第2章_1 弹性力学基础与地震波—弹性力学基础
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第二讲-弹性力学基础知识
弹性力学及有限元
NORTHEASTERN UNIVERSITY
2.1
弹性力学的基本假设
2. 均匀性假设
•—— 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 —— 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 因此物体各个部分的物理性质都是相同的， 因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位 置的变化而改变。 置的变化而改变。 •—— 物体的弹性性质处处都是相同的。 —— 物体的弹性性质处处都是相同的。 •工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 工程材料 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视 为均匀材料。 为均匀材料。 •对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。 对于环氧树脂基碳纤维复合材料
三 应力的概念
通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为
τ
σ
S
正应力σ 切应力τ
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NORTHEASTERN UNIVERSITY
2.2
弹性力学基本概念
三
应力的概念
应力分量
应力不仅和点的位置有关，和截面的 方位也有关。 描述应力，通常用一点平行于坐标平 面的单元体，各面上的应力沿坐标轴
独立应力分量：
τ xy = τ yx
τ yz = τ zy
τ xz = τ zx
σx σy σz
τ xy τ yz τ zx
弹性力学及有限元
NORTHEASTERN UNIVERSITY 2.2 弹性力学基本概念
三
应力的概念－举例
例3 已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。
弹性力学基础教学课件PPT
圆柱坐标：r—径向；θ—周向；z—轴向
dq
z
qr
zr
z
zq
r
q
qz
dr
rz dz
rq
r
dq dr
dz
r rq rz
o
y
ij qr
q
qz
q
r
zr zq z
x
➢圆柱坐标下的平衡微分方程
rr1 r qqr z zrr rq0
rrq1 r qq zzq2 rrq0
yz
1（wv） 2 y z
zx
1（uw） 2 z x
yz
x
1 2（z2vxy2wx）（2）
zx
y
12（x2wyz2uy）（3）
以上三个式子分别两两相加然后再减去第3 式，可得到：
yx
z
xz
y
yz
x
2u yz
xy
z
yz
x
xz
y
2v xz
• 左面三式分别对 X，Y,Z求偏导
• 平面问题应变协调方程
➢ 平面变形--物体内所有质点都只在一个坐标平面内发生变形，
而在该平面的法线方向没有变形。
➢ 发生变形的平面称为塑性流平面，它始终保持为平面，不会
发生扭曲、倾斜。
➢ 假设没有变形的方向为坐标的Z向，则Z方向上的位移分量 w=0; 其余两个位移分量与Z坐标无关，对Z的偏导数为零。
• 角标符号：同一个物理量的不同分量用同一个字母加不同
的的下标来表示。比如：
3根坐标轴：x,y,z
3个方向余弦：l,m,n, 3个基准矢量：i,j,k,
Xi (i=1,2,3)或（i=x,y,z) ni (i=1,2,3)或（i=x,y,z) ei (i=1,2,3)或（i=x,y,z)
第二章 弹性力学基础知识
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3. 均匀性假定 假定整个物体是由同一材料组成的。 假定整个物体是由同一材料组成的。这样，整个物体的 所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会 随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分 析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。如果物体是由 多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体 而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为 均匀的。 4. 各向同性假定 假定物体的弹性在各方向都是相同的。 假定物体的弹性在各方向都是相同的。即物体的弹性常 数不随方向而变化。对于非晶体材料，是完全符合这一假定 的。而由木材、竹材等作成的构件，就不能当作各向同性体 来研究。至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体， 但由于晶体非常微小，并且是随机排列的，所以从统计平均 意义上讲，钢材构件的弹性基本上是各向同性的。
