弹性力学基础讲解

一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。

应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。

3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ∆，变形后的长度为'l ∆，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ∆∆-∆=→∆'lim 0ε。

即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。

弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ∆和s l ∆为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。

应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。

关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。

4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。

设V ∆为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ∆，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=∆∆=→∆F f 0lim。

表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。

设S ∆为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ∆，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=∆∆=→∆F s 0lim 。

二、基本方程 1、平衡方程应用牛顿第二定律，建立力学平衡方程，表达应力与位移之间的关系。

设P 为弹性体内任意点，由P 点沿三坐标轴的正向分别取长度为dx 、dy 和dz 的三条棱边，由此构成一个微长方体。

微长方体共六个面，每个面上有一个正应力和两个剪应力。

按前节应力定义，过P 点的X 平面（平面的法线方向与X 轴平行，即平面与YOZ 坐标面平行。

）上的应力分量为：),,(z y x xx xx ττ=、),,(z y x xy xy ττ=和),,(z y x xz xz ττ=。

（图3）与该平面平行而相距dx 的X 平面上的应力分量为：),,(''z y dx x xx xx +=ττ、),,(''z y dx x xy xy +=ττ和),,(''z y dx x xz xz +=ττ。

将这三个应力分量在P 点作幂级数展开，并略去二次以上小量，得：dx x xx xx xx ∂∂+=τττ'、dx xxy xy xy ∂∂+=τττ'和dx x xz xz xz ∂∂+=τττ'。

同理可得其它四个面上的应力分量。

微长方体平衡必须满足三个方向上的力的平衡和三个方向上的力矩平衡。

在X 方向上力的平衡，按牛顿第二定律有：dxdydz tudxdydz f dxdy dz zdxdy dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz x zx zx zx yx yx yx xx xx xx 22)()()(∂∂=+∂∂++-∂∂++-∂∂++-ρτττττττττ整理得：22tuf z y x x zx yx xx ∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρτττ，其中ρ为弹性体体积密度。

同理可得其它两个方向的平衡方程：22t v f z y x y zyyy xy∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρτττ；22tw f z y x z zz yz xz ∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρτττ。

讨论力矩平衡时，为计算方便，将坐标原点移到微长方体的重心处。

由于体积力、惯性力和正应力的合力都通过微长方体的重心，因此它们对三个坐标轴的力矩都为零，即力矩平衡方程中仅包含剪应力。

由于剪应力yx τ和zx τ与X 轴平行，因此对X 轴的力矩为零。

绕X 轴的力矩平衡方程为：（图4）021)(2121)(21=∙∂∂+-∙-∙∂∂++∙dz dxdy dz z dz dxdy dy dxdz dy y dy dxdz zy zy zy yzyz yz ττττττ； 整理得：022=∂∂--∂∂+dz zdy yzy zy yz yz ττττ；略去高阶小量，得：022=-zy yz ττ；即：zy yz ττ=。

同理可得对于其它两个坐标轴的力矩平衡方程：yx xy ττ=；xz zx ττ=。

由此导出剪应力互等定理，九个应力分量中只有六个是独立的。

2、几何方程应用变形几何关系，表达应变与位移之间的关系。

（图5）X 方向正应变：变形前微线段长度为dx l =∆；变形后长度为dx xuu dx x u u dx l )1()('∂∂+=-∂∂++=∆。

按正应变定义，X 方向正应变为：x udx dx dx x u l l l l xx ∂∂=-∂∂+=∆∆-∆=→∆)/1('lim 0ε。

同理可得：yvyy ∂∂=ε；z w zz ∂∂=ε。

XY 平面剪应变：在小变形的前提下，dx 和dy 线段变形后的转角分别为：xv xu x vu dx dx x u u v dx xvv xy xy ∂∂≈∂∂+∂∂=-+∂∂+-∂∂+=≈1)()(tan αα；y u y v y u yx yx ∂∂≈∂∂+∂∂=≈1tan αα。

