湖北省宜昌市2022届数学高二第二学期期末预测试题含解析

湖北省宜昌市2022届数学高二第二学期期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数f(x)＝x 3－ax －1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥3 B ．a>3 C ．a ≤3 D ．a<3 【答案】A【解析】∵f(x)=x 3−ax−1， ∴f′(x)=3x 2−a ，要使f(x)在(−1,1)上单调递减， 则f′(x)⩽0在x ∈(−1,1)上恒成立， 则3x 2−a ⩽0，即a ⩾3x 2，在x ∈(−1,1)上恒成立， 在x ∈(−1,1)上，3x 2<3， 即a ⩾3， 本题选择A 选项.2．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）． A ．至多等于4 B ．至多等于5C ．至多等于6D ．至多等于8【答案】A 【解析】 【分析】当3,4,5n =L 时，一一讨论，由此判断出正确选项. 【详解】当3n =时，空间三个点构成等边三角形时，可使两两距离相等. 当4n =时，空间四个点构成正四面体时，可使两两距离相等. 不存在n 为4以上的情况满足条件，故n 至多等于4. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正多边形、正多面体的几何性质，属于基础题. 3．已知2πϕ<，将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移3π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ为（ ） A ．3π B ．3π-C ．6π D ．6π-【答案】D【解析】 【分析】由()f x 平移后，得()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由()g x 图象关于y 轴对称，得()20sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，解之即可.【详解】将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移3π个单位,得 ()2sin 2sin 233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ()g x 图象关于y 轴对称∴()20sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭∴2,32k k ππϕπ+=+∈Z ，即,6k k πϕπ=-+∈Z 又Q 2πϕ<∴0k =时6πϕ=-满足要求.故选：D 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和函数的对称性，属于中档题. 4．设2iz i=+，则||z =（ ）A B C ．15D ．125【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算得到1255z i =+，根据复数模长定义可求得结果. 【详解】()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-Q ，z ∴==.故选：A . 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.5．在极坐标系中，圆cos ρθθ=的圆心的极坐标为（ ） A ．1,3π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,6π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，找到此时的圆心再化为极坐标. 【详解】Q cos ρθθ=可化简为：2cos sin ρρθθ=根据极坐标与直角坐标的互化公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩可得：22x y x +=-220x x y -+=化简可得：211302424xx y ⎛⎛⎫--++-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭即：221122x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴圆心为：1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭1tan ρθ=⎧⎪∴⎨=⎪⎩故圆心的极坐标为：1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题主要考查了极坐标和直角坐标的互化和圆的极坐标方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 6．设是定义在R 上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（ ）A ．(2,0)-∪(2,)+∞B ．(,2)-∞-∪(0,2)C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞D ．(2,0)-∪(0,2) 【答案】B 【解析】 试题分析：因为当时，有恒成立，所以'()0f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，所以()f x x 在(0,)+∞内单调递减．因为,所以在(0,2)内恒有()0f x >；在(2,)+∞内恒有()0f x <．又因为是定义在R 上的奇函数，所以在(,2)-∞-内恒有()0f x >；在(2,0)-内恒有()0f x <．又因为不等式的解集，即不等式()0f x >的解集，由上分析可得，其解集为(,2)-∞-∪(0,2)，故应选B ．考点：1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用．【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据商函数求导法则可知化为'()0f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭；然后利用导数的正负性可判断函数()f x x在(0,)+∞内的单调性；再由可得函数在(0,)+∞内的正负性；最后结合奇函数的图像特征可得，函数在(,0)-∞内的正负性，即可得出所求的解集．7．已知函数()f x 在区间[)0+∞，上是增函数，且()()g x f x =-.若()()lg 1g x g >，则x 的取值范围是（ ）A ．[)110， B ．110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．11010⎛⎫⎪⎝⎭， D ．()111010⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦，， 【答案】C 【解析】 【分析】 由()()g x fx =-，得到()g x 为偶函数，再由()f x 是[)0,+∞上的增函数，得到()g x 是[)0,+∞上的减函数，根据()()lg 1g x g >，转化为()()lg 1g x g >，即可求解. 【详解】由题意，因为()()()g x fx g x -=-=，所以()g x 为偶函数，又因为()f x 是[)0,+∞上的增函数，所以()g x 是[)0,+∞上的减函数， 又因为()()lg 1g x g >，所以()()lg 1g x g >，所以lg 1x <，解得11010x <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对称区间上的函数的单调性的应用，同时解答中涉及到对数函数的图象与性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 8．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．16B ．2524C ．34D ．