数学模型与数学建模-第4章-量纲分析法
量纲分析法PPT课件
堪德
摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1,0,0)T y2 ( 0, 2, 0, 0,1,0)T y3 ( 1, 3, 1, 0,0,1)T
m
q ysj
s
j
j 1
而且存在一个未定的函数关系：
l
假设：1、不考虑空气阻力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
m
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
数学模型与数学建模 第4章 量纲分析法
K m
K
原方程变形为
dV AV F0 X dT
优点：
1. 减少了参数的个数； 2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系. 例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的 一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律 m1m 2 f K 2 r 中的引力常数K的量纲为
量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变
模型中的各物理量： f , l , h, v , , , g 原型中的各物理量： f , l , h, v, , , g 有
l , v , lv ) f l v ( h lg 2 2
fl v
当无量纲量
l h
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量
纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.
2. 无量纲化方法减少参数个数.
例4.1.2 非线性震荡运动方程
2
dx m Kx C F 2 dt dt
d x
或
基本数学模型-量纲分析
本解系为 ys ( ys1, ys2 , , ysm )T , s 1, 2, , m r
则 m
s q j ysj , s 1,
j 1
,mr
为
m
r个相互独
Edgar Buckingham （1867－1940）
立的无量纲量，且 F (1, 2, , mr ) 0 美国物理学家
4
单摆运动
,qm) 0 与原定律等
价，则称i1该定律与单位选取无关
3
Buckingham 定理
• 设有 m 个物理量 q1, q2, , qm，
n
[qi ]
X aij i
,
j
1,
, m,
i 1
f (q1, q2, , qm ) 0 是与量纲单位选取无关
的物理定律。量纲矩阵 A (aij )nm 的 秩为 r ，齐次线性方程组Ay 0 的基
• 量纲分析：利用量纲齐次原则寻求物理量 Joseph Fourier
之间的关系
（1768－1830）
法国数学家、物理学家
1
国际单位制
• 基本量纲与基本单位
长度 质量 时间 温度 电流 物质的量 发光强度
LM
T
I
N
J
米 千克 秒 开尔文 安培 摩尔 坎德拉
• 导出量纲
• 加速度 [a] LT 2 力 [ f ] LMT 2
• 一小球系在线的一端，稍偏离平衡位 置后小球在重力作用下做往复摆动， 忽略阻力，求摆动周期的表达式
• 物理量及其关系
• 质量 m 、线长 l 、重力加速度 g 、周期 t
t mx1l x2 g x3 m y1l y2 g ty3 y4
L y2 y3 0 M y1 0
第4章 量纲分析和相似原理
dim q1 M 1 L 1T
1
dim q 2 M 2 L 2 T 2
dim q 3 M 3 L 3 T 3
③ 基本量依次与其余物理量组成 项
a b c 1 q1 q2 q3 q4
1 1 1
2 q q q q5
a2 1 b2 2 c2 3
……
a n 3 q1
4.2量纲分析法
量纲分析法的依据：物理方程的量纲一致性。
① ② ③ ④
充分了解流体流动的物理过程； 找出这一过程当中的影响因素； 假定一个未知的函数关系； 运用物理方程量纲一致性原则确定这个函数关系。
包括两种：
瑞利法数n小于等于4~5个。 定理，普遍方法
【例4 – 1】研究自由落体在时间t内经过的距离S，实验观察后认为与下列 因素有关：落体重量W，重力加速度g及时间t。试用物理方程量纲一 致性原则分析自由落体下落距离公式。 解 首先将关系式写成幕乘积形式 s=KWagbtc 式中：K为量纲一的系数；各变量的量纲分别为dim s = L , dim W = MLT-2， dim g =LT-2 , dim t=T。 将上式写成量纲方程 L=(MLT-2)a(LT-2)b(T)c 根据物理方程量纲一致性原则得到 M：0=a L：1=a+b T：0=-2a-2b+c 解得a =0 ， b=l , c=2 ， 代入原式，得 s=KW0gt2 即 s=Kgt2
