三、 弹性力学有限元法基本原理(二)
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有限元 第2讲 有限元法基本理论
•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一 些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。
•基本假设是学科的研究基础。 •超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
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弹性力学的基本假设 1. 连续性假设
•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的 介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
第2章 有限元法基本理论
张 洪 伟
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内容提要
1
弹性力学问题基本描述
弹性问题参量原理
2
3 4
有限元分析基本步骤
有限元解的误差分析
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弹性力学问题的基本描述
基本假设的必要性 •工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主 次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将 使得问题无法求解。
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弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所 引起的尺寸变化。 ——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方 程成为线性的偏微分方程组。
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弹性力学的基本假设
4. 完全弹性假设
•——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对 应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关， 称为完全弹性材料。 •完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线 性的应力与应变关系。 •研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
符号规定：
应力的概念
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力 分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为 y ,沿y轴的正向为正,其下
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
v u v 2 ， y 6 ， xy 3 5 都是常量，即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
有限元法基本原理及应用第2章重庆大学龙雪峰
有限元原理及应用
第二章 弹性力学基本理论
3．完全弹性假设。 假设除去引起物体变形的外力之后，物体形状能够完全恢 复，而没有任何残余变形并且假定材料服从胡克定律，即 应力与应变成正比，这样物体在任意瞬时，应变完全取决 于该瞬时所受外力，而与它之前加载的历史无关，与外力 施加顺序也无关。 由材料力学知，物体所受应力未达到比例极限之前，可 近似看作完全弹性体。
有限元原理及应用
第二章 弹性力学基本理论
2．均匀性假设。 假设物体内各处材料的力学性能完全相同，即从物体中任 意取出一个微元体进行分析，都可以使用同一组材料常数。 实际上，物体是由颗粒组成的，不可能是完全均匀的， 但只要颗粒的尺寸远远小于物体的尺寸并且均匀分布，将 物体性能看作各组成部分性能的统计平均量是没问题的。 这里的均匀性假设并不妨碍弹性力学处理由不同材料组成 的弹性体，只要在每一部分都满足均匀性假设即可。
有限元原理及应用
• 2.2.7 主应变 • 由单元体六个应变分量：
第二章 弹性力学基本理论
• 可以求出过该点任意方向线应变和任意两 线段之间角度的改变：
