八年级数学 全等三角形复习课件(高效) ppt
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人教版 八年级数学上册第十二章：全等三角形复习课件(共15张PPT)
O
\ PD = PE
用途：证线段相等
E
角平分线性质的逆定理 到一个角的两边 的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
∵ PD OA PE OB
PD = PE
\ OP 是 AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线
A C
P B
一、已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件 求证:ΔABC≌ ΔDEF (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ＿A＿B=＿D＿E ＿； (2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件∠＿A＿CB＿= ＿∠D；FE
E
O
B
C
6. 已知：BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E， BD、CE交于点F，CF=BF， 求证：点F在∠A的平分线上。
CM D
F
A
N EB
7、如图所示，DC=EC，AB∥CD，∠D=90°， AE⊥BC于E，求证：∠ACB=∠BAC．
8. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAC， CE⊥AB于E，AD+AB=2AE， 求证：∠B与∠ADC互补。
2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上， B
D
CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若 O
A
∠B=20°,CD=5cm，则 ∠C= 20°,BE= 5.说cm说理由.
E C 图（2）
3.如图（3），AC与BD相交于o,若
A
D
OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm3c，m 则
CD=
友情. 说提说示理：由公. 共边，公共角，B
(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件∠＿A＿=＿∠＿＿D ；
AD
B E CF
(4)若∠B=∠DEF=90°BC=EF,要以“HL” 为依据， 还缺条件＿A＿C=＿D＿F ＿
人教版数学八上第十一章三角形复习课件共34张PPT
2
。
（3，3，1；2，2，3）
1、如图，求△ABC各内角的度数。 A
解：3x + 2x + x = 180
35xx
6x=180
X=30
23xx
B
xx C
∴三角形各内角的度数分别为：30°，60°，90°
2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5， 求解这：三设个三内个角内的角度分数别。为x，3x，5x
B A
小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能
直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至
D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，
使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，
这个长度就等于A，B两点的距离。请你说
明理由。
解： AC=DC
∠ACB=∠DCE
A
B
BC=EC
C
△ACB≌△DCE(SAS)
E
D
AB=DE
则x + 3x + 5x = 180 x=20
∴三角形三个内角分别为：20°，60°，100°
题型考查
1.符合条件∠A+∠B=62°的三角形是( C )
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
2.在下列长度的四根木棒中，能与4㎝，9㎝ 两根木棒围成三角形的是( C )
A、4㎝ B、5㎝ C、9㎝ D、14㎝ 3.如图，在△ABC中，∠A=70° A
点，∠1=∠2，AE=DE，
试求AB=DC。
AD
12
BEC
简解：∵E是BC的中点， ∴BE=EC。又∴ ∠1=∠2，AE=DE， △ABE≌△DCE(SAS)，∴AB=DC 。
3.如图，已知BE⊥AD， CF⊥AD，且BE=CF，请你 判断AD是△ABC的中线还是
三角形全等的判定(第四课时)教学课件(共19张PPT)初中数学人教版八年级上册
【总结】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
A
几何语言： 由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的
思路吗？在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
B
C
AB = A′B′，
A′
BC = B′C′，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．
谢谢观看
∴ Rt ABE≌Rt BCDHL .
练习 5 如图，点 B、C、E、F 在同一直线上， BE CF，AC BC 于点 C， DF EF 于点 F， AB DE ， 求证： AB∥DE .
证明：∵ AC BC，DF EF ，
∴ ACB DFE 90 ，
∵ BE CF ，∴ BE CE CF CE ，
证明： DE AB ， DF AC ，
BED CFD 90，
D 是 BC 上的中点，BD CD ，
在
Rt△BED
和
Rt△CFD
中，
BD DE
CD DF
Rt△BED≌Rt△CFD(HL) ，B C .
斜边、直角边 （HL）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等（HL）
SSS、AAS、ASA、SAS适用于一般三角 形； HL只适用于直角三角形.
