有限元分析方法第二章弹性力学基础
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弹性力学与有限元分析第二章-平面桁架有限元分析及程序设计
x
由单元①的刚度方程：
Fj
①
k
① ji
i
①
k
① jj
j
①
k
① ji
2
k
① jj
1
由单元③的刚度方程：
Fj
③
k
③ ji
i
③
k
③ jj
j
③
k
③ ji
3
k
③ jj
1
§2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成
代入结点1的平衡条件:
k
l
xi
)
(dx j
dxi
)
(
yj
l
yi )
(dy j
dyi )
(dx j dxi ) (dy j dyi )
cos sin
由于杆件的变形产生位移：
ui dxi vi dyi
u j dxj v j dy j
因此，杆件应变为：
dl l
l
(ui
uj)
l
(vi
vj)
杆件轴力为：
(2k1 k2 )v4 P
结构的整体刚度系数
v4
P 2k1
k2
12 3
l2 l1 l1
4 P
N1
N1y
cos
k1v4
cos
k1P
(2k1 k2 ) cos
N2
k2v4
k2P 2k1 k2
位移法求解超静定结构。
§2.1 平面桁架单元的离散
结构的离散化：尽量将结构离散成数量最少的等截面直 杆单元
kki③ ③jii
ki③j
k
③ jj
3 3 3 3
§2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成
有限元课件-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础
有限元的离散化过程
总结词
离散化是有限元方法的核心步骤之一，它涉及到将连 续的物理系统划分为有限个离散的单元。离散化的精 度和单元类型的选择对求解结果的精度和计算效率有 很大的影响。
详细描述
离散化的过程通常需要根据所处理的问题和所用的数 学模型来确定。在离散化过程中，需要将连续的求解 区域划分为有限个小的单元，每个单元可以有不同的 形状和大小。同时，还需要确定每个单元的节点和边 界条件，以便建立整个系统的方程组。离散化的精度 越高，求解结果的精度就越高，但计算量也会相应增 大。因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。
过程求解。
LU分解
LU分解是将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘 积。
迭代法
迭代法是一种求解线性代数方程组 的方法，通过不断迭代逼近解。
弹性力学中的基本矩阵
弹性矩阵
弹性矩阵是表示弹性力学中应 力与应变之间关系的矩阵。
刚度矩阵
刚度矩阵是表示结构刚度的矩 阵，用于有限元分析中。
质量矩阵
02
矩阵分析基础
矩阵的定义与运算
矩阵的定义
矩阵是一个由数字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成 的矩形阵列，表示为矩 形阵列的括号中的数字
。
矩阵的加法
矩阵的加法是将两个矩 阵的对应元素相加。
矩阵的数乘
数乘是指一个数与矩阵 中的每个元素相乘。
矩阵的乘法
矩阵的乘法仅适用于满 足特定条件的两个矩阵
。
线性代数方程组的求解
高斯消元法
高斯消元法是一种求解线性代数 方程组的方法，通过消元和回代
平衡方程
描述了物体在受力平衡状 态下的应力分布。
几何方程
描述了物体在受力后产生 的应变。
2弹性力学及有限元法-弹性力学基础知识
24
v w
T
位移是点的坐标的单值连续函数
4、应 变
第 二 1.正应变？2.切应变？3.如何表示？ 章 应变反映局部各点相对 弹 性 位置的变化，与应力直 力 学 接相关。 基 础 正应变 x y z 知 棱边的伸长和缩短 识
棱边之间夹角变化 点的应变矢量:
切应变 xy
yz
zx
27
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2）主平面、应力主方向与主应力 1）切应力为零的微分面称为 主微分平面，简称主平面。 2）主平面的法线称为应力主 轴或者称为应力主方向。
3）主平面上的正应力称为主
应力。
28
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2
2.1 弹性力学基本假设
第 基本假设的必要性 二 章 由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成 的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分 弹 性 复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求 力 解。 学 基 根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基 础 本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使 知 研究的问题限制在一个方便可行的范围之内。 识
Pn
n n
应力必须说明其坐标和作用 面的方位。
16
2、内力与应力
第 1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？ 二 章 应力分量 弹 性 应力不仅和点的位置有关，和截 力 学 面的方位也有关，称为张量。 基 础 在任意坐标系都具有协变性的量 知 识 z
就是张量。
o x
17
y
取一点平行于坐标平面的单元体， 各面上的应力沿坐标轴的分量称 为应力分量。
•弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续 性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假 设等。 •这些假设都是关于材料变形的宏观假设。
v w
T
位移是点的坐标的单值连续函数
4、应 变