2.7 2.8
式中l、m、n 为过物体内一点P 的线 段PN 的方向余弦， l1、m1、 n1为过P 点 与PN 成θ 角的线段PN1 的方向余弦，θ’ 为物体受力变形后线段PN 与PN1 的夹角, 如图2.5 所示。
有限元原理及应用
第二章 弹性力学基本理论
• 这个极限矢量p 就是物体在截面mn 上的、在P 点所受内力的 集度，即P 点的应力。因为ΔA 是标量，所以p 的方向就是ΔF 的极限方向。 • 对于应力，通常沿截面的法向和切向将应力分解为正应力σ 和切应力τ，如图2.3 所示。应力及其分量的因次是[力][长 度]-2。 • 在物体内的同一点，不同方向的截面上的应力是不同的。过 一点，各截面上应力的大小和方向的总和称为一点的应力状 态。
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
四、 弹性力学有限元法基本原理(三)
该单元位移模式及其形函数的构造可采用根据形函数性质直接
构造插值函数的方法。或从对应的二维单元进行推广，再用形
函数性质进行验证。 • 为了突破这类单元几何上的限制，得到实用的单元，必须引
入等参变换。
第二节 等参单元
• 问题的提出
从前面介绍的各种二、三维单元看出，这些单元可能有两个方面 的约束： 第一是单元的精度，显然单元的节点数越多，单元精度越高。因 此在这一点上，矩形单元优于简单三角形单元，六面体单元优于四面 体单元； 第二是单元几何上的限制。单独使用矩形或长方体单元都不能 模拟任意形状几何体，且网格中单元大小无法过渡。所有上述单元
n
n
n
n
•
显然，只要形函数满足性质 满足。
N
i 1
n
i
1 ，等参单元的完备性就得到
六、等参单元力学特性分析
• 等参单元特性分析的所有公式的导出原理与前面介绍的其它单元相同。
•
等参单元的形函数矩阵、应变矩阵、应力矩阵均用自然坐标描述。应变 矩阵中涉及到形函数对总体x,y,z坐标求导数时，须进行坐标变换。
•
该单元在母单元中的位移模式为包含完全二次式的不完全三次多项式。
插值基函数可以用形函数性质直接构造。对应图中局部节点编号，8个节 点形函数为：
1 (1 i )(1 i )( i i 1)(i 1,2,3,4) 4 1 N i (1 2 )(1 i )( i 5,6) 2 1 N i (1 2 )(1 i )(i 7,8) 2 Ni
一、等参单元的概念
• 图4-3为一个4节点任意四边形单元（Q4），单元有8个自由度。将矩 形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。 • 但在建立单元位移模式时产生了新的问题：
第2章 弹性力学基本理论
x
u
z
z
z 0
0
0
z
u v
0
w
y
x
3、物理方程（应力与应变之间的关系）
x
1 E
x y z
y
1 E
y z x
•微观上这个假设不成立——宏观假设。
2. 均匀性假设
•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标 位置的变化而改变。
•——物体的弹性性质处处都是相同的。
•工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形 状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也 可以视为均匀材料。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因 变形所引起的尺寸变化。
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶微量，使 基本方程成为线性的偏微分方程组。
6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前， 物体内部没有应力。
弹性力学求解的应力、位移仅仅是外力、边界约 束或温度改变而产生的。
向或负面上的应力沿坐
x
图1－7
标负向为正。
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画 出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。
Oz
x
y
注意：
弹性力学
材料力学 图1-8
（3）注意弹性力学切应 力符号和材料力学是有 区别的。在图1－8中， 弹性力学里，切应力都 为正，而材料力学中相 邻两面的符号是不同的， 顺时针转动为正。
弹性力学有限元法详解
x
4
i1 4
Ni ( ,)xi
y
i1
Ni ( ,) yi
总体坐标系适用于整体结构，局部坐标系只适用于具体某个 单元。