D A
C B
已知
一般三 角形
三边 两边一角
两角一边
方法 SSS
SAS
ASA AAS
直角三
两边
HL SAS
角形
一边一角
ASA AAS
特别说明
其中角为两边的夹角 对于两个三角形只需有两个角和一边
对应相等则其全等 两边可以为斜边和直角边，或两直角边
全等三角形单元复习(一线三等角模型)课件 (共18张PPT)2023-2024学年人教版八年级上学期
CF⊥AP于点F.
（1）求证:CF=BE+EF；
（2）连接BF，BE=3,CF=9,
求∆BFE的面积.
感谢聆听
S∆BMC:S∆ABO.
D
图2
C
课堂小结
分层作业
必做题：1、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、
F分别在AB、BC、AC边上，BE=CF，且∠B=∠DEF，
求证：DB=EC.
选做题：2.如图，在∆ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
P在BC靠近B处,连接AP，线段BE⊥AP于点E，线段
当AB=BC时,求证:∆ABD≌∆BCE .
A
C
D
B
E
第3关
第2关
第1关
第二关
变式1.如图，D、A、E三点都在直线m上，若
∠1=∠2=∠3，且BA=CA，求证：DE=BD+CE.
第二关
变式2.如图，在∆ABC中，∠B=∠C，BE=CF，
且∠AEF=∠B，求证：AC=EC.
第3关
第2关
第1关
第三关
全等三角形 AAS定理
一线三等角模型
学习目标
1.经历观察、分析、归纳的学习过程，归纳整理出
“一线三等角”图形的基本特征；
2.能在不同背景中提取基本模型，并运用其解决问题；
3.在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的
重要性.
创设情境，探究1.如图，AD⊥DE，CE⊥ED，∠ABC=90°，
探究2.如图，CA⊥BP，DB⊥BP，
∠DPC=90°，且CP=DP，AC=4，
BD=3，求AB的长.
明晰概念，归纳模型
应用模型，解决问题
（1）求证:CF=BE+EF；
（2）连接BF，BE=3,CF=9,
求∆BFE的面积.
感谢聆听
S∆BMC:S∆ABO.
D
图2
C
课堂小结
分层作业
必做题：1、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、
F分别在AB、BC、AC边上，BE=CF，且∠B=∠DEF，
求证：DB=EC.
选做题：2.如图，在∆ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
P在BC靠近B处,连接AP，线段BE⊥AP于点E，线段
当AB=BC时,求证:∆ABD≌∆BCE .
A
C
D
B
E
第3关
第2关
第1关
第二关
变式1.如图，D、A、E三点都在直线m上，若
∠1=∠2=∠3，且BA=CA，求证：DE=BD+CE.
第二关
变式2.如图，在∆ABC中，∠B=∠C，BE=CF，
且∠AEF=∠B，求证：AC=EC.
第3关
第2关
第1关
第三关
全等三角形 AAS定理
一线三等角模型
学习目标
1.经历观察、分析、归纳的学习过程，归纳整理出
“一线三等角”图形的基本特征；
2.能在不同背景中提取基本模型，并运用其解决问题；
3.在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的
重要性.
创设情境，探究1.如图，AD⊥DE，CE⊥ED，∠ABC=90°，
探究2.如图，CA⊥BP，DB⊥BP，
∠DPC=90°，且CP=DP，AC=4，
BD=3，求AB的长.
明晰概念，归纳模型
应用模型，解决问题
完整版三角形全等的判定ppt课件
12.5 三角形全等的判定
初二（5、6）班
1
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
40
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
41
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
(4) 两角一边 ?
27
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
28
4.角角边公理(AAS)：
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
32
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
初二（5、6）班
1
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
40
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
41
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
(4) 两角一边 ?
27
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
28
4.角角边公理(AAS)：
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
32
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
人教版初中八年级上册数学-期末复习 第12章全等三角形 课件(共48张PPT)
的依据是_H__L_.
