弹性力学基础及有限元法-7

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弹性力学基础知识

06
弹性力学的有限元法
有限元法的基本概念
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有限个简单元（或称为元素）的组合，来近似求解复杂的物理问题。
这些简单元在节点处相互连接，形成一个离散的系统，其行为可以通过物理定律和数学模型进行描述。
有限元法的核心思想是将连续的求解域离散化，将复杂的边界条件和应力状态转化为有限个单元的组合。
弹性力学基础知识
• 弹性力学概述 • 弹性力学的基本假设 • 弹性力学的基本方程 • 弹性力学的基本问题 • 弹性力学的能量原理与变分原理 • 弹性力学的有限元法
01
弹性力学概述
定义与特点
定义
弹性力学是一门研究弹性物体在外力作用下变形和内力的科学。
特点
弹性力学主要关注物体在受力后发生的变形，以及这种变形如何影响物体的内力和应力分布。
在声学领域，有限元法可以用于分析声音的传播、噪音的来源等。
THANKS
感谢观看
有限元法的求解步骤
单元分析
对每个单元进行受力分析，建立单元的刚度方程。
求解方程
使用数值方法（如直接法、迭代法等）求解整体刚度方程，得到节点的位移和应力。
分析模型建立
首先需要建立待分析系统的数学模型，包括对系统进行离散化、定义节点、建立方程等。
系统组装
将所有单元的刚度方程组装成整体的刚度方程，同时引入边界条件和载荷。
弹性力学的能量原理与变分原理
弹性力学的能量原理
总结词
弹性力学的能量原理是描述物体在外力作用下能量变化的重要理论，它为解决弹性力学问题提供了基础框架。
VS
详细描述
弹性力学的能量原理指出，一个弹性系统在外力作用下，其能量变化等于外力所做的功与物体形变所吸收的功之和。这个原理在解决弹性力学问题时非常有用，因为它可以将复杂的物理现象转化为数学上的能量平衡问题。

弹性力学边值问题及有限元法(PPT)

0
Ni y Ni x
N j x 0
N j y
0
N j y N j x
N m x 0
N m y
0
N m y N m x
ui
vi
u v
j j
um vm
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
B Bi B j
ui
bm 0 cm
0 cm bm
a
u
v
N
ae
INi
I
1 0
0 1
IN j INm ae
位移模式需满足以下三个条件： 1、位移模式必须反映单元的刚体位移 2、位移模式必须反映单元的常量应变 3、位移模式应尽可能反映位移的连续性
单元应变函数
u
x y
xy
x u
y
u y
v x
Ni
x
0
Ni
y
) xy
x
E
1 2
( x
y)
y
E
1 2
(
x
y)
xy
2(1 E
)
xy
E
1 2
1
2
xy
x y
xy
E
1 2
1
0
1 0
1
0
0
xxyy
2
D DBae
D
E
1 2
1
0
1 0
0
0
1
2
在数学上，要将某个微分方程的定解问题转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题的解与泛函极值问题的解等价。

弹性力学及有限元法 ANSYS实例演示课件

有限元法是一种数值分析方法，通过将连续的物理系统离散化为有限数量的单元，利用这些单元的组合来逼近真实系统的行为。
它广泛应用于工程领域，用于解决各种复杂的力学、热学、电磁学等问题。
有限元法的实现过程
01
离散化
将连续的物理系统划分为有限数量的离散单元。
整体分析
将所有单元的数学模型组合起来，形成整个系统的数学模型。
使用ANSYS的几何建模功能，创建一个矩形薄板模型。
选择适当的单位制，如国际单位制（SI）。
为薄板指定弹性模量、泊松比和密度等材料属性。
通过与已知解进行比较，验证模型的正确性和准确性。
材料属性设置与网格划分
01
02
03
材料属性
根据问题描述，为薄板设置弹性模量、泊松比和密度等材料属性。
局限性
ANSYS软件的学习曲线较陡峭，需要用户具备一定的专业背景和经验；同时，对于某些特殊问题，可能需要结合其他软件或方法进行求解。
未来研究与发展的方向
多物理场耦合
进一步发展多物理场耦合的有限元分析方法，以模拟更复杂的工程问题。
智能化与自动化
研究有限元分析的智能化和自动化技术，提高分析效率和精度。
网格划分
对薄板进行网格划分，选择合适的网格密度以提高求解精度。
网格质量检查
检查网格质量，确保网格划分满足求解精度要求。
边界条件与载荷设置
边界条件
载荷与边界条件验证
根据实际情况，为薄板的边界设置约束条件，如固定约束或简支约束。
通过有限元分析理论，验证所设置的载荷和边界条件的正确性。
载荷设置
结构分析
有限元法能够模拟复杂结构的力学行为，为工程设计和优化提供依据。