常用的对于平面问题还有八节点等参元，空间问题有八节 点空间等参元，二十节点等参元等 。
第18页，共40页。
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
对于回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其 应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问题称 为轴对称问题 ，通常用柱坐标来描述应力、应变和位移，单元 为实心圆环体，仅截面不同
1
2
ai
(1
0
)
ai (1 0 ) ai (1 0 )
1
2
ai
(1
0
)
(i, j,l,m)
对于平面应变问题：
E
E 1 2
1
第29页，共40页。
3.3 单元分析
2. 单元分析
由虚功原理得：
Fe
K e BT DBdxdyt A
BT DBdxdyt δe
A
Fe Keδe
单元刚度矩阵可分块表示为：
第10页，共40页。
3.2 连续体离散化
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
l
θxi
i
θyi
wi
m
j
四边形弯 曲单元
四边形单元有四个节点，每个节点有三个自由度，主要承 受横向载荷和绕水平轴的弯矩。
第11页，共40页。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
m
θxi
对于平面应变问题：
E
E 1 2
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• 当单元尺寸趋于零时，单元中的位移和应变应该就是结构中该点 上的刚体位移和基本常应变。因此，只有满足准则1才能使有限元 解具有上述特性，收敛到真正解。
• 准则2的协调性要求是连续体力学问题的必然要求。它是最小势能 原理和里兹法的前提条件。有限元法作为里兹法的特殊形式必然要 满足这个要求。有限元的协调性要求在整个弹性体区域上的体现就 是试探位移场必须满足的连续性条件。事实上，如果单元尺寸趋于 零时，单元交界面上位移不连续，则有限元模型模拟的就不可能是 原来的连续结构，获得的有限元解就不可能收敛到问题的真正解。
• 根据以上分析，对弹性力学有限元法，为了使有限元解 收敛，单元（一维杆，二、三维实体元）的构造必须满 足下列要求：
➢ 每个单元的位移模式必须包含完全一次多项式。
➢ 位移模式在单元边界之间连续（C0连续）。
➢ 单元网格在边界上受到均匀载荷，单元上的有限元解应 该具有一致的均匀值。
• 上述要求可以概括为两个收敛准则： ➢ 准则1 ：完备性要求
具有C0连续性（函数值连续）。
满足上述要求的单元称为协调元。
理论上可以证明，同时满足完备性和协调性的单元一定收 敛。但协调性不是收敛的必要条件，某些具有非协调位移模式 的单元只要满足一定条件也是收敛的。
2、对收敛性和收敛准则的理解
n 根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近 精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式 多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不断增加单元数， 即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二完全 多项式。
满足上述要求的单元称为完备单元。
除了完备性，位移模式还有连续性的要求。采用多项式作为 位移函数，单元内部的连续性自然得到满足，因此，要求位移在 相邻单元边界上满足连续性，这导致另一个收敛准则。
➢ 准则2 ：协调性要求 对弹性力学问题，位移试探函数在单元交界面上必须
• 在有限元法中，一般在粗网格下单元要满足协调性要求。如果某单 元在粗网格下不满足协调性，但随着单元尺寸减小，不协调性趋于 消失，同时满足完备性，则该单元也能收敛。
• 不难证明，3节点三角形单元满足完备性准则和协调性准则。
3、收敛速度、精度及其意义
▪ 如果单元位移模式满足完备性和协调性，则当单元尺寸趋于零时， 有限元解趋于精确解。
第三单元 弹性力学有限元法基本原理（二）
第一节 有限元解的性质和收敛准则
1、有限元解的收敛准则
• 有限单元法作为连续问题的数值解法可以看作里兹法的一种特殊 形式，即采用分片试探函数（假定位移场）的里兹法。前面通过 受轴向力杆的里兹法求解，已经指出里兹解收敛必须满足的条件： 除了满足连续性和边界约束之外，试探函数还必须是完备的，即 包含完全的低阶多项式。