第3题
4．如图，AO＝BO，下列条件不能判定△AOD≌△BOC 的是( B )
A．OC＝OD C． ∠A＝∠B
第4题 B．AD＝BC D．∠C＝∠D
【考点 3】角平分线的性质和判定 5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，AB＝6，CD
＝2，则点 D 到 AB 的距离是_2_，△ABD 的面积是_6_.
用 HL 证 Rt△ABC≌Rt△DEC. 得 ∠A＝∠D， 从而 AB∥DE.
10．如图，在△ABC 和△DEF 中，下面有四个条件，请你在其中 选 3 个作为题设，余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加 以证明. ① AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE ＝CF.
题设：①③④；结论：② 证明提示：BC＝BE＋EC＝CF＋EC＝EF. 用 SAS 证明△ABC≌△DEF，从而 AC＝DF.
证明：(1)如图，连接 AF， ∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE， ∵∠ACB＝∠AEF＝90°，AF＝AF， ∴Rt△ACF≌Rt△AEF， ∴CF＝EF.∴BF＋EF＝BF＋CF＝BC， ∴BF＋EF＝DE；
(2)如图，DE＝BF－EF，理由是： 连接 AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE，BC＝DE， ∵∠E＝∠ACF＝90°，AF＝AF， ∴Rt△ACF≌Rt△AEF，∴CF＝EF， ∴DE＝BC＝BF－FC＝BF－EF，即 DE＝BF－EF.
24．已知 Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB＝∠AED＝90°. (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点 E 落在 AB 上，DE 的延长线交 BC 于点 F.求证：BE＋EF＝DE； (2)改变△ADE 的位置，使 DE 交 BC 的延长线于点 F(如图②)， 写出此时 BF、EF 与 DE 之间的等量关系，并说明理由．
第3题
4．如图，AO＝BO，下列条件不能判定△AOD≌△BOC 的是( B )
A．OC＝OD C． ∠A＝∠B
第4题 B．AD＝BC D．∠C＝∠D
【考点 3】角平分线的性质和判定 5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，AB＝6，CD
＝2，则点 D 到 AB 的距离是_2_，△ABD 的面积是_6_.
用 HL 证 Rt△ABC≌Rt△DEC. 得 ∠A＝∠D， 从而 AB∥DE.
10．如图，在△ABC 和△DEF 中，下面有四个条件，请你在其中 选 3 个作为题设，余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加 以证明. ① AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE ＝CF.
题设：①③④；结论：② 证明提示：BC＝BE＋EC＝CF＋EC＝EF. 用 SAS 证明△ABC≌△DEF，从而 AC＝DF.
证明：(1)如图，连接 AF， ∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE， ∵∠ACB＝∠AEF＝90°，AF＝AF， ∴Rt△ACF≌Rt△AEF， ∴CF＝EF.∴BF＋EF＝BF＋CF＝BC， ∴BF＋EF＝DE；
(2)如图，DE＝BF－EF，理由是： 连接 AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE，BC＝DE， ∵∠E＝∠ACF＝90°，AF＝AF， ∴Rt△ACF≌Rt△AEF，∴CF＝EF， ∴DE＝BC＝BF－FC＝BF－EF，即 DE＝BF－EF.
24．已知 Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB＝∠AED＝90°. (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点 E 落在 AB 上，DE 的延长线交 BC 于点 F.求证：BE＋EF＝DE； (2)改变△ADE 的位置，使 DE 交 BC 的延长线于点 F(如图②)， 写出此时 BF、EF 与 DE 之间的等量关系，并说明理由．
人教版数学八年级上册第12章《全等三角形》复习课件(21张PPT)
《数学》( 北师大.七年级 下册 )
全等三角形复习
一、全等三角形概念：
知识回顾
能够
的三角形是全等三角形.
二、全等三角形性质：
全等三角形对应边
.全等三角形对应角
.
