旋转法构造全等三角形ppt课件
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《全等三角形》ppt课件人教版初中数学3
（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
二.角的平分线：
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, ∴ △EBC≌△EBD (AAS)
（可简写成“ASA”) 如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且
平分DE. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB,
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与
“对角”的不同含义；
如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
D AC=DF
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
第12章全等三角形复习 课
全章知识结构图
三角形全等 （全等的判定）
S.S.S. S.A.S. A.S.A. A.A.S. H.L.（RtΔ）
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
二.角的平分线：
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, ∴ △EBC≌△EBD (AAS)
（可简写成“ASA”) 如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且
平分DE. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB,
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与
“对角”的不同含义；
如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
D AC=DF
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
第12章全等三角形复习 课
全章知识结构图
三角形全等 （全等的判定）
S.S.S. S.A.S. A.S.A. A.A.S. H.L.（RtΔ）
12-1 全等三角形 课件(共26张PPT)
时，对应的顶点放在对应的位置上.
知识梳理
例题 1：如图所示，△ ≌△ ，指出所有的对应边和对应角.
AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；
∠ABC与∠DCB，∠A与∠D，∠ACB与∠DBC是对应角。
【解答】（1）已知△ABC≌△DCB，故公共边BC和CB
是对应边，它们所对的∠A和∠D是对应角，最短边
【结论】本题考查了全等三角形的性质及
比较角的大小，解题的关键是找到两全等
三角形的对应角、对应边.
80°
.
知识梳理
例题4：如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，
如果∠BAF = 60°，那么∠DAE= 15°
角
例题5：如图，△ ABC ≌△ ADE，则AB = AD ，∠E =
知识梳理
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合
的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。例如，图中的△ 和△
全等，记作△ ≌ ，其中点和点，点和点，点
和点是对应顶点；和，和，和是对应边；∠和
∠，∠和∠，∠和∠是对应角.
∠BAE = 130°，∠BAD = 50°，则∠BAC=
。
80°
∠C
，若
知识梳理
例题6：如图，已知△ ABC ≌△ EBF，AB ⊥ CE，ED ⊥ AC，∠A = 24°，
则：（1）AB =
EB ，BC = BF ，∠C = 66 °，∠EFB = 66 °；
（2）若AB = 5cm，BC = 3cm，则AF = 2cm 。
AB和DC是对应边，它们所对的∠ACB和∠DBC是对应
角，余下的一对边和一对角分别是对应边和对应角.
（2）根据书写规范可知点A和点D，点B和点C，点C
知识梳理
例题 1：如图所示，△ ≌△ ，指出所有的对应边和对应角.
AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；
∠ABC与∠DCB，∠A与∠D，∠ACB与∠DBC是对应角。
【解答】（1）已知△ABC≌△DCB，故公共边BC和CB
是对应边，它们所对的∠A和∠D是对应角，最短边
【结论】本题考查了全等三角形的性质及
比较角的大小，解题的关键是找到两全等
三角形的对应角、对应边.
80°
.
知识梳理
例题4：如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，
如果∠BAF = 60°，那么∠DAE= 15°
角
例题5：如图，△ ABC ≌△ ADE，则AB = AD ，∠E =
知识梳理
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合
的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。例如，图中的△ 和△
全等，记作△ ≌ ，其中点和点，点和点，点
和点是对应顶点；和，和，和是对应边；∠和
∠，∠和∠，∠和∠是对应角.
∠BAE = 130°，∠BAD = 50°，则∠BAC=
。
80°
∠C
，若
知识梳理
例题6：如图，已知△ ABC ≌△ EBF，AB ⊥ CE，ED ⊥ AC，∠A = 24°，
则：（1）AB =
EB ，BC = BF ，∠C = 66 °，∠EFB = 66 °；
（2）若AB = 5cm，BC = 3cm，则AF = 2cm 。
AB和DC是对应边，它们所对的∠ACB和∠DBC是对应
角，余下的一对边和一对角分别是对应边和对应角.