第 二 1.正应变？2.切应变？3.如何表示？ 章 应变反映局部各点相对 弹 性 位置的变化，与应力直 力 学 接相关。 基 础 正应变 x y z 知 棱边的伸长和缩短 识
棱边之间夹角变化 点的应变矢量:
切应变 xy
yz
zx
27
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2）主平面、应力主方向与主应力 1）切应力为零的微分面称为 主微分平面，简称主平面。 2）主平面的法线称为应力主 轴或者称为应力主方向。
3）主平面上的正应力称为主
应力。
28
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2
2.1 弹性力学基本假设
第 基本假设的必要性 二 章 由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成 的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分 弹 性 复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求 力 解。 学 基 根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基 础 本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使 知 研究的问题限制在一个方便可行的范围之内。 识
Pn
n n
应力必须说明其坐标和作用 面的方位。
16
2、内力与应力
第 1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？ 二 章 应力分量 弹 性 应力不仅和点的位置有关，和截 力 学 面的方位也有关，称为张量。 基 础 在任意坐标系都具有协变性的量 知 识 z
就是张量。
o x
17
y
取一点平行于坐标平面的单元体， 各面上的应力沿坐标轴的分量称 为应力分量。
•弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续 性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假 设等。 •这些假设都是关于材料变形的宏观假设。
第2讲 弹性力学基础及有限元法的基本原理
pvy
pvz
T
2）面力 定义：作用于弹性体表面上的外力，如：流体压力 可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：
Ps psx
psy
psz
T
3）集中力 定义：集中在某一点上的外力，如：牵引力 可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：
Pc pcx
pcy
pcz
zx zy 0 此时， z zx zy 0 以及 z 1 x y T 应力应变分量变为： x y xy
x y xy
几何方程
x x 0 y xy y 0 u x v xx
其中: E为杨氏弹性模量
为柏松比
G为剪切弹性模量 E 且:G 2(1 )
因此物理方程可以简写为： 1 1 1 E (1 ) D (1 )(1 2 ) 0 0 0
2）应力在虚应变上所做的虚功，也就是存储在弹性 体内的虚应变能为：
U dV
T V
2、虚位移原理
表述：如果在在虚位移发生之前弹性体是平衡的， 那么在虚位移发生时外力在虚位移上所做的 功就等于弹性体的虚应变能。即：
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
0 0 0 0 0 0 0 0
x 0 0 L y 0 z
0 0 0 0 1 2 2(1 ) 0
0 0 0 0 1 2 2(1 ) 0
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
v u v 2 ， y 6 ， xy 3 5 都是常量，即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
有限元分析与应用 第2讲、有限元与弹性力学的基本原理
∂τ ∂τ dx dx dy dy τ xy + xy dx dy ×1× + τ xy dy ×1× − τ yx + yx dx ×1× − τ yx dx ×1× =0 ∂x 2 2 ∂y 2 2
上式两边除dxdy,可得:
τ xy = τ yx
一、正压力（拉伸压缩应力）
v 其中，F 沿作用力截面的法线方向。 。
Fn σ＝ S
（ 1）
例如图示， > 0 ，σ
二、线应变（相对伸长或压缩） 绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或 压缩）。公式： ∆l
ε=
当
ε ε > 0 时，为拉伸形变； < 0 时，为压缩形变，因而，
b − b0 ∆b = b0 b0
f 是体积力向量， f
T
= fx , f y , fz
[
]
平面(二维)几何方程
经过弹性体内任一点P,沿X轴和Y轴的方向取两个微小长度的线段 PA=dx,PB=dy见图
εx =
∂µ ∂x
εy =
∂υ ∂y
γ xy = α + β =
∂υ ∂µ + ∂x ∂y
几何方程(应变-位移关系) 又叫柯西方程
平衡方程的矩阵形式为 Aσ + f = 0 （在V内）
f x , f y , f z 为单位体积的体积力在z，y，z方向的分量。
其中，A是微分算子
∂ ∂ ∂ 0 0 0 ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ A= 0 0 0 ∂y ∂x ∂z ∂ ∂ ∂ 0 0 0 ∂z ∂y ∂x
梁的弯曲
中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层， 如图中的 CC' 层。 对于纯梁弯曲形变有：
上式两边除dxdy,可得:
τ xy = τ yx
一、正压力（拉伸压缩应力）
v 其中，F 沿作用力截面的法线方向。 。