τ
P ΔA
ΔQ
n
σ
(法线 法线) 法线
应力分量 单位： 单位：
应力的法向分量 应力的切向分量
σ
—— 正应力 —— 剪应力
τ
与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
σ = σ (x, y, z) τ =τ (x, y, z)
(2) 一点的应力状态
通过一点P 通过一点 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： 面的应力： 面的应力 σ x ,τ xy ,τ xz y面的应力： 面的应力： 面的应力 z面的应力： 面的应力： 面的应力
一 平衡微分方程 • 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性 从弹性体内任一点取出微元体， 体内一点的应力分量与体力分量之间的关 系。
对于平面问题, 对于平面问题,分析平衡方程
取微元体PABC（P点附近）， （ 取微元体
3. 均匀性假定 假定整个物体是由同一材料组成的。 假定整个物体是由同一材料组成的。这样，整个物体的 所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会 随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分 析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。如果物体是由 多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体 而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为 均匀的。 4. 各向同性假定 假定物体的弹性在各方向都是相同的。 假定物体的弹性在各方向都是相同的。即物体的弹性常 数不随方向而变化。对于非晶体材料，是完全符合这一假定 的。而由木材、竹材等作成的构件，就不能当作各向同性体 来研究。至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体， 但由于晶体非常微小，并且是随机排列的，所以从统计平均 意义上讲，钢材构件的弹性基本上是各向同性的。
τ
P ΔA
ΔQ
n
σ
(法线 法线) 法线
应力分量 单位： 单位：
应力的法向分量 应力的切向分量
σ
—— 正应力 —— 剪应力
τ
与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
σ = σ (x, y, z) τ =τ (x, y, z)
(2) 一点的应力状态
通过一点P 通过一点 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： 面的应力： 面的应力 σ x ,τ xy ,τ xz y面的应力： 面的应力： 面的应力 z面的应力： 面的应力： 面的应力
一 平衡微分方程 • 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性 从弹性体内任一点取出微元体， 体内一点的应力分量与体力分量之间的关 系。
对于平面问题, 对于平面问题,分析平衡方程
取微元体PABC（P点附近）， （ 取微元体
第二章 弹性力学基础知识
y yz P
yx
dz
e e'
dx o A
zy
dy
zx
z
y y y dy y yx yx dy B y
y
35
z
y
yz
o x
z dz z z zy C yz dz zy zx yz dy z zx z dz y y yy dy yx dz yx e yx y dy
第二章 弹性力学基础知识
教学目的：了解弹性力学问题的研究方法。 教学重点：三大方程、两类平面问题的特点、 应力边界条件。 教学难点：两类平面问题的区分。
1
定义
弹性力学
--研究弹性体由于受外力、边 变和位移。
界约束或温度改变等原因而发生的应力、形
研究弹性体的力学，有材料力学、结构 力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：
x , y , z
xy , yz , zx
应 变 位 外 力
x , y , z
xy , yz , zx
u , v, w
X ,Y, Z
X ,Y , Z
27
O(z)
思考题
1. 试画出平面问题正负 y 面上正的应力和正的面 力。