下面依据物理方程的量纲一致性原理推求这些变量间的关系。 现设FD与其他各物理量成幕乘积的关系，即 FD=KDaυbρcμd 这里的K 是量纲一的系数。 用基本量纲M 、L 、T 表达各物理量量纲，则有量纲方程 MLT-2=La(LT-1)b(ML-3)c(ML-1T-1)d
量 纲 分 析 法 建 模
§5 量 纲 分 析 法 建 模量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi 定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化．一、量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长度l 、质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L ，M 和T ．于 是速度v 、加速度a 的量纲可以按照其定义分别用1-LT 和2-LT表示，力f 的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积2-LMT 表示．有些物理常数也有量纲，如万有引力定律221r m m k f =中的引力常数k ，由 221m m fr k =可知其量纲应从力f 、距离r 和质量m 的量纲求出，为2-LMT ·2L ·2-M =213--T M L ．通常，一个物理量q 的量纲记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L ，[m]=M ，[t]=T ，[v]=LT -1，[a ]=LT -2，[f] =LMT -2，[k]= 213--T M L .对于无量纲量α，我们记[α]=1(因为可视为[α]=000T M L )．用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20]．在叙述主要定理之前先看一个例子．单摆运动 这是一个熟知的物理现象，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg 作用下(g 为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动周期t 的表达式．在这个问题中出现的物理量有t ，m ，l ，g ，设它们之间有关系式其中1α，2α，3α是待定常数，λ是无量纲的比例系数．取(1)式的量纲表达式即[][][][]321αααg l m t =将[t]=T ，[m]=M ，[l]=L ，[g]=LT -2代入得按照量纲齐次原则应有(3)的解为1α=0，2α=1/2，3α=-1/2，代人(1)式得g l t λ= （4） (4)式与用力学规律得到的结果是一致的．为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作进而假设(5)式形如 π=4321y y y y g l m t （6）其中1y ～4y 是待定常数，π是无量纲常数．将t ，m ，l ，g 的量纲用基本量纲L ，M ，T表示为100][T M L t =,010][T M L m =,001][T M L l =,201][-=T M L l ，则(6)的量纲表达式可写作(注意到000][T M L =π)即 000241243T M L T M L y y y y y =-+ （7）此方程组有一个基本解T T y y y y y )1,1,0,2(),,,(4321-== （9）代回(6)式得 π=-g l t 12 （10）而(5)式等价于0)(=πF （11）(10)，(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果．前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式.把从(5)式到(11)式的推导过程一般化，就是著名的Pi 定理．定理 设有m 个物理量m q q q ,,,21 ，是与量纲单位的选取无关的物理定律*,n X X X ,,,21 是基本量纲，n ≤m ． m q q q ,,,21 的量纲可表为m j X q n i ai i ij ,...,2,1,][1==∏= (13)矩阵m n ij a A ⨯=}{称量纲矩阵．