高中数学必修4(人教A版)第三章三角恒等变换3.4知识点总结含同步练习及答案
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α = 4 cos α cos(
证明：
cos 3α = = = = =
cos(2α + α) cos 2α cos α − sin 2α sin α 2 cos3 α − cos α − 2(1 − cos2 α) cos α 4 cos3 α − 3 cos α.
即 2 sin 18∘ = 4 − 4 sin 2 18∘ − 3，整理得 4 sin 2 18∘ + 2 sin 18∘ − 1 = 0，故
sin 18∘ =
√5 − 1 ． 4
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高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 三角恒等变换 3.4 三倍角公式（公式）
一、学习任务 能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换，了解三倍角公式． 二、知识清单
三倍角公式
三、知识讲解
1.三倍角公式 描述： 正弦三倍角公式
sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α = 4 sin α sin(
例题： 求 sin 18∘ 的值． 解：因为 sin 36∘ = cos 54∘ ，所以
sin 36∘ = 2 sin 18∘ cos 18∘ = 4 cos3 18∘ − 3 cos 18∘ ，
因为 cos 18∘ ≠ 0 ，所以
因为 cos 18∘ ≠ 0 ，所以
2 sin 18∘ = 4 cos2 18∘ − 3,
证明：
π π + α) sin( − α) 3 3
sin 3α = = = = =
余弦三倍角公式
sin(2α + α) sin 2α cos α + cos 2α sin α 2 sin α cos2 α + (1 − 2 sin 2 α) sin α 2 sin α(1 − sin 2 α) + sin α − 2 sin 3 α 3 sin α − 4 sin 3 α. π π + α) cos( − α) 3 3
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《第三章 三角恒等变换》归纳整合
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专题一
给值求值
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关 键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法 是： (1)将待求式用已知三角函数表示． (2)将已知条件转化从而推出可用的结论． 其中“凑角法”是解决 此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间 角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或 两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
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【例 1】 已知 的值． 解
π π 1 sin4＋αsin4－α＝6，且
π sin 4α α∈2，π，求 1＋cos2α
π π 1 ∵sin4＋αsin4－α＝6，
1 x＝3.
1 1－tan2x 1－9 4 tan x tan x ∴tan 2x＝ 2tan x ＝ 2 ＝ 2 ＝9. 1－tan2x 答案 4 9
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专 题 归 纳
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5．(2011· 全国高考)已知 ________.
π α∈2，π，sin
5 α＝ 5 ，则 tan 2α＝
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法二
22＋1＋cos 4x 22＋2cos22x 21＋cos22x 右边＝ ＝ 8sin2xcos2x ＝ 4sin2xcos2x ＝ 2sin22x
sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2 2sin4x＋cos4x 1 2 ＝ ＝ tan x ＋ 2 2sin2xcos2x 2sin2xcos2x tan x ＝左边． 原式得证．
人教版 高中数学 必修4 第三章 三角恒等变换 知识整理
升幂公式：1 cos 2 2cos2 ，1 cos 2 2sin2 ；
降幂公式： cos2 1 cos 2 ,sin2 1 cos 2 .
2
2
2. 半角的正弦、余弦和正切
在二倍角余弦公式中，令 得 cos 2 cos2 1 1 2sin2 ，将公式变形
2
2
2
可得半角的余弦公式： cos 1 cos ；半角的正弦公式： sin 1 cos .
sin sin 1 [cos( ) cos( )] 2
2. 积化和差公式的特点
必修四
（1）同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与
差正弦的和（差）的一半；
（2）等式左边为单角、 ，等式右边是它们的和（差）角；
（3）如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负.
2 sin
2
致的.因为分母是单项式，所以在化简、证明中应优先考虑使用有理表达式.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
1. 三角函数的积化和差公式 sin cos 1 [sin( ) sin( )] 2 cos sin 1 [sin( ) sin( )] 2
cos cos 1 [cos( ) cos( )] 2
tan
tan
1
tan tan tan( )
tan tan tan( )
1
（3）公式中，角、、 均不为 k , k Z ，使用公式时应注意
2
【如】
tan(
2
)
tan 2
1 tan
tan tan
.
2
若、、 中有 k , k Z 的形式，就不能使用两角和与差的正切公式，而
高中数学人教A版 必修4知识点三角恒等变换
三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=m ；（2）()sinsin cos cos sin αβαβαβ±=±；（3）()tan tan tan1tan tan αβαβαβ±±=m二、二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ （2）2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（3）22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ=． 知识点分类练习一、 公式的套用1.sin18∘cos12∘+cos18∘sin12∘=（ ） A. −√32B. −12C. √32D. 122. sin63∘cos18∘+cos63∘cos108∘= ______ ．3.计算sin140∘cos50∘+sin130∘cos40∘的值是（ ） A. 12B. −12C. 1D. −14. 化简sin50∘(1+√3tan10∘)的结果是______ ．5. tan23∘+tan22∘+tan23∘tan22∘= ______ ．6. 求值：cos 415∘−sin 415∘=______．7. sin10∘sin30∘sin50∘sin70∘= ______ ．8.若角α∈(−π,−π2)，则√1+cosα1−cosα−√1−cosα1+cosα=（ ）A. −2tanαB. 2tanαC. −2tanαD. 2tanα9.已知sinα−sinβ=1−√32，cosα−cosβ=12，则cos(α−β)=（ ）A. −√32B. −12C. 12D. √3210. 已知0<A <π2，且cos 2A =35，那么cos A 等于（ ）A. 425B. 45C. √55D.2√5511. 若cos(π2+α)=35，则cos2α=（ ）A. −725B. 725C. 一1625D. 162512. sin π12cos π12等于（ ）A. 12B. 14C. √32D. √3413.若cos2αsin(α−π4)=−√22，则cosα+sinα的值为（ ） A. −√72B. −12C. 12D. √7214. 若tanα>0，则（ ）A. sinα>0B. cosα>0C. sin2α>0D. cos2α>015. 已知α∈(0,π2)，tanα=2，则cos(α−π4)=______．16. 已知sin(x +π6)=14，则sin(5π6−x)+cos 2(π3−x)= ______ ． 二、知角（值）求角（值）17. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=（ ）A. 725B. 15C. −15D. −72518. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为（ ）A. 1225B. 2425C. −2425D. −122519. 若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为（ ）A. 1718B. −1718C. 1819D. −181920. 已知tan(α+β)=25，tan(β+π4)=14，则tan(α−π4)的值为（ ）A. 16B. 2213C. 322D. 131821. 知sinα=√55,sin(α−β)=−√1010,α,β均为锐角，则β=（ ）A. 5π12B. π3C. π4 D. π622. 锐角α，β满足cosα=1213，cos(2α+β)=35，那么sin(α+β)=（ ）A. 6365B. 5365C. 3365D. 236523. 已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ−π4)=______．24. 若tan(α−β)=12，tan(α+β)=13，则tan2β等于（ ）A. 17 B. 43C. −17D. −43三、常用结论（1） sin cos x x 类型25. 已知sinα+cosα=15，则sin2α等于（ ）A. 2425B. 45C. −45D. −242526. 已知sinα−cosα=43，则sin2α=（ ）A. −79B. −29C. 29D. 7927. 已知sinθ+cosθ=13，则sin2θ=（ ）A. 89B. −89C. 49D. −4928. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=（ ）A. 725B. 15C. −15D. −725（2）齐次式类型29. 若sinα+3sin(π2+α)=0，则cos2α的值为（ ）A. −35B. 35C. −45D. 4530. 若3sinα+cosα=0，则1cos2α+sin2α的值为______ ．31. 已知tan(π4+α)=1，则2sinα+cosα3cosα−sinα= ． 32. 若sinα+cosαsinα−cosα=2，则tan2α=（ ）A. −34B. 34C. −43D. 43（3）用已知角表示要求角类型33. 若cos(α+π4)=13，α∈(0,π2)，则sinα的值为( )A.4−√26B.4+√26C. 718D. √2334. 已知cos(α−π3)=23，cos(β+π6)=−23，α是锐角，β是钝角，则sin(α−β)=（ ）A. −12B. −1C. −√36D. −√3335. 已知cos(23π−2θ)=−79，则sin(π6+θ)的值等于（ ）A. 13B. ±13C. −19D. 1936. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为______． 四、三角恒等变换1.y=2cos 2 x-32. x x y 24cos sin +=3. 1cos cos 22y x x =-4. y =sin 2x+cos 2x5. 5y x x =+6. f x x x x ()cos sin cos =-2237.2sin()cos()36y x x ππ=--+8.)cos[2()]y x x ππ=-+9. y=sin 2 x-cos 2 x-sin 2x+110. y =sin 4 x+x cos x-cos 4 x11. y=4cos sin()16x x π+-12.2sin cos y x x x =-13. y=(1x )cos x14. f(x)=2sin 2(2x +π6)−sin(4x +π3) 15. f(x)=2cosx(sinx +cosx) 五、三角形内的问题37. 在△ABC 中，B =π4，BC 边上的高等于13BC ，则cosA 等于（ ）A.3√1010B. √1010C. −√1010D. −3√101038. 在△ABC 中，cosA =35，且sinB =1213，则cosC =（ ）A. −3365B. 3365C. 6365D. 6365或336539. 在△ABC 中，tanA =12,cosB =3√1010，则tanC 的值是（ ）A. 1B. −1C. 2D. −240. 在锐角△ABC 中，B >π6，sin(A +π6)=35，cos(B −π6)=45，则sin(A +B)= ______ ． 六、综合应用41. （二次函数类型）函数f(x)=cos2x +6cos(π2−x)的最大值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 742. （二次函数类型）函数f(x)=sin 2x +√3cosx −34(x ∈[0,π2])的最大值是______ ． 43. 已知直线2x −y −3=0的倾斜角为θ，则sin2θ的值是（ ）A. 14B. 34C. 45D. 2544.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1的交点为P(x,√32)，则cos2α=（）A. 12B. −12C. −√32D. 145.已知x∈[0,π]，则函数y=√3sinx−cosx的值域为()A. [−2,2]B. [−1,2]C. [−1,1]D. [0,2]46.已知函数f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)为偶函数，且在[0,π4]上是增函数，则φ的一个可能值为（）A. π3B. 2π3C. 4π3D. 5π347.函数f(x)=sinπ6xcosπ6x