3、全等三角形的识别：
（ 1）一般三角形全等的识别：SSS，SAS，ASA，AAS
（2）直角三角形全等的识别：除以上方法外,还有HL
注意：1、“分别对应相等”是关键 2、两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三
(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件＿∠＿A＿＿= ∠＿；D
(4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件＿＿AB＿=D＿E、＿A；C=DF
AD
B E CF
(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL” 为依据， 还缺条件＿A＿C＿=D＿F＿
= =
二小试牛刀
1. 如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你 再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条 件是 .
能够
的三角形是全等三角形.
三夹、边利 的用另全一②等角三（分角AS形A析证）明线要段（说角）明相等 两个三角形全等，已有什么条件，还缺什
么条件。 例2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿(
例2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿(
3. 已知：如图， △ABC和△CDB 中，AB=DC,AC=DB 求证： ∠ABD= ∠ DCA
B
A
D
O C
证明两个角相等的方法有哪些？
四、综合应用
如图1，已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE
全等三角形复习
一、全等三角形概念：
知识回顾
能够
的三角形是全等三角形.
二、全等三角形性质：
全等三角形对应边
.全等三角形对应角
.
3、全等三角形的识别：
（ 1）一般三角形全等的识别：SSS，SAS，ASA，AAS
（2）直角三角形全等的识别：除以上方法外,还有HL
注意：1、“分别对应相等”是关键 2、两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三
(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件＿∠＿A＿＿= ∠＿；D
(4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件＿＿AB＿=D＿E、＿A；C=DF
AD
B E CF
(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL” 为依据， 还缺条件＿A＿C＿=D＿F＿
= =
二小试牛刀
1. 如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你 再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条 件是 .
能够
的三角形是全等三角形.
三夹、边利 的用另全一②等角三（分角AS形A析证）明线要段（说角）明相等 两个三角形全等，已有什么条件，还缺什
么条件。 例2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿(
例2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿(
3. 已知：如图， △ABC和△CDB 中，AB=DC,AC=DB 求证： ∠ABD= ∠ DCA
B
A
D
O C
证明两个角相等的方法有哪些？
四、综合应用
如图1，已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE
初二数学《全等三角形完整复习》PPT课件精选全文
AC=EB=3 AB-EB<AE<AB+EB
5-3<AE<5+3
2<AE<8
E
2<1/2AE<8
1<AD<4
15、如图，在⊿ABC中,AC=BC，∠ACB=90°.AD平分∠BAC，
BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足，则结论：①AD=BF; ②
CF=CD; ③AC+CD=AB; ④BE=CF; ⑤BF=2BE,其中正确结论的个
三角形全等
完整复习
知识点 三角形全等的证题思路：
找夹角 SAS 已知两边找直角 HL
找另一边 SSS
边为角的对边 找任一角 AAS 已知一边一角边为角的邻边找找找夹夹边角角的的的对另另角一一边角AASASASAS
已知两角找找夹任边一边ASAAAS
基本 图形 演变
A
C
D
B
D A
A
E
D
A
E
D
B
A D
）
A、 1
B、2
C、3
D、4
A
E B
H
C D
⊿AEH≌⊿CEB AE=CE=4 CE-EH=4-3=1
6、如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE, ∠1=∠2=∠3,则DE的
C
长等于（
）
A、DC B、BC
C、AB
D 、AE+AC
D F
B
A 1
E ∠1=∠2=∠3
∠BCA=∠DCE
∠D=180°-∠DFA-∠1
A
C
B
相邻的两个内角的和。
A
O
52°
ACO BOB B 52 30 82
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B A ND P M F
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E
C
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平 分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
求证： A
E B G D C F
高
拓展题
8.已知AB=AE,AC=AD,AC⊥AD,AB⊥AE; (1)观察图中有没有全等三角形? (2)怎样变换△ABC和△AED中的一个位置,可使它们重合? (3)观察△ABC和△AED中对应边有怎样的位置关系? (4)试证ED⊥BC
E A
2 1
C
B
D
拓展题
9.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS) （1）：已知两边---- 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角--已知一边和它的对角 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL) 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 练习
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
知识回顾：
包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：解题中常 用的 4种 方法1.定义（重合）法； 2.SSS； 3.SAS； 不包括其它形 状的三角形 4.ASA； 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件： HL.