（2）根据书写规范可知点A和点D，点B和点C，点C
构造全等三角形的六种常用方法课件
构造方法简介
01
02
03
04
尺规作图法
利用尺规作图工具，通过已知 条件构造全等三角形。
翻折法
将已知三角形沿某条直线翻折， 得到与原三角形全等的三角形。
平移法
将已知三角形沿某方向平移一 定距离，得到与原三角形全等
的三角形。
旋转法
将已知三角形绕某点旋转一定 角度，得到与原三角形全等的
三角形。
02 方法一：SSS全 等法
感谢观看
拓展延伸：其他构造方法及应用场景
构造中位线
利用三角形中位线性质构 造全等三角形，常用于证 明线段相等或倍长中线等 问题。
构造角平分线
利用角平分线性质构造全 等三角形，常用于证明角 相等或线段成比例等问题。
构造垂直平分线
利用垂直平分线性质构造 全等三角形，常用于证明 线段相等或点共圆等问题。
THANKS
判定条件
两个三角形中，两个角及这两个角的夹边分别相等，则这两个三角形全等。
构造步骤这两个角的夹边相等，最后根据ASA判定条件证明两个三角形全等。
示例
在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD。根据ASA全等法，可以判定△ABC≌△ADE。
应用场景分析
1 2 3
解决角度和边长问题 当题目中给出两个角和它们的夹边相等时，可以 利用ASA全等法证明两个三角形全等，从而解决 与角度和边长相关的问题。
构造全等三角形 在几何证明题中，有时需要构造全等三角形以证 明某些线段或角度相等。ASA全等法是构造全等 三角形的常用方法之一。
辅助线策略 当遇到复杂的几何问题时，可以通过作辅助线构 造全等三角形，将问题转化为已知的全等三角形 问题，从而简化解题过程。
1三角形全等的判定(第4课时)PPT课件(华师大版)
当堂检测
1．为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都
用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所
有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法根据
_______．
SSS
根据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三
角形全等的判定理由：SSS
当堂检测
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
＝，
＝ ,
＝.
∴△ABC≌△DFC(SSS).
讲授新课
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，
AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
解:全等.
A
B
E
D
C
F
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
在△ABD和△CDB中,
＝(已知)，
= (已知),
＝(公共边).
∴△ABD≌△CDB（SSS）,
∴∠A=∠C.（全等三角形的对应角相等）.
②证明:∵ △ABD≌△CDB（已证） ,
∴∠ABD=∠CDB， ∠ADB=∠CBD .
（全等三角形的对应角相等）
旋转型的全等三角形ppt课件
是△BCD的中线，求证：CM= CM⊥AE
1 2
AE且
变式二：已知△ACD和△CBE都是等边三 角形，AB和DE有什么关系吗？
旋转前后的三角形位置有什么特点？特征？
全等的三角形有什么特点？
探究的两条线段有什么关系？你还有什
位置
大小
么猜想？
两个呢 有兴趣的同学利用几何 画板进一步探索
如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、 CD上的点，且∠EAF= 45° 求证：BE+DF=EF
A EF
D
C
B
猜想DE ⊥AB，DE=AB.请给出证明
延长DE交AB于F
证明：延长DE交AB于F
在DCE和ACB中
DC=AC（已知）
A EF
ECB ACD已知
D
EC=CB(已知)
C
B
DCE ACB(SAS ) DE AB(全等三角形对应边相等 )
A D(全等三角形对应角相等 )
在RtACB中，ACB 90 A B 90
D B 90 (等量代换)
在BDF中，
B D BFD 180 D
BFD 90
即DE AB
A EF
C
B
探究二
A
F E
D
C
B
图中有特殊的直角三角形吗？ 连接AB、DE
F G
H
请问：AB、DE有什么关系？
变式一：DE和AB又有怎样的关系呢？ F
变式二：已知△ACD和△CBE都是等边三 角形，AB和DE有什么关系吗？
专题探究
旋转型的全等三角形
探究一 E
D
C
(1)已知线段DC ⊥ EC，将∠DCE绕点C 顺时针旋转90°得到∠ACB. 请作出∠ACB
等边三角形的旋转全等课件
AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与 AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小 值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
谢谢！
大小不等的等边 三角形擦出 的火花
如图，△ABC和△CEF是两个大小不 等的等边三角形，有一个公共顶点C 且点F在CB的延长线上，连接AF和 BE．线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论.
按照题干要求摆放你手中 的两个三角形纸片，并连 接相应的线段，标注字母
分析题意，说说你的方法 和应该注意的问题
书写过程
如图，△ABC和△CEF是两个大小不 等的等边三角形，有一个公共顶点C 且点F在CB的延长线上，连接AF和 BE．线段AF和BE有怎样的大小关系? 请证明你的结论.
1.如果删除题干中的一些限制条件并撤去例图，图形会发生变 化吗？利用你手中的三角形纸片摆一摆. 2.每得到一个不同的构图，立即画出图形并标注相应的字母. 你得到了几个新图？
A
A
F B
cF
B
cF
A
B c F
B A
c F
B
c
A
F
在不E 同的构图B 中E，AF与BE的E 关系还成 立吗？请c 任选两个F 图形进行 E
A
B A
A
BA
A B
c
EF
A
cE
F
cE
B
B
B
E
E
E
你能把以下的题目对应到哪个图形？
1.（2011•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与 AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小 值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
谢谢！
大小不等的等边 三角形擦出 的火花
如图，△ABC和△CEF是两个大小不 等的等边三角形，有一个公共顶点C 且点F在CB的延长线上，连接AF和 BE．线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论.