第三章弹性力学有限元法

3.3 单元分析
2.单元分析
K
11 rp

b a
rp(1
13r p
)
1
2
a b
r
p
(
1

1 3

r
p
)
其中：
K
12 rp

r p

1
2

r
p
K
22 rp

b a
r
p
(
1

1 3
r
p
)
1
2
a b
r p(1
1 3
r
p
)
K
21 rp

r p

a5 xy a11 xy

a6 y2 a12 y 2
i
j
l
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
四节点矩形单元的插值多项式
ue
v
e

a1 a7

a2 x a8 x

a3 a9
y y

a4 xy a11xy

N
i

1 (1 4
x a
)(1
y b
z
三角形环单元
O
y
x
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
四边形环单元
回转圆锥薄壳单元
z
O
y
x z
O
y
x
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
m
u e
v
e

a1 a4

第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1

W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题满足条件： 1）几何条件厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。（1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元（2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变）任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是量纲为一的量。可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡

弹性力学基础

• (1)判断键盘中有无键按下 • 将全部行线置低电平，列线置高电平，然后检测列线的状态，只要有
一列的电平为低，则说明有键按下，如列线全部为高电平，则说明没有键被按下。
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[任务5.1]键盘接口设计
• (1)判断键盘中有无键按下 • (2)去除键的机械抖动 • (3)如有键被按下，则寻找闭合键所在位置，求出其键代码 • (4)程序清单
• 1.并行输出 • 如图5-8所示，这是一个由单片机的P1口驱动1位LE D显示器的电路。 • 2.串行偷出 • 电路如图5-9所示，采用串行输出可以大大节省单片机的I/O口资源。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
• 5. 2. 3静态显示电路的软件结构
• 图5-8所示的并行输出的1位共阴LE D静态显示电路比较简单，程序也不复杂。
• 5. 2. 4动态显示电路的结构及原理
• 动态显示就是逐位轮流点亮各位LE D显示器(即扫描)。动态显示电路是单片机中应用最为广泛的显示方式之一。适用于LE D显示器较多的场合。电路如图5-10所示。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
2.1 弹性力学概述
• 本章主要介绍弹性力学的基本概念，用解析法求解简单弹性力学问题的基础知识，其中主要包括弹性力学基本方程以及边界条件表达式等。掌握这些弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。此外，为了更好地理解机械结构有限元分析的基本原理以及将来能对分析结果更好地进行评价和理解，本章还介绍了应变能、虚位移、虚功及最小势能原理。
• 弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，因此，直接把解的困难性。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展起来的有限单元法为弹性力学的发展和解决工程实际问题带来了广阔的前景。

弹性力学与有限元分析

m α 式中： = ∑i ， α1,α2 ,⋯ 2m 为待定系数。把位移函
i=1
n+1
数的这种描述形式称为广义坐标形式。在确定二维多项式的项数时，需参照二维帕斯卡三角形，即在二维多项式中，若包含帕斯卡三角形对称轴一侧的任意一项，则必须同时包含它在对称轴另一侧的对应项。
1 x x2 x3 x4 y xy y2 y3
1、结构的离散化——单元划分 2、假设单元的位移插值函数和形函数 3、计算单元刚度矩阵 4、载荷移置——把非节点载荷等效地移置到节点上 5、计算结构刚度矩阵，形成结构刚度方程 6、引入位移边界条件，求解方程 7、计算应力与应变
三、两种平面问题
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两大类。体力——指分布于物体体积内的外力，它作用于物体内部的各个质点上，如重力、磁力和运动时的惯性力等。面力——指均布于物体表面上的外力，它作用于物体表面的各个质点上，如物体间的接触力和气体压力等。
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。形函数具有以下两个性质： 1、形函数 Ni在节点处的值为0。 2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
i处的值为1，而在其余两个节点
Ni (x, y) + N j (x, y) + Nm (x, y) = 1
六、计算单元刚度矩阵
U(x, y) Ni f (x, y) = = V(x, y) 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
Ui V i 0 U j Nm Vj Um Vm
其中 Ni , N j , Nm 称为单元位移的形状函数，简称形函数，其值为：
1、用单元节点位移表示单元中任一点的应变，得

弹性力学有限元法详解

x
4
i1 4
Ni ( ,)xi
y
i1
Ni ( ,) yi
总体坐标系适用于整体结构，局部坐标系只适用于具体某个单元。
常用的对于平面问题还有八节点等参元，空间问题有八节点空间等参元，二十节点等参元等。
第18页，共40页。
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
对于回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问题称为轴对称问题，通常用柱坐标来描述应力、应变和位移，单元为实心圆环体，仅截面不同
1
2
ai
(1
0
)
ai (1 0 ) ai (1 0 )
1
2
ai
(1
0
)
(i, j,l,m)
对于平面应变问题：
E
E 1 2
1
第29页，共40页。
3.3 单元分析
2. 单元分析
由虚功原理得：
Fe
K e BT DBdxdyt A
BT DBdxdyt δe
A
Fe Keδe
单元刚度矩阵可分块表示为：
第10页，共40页。
3.2 连续体离散化
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
l
θxi
i
θyi
wi
m
j
四边形弯曲单元
四边形单元有四个节点，每个节点有三个自由度，主要承受横向载荷和绕水平轴的弯矩。
第11页，共40页。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
m
θxi
对于平面应变问题：
E
E 1 2