剪应变：)(21)(21xv y u yx xy yx xy ∂∂+∂∂=+==ααεε。

同理可得：)(21ywz v zy yz ∂∂+∂∂==εε；)(21z u x w xz zx ∂∂+∂∂==εε。

共六个独立应变分量。

1、本构方程材料物理性质的数学表达，又称广义虎克定理，表达应变与应力之间的关系。

设材料的弹性模量为E ，剪切弹性模量为G ，泊松比为ν，三个材料常数之间的关系为：)1(2ν+=EG 。

可以证明，各向同性材料只有两个独立的材料常数，常用的材料常数有五个，统称拉梅系数，用其中任意两个可表达其余三个系数。

如X 方向受到简单拉伸，按虎克定理和横向收缩系数的泊松比关系为：xx xx E ετ=；xx zz yy νεεε-==。

当受到纯剪时，剪应力与剪应变的关系为：xy yx xy xy G G εεετ2)(=+=。

如所有应力都存在，则按迭加原理可得应力－应变关系式：E zz yy xx xx /)]([ττντε+-=；E xx zz yy yy /)]([ττντε+-=；E yy xx zz zz /)]([ττντε+-=；G xy xy 2/τε=；G yz yz 2/τε=；G zx zx 2/τε=。

或以应变表达应力的关系式：)]()1[()21)(1(zz yy xx xx Eεενεννντ++--+=；xy xy G ετ2=；)]()1[()21)(1(xx zz yy yy Eεενεννντ++--+=；yz yz G ετ2=；)]()1[()21)(1(yy xx zz zz Eεενεννντ++--+=；zx zx G ετ2=。

定义体积应变为zz yy xx εεεθ++=，则应变表达应力的关系式又可表达为：xx xx G ελθτ2+=；xy xy G ετ2=；yy yy G ελθτ2+=；yz yz G ετ2=；zz zz G ελθτ2+=；zx zx G ετ2=；其中拉梅系数)21)(1(νννλ-+=E 。

2、边界条件和初始条件弹性力学问题的边界条件分成两类：力边界条件和位移边界条件。

力边界条件：设P 为弹性体表面受到表面力区域中的一点，取一包含P 点的微四面体，四面体的三个界面平行于坐标平面，另一面则为包含P 点的弹性体表面曲面（图6）。

由于四面体很小，表面曲面可近视为三角形斜面。

设表面在P 点的外法线方向为N ，方向余弦分别为x n 、y n 和z n ，表面力强度为{}Tz y x s s s =s ，斜面面积为dS ，三个界面的面积分别为x dS 、y dS 和z dS 。

各面积间有关系：dS n dS x x =，dS n dS y y =和dS n dS z z =。

如体力为0，则微四面体在X 方向的力平衡方程为：z zx y yx x xx x dS dS dS dS s τττ++=； 代入面积间有关系，得：z zx y yx x xx x n n n s τττ++=；同理可得Y 、Z 方向的力平衡方程：z zy y yy x xy y n n n s τττ++=；z zz y yz x xz x n n n s τττ++=。

位移边界条件：u u =；v v =；w w =，或n u n u ∂∂=∂∂；n v n v ∂∂=∂∂；nvn v ∂∂=∂∂对于动力学问题还需加上初始条件，0=t 时有：),,(0z y x u u =；),,(0z y x v v =；),,(0z y x w w =；),,(0z y x u tu t =∂∂；),,(0z y x v t v t =∂∂；),,(0z y x w t w t =∂∂。

三、基本解法［3，p49］三组基本方程（本构方程、几何方程、平衡方程）共15个方程，三组基本变量（位移、应力、应变）共15个变量，加上边界（及初始）条件构成弹性力学问题的基本数学形式，理论上可求解。

实际工作中将问题简化，一般以三个位移分量或六个应力分量为未知数求解，称为“位移法”或“力法”。

1、位移法以三个位移分量为基本未知量，将其它未知量的方程和边界条件用位移来表示。

将几何方程代入本构方程，消去应变分量，得：x u G z w y v x u xx ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=2)(λτ；)(x vy u G xy ∂∂+∂∂=τ； y v G z w y v x u yy ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=2)(λτ；)(y w z v G yz ∂∂+∂∂=τ； zwGz w y v x u zz ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=2)(λτ；)(z u x w G zx ∂∂+∂∂=τ； 将各应力代入平衡方程，X 方向的平衡方程为：222222222222222222222)()()()()()()(2)(tu f u G z w y v x u x G f z u y u x u G z x w y x v x u G z w y v x u x f z uz x w G y x v y u G x u G z w y v x u x f z y x x xx x zx yx xx ∂∂=+∇+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ρλλλτττ同理：222)()(t v f v G z w y v x u y G y ∂∂=+∇+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+ρλ；222)()(tw f w G z w y v x u z G z ∂∂=+∇+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+ρλ；2、力法四、圣维南（Saint-Venant ）原理[1，p152]又称局部影响原理。