按照题干要求摆放你手中 的两个三角形纸片，并连 接相应的线段，标注字母
分析题意，说说你的方法 和应该注意的问题
书写过程
如图，△ABC和△CEF是两个大小不 等的等边三角形，有一个公共顶点C 且点F在CB的延长线上，连接AF和 BE．线段AF和BE有怎样的大小关系? 请证明你的结论.
1.如果删除题干中的一些限制条件并撤去例图，图形会发生变 化吗？利用你手中的三角形纸片摆一摆. 2.每得到一个不同的构图，立即画出图形并标注相应的字母. 你得到了几个新图？
A
A
F B
cF
B
cF
A
B c F
B A
c F
B
c
A
F
在不E 同的构图B 中E，AF与BE的E 关系还成 立吗？请c 任选两个F 图形进行 E
A
B A
A
BA
A B
c
EF
A
cE
F
cE
B
B
B
E
E
E
你能把以下的题目对应到哪个图形？
1.（2011•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
全等三角形的判定PPT课件共34张
24
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
三角形全等证明的解题思路课件PPT
∴∠MOP＝∠NOP
OP＝OP
O
BN
∴△AOP≌△BOP(AAS)
∴AO ＝ BO
典例精解
类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
如图,已知四边形ABCD中,AB＝CD且AB∥CD,连接BD,在BD上截取BE＝
DF,连接AE,CF. 求证:AE＝CF
A
B 证明：
AB=CD
F D
E
∵AB∥CD
03
的短文来进行群读,训练自己一次扫视3~5个字或词。
经常进行这样训练,快速阅读速度就能大大提高。
变式题
以跳读的方式翻阅全书
优翼微课
当拿到一本书时,我们不要一页一页地去翻,要先看书的
初中数学知识点精讲课程 标题和副标题、作者和出版者、编者的话和关于作者的说
明;然后浏览目录,阅读内容提要、前言或后记;最后,以跳读
CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.
A
求证：EF＝CF－BE； F
B
P
C
E
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜
CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.
A
求证：EF＝CF－BE； F
证明：∵∠BAC＝90°
∴∠BAE＋∠CAF＝90° ∵BE⊥AE ∴∠BAE＋∠ABE＝90° ∴∠CAF＝∠ABE ∵CF⊥AP，BE⊥AE ∴∠AEB＝∠CFA
B
P
C
在△ABE和△CAF中
E ∴△ABE≌△CAF
∠ABE＝∠CAF
∴CF＝AE，AF＝BE
∠AEB＝∠CFA
∴EF＝AE－AF＝CF－BE
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7
练习4：如图，AD为三角形ABC 的中线，AE=EF ，求证:BF=AC
8
练习
如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作 为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写 出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知： EG∥AF 求证：
A
E
B
G
D
C F
高
9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
构造辅助线的方法：
倍长中线法：题中条件若有中线，可延长 一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集 中在一个三角形内。
3
▪ 例1、如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD
4
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知）
A
∴BD=CD （中线定义）
5
▪ 2，练习；如图1，AD是△ABC的中线，AB=3,AC=5，求中 线AD的取值范围。
6
▪ 例2、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的 平分线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF
分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D 将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等）
D
B
C
AD=ED （辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD （SAS）
E
∴BE=CA（全等三角形对应边相等） 图5 1
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大
于第三边）
∴AB+AC>2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
旋转法构造全等三角形
1
知识要点：
▪ 判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、 SSS和HL
▪ 如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的 条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所 缺的条件然后再证明。
▪ 一些较难的证明题要添加适当的辅助线构造合 适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进 行等量代换，就可以化难为易了。
练习4：如图，AD为三角形ABC 的中线，AE=EF ，求证:BF=AC
8
练习
如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作 为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写 出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知： EG∥AF 求证：
A
E
B
G
D
C F
高
9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
构造辅助线的方法：
倍长中线法：题中条件若有中线，可延长 一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集 中在一个三角形内。
3
▪ 例1、如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD
4
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知）
A
∴BD=CD （中线定义）
5
▪ 2，练习；如图1，AD是△ABC的中线，AB=3,AC=5，求中 线AD的取值范围。
6
▪ 例2、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的 平分线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF
分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D 将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等）
D
B
C
AD=ED （辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD （SAS）
E
∴BE=CA（全等三角形对应边相等） 图5 1
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大
于第三边）
∴AB+AC>2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
旋转法构造全等三角形
1
知识要点：
▪ 判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、 SSS和HL
▪ 如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的 条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所 缺的条件然后再证明。
▪ 一些较难的证明题要添加适当的辅助线构造合 适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进 行等量代换，就可以化难为易了。