Fn σ＝ S
（ 1）
例如图示， > 0 ，σ
二、线应变（相对伸长或压缩） 绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或 压缩）。公式： ∆l
ε=
当
ε ε > 0 时，为拉伸形变； < 0 时，为压缩形变，因而，
b − b0 ∆b = b0 b0
f 是体积力向量， f
T
= fx , f y , fz
[
]
平面(二维)几何方程
经过弹性体内任一点P,沿X轴和Y轴的方向取两个微小长度的线段 PA=dx,PB=dy见图
εx =
∂µ ∂x
εy =
∂υ ∂y
γ xy = α + β =
∂υ ∂µ + ∂x ∂y
几何方程(应变-位移关系) 又叫柯西方程
平衡方程的矩阵形式为 Aσ + f = 0 （在V内）
f x , f y , f z 为单位体积的体积力在z，y，z方向的分量。
其中，A是微分算子
∂ ∂ ∂ 0 0 0 ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ A= 0 0 0 ∂y ∂x ∂z ∂ ∂ ∂ 0 0 0 ∂z ∂y ∂x
梁的弯曲
中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层， 如图中的 CC' 层。 对于纯梁弯曲形变有：
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
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2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 3、将E换成 ，μ换成 ，可将 两种平面问题的应力应变关系写成如 下简洁的矩阵形式 σ=Dε 平面应力问题：
E1=E，μ1=μ 平面应变问题：
51
2.4.4 边界条件
位移边界条件 给定位移边界 Su ，物体的位移分量必须
等于边界上的已知位移，即
x
41
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 1、定义x方向的线应变
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
42
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 2、定义y方向的线应变
52
2.4.4 边界条件
力边界条件 给定面力边界 Sσ ，应力分量与面力分量
应满足平衡关系，在力边界点即在该点 的分布面力的两个分量为
53
2.4.5 平面问题的基本解法
8个未知变量 u，v，εx，εy，γxy，σx，σy，τxy 8个独立方程 平衡微分方程
xy yx
18
2.2 弹性力学中的基本量
（三）应力 1、应力6分量
19
2.2 弹性力学中的基本量
（三）应力 2、应力分量的正负约定
当外法线方向与坐标轴正向一致时为正坐 标面，如图中所示。反之，为负坐标面。 正坐标面上的应力分量以沿坐标正方向为 正，负坐标面上的应力分量以沿坐标的负 向为正。 2 应力的量纲是[力/长度 ]
8
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 5 、小变形假设：物体变形远小于物体的几 何尺寸，在建立方程时，可以忽略高阶小量 （二阶以上）。 假设物体在载荷或温度变化等因素作用下各 点所产生的位移都很小，使得各点的应变分 量和转角都远小于 1 。在建立平衡方程时， 可用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 2、沿x方向所有合力的平衡
37
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 3、沿y方向所有合力的平衡
38
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 4、所有合力关于任一点的力矩平衡
39
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 5、归纳后得平面问题的平衡微分方程
σz=μ（σx+σy）
32
2.4 平面问题的数学提法
（一）平面问题的特点 位移矢量：
应变分量：
应力分量：
33
2.4 平面问题的数学提法
（二）平面问题的基本方程及边界
条件
1、三类基本方程
（1）平衡微分方程-力的平衡方程 （2）几何方程-应变与位移的关系方程 （3）材料物理方程-应力与应变的关系
板厚t可以有小的变化 表面可以不平，中面必须为平面 板边作用力可以放松到对称中面分 布 所有变量如位移、应变、应力均理 解为沿板厚的平均值
27
2.3.2 平面应变问题
（一）构成平面应变问题的条件 1、几何条件
所研究结构是长柱体（理论上假设为无限 长细长结构），且横截面沿长度方向不变， 长度尺寸远大于横截面尺寸， Z轴平行于 柱体母线。 作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面 且沿纵向 Z方向均匀分布，两端面不受力， 限制Z向位移。
60
2.6 虚功原理
虚位移 虚应Biblioteka 体力 表面力61
2.6 虚功原理
虚功原理 对于处于平衡状态的变形体，外力在虚
2、边界条件
（1）位移边界条件 （2）外力边界条件
34
2.4.1 平衡微分方程
（一）建立平衡关系 1、沿x方向所有合力的平衡； 2、沿y方向所有合力的平衡； 3、所有合力关于任一点的力矩平衡。
35
2.4.1 平衡微分方程
（二）建立微分方程 1、设体力集度矢量
36
2、以位移分量作为基本未知量的位移法
求解。
由一些只包含位移分量的微分方程和边界条 件求出位移分量以后，再用几何方程求出应 变分量，从而用物理方程求出应力分量。
57
2.5 弹性力学的一般原理
圣维南原理 对于作用在物体边界上一小块表面上的
外力系可以用静力等效（主矢量、主矩 相同）并且作用于同一小块表面上的外 力系替换，这种替换造成的区别仅在离 该小块表面的近处是显著的，而在较远 处的影响可以忽略。