三角形全等的判定方法：
B 4 （第18题） C F
12.如图，在R△ABC中，∠ACB=450， ∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点， AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的 延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.
13.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 • 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
求证:BC∥EF
F E D
A B C
拓展题
10.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 （割）
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等
（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（可简写成“AAS”)
斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等（可简写成“HL”)
A
B
2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补）
11.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上， 连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F， 给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②， DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤ AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知， 另外两个作为结论，构成正确的命题。请 用序号写出两个正确的命题：（书写形式： A 如果……那么……） D 1 2 （ 1） ； E （ 2） ； 3
D
变式：以上条件不变，将
在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
C 3 A E 4 D 1 2 B
全等三角形（复习）
一、全等三角形
1.什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。 2：全等三角形有哪些性质？
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
等三角形？请任选一对给予证明。 E F C B
答：
D
△ABC≌△DEF ∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌△DEF （SAS）
证明： ∵ AB∥DE
A
练习
7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 （只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知： EG∥AF
(3):已知两角---
1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选 择恰当的判定方法 2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方 法之一，证明时 ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三 角形中。 ②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺 什么条件。 ③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角 的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对 应角 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。
解：AC=AD
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4
EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
练习
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全
A G F D H C E
B
14.已知：如图21，AD∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， DB=DC， 求证：EB=FC
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
二、角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
1.角平分线的性质：
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
G M
H
∴点F在∠DAE的平分线上
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且 点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD
E
证明： ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA
B
A
C
三.练习：
1.如图：在△ABC中，∠C =900，AD平 分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。 c
D
A
E
B
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P 在BM上,
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E
C
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平 分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
求证： A
E B G D C F
高
拓展题
8.已知AB=AE,AC=AD,AC⊥AD,AB⊥AE; (1)观察图中有没有全等三角形? (2)怎样变换△ABC和△AED中的一个位置,可使它们重合? (3)观察△ABC和△AED中对应边有怎样的位置关系? (4)试证ED⊥BC
E A
2 1
C
B
D
拓展题
9.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS) （1）：已知两边---- 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角--已知一边和它的对角 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL) 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 练习
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
知识回顾：
包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：解题中常 用的 4种 方法1.定义（重合）法； 2.SSS； 3.SAS； 不包括其它形 状的三角形 4.ASA； 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件： HL.
三角形全等的判定方法：
B 4 （第18题） C F
12.如图，在R△ABC中，∠ACB=450， ∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点， AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的 延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.
13.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 • 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
求证:BC∥EF
F E D
A B C
拓展题
10.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 （割）
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等
（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（可简写成“AAS”)
斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等（可简写成“HL”)
A
B
2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补）
11.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上， 连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F， 给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②， DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤ AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知， 另外两个作为结论，构成正确的命题。请 用序号写出两个正确的命题：（书写形式： A 如果……那么……） D 1 2 （ 1） ； E （ 2） ； 3
D
变式：以上条件不变，将
在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
C 3 A E 4 D 1 2 B
全等三角形（复习）
一、全等三角形
1.什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。 2：全等三角形有哪些性质？
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
等三角形？请任选一对给予证明。 E F C B
答：
D
△ABC≌△DEF ∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌△DEF （SAS）
证明： ∵ AB∥DE
A
练习
7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 （只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知： EG∥AF
(3):已知两角---
1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选 择恰当的判定方法 2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方 法之一，证明时 ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三 角形中。 ②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺 什么条件。 ③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角 的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对 应角 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。
解：AC=AD
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4
EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
练习
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全
A G F D H C E
B
14.已知：如图21，AD∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， DB=DC， 求证：EB=FC
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
二、角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
1.角平分线的性质：
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
G M
H
∴点F在∠DAE的平分线上
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且 点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD
E
证明： ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA
B
A
C
三.练习：
1.如图：在△ABC中，∠C =900，AD平 分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。 c
D
A
E
B
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P 在BM上,