若A 的秩r RankA = (14)设线性齐次方程组(y 是m 维向量) 0=Ay (15)的m-r 个基本解为r m s y y y y T sm s s s -==,,2,1,),,,(21 (16)则∏==m j y j i sj q1π为m-r 个相互独立的无量纲量．且与(12)式等价．F 表示一个未定的函数关系．[航船的阻力] 长l 、吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依（8）赖于船的诸变量l ，h ，v 以外，还与水的参数——密度ρ、粘性系数μ，以及重力加速度g 有关．下面用量纲分析方法确定阻力f 和这些物理量之间的关系．我们按照Pi 定理中(12)～(18)式的步骤进行．1．航船问题中涉及的物理量有：阻力f ，船长l ，吃水深度h ，速度v ，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力加速度g ，要寻求的关系式记作2．这是一个力学问题，基本量纲选为L ，M ，T ．上述各物理量的量纲表为其中μ的量纲由基本关系xv p ∂∂=μ得到．其中p 是压强(单位面积受的力)，所以2][-=LMT p 212---=⋅MT L L ;v 是流速，x 是尺度，所以111---=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T L LT x v ． 并且有n=3<m=7．3．由(20)立即可写出量纲矩阵并且计算 )(3r RankA == (22)4．解齐次方程0=Ay (23)方程(23)有m-r=7—3=4个基本解，可取为5．(24)式给出4个相互独立的无量纲量而(19)式与 等价，Φ是未定的函数，(25)、(26)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系． 6，为得到阻力f 的显示表达式，由(25)及(26)中4π的式子可写出其中ψ表示一个未定函数．在流体力学中无量纲量)(lg 2/12-=πv称Froude 数，)(3πμρ=lv 称Reynold 数(雷诺数)，分别记作μρlv v Fr ==Re ,lg (28) 则(27)式又表示为 Re),,1(22Fr hl f ρψυ= (29)这就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析是难以得到的．虽然这里函数ψ的形式无从知道，但是在下面将会看到这个表达式在物理模拟中的用途．评注 从上面的例子可以看出，量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中能够得到一些重要的、有用的结果，但是也有较大的局限性．在应用和评价这个方法时以下几点值得注意．1．正确确定各物理量 面对一个实际问题将哪些物理量包括在量纲分析的基本关系式f(·)=0中，对所得结果的合理性是至关重要的．对于航船问题，如果在(19)式中忽略了水的密度ρ或粘性系数μ，则得到的结果就会不同．各物理量的确定主要靠经验和物理知识，无法绝对保证所得结果是正确或有用的．2．合理选取基本量纲 基本量纲选少了，无法表示各物理量，当然不行；选多了也会使问题复杂化．在一般情况下力学问题选取L ，M ，T 即可，热学问题加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q ．3．恰当构造基本解 线性齐次方程组的基本解可以有许多不同的构造方法，虽然基本解组能够相互线性表出，但是为了特定的建模目的恰当地构造基本解，能够更直接地得到我们所期望的结果．4．结果的效用和局限性 量纲齐次原则和n 定理是具有普遍意义的又是相当初 等的方法，它不需要非常专门的物理知识及高等的数学方法，就可以得到用其他方法 难以得到的结果，如(29)式．一般地说，从未知定律f(m q q q ,,,21 )=0到用量纲分析方法得到的等价形式F(r m -πππ,,,21 )=0，不仅物理量个数减少了r 个，而且原始物理量m q q q ,,,21 ，组合成了一些有用的无量纲量r m -πππ,,,21 ，下面将进一步讨论它们的用途．另一方面，用这个方法得到的结果是有局限的，“不彻底”的．F(·)=0中仍然包含着一些未定函数和常数 (无量纲量)，诸如物理定律中经常 出现的三角函数sin(·)、指数函数exp(·)不可能用量纲分析法得到，因为这些函 数的自变量和函数值都是无量纲的．二、量纲分析的应用——物理模拟中的比例模型我们在1．1节曾介绍过物理模型，它是在实验室条件下按照缩小了的比例尺寸构造的，目的是根据相应的比例来研究原型的某些性质．