2.试画出C点正的位移。
O x
x
y
z
·
C y
因此材料力学建立的是近似理论，得 出的是近似的解答。从其精度来看，材料 力学解法只能适用于杆件形状的结构。
5
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。 弹性力学是工程结构分析的重要手段。 尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大 型工程结构，须用弹力方法进行分析。
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受力后线段长度的相对变化—正应变 正交角度的变形—剪应变
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5
分析：
介质中某一点Ａ的正应变与剪应 变的定义还与ＡＢ线的取向有关
在三维空间中，介质中任意一点 的正应变有３个取值，分别记为： e11,e22,e33
介质中任意一点的剪应变有６个 取值，分别 记为： e12,e13,e21,e23,e31,e32
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10
设ｘ处质元ｔ时刻的位移为u(x,t)， 运动速度则为（考虑小形变） ｘ处质元ｔ时刻的加速度为
设均匀杆的密度为ρ，则长度为ｄｘ的小质元的运动方程为
即
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11
一维均匀弹性杆的波动方程
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12
一维均匀弹性杆的波动方程
波动方程的一般解形式为
ｆ可以是任意的连续函数。以上形式的解称为达朗伯（D’Alembert）解，即波动 方程的行波解。
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9
四、波动方程
弹性介质中，任一处质点产生一个扰动，即该处质点发生一个小位移，由于介 质的弹性性质，该处的运动会影响相邻点，扰动就会向周围传播。波动方程就是 对弹性介质中扰动激发和传播规律的数学表达。
均匀弹性杆的一维波动方程
忽略体力，一维均匀杆中质点受力运动描述
分析截面积为Ｓ的均匀弹性杆上、长度为dx的小质元受力运动情况，暂忽略 体力的作用。
16
三维均匀介质中的波动方程
由赫姆霍茨定理，任意一个矢量场ｕ都 可以表达为一个无旋度的矢量场和一个 无散度的矢量场之和，并略去体力
即有
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17
三维均匀介质中的波动方程
* 三维弹性介质中可以存在两种以不同速度传播的波，一种是以较快
的速度α传播的无旋波ｕ１，在地球内部传播的这种波通常称为Ｐ波 （Primary wave），因为它首先到达记录台站；
弹性力学基础
2-1 弹性力学简介
弹性力学进入发展阶段
而后，世界各国的一批学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发 展阶段。 �1856年，圣维南（ A.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论； �1862年，艾瑞（G.B.Airy）发表了关于弹性力学的平面理论； �1881年，赫兹（H.Hertz）建立了接触应力理论； �1898年，基尔霍夫 (G.R.Kirchoff )建立了平板理论， G.R.Kirchoff) �1930年，苏联人发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。 �另一个理论上的重要成果是建立了各种能量原理，并且提出了一系列基于 )，乐 这些能量原理的近似计算方法。许多科学家，像拉格朗日 (grange grange) )，铁木辛柯(S.P.Timoshenko )做出了贡献。 甫(A.E.H.Love A.E.H.Love) S.P.Timoshenko) �中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦， 胡海昌等在弹性力学的发展，特别 是在中国的推广应用做出了重要贡献。
2-1 弹性力学简介
3、研究的方法：有较大的区别
�相同点：
�静力学：脱离体力的平衡 �几何学：位移和应变的关系 �物理学：应力和应变的关系
2-1 弹性力学简介