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I t d ti of Introduction f ANSYS

3. Features of ANSYS（特点）

The individual physical field analysis such as structural, thermal, etc. and the coupled field analysis are both possible. possible Unified Database Powerful non-linear analysis Friendly interface and easy to use A strong function of the secondary development A variety of automatic meshing tools
O tli Outline 概要
1 R 1. Review i 回顾 2. ANSYS简介 3.静力学分析实例—平面桁架

Review 回顾

Finite Element Method FEM （有限元法）

1. Model and concept 模型和概念 1 2. FEM basic idea 有限元法的基本思想 3. 基本步骤本步

Finite element method (FEM)

FEM procedure The Th body b d i is di divided id d i into some fi finite i elements. l to get the stiffness matrix of every element in th single the i l element l t analysis l i . The whole stiffness matrix is integrated from all element matrixes. matrixes To solve the equation and to obtain displacements of the nodes. nodes To draw the unknown values from the values of the nodes.

3. Pressures (PRES)

4. Temperatures (TEMP)
Solve the Analysis
1. Save a backup copy of the database to a named file.
Command(s): SAVE GUI: Utility Menu> File> Save as
2 St 2. Start t solution l ti calculations. l l ti
Command(s): SOLVE GUI: Main Menu> Solution> Solve> Current LS
R i Review th the R Results s lts

Results from a static analysis are written to the structural t t l results lt fil file, J Jobname.RST. b RST Th They consist of the following data: 1 Primary data: 1.

These are DOF constraints usually specified at model boundaries to define rigid support points. They can also indicate symmetry t b boundary d conditions diti and d points i t of fk known motion. ti These are concentrated loads usually specified on the model exterior. exterior These are surface loads, also usually applied on the model exterior Positive values of pressure act towards the element exterior. face (resulting in a compressive effect).
弹性力学基础及有限元法-7 Elasticity & Finite Element Method (FEM)
ANSYS简介，静态分析（1）
FEM & ANSYS-7
内蒙古科技大学机械工程学院刘学杰 2011-11 2011 11
/UploadFile/Elasticity-FEM/Elasticity-FEM.htm
B ild the Build h M Model d l

Building a finite element model requires more of your time than any other part of the anfy a jobname and analysis title First title. Then, you use the PREP7 preprocessor to f define the element types, element real constants, material properties, and the model geometry.
An l sis procedure Analysis p d

1. Preference: static analysis 2 D 2. Define fi th the element l t types t 3. Define the real constants 4 Define material properties 4. 5. Build the model
The p procedure for a static analysis y in ANSYS
The procedure for a static analysis consists of these tasks: B ild th Build the M Model d l Apply the Loads Solve the Analysis Review the Results Analyze the Results and improve the design. design
Introduction of ANSYS

2. The function of ANSYS (功能）

Contact analysis (接触分析） Thermal analysis（热分析） Electromagnetic field analysis（电磁场分析） Fluid analysis （流体分析）：① Computational fluid dynamics (CFD)， ② Acoustics analysis Couple field analysis （耦合场分析）

Introduction of ANSYS

2. The function of ANSYS (功能）

Structural (结构分析） Static analysis （静力学分析） Dynamics y m analysis y （动力学分析动力学分析）： ①modal analysis, ② harmonic response analysis, ③transient analysis l Buckling analysis（失稳分析）
A l th Apply the L Loads ds

Load Types: in a static analysis. 1. Displacements (UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ)

2. Forces (FX, FY, FZ) and Moments (MX, MY, MZ)
Review the Results with Postprocessors
You can review these results using POST1, the h general l postprocessor, and d POST26, PO T26 the time-history processor. POST1 is used to review results over the entire model at specific p substeps p (timepoints). POST26 6 is used u in n nonlinear n n n ar static a ana analyses y to track specific result items over the applied pp load history. y.

Case No. 5: A static analysis y of f the truss structuresPlane truss (杆系结构的静力学分析实例—平面桁架 )
图 5-1 平面桁架

如图所示为一平面桁架，长度L=0.1 m，各杆横截面面积均为A=1×10-4 m2，力P=2000 N，计算各杆的轴向力Fa、轴向应力σa。 a

1. Graphical User Interface (GUI) 图形用户界面

1) Utility Menu（通用菜单）：File; Select; List; Plot; ; WorkPlane; ; PlotCtrls; 2) Main Menu（主菜单）：Preferences; PREP7; Solution; POST1; POST26; 3) Graphical window （图形窗口） 4) ) Input p window （输入窗口）输窗 5) Output window （输出窗口） 6) Tool bar （工具条）