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
44
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 4、归纳以上，平面问题的几何方程为
45
2.4.3 材料物理方程
广义胡克定律
46
2.4.3 材料物理方程
（一）对于平面应力问题 1 、由于三个应力分量 σz=0 ， τzy=0 ， τzx=0
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2.4.3 材料物理方程
（一）对于平面应力问题 2、若以应变表示应力则有
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2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 1 、由于三个应变分量 εz=0 ， γzx=0 ， γzy=0
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2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 2、若以应变表示应力有
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54
2.4.5 平面问题的基本解法
8个独立方程 几何方程
55
2.4.5 平面问题的基本解法
8个独立方程 物理方程
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2.4.5 平面问题的基本解法
1、以应力分量为基本未知量的应力法求
解
由一些只包含应力分量的微分方程和边界条 件求出应力分量以后，再用物理方程求出应 变分量，从而用几何方程求出位移分量。
所研究的结构是一很薄的等厚度薄板
2、载荷条件
作用于薄板上的载荷平行于板面且沿厚度 方向均匀分布，而在两板面上无外力作用
25
2.3.1 平面应力问题
（二）平面应力问题
σz=0 τzy=0
τzx=0
σx≠0
σy≠0
τxy=τyx
26
2.3.1 平面应力问题
（二）平面应力问题 广义平面应力问题
弹性力学 基本变量 确定不变
4
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 1、连续性假设：物质无空隙，可用连 续函数来描述。 物体被组成该物体的介质所充满，没 有任何空隙。其应力、应变和位移等 物理量都是连续变化的，可用连续函 数进行描述。
5
2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 2、均匀性假设：物体内各个位置的物 质具有相同特性。 假设组成物体的材料在物体空间是均 匀分布。即物体内的各部分具有相同 的力学性能，如弹性常数杨氏模量E和 泊松比u等。
22
2.2 弹性力学中的基本量
（四）外力（载荷） 作用在物体上的外力分为体积力和表 面力。
1、体积力是指分布在物体体积内部的力， 记为 2、表面力是作用在物体表面的力。记为
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2.3 两种平面问题
平面问题
平面应力问题
平面应变问题
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2.3.1 平面应力问题
（一）构成平面应力问题的条件 1、几何条件
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
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2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 3、定义夹角的变化
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
（二）应变 3 、当物体上每个 点的位移都确定之 后，每个微团的变 形也就确定了，其 间的数学关系，即 几何方程为
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2.2 弹性力学中的基本量
（二）应变 4、微团变形的核心 任意微线段的相对伸长，即任意方向 的线应变。 只有将任意方向线应变都表示的量才 能用来描写微团的变形。
1
第二章 弹性力学基础
2
第二章 弹性力学基础
2.1 弹性力学中的基本假设 2.2 弹性力学中的基本量
2.3 两种平面问题
2.4 弹性力学平面问题的数学提法
2.5 弹性力学的一般原理
2.6 虚功原理 2.7 势能原理
3
2.1 弹性力学中的基本假设
（一）什么是变形体？ 物体内任意两点之间可发生相对移动 （二）变形体的描述
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2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 3、各向同性假设：物体内同一位置的 物质在各个方向上具有相同特性。 假设组成物体的材料在物体空间内每 一点沿不同方向的力学性能相同，物 体的弹性常数与方向无关。
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2.1 弹性力学中的基本假设
（二）变形体的描述 4、完全弹性（线性弹性）假设：物体 的变形与外力作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状。 假设物体受外部因素作用引起变形， 外部因素撤去后能完全恢复而没有任 何残余变形。同时假设材料服从胡克 定律，即应力与应变成正比。
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2.2 弹性力学中的基本量