量纲分析的结果可以指导这种比例关系的确定．以本节提到的单摆运动为例．已经得到模型中摆动周期t 与摆长l 的关系为若记原型中相应的各个物理量为t '，l '，g '，因为λ是无量纲量，在模型与原型中不变，又显然有g=g ，，所以由(30)式立即得到这样，如果模型摆的尺寸按照摆长比例l: l ' =1:4设计制造，那么测定了模型摆的周期t 以后，就可以知道原型摆的周期为t '=2t ．可以看出，这里主要用了无量纲量在模型和原型中保持不变的性质．下面利用航船问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受的阻力，并且当速度不大时可以忽略雷诺数Re 的影响．以g v h l f ,,,,,ρ和g v h l f '''''',,,,,ρ，分别记模型和原型中的各物理量，由(28)、(29)式(略去Re)得注意(32)，(33)两式中的函数ψ是一样的．当无量纲量成立时，由(32)、(33)式可得只要模型船和原型船的形状相似，就可以保证(34)的第1式成立．而注意到g=g '，(34)的第2式给出如果在模拟中用与海水有相同密度的水，即ρρ'=，则由(35)，(36)式可得于是确定了模型船和原型船的比例l l ':，并测得了模型船的阻力f 后，就能够确定原型航船的阻力f 了．三、无量纲化我们不拟对无量纲化方法作一般阐述，而是通过一个例子介绍这种方法如何用来对模型进行简化．抛射问题 在星球表面以初速v 竖直向上发射火箭*，记星球半径为r ，星球表面重力加速度为g ，忽略阻力，讨论发射高度x 随时间t 的变化规律．设J 轴竖直向上，在发射时刻f=0火箭高度x=O(星球表面)．火箭和星球的质量分别记作1m 和2m ，则由牛顿第二定律和万有引力定律可得以x=O 时x=-g 代入(38)式，并注意到初始条件，抛射问题满足如下方程(39)的解可以表示为即发射高度x 是以r ，v ，g 为参数的时间f 的函数．这里的目的不是研究这个函数的具体形式(虽然可以通过求解方程(39)直接得到)，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径．(40)式包含3个独立参数r ，v ，g ，由(40)式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间0==x M t t 。
量纲分析模型
量纲分析法来构造模型一、基本概念：在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性，因此，许多物理量都是有量纲的，例如：质量的量纲是：克（g ）；千克（kg ） 速度的量纲是：厘米/秒；公里/时 热量的量纲是：卡def ：量纲：在对物理对象进行分析时用来表示物理特性的量称之为量纲，例如：长度、密度、速度等。
用数学公式描述一个规律时，等号两端都必须保持量纲的一致。
def ：量纲分析：在量纲一致的原则下，分析物理量之间关系的一种方法称为量纲分析。
例如：用数学公式描述一个物理规律时等式两边必须保持量纲的一致，同时也保持单位的一致。
def ：量纲分析法：用量纲分析法来建立数学模型的一种方法。
def ：基本量纲：在物理学或力学中有一些物理量的量纲是基本的，其他物理量的量纲可以由这些基本量纲推导出来，这些基本的量纲叫基本量纲，例如：力学中基本量纲为：m （质量），l （长度），t （时间），分别记成：[]M ，[]L ，[]T ，其他量纲可由此推出来。
例如：速度 1[][]V LT -=；加速度 2[][]a LT -=，力22[][][][][][]f M a M LT MLT --=== .有些物理常数也有量纲，例如：万有引力定律 122m m f K r= 中的引力常数K 的量纲也可推出来：222132132[][][][][][][][]MLT K m L K M L T M L T ------=⇒==def ：无量纲常数α，记为0[]1, ( [])L M T αα== 二、量纲分析法建模的例子：先从实例讨论出发，再给出一般方法。
例1：单摆运动模型：已知：质量为m 的小球，系在长为l 的线的一端，重力F mg =作用下作简谐运动，求：单摆运动关于周期t 的模型。
解： 1：将可能与t 有关的物理量, , m l g 用关系式(, , )t l m g ϕ= （1）表示出来。
2：量纲分析法 数学建模
π
2 gt 故单摆公式可用 f(π ,π ) 0 f(θ , ) 0 表示。 1 2 l gt 2 从中解出显函数 h(θ( 则可得： l l l 其中 k (θ ) h(θ ) t h(θ( k(θ( g g
l