�不同点： 材料力学： 对应变或应力情况作某些假定 材料力学是对构件的整个截面来建立静力学、几何学和物理学 条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假 设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。 弹性力学 : 对应变或应力情况不作假定，弹性力学是对构件的 无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分 析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以 用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它 们的适用范围。
第1章 弹性力学基础
第1章弹性力学基础第1节材料力学和弹性力学一、弹性力学的基本假设大量的工程问题都涉及到应力、应变及位移的分析计算，弹性力学（又称弹性理论）就是研究物体在外部因素（如外力、温度变化等）作用下产生的应力、应变及其位移规律的一门科学，它是固体力学的一个分支。
弹性力学的基本任务就是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。
也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力、应变状态和位移。
弹性力学所研究的对象是理想弹性体，其应力与应变之间的关系为线性关系，即符合虎克定律。
所谓理想弹性体，是指符合下述四个假定的物体，即：1. 连续性假定假定物体整个体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。
尽管物体都是由微小粒子组成的，不符合这一假定，但只要粒子的尺寸以及相邻粒子之间的距离都比物体的尺寸小得很多，则连续性假定就不会引起显著的误差。
有了这一假定，物体内的一些物理量（如应力、应变等等）才能连续，因而才能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。
2．完全弹性假定假定物体满足虎克定律，应力与应变间的比例常数称为弹性常数。
弹性常数不随应力或应变的大小和符号而变。
由材料力学已知：脆性材料在应力未超过比例极限以前，可以认为近似的完全弹性体；而韧性材料在应力未达到屈服极限以前，也可以认为是近似的完全弹性体。
这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。
3. 均匀性假定假定整个物体是由同一材料组成的。
这样，整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。
如果物体是由多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为均匀的。
4. 各向同性假定假定物体的弹性在各方向都是相同的。
第二章 地震波
2.3 弹性介质及波动方程
介质的弹性性质 (elastic)： 弹性
第二章 地震波
L
未加载
加载
卸载
2.3 弹性介质及波动方程
介质的脆性性质（brittle）
L
未加载
第二章 地震波
加载
卸载
2.3 弹性介质及波动方程
介质的塑性性质（Plastic）
L
未加载
第二章 地震波
加载
2.2 波的性质简述
波速V、视波速C和波数k
波速V取决于波动传播介质的力学 特性（密度和弹性模量等）。 观察或测量波动时往往并不沿着波 动的传播方向，这时观测到的波速 称为视波速，视波速c与真实波速v 之间有简单的换算关系C=V/sina； a为波的入射角。 波数k也是常用的描述波动的参数， 定义为2π 长度中所包含的波长λ 的个数。
Vp
(2)横波（ 横波 Transverse wave, or Shear wave) --质点振动方向与振动（能量）传播方向垂直 --传播速度为： V
卸载
卸载不能完全恢复原状， 有“永久残余变形”。
2.3 弹性介质及波动方程
应力-应变关系Stress-Strain Relation (based on experimental result)
Elastic range Linear range Plastic deformation
第二章 地震波
2.1 地震学中的基本名词和概念
思考1：震中距是哪一段？
第二章 地震波
2.1 地震学中的基本名词和概念
思考2：烈度与震级的区别
第二章 地震波
2.1 地震学中的基本名词和概念
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二、应力张量
定义Ａ截面上Ｏ点的应力矢量为：
* 定义的应力矢量是依赖于ΔＳ的外法线方向的
*σij—第１个脚标表示的是截面元ΔＳ的法线矢量方向，第２个脚标表示 作用在该面元上力的分量方向。
从介质内截取１个微小的四面体，四面体的 三个面分别与三个坐标平面平行，第四个面 是外法线单位矢量n=(cosθ1, cosθ2 ,cosθ3)的 任意平面，该平面上的应力矢量为
体力fΔx1 Δx2 Δx3的作用（ｆ是单位体积质元的体力），质元的运动方程有
三维均匀介质中的波动方程
