2 3 )3 2 1 = (1 3 )1 2 (2 3 )2 2 3 3
Chapter 3.3
e3
11
e1
32
31
23
13
22
12 21
x2 e2
x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：
(1) 11e1 12e2 13e3 1jej
(2) 21e1 22e2 23e3 2jej
(3) 31e1 32e2 33e3 Nhomakorabea 3jej x3 33
主应力 & 应力不变量
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
由于l2m2n21，所以要有非零解，则上述三
个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z
2--弹性力学基本理论
yz
zx
• 应变的定义
• 设平行六面体单元，3个轴棱边 ：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'
。
x、 y、 z
•正应变（小变形）
•符号规定： 正应变以伸长为正。
•剪应变
•符号规定： 正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x
0
sx x
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
ͼ 1-3a ͼ 1-3b
2.1 弹性力学的基本假定
• 连续性假设：物体所占的空间被介 质充满，不考虑材料缺陷，在物体 内的物理量是连续的, 可以采用连续 函数来描述对象。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的量纲：[力]/[长度]^2 •列阵表示：Fs={X Y Z}T
集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
弹性力学弹性体的应力与应变关系
弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。
其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。
弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。
一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。
它是描述物体受力情况的物理量。
应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。
应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。
应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。
二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。
弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。
这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。
三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。
具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。
胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。
此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。
超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。
四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。
它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。
常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。
2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。
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;
cos (),e2
()2
cos (),e3
()3
.
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面正应力
n ()g = g g = ijij
斜面剪应力
() n
2 n2
.
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－给定应力边界条件
若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应 力场的力边界条件：
➢定义式
面力：
P X lim
S0 S
Xi
lim
S0
Pi S
P
S
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
内力
物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一 部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。
内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用， 是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是 为了精确描述内力而引进的。
x y
yz
z x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2
ii jj ijij
1 2
I12 ijij
x xy zx I3 xy y yz eijk1i2j3k
zx yz z
xyz 2xyyzzx xy2z yz2x zx2y
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
3I12I2I30
求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根：
( ) g
把斜面应力沿坐标轴方向分解：
( ) ( ) 1 e 1 ( ) 2 e 2 ( ) 3 e 3 ( )je j
则柯西公式的分量表达式为
()1 111 221 331
即
()2 112 222 332 ()3 113 223 333
() j iij
.
Chapter 3.2
柯西公式
弹性力学 Theory of Elasticity
陶嗣巍 北京吉利大学汽车学院
.
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
.
Chapter 3
外力、内力与应力
外力
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
外力
体力
即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为 质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。
.
Chapter 3.1
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
.
Chapter 3
柯西公式
斜截面上的应力
四面体OABC，由三个负 面和一个法向矢量为
1 e 12 e 23 e 3ie i
的斜截面组成，其中
i cos(,ei)gei x 1
pnx xl yxm zxn pny xyl ym zyn pnz xzl yzm zn
由剪应力互等定理可得：
pnx xl xym xzn pny xyl ym yzn pnz xzl yzm zn
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
.
外力、内力与应力
应力矢量和 面力矢量的数
i ( )
lim Fi S 0 S
学定义和物理量纲都相同。
X
i
lim
S 0
Pi S
区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力， 而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无 限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
33
e3
11
e1
32
31
23
13
22
12 21
x2 e2
x1
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：
(1) 11e1 12e2 13e3 1jej
(2) 21e1 22e2 23e3 2jej
(3) 31e1 32e2 33e3 3jej x3 33
柯西公式
() g(e11jej e22jej e33jej) g(ijeiej)
根据商判则，知 ij e i e j 必是一个二阶张量，于是定义
应力张量
ijeiej
.
Chapter 3.2
柯西公式
()g(ijeiej)g
这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。
.
Chapter 3.2
柯西公式
应力1、第二主应力2和第三主应力3 ，且
1 2 3
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
主应力的性质
3I12I2I30
➢ 不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征 根的主应力及相应主方向都是不变量。
1, 2, 3
1, 2 , 3
➢ 实数性 即特征方程的根永远是实数。
.
Chapter 3.3
X xl xym zxn Y yxl ym zyn Z xzl yzm zn
写成指标符号
pj iij
其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为X , Y , Z
.
Chapter 3.2
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
主应力 & 应力不变量
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
由于l2m2n21，所以要有非零解，则上述三
个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
➢正交性 • 特征方程无重根时，三个主应力必两两正交； • 特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作 用平面内呈现双向等拉(或等压)状态，可在面内任 选两个相互正交的方向作为主方向； • 特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交 的方向都可作为主方向。
l 1 ,m 1 ,n 1 , l 2 ,m 2 ,n 2 , l 3 ,m 3 ,n 3
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
3I12I2I30
✓ I1、I2和 I3是三个与坐标选择无关的标量，称为应 力张量的第一、第二和第三不变量。它们是相互独立 的。
✓ 通常主应力按其代数值的大小排列，称为第一主
斜截面的面元矢量为：
d S d S 1 e 1 d S 2 e 2 d S 3 e 3
.
Chapter 3.2
柯西公式
四面体的体积为：V Nhomakorabea1 3
dhdS
dh为顶点 O 到斜面 的垂直距离
x1
.
x3
图2-4
( ) ( )3
x2
( )2
()1
Chapter 3.2
柯西公式
x3
四面体上作用力的平衡条件是：
zy
xx
y x
xz
xy
yz
xz
yy
yy z yz
xy
yx
xx
zy
zx
o
y
zz
x
应力分量的正负号规定
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zy
zx
yz
xz
yy
z xx
xy yx
o
x
y
应力分量的个数
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
x3
.
主应力 & 应力不变量
x3
11
2 1
12
22
13
x1
23
32
31 33
( )
x2
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
概念
• 切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 • 主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。 • 主平面上的正应力称为主应力。
.
Chapter 3.3
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力
➢ 应力矢量
S
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量：
S
( )
lim
S0
F S
若取 S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程 应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。
对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积， 称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。
32
即：
(i) ijej
31
e3 11
13 12
e2 e1
23 22
21 x2
x1
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
(1) 11e112e2 13e3 1jej (2) 21e122e2 23e3 2jej (3) 31e132e2 33e3 3jej
共出现九个应力分量：
11 12 13
( ij ) 21
22
23
31 32 33
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
11 12 13
( ij ) 21
22
23
31 32 33
第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第 二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。
当i＝j时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当 i≠j 时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。