此即理想单摆的周期公式。当然 k(θ)是无法求得的，事实 上，需要用椭圆积分才能表达它。
R（A）=3
解齐次方程Ay=0
y 1 (0,1,1,0,0,0,0) T y 2 (0,1,0,2,0,0,1) T y 3 (0,1,0,1,1,1,0) T y 4 (1,2,0,2,1,0,0) T
(6)式给出4个相互独立的无量纲量 (6)
1 lh
1
2 lv 2 g 3 lvru1 4 fl 2 v 2 r 1
f LMT 2
假设关系式为： G(f,l,h,v,R源自u,g)=0 基本量纲为：L，M，T
[l ] L [h ] L [ v ] LM 1 [p ] L 3 M [u ] L1 MT 1 [g ] LT 2
1--8
v 其中u的量纲由基本关系P u , p为压强 x -2 2 1 1 [p] LMT L L MT
量纲分析法建模
• • • • 1 万有引力公式的推导 2 理想单摆的摆动周期 3 量纲分析法理论 4 航船的阻力
§2.6 量纲分析法建模
物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用M表 示）、长度（ 用L表示）、时间（ 用T表示），有时还有温 度（用Θ表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来 表示，如速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲 为 MLT-2，功的量纲为 ML2T-2等。
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是一种工程数学方法，用于处理含有多个变量的物理问题。
这种方法非常有用，因为在实际应用中，我们通常需要考虑许多不同的变量和参数，这些参数可能具有不同的单位和量纲，使得问题变得复杂和难以处理。
利用量纲分析法，可以将各个参数转换为无量纲形式，从而简化问题并提高计算精度。
1. 什么是量纲首先，我们需要明确什么是量纲。
量纲是一个物理量所具有的度量属性，通常包括基本量纲，比如长度、时间、质量、电流等等。
每个量纲都有一个标准单位，比如米、秒、千克、安培等等。
通过组合不同的基本量纲和单位，我们可以得到其他物理量的单位和量纲。
比如速度可以表示为长度/时间，加速度可以表示为长度/时间^2。
在处理物理问题时，量纲是非常重要的，因为它们决定了各个物理量之间的关系和单位的选择。
2. 如何运用量纲分析法量纲分析法是一种基于量纲的数学方法，用于研究变量之间的关系和有效参数的数量。
在使用这种方法时，我们需要将所有涉及的物理量和参数转换为无量纲形式，然后通过比较各个无量纲参量的数量级和变化趋势来分析问题。
这种方法可用于许多不同的物理问题，例如流体力学、热传递、电路分析等等。
下面我们以流体力学为例来讲解量纲分析法的应用过程。
首先，我们考虑一个典型的流体力学问题：水从一根直管中流出的速度是多少？公司设计师可以运用以下方程式解决此题: v = (P1 - P2) / ρL其中v是水的速度，P1和P2是入口和出口处的压力，ρ是水的密度，L是管道长度。
我们观察到这个公式涉及四个参数，每个参数都有自己的单位和量纲。
在使用量纲分析法时，我们需要将它们都转换为无量纲形式。
我们可以定义以下五个无量纲参量：F1 = v L / νF2 = (P1 - P2) / (0.5ρv^2)F3 = D / LF4 = ε/ D其中，ν是水的动力粘度，D是管道的直径，ε是管道壁面粗糙度。
这里表示F1 代表惯性力，F2 代表压力力，F3 代表管道长度比，F4 代表管道细度等无量纲参量。
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用数加单位来表示具体度量； 用量纲的概念来表示被度量的特性.
量纲分析法是一种有效的物理建模方法
一.单位 SI 国际单位制（米—千克—秒）； fps 英制单位制（英尺—磅—秒）
一个模型中单位必须统一
二.量纲 基 本 物 理 量
引进无量纲量：
T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0
得
dx dt
d(x0X ) d( T )
w0 x0dX dT
v0dX dT
v
w0
特点？
dX v V
dT v0
将
m
dv dt
m
d (v0V ) d(T w0 )
mw 0v0
dV dT
代入原方程，有
dV K x C v F dT mw0v0 mw0v0 mw0v0
质量（M） 力学中，任何物理量
长度（L）
都可以表示为其组合形 式，称这种组合形式为
时间（T） 物理量的量纲.