1112【答案】D 【解析】 【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n 8=时，不再运行循环体，直接输出S 值． 【详解】模拟程序图框的运行过程，得 S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环：S=1,4,2n =满足条件，进入循环： 11,6,24s n =+=进入循环：111,8,246s n =++=不满足判断框的条件，进而输出s 值，该程序运行后输出的是计算：11111S 24612=++=．故选D ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 9．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（ ） A ．至少有一个不小于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都不大于1 D ．都不小于1【答案】B 【解析】 【分析】用反证法证明，假设同时大于1，推出矛盾得出结果 【详解】假设()21a b ->，()21b c ->，()21c a ->， 三式相乘得()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->，由()02a b c ，，，∈，所以()220212a a a a -+⎛⎫<-≤= ⎪⎝⎭，同理()21b b -≤，()21c c -≤，则()()()2221a a b b c c -⋅-⋅-≤与()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->矛盾，即假设不成立，所以()()()222a b b c c a ---，，不能同时大于1，所以至少有一个不大于1，故选B 【点睛】本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，同时还运用了基本不等式，本题较为综合 10．用数学归纳法证明11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（*n N ∈，2n ≥）时，第一步应验证（ ） A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可． 【详解】解：用数学归纳法证明1111(2321n n n N ++++⋯+<∈-，2)n ≥时，第一步应验证 2n =时是否成立，即不等式为：111223++<；故选：B ．【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证2n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．11．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C12．倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()220x py p =>的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A ，B 分别位于y 轴的左、右两侧），2BFAF=，则cos α的值是（ ）A ．13B ．12 C ．23D 【答案】D 【解析】 【分析】设AF t =，则2BF t =，由抛物线的定义，得AC t =，2BD t =，进而可求BE 、AE ，最后由cos AE ABα=可求解. 【详解】设AF t =，则2BF t = A 、B 两点到准线2py =-的距离分别为AC 、BD ， 由抛物线的定义可知：AC AF t ==，2BD BF t ==过A 作AE BD ⊥，垂足为E.2BE BD DE BD AC t t t ∴=-=-=-= ()2222322AE AB BE t t t ∴=-=-=2222cos cos 33AE t BAE AB t α=∠===. 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设空间两直线a 、b 满足a b ⋂=∅（空集），则直线a 、b 的位置关系为________ 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】根据空间线线的位置关系判断即可. 【详解】解：因为a b ⋂=∅，则直线a 、b 没有交点， 故直线a 、b 平行或异面. 故答案为：平行或异面. 【点睛】本题考查空间线线的位置关系，是基础题.14．等差数列{}n a 中，若13,21,2n a a d ===，则n =___________. 【答案】10. 【解析】 【分析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解n 的值． 【详解】在等差数列{}n a 中，由13a =，21n a =，2d =， 且1(1)n a a n d =+-，所以1213192n a a n d ---===， 所以10n =． 故答案为：10. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求n ．15．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为棱AD 中点，现有一只蚂蚁从点1B 出发，在正方体1111ABCD A B C D -表面上行走一周后再回到点1B ，这只蚂蚁在行走过程中与平面1A BE 的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为__________．【答案】【解析】分析：由题可知，蚂蚁在正方体1111ABCD A B C D -表面上行走一周的路线构成与平面1A BE 平行的平面，且围成的图形为菱形，从而求得答案.详解：由题可知，蚂蚁在正方体1111ABCD A B C D -表面上行走一周的路线构成与平面1A BE 平行的平面， 设F 、G 分别为BC 、11A D 中点，连接1B G ，GD ，FD 和1FB ，则11B G GD DF FB ---为蚂蚁的行走轨迹.Q 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，易得11GD DF F B G B ===1B D =GF =∴四边形1B GDF 为菱形，1112B GDF S B D GF =⋅=故答案为点睛：本题考查面面平行和正方体截面问题的应用，正确理解与平面的距离保持不变的含义是解题关键.16．在101()2x +的二项展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）【答案】45256【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式,即可求得2x 项的系数. 【详解】二项式展开式的通项公式为()1011012rrrr T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当8r =时为2x 项则()82829101452256T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以2x 项的系数为45256故答案为: 45256【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,求指定项的系数,属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()223f x x x =++-. （1）若关于x 的不等式()252f x m m <-的解集不是空集，求m 的取值范围； （2）设()f x 的最小值为λ，若正实数a ，b ，c 满足a b c λ++=.证明：2222227a b a c b cc b a+++++≥.【答案】（1）1m <-或72m >.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）等式()252f x m m >-的不是空集，等价于()f x 的最小值()2min 52m f m x <-，。