• 对于有限元法，解的收敛除了里兹法意义上的收敛外，显然，当 单元尺寸趋于零（h→ 0)时，有限元解应该趋于问题的精确解。 这就是通常意义上有限元解收敛的涵义（h-收敛）。
• 事实上，有限元位移法中，在一个单元内用完全多项式 逼近实际位移场，当单元尺寸趋于零时，如果整体位移 试探函数还满足连续性要求，那么在满足最小势能原理 的情况下，整个系统的势能泛函将趋于它的精确值—— 最小值。在每一单元内位移及其导数将趋于它的精确值 （常数），有限元解就趋于精确解，即解是收敛的。
• 根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真 正解，则很粗糙的单元划分就能得到精确的解答。比如，假设位 移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式， 则有限元解一定是精确的。
▪ 对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。 根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的 低阶成分，而忽略的高阶成分就是误差。设单元直径是h，单元位 移模式包含p阶完全多项式，则它可以在单元上拟合实际位移Taylor
• 由有限元模型的离散总势能表达式和最小势能原理可以推出： 有限元近似解的应变能小于真正解的应变能，因此有限元位移 解总体上不大于真正位移，即有限元位移解具有下限性质。
• 可以在物理上作出如下分析：连续弹性体具有无限多个自由度， 应用有限元位移法后，在单元上假定了具有有限自由度的位移 模式，这种假定位移场对单元实际的变形进行了约束，使单元 刚化，弹性体的整体刚度随之增加，因此求得的位移总体上小 于精确解。
收敛速度是 O(h) 量级。
• 实际工作中，往往需要对误差作出具体估计，对于一般的实际问题， 可采取下列办法：
（1）用相近的有已知解析解的问题做有限元误差估计，单元类型相同， 网格划分相似。则某种网格下其有限元解与解析解的具体误差可以作 为实际问题的误差。
（2）根据收敛的含义，可以对网格进行连续多次细化，当两次网格的 解相差不大时，可以认为得到的解答足够精确。
n 关于有限元解的收敛性和收敛准则，数学家已经给出严格的证 明。下面以弹性力学问题为例从物理概念上进行理解。
• 准则1中的完备性要求，就是要求单元位移模式具有描述单元刚体 位移和常应变的能力。
• 如果位移模式没有包含完全一次多项式，单元就不可能出现刚体 位移和常应变位移状态。对于正常的有限元解，一个单元内部位 移场是在相邻的其它单元位移——刚体位移基础上，迭加本单元 弹性变形产生的位移场组成。同时一个单元内的应变场是由当地 的某个“基本常应变”值迭加本单元内部应变的变化组成。
展开中的前p阶。因此有限元位移解的误差是 O(h p1) ，这只是一
种量级的估计，不反映误差的绝对数值，但可以反映收敛速度。
▪ 例如，3节点三角形单元，位移模式是线性的，所以位移的误差估 计是 O(h2 ) ，也可以说该单元的收敛速度是 O(h2 ) 量级。即， 如果把有限元网格细化，单元尺寸减半，则有限元位移解的误差 大约是前一种网格的(1/2)2 = 1/4。显然，该单元应变、应力解的
（3）利用收敛速度的量级估计精确解。有限元解是单调收敛的，对
3节点三角形单元，设第一次网格的位移解是u1，单元尺寸减半后
的网格的位移解是u2，收敛速度是O(h2 ) ，则可由下式预测精确
解：
u1 u2
u u
O(h2 ) O((h / 2)2 )
4
由此式得：
u
1 3
(4u2
u1 )
4、有限元位移法解的下限性质
• 准则2的协调性要求是连续体力学问题的必然要求。它是最小势能 原理和里兹法的前提条件。有限元法作为里兹法的特殊形式必然要 满足这个要求。有限元的协调性要求在整个弹性体区域上的体现就 是试探位移场必须满足的连续性条件。事实上，如果单元尺寸趋于 零时，单元交界面上位移不连续，则有限元模型模拟的就不可能是 原来的连续结构，获得的有限元解就不可能收敛到问题的真正解。
• 根据以上分析，对弹性力学有限元法，为了使有限元解 收敛，单元（一维杆，二、三维实体元）的构造必须满 足下列要求：
➢ 每个单元的位移模式必须包含完全一次多项式。
➢ 位移模式在单元边界之间连续（C0连续）。
➢ 单元网格在边界上受到均匀载荷，单元上的有限元解应 该具有一致的均匀值。
• 上述要求可以概括为两个收敛准则： ➢ 准则1 ：完备性要求
具有C0连续性（函数值连续）。
满足上述要求的单元称为协调元。
理论上可以证明，同时满足完备性和协调性的单元一定收 敛。但协调性不是收敛的必要条件，某些具有非协调位移模式 的单元只要满足一定条件也是收敛的。
2、对收敛性和收敛准则的理解