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量
纲
例4.1.1
[速度]=[ v ]=[
ds
dt ]
=
=LT－1
;
[加速度]=[ a ] =LT－2 ;
0 1
1
t2l1g
t l
g
或者 F ( ) t 2l 1g 0
(5)
将此例一般化有以下定理
Buckingham Pi定理：
设有m 个物理量 q1，q2，… qm , 而
f (q1，q2，… qm )=0
(6)
是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2,
… , Xn 是基本量纲,其中n≤m，q1，q2，… qm
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律
f
K
m1m2 r2
中的引力常数K的量纲为
[K]
fr 2
[ f ][r 2 ]
m1m2 [m1][m2 ]
LMT 2L2 M2
L3M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如
3.写出量纲矩阵
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
1 1 1 1 3 1 1 (L)
A37
1
00
0
1
1
0
(
M
K x Cv F
mw
2 0
(
x0
)
mw
0
(
v0
)
mw 0v0
= －X－AV+F0
其中，因v0=x0w0 , w0=
K m
原方程变形为
优点：
dV dT
AV
F0
X
1. 减少了参数的个数；
2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系.
的量纲可表为
n
qj
X , ij i
j 1,2,, m
i 1
矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵. 若A的秩 Rank(A)=r
若齐次线性方程组 AY=0 ( y是m维向量)的 m－r个基本解为：
ys=(ys1, ys2, …, ysm)T , s=1,2, …,m－r
则
s
m
q
ysj j
下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量 之间的关系.
1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为
Ф(f, l, h, v,ρ,μ, g)=0
(8)
2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T, 各物理量的量纲表示为
[ f ] LMT 2 , [t] L, h L v LT 1, L3M , L1MT 1, g LT 2 ,
例4.1.2 非线性震荡运动方程
m
d2x dt 2
Kx
C
dx dt
F
或
dx dt
v,
m
dv dt
Kx Cv
F.
模型中有参数：m、K、C
令 x0=x(0) , w0 =
根据量纲齐次性, 有 [ w0 ]=T－1 , [ K ]=MT－2,
K m
,
v0=x0 w0 ,
[ F ]=MLT－2 , [ C ]= MT－1.
t [m]1 [l] 2 [g] 3
将[ t ]=T, [m]=M, [ l ]=L, [g ]=LT－2 代入得
T M 1 L2 3 T 23
(2)
按照量纲齐次性,有
12
0 3Biblioteka 023 1求解为
1
0, 2
1 2
,3
1 2
代入式(1) 得
t
l g
续例4.2.1 单摆运动的抽象
设变量关系为
［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
量纲独立于单位
三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量 纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验. 2. 无量纲化方法减少参数个数.
Ly3 y4 M y2 T y1 2 y4 L0 M 0T 0
根据量纲齐次性，有线性方程组成立
y3 y4 0,
y2
0,
y1
2
y4
0
0
AY 0
1
0 1 0
1 0 0
1
0
2
y1
y2
y3
y4
0 0 0 0
解得方程组的一个解为 代入(4)式有
y1 2
y2 y3 y4
f (t，m，l，g) =0， (3)
假设各变量间的关系如下：
t y1 m y2 l y3 g y4
(4)
其中y1～y4 是待定常数,π是无量纲量.
各变量的量纲用基本量纲表示如下：
[ t ]=L0M0T1, [ m ]=L0M1T0, [ l ]=L1M0T0, [ g ]=L1M0T－2,
(4) 式的量纲表达式为
j 1
为 m－r 个相互独立的无量纲量,且
F(π1, π2, …，πm－r)=0
(7)
与(6) 式等价, 其中F的形式未知.
例4.2.2 航船阻力
长度为l、吃水深度h的船以速度v 航行,若不
考虑风的影响,那么航船受到的阻力f除依赖船 的诸变量l, h, v 以外,还与水的参数—密度ρ, 粘性系数μ,以及重力加速度g有关.
例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的
一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
下(g为重力加速度),做往复摆动. 忽略阻力, 求摆动周期t的表达式.
求解 考虑问题中出现的物理量t、m、l、g，
假设它们之间有关式
t m1 l 2 g3
(1)
其中α1,α2,α3是待定常数,λ是无量纲的 比例常数.上式的量纲表达式为