均匀层和射线理论近似： •速度只是深度的函数，把介质模拟为一系列均匀层，层内拉梅系数梯度为零 •▽λ、▽µ随1/ω变化，高频时，拉梅系数的梯度趋于零
三维均匀介质中的波动方程
由赫姆霍茨定理，任意一个矢量场ｕ都 可以表达为一个无旋度的矢量场和一个 无散度的矢量场之和，并略去体力
第二章 弹性力学基础与地震波
•弹性力学基础 •波动方程的解
震源所激发的波传播到其他广泛区域的地面震动被地 震仪记录—地震图。这种波或震动涉及小弹性形变，是 弹性力学的研究对象。
地球介质在受到小规模、瞬间力的作用下，如地震、 爆破等，震源区外围介质表现出弹性响应，这也是我们 能记录到地震波、观测到大地震造成的地球自由振荡的 原因。
四、波动方程
弹性介质中，任一处质点产生一个扰动，即该处质点发生一个小位移，由于 介质的弹性性质，该处的运动会影响相邻点，扰动就会向周围传播。波动方程就
是对弹性介质中扰动激发和传播规律的数学表达。
均匀弹性杆的一维波动方程
忽略体力，一维均匀杆中质点受力运动描述 分析截面积为Ｓ的均匀弹性杆上、长度为dx的小质元受力运动情况，暂忽略 体力的作用。
正交角度的变形—剪应变
分析：
介质中某一点Ａ的正应变与剪应 变的定义还与ＡＢ线的取向有关 在三维空间中，介质中任意一点 的正应变有３个取值，分别记为： e11,e22,e33 介质中任意一点的剪应变有６个 取值，分别 记为： e12,e13,e21,e23,e31,e32 三维空间中，连续介质中任意一点处的应变要用９个单元值 组成的应变张量方能完全描述
设ｘ处质元ｔ时刻的位移为u(x,t)， 运动速度则为（考虑小形变）
ｘ处质元ｔ时刻的加速度为
设均匀杆的密度为ρ，则长度为ｄｘ的小质元的运动方程为
即
一维均匀弹性杆的波动方程
一维均匀弹性杆的波动方程
波动方程的一般解形式为
ｆ可以是任意的连续函数。以上形式的解称为达朗伯（D’Alembert）解，即波动 方程的行波解。
四面体处于平衡状态
三、本构方程与广义胡克定律
对线性弹性体，其应力与应变间的本构关系可以用广义Hooke定律表示为：
λ和μ在弹性力学中称为拉枚（Lamé）常数
各向同性弹性介质
* 对大量破坏性地震断层破裂现场调查研究表明，构造应力作用下，地 壳所能承受的最大剪应变不超过10-4，大多数地震是在断层应变达到10-5 ~10-4时发生的破裂。小形变时，地球介质力学性质接近线弹性体，因此 应用线弹性理论研究震源、地震波的传播是合适的。
即有
三维均匀介质中的波动方程
* 三维弹性介质中可以存在两种以不同速度传播的波，一种是以较快 的速度α 传播的无旋波ｕ１，在地球内部传播的这种波通常称为Ｐ波 （Primary wave），因为它首先到达记录台站；
* 另一种是以较慢的速度β传播的无散波ｕ２，经地球内部传播的这种波 通常称为Ｓ波（Secondary wave），因为这种波在地震记录图上通常是 第二个到达的显著地震震相。
*Ｐ波、Ｓ波是地震记录图上最为显著的两个体波震相。由于Ｐ波与Ｓ 波传播速度不同，它们可以由同一震源同时激发，但以不同的速度独立 传播。Ｐ波传播速度大约为Ｓ波的1.73倍，在地震图上Ｐ波比Ｓ波先到 达，比较容易识别。
三维均匀介质中的波动方程
Ｐ波与Ｓ波的主要差异 Ｐ波的传播速度较Ｓ波速度快，地震图上总是先记录到Ｐ波 这两种波的偏振（质点运动）方向相互正交。Ｐ波的偏振方向 与波的传播方向一致；Ｓ波的偏振方向与波的传播方向垂直
对在一年或数年的短时间尺度内变化的作用，地球介 质的力学响应可以用弹性响应来近似。地震波在弹性介 质中的传播过程是满足波动方程。
一、应变与位移的关系
连续介质中相邻的Ａ、Ｂ两点的位移差为
小形变条件下
形变张量
旋转张量
分析： 连续介质中位 移场的空间变 化含介质元的 形变和转动两 部分
受力后线段长度的相对变化—正应变
三维均匀介质中的波动方程
Ｐ波与Ｓ波的主要差异 三分向地震仪记录在通常情况下，Ｐ波的垂直分量相对较强， Ｓ波的水平分量相对较强。Ｓ波的低频成份较Ｐ波丰富。
三维均匀介质中的波动方程
Ｐ波与Ｓ波的主要差异 天然地震的震源破裂通常以剪切破裂和剪切错动为主，震 源向外辐射的Ｓ波的能量较Ｐ波的强。
Ｐ波通过时，质元无转动运动，但有体积变化，Ｐ波是一 种无旋波。Ｓ波通过时，质元有转动，但无体积变化，Ｓ波 是一种无散的等容波。 用散度算子Δ·同时作用于波动方程式的两边（设在无体力作用区），则 有 体应变以Ｐ波的速度传播
在ｔ２时刻ｘ２处的扰动与ｔ１时刻 ｘ１处的扰动是完全相等的，即扰动 以速度ｃ向正ｘ方向传播了一段距 离Ｘ，由ｘ１传播到了ｘ２。
同样可以证明，波动方程的另一个 一般解表达的也是扰动的传播，只是传播的方向为负中的波动方程
分析如图所示三维介质中的小质元受面力作用情况
用旋度算子Δ×同时作用于波动方程式两边，则有 旋度以Ｓ波的速度传播
三维均匀介质中的波动方程 Ｐ波、Ｓ波势函数表达的波动方程
位移场ｕ的赫姆霍茨势表达式
Φ 、ψ —Ｐ波和Ｓ波的势函数
由势函数求位移场