n 根据前面分析，对于有限元位移法，有两个途径得到不断逼近 精确解的有限元解序列：第一，网格不变，不断增加位移模式 多项式的阶数；第二，单元位移模式不变，不断增加单元数， 即单元尺寸趋于零。通常所指有限元解的收敛性是第二完全 多项式。
满足上述要求的单元称为完备单元。
除了完备性，位移模式还有连续性的要求。采用多项式作为 位移函数，单元内部的连续性自然得到满足，因此，要求位移在 相邻单元边界上满足连续性，这导致另一个收敛准则。
➢ 准则2 ：协调性要求 对弹性力学问题，位移试探函数在单元交界面上必须
• 在有限元法中，一般在粗网格下单元要满足协调性要求。如果某单 元在粗网格下不满足协调性，但随着单元尺寸减小，不协调性趋于 消失，同时满足完备性，则该单元也能收敛。
• 不难证明，3节点三角形单元满足完备性准则和协调性准则。
3、收敛速度、精度及其意义
▪ 如果单元位移模式满足完备性和协调性，则当单元尺寸趋于零时， 有限元解趋于精确解。
第三单元 弹性力学有限元法基本原理（二）
第一节 有限元解的性质和收敛准则
1、有限元解的收敛准则
• 有限单元法作为连续问题的数值解法可以看作里兹法的一种特殊 形式，即采用分片试探函数（假定位移场）的里兹法。前面通过 受轴向力杆的里兹法求解，已经指出里兹解收敛必须满足的条件： 除了满足连续性和边界约束之外，试探函数还必须是完备的，即 包含完全的低阶多项式。
• 对于有限元法，解的收敛除了里兹法意义上的收敛外，显然，当 单元尺寸趋于零（h→ 0)时，有限元解应该趋于问题的精确解。 这就是通常意义上有限元解收敛的涵义（h-收敛）。
• 事实上，有限元位移法中，在一个单元内用完全多项式 逼近实际位移场，当单元尺寸趋于零时，如果整体位移 试探函数还满足连续性要求，那么在满足最小势能原理 的情况下，整个系统的势能泛函将趋于它的精确值—— 最小值。在每一单元内位移及其导数将趋于它的精确值 （常数），有限元解就趋于精确解，即解是收敛的。
• 根据里兹法的原理，如果单元的位移插值多项式能够精确拟合真 正解，则很粗糙的单元划分就能得到精确的解答。比如，假设位 移精确解是二次函数，而单元位移模式包含了完全二次多项式， 则有限元解一定是精确的。
▪ 对于一般的实际位移场，一点附近的位移可以展开为Taylor级数。 根据前面结论，在一个单元范围内，有限元解可以拟合实际位移的 低阶成分，而忽略的高阶成分就是误差。设单元直径是h，单元位 移模式包含p阶完全多项式，则它可以在单元上拟合实际位移Taylor
• 由有限元模型的离散总势能表达式和最小势能原理可以推出： 有限元近似解的应变能小于真正解的应变能，因此有限元位移 解总体上不大于真正位移，即有限元位移解具有下限性质。
• 可以在物理上作出如下分析：连续弹性体具有无限多个自由度， 应用有限元位移法后，在单元上假定了具有有限自由度的位移 模式，这种假定位移场对单元实际的变形进行了约束，使单元 刚化，弹性体的整体刚度随之增加，因此求得的位移总体上小 于精确解。
收敛速度是 O(h) 量级。
• 实际工作中，往往需要对误差作出具体估计，对于一般的实际问题， 可采取下列办法：
（1）用相近的有已知解析解的问题做有限元误差估计，单元类型相同， 网格划分相似。则某种网格下其有限元解与解析解的具体误差可以作 为实际问题的误差。
（2）根据收敛的含义，可以对网格进行连续多次细化，当两次网格的 解相差不大时，可以认为得到的解答足够精确。
n 关于有限元解的收敛性和收敛准则，数学家已经给出严格的证 明。下面以弹性力学问题为例从物理概念上进行理解。
• 准则1中的完备性要求，就是要求单元位移模式具有描述单元刚体 位移和常应变的能力。
• 如果位移模式没有包含完全一次多项式，单元就不可能出现刚体 位移和常应变位移状态。对于正常的有限元解，一个单元内部位 移场是在相邻的其它单元位移——刚体位移基础上，迭加本单元 弹性变形产生的位移场组成。同时一个单元内的应变场是由当地 的某个“基本常应变”值迭加本单元内部应变的变化组成。
展开中的前p阶。因此有限元位移解的误差是 O(h p1) ，这只是一
种量级的估计，不反映误差的绝对数值，但可以反映收敛速度。
▪ 例如，3节点三角形单元，位移模式是线性的，所以位移的误差估 计是 O(h2 ) ，也可以说该单元的收敛速度是 O(h2 ) 量级。即， 如果把有限元网格细化，单元尺寸减半，则有限元位移解的误差 大约是前一种网格的(1/2)2 = 1/4。显然，该单元应变、应力解的
（3）利用收敛速度的量级估计精确解。有限元解是单调收敛的，对
3节点三角形单元，设第一次网格的位移解是u1，单元尺寸减半后
的网格的位移解是u2，收敛速度是O(h2 ) ，则可由下式预测精确
解：
u1 u2
u u
O(h2 ) O((h / 2)2 )
4
由此式得：
u
1 3
(4u2
u1 )
4、有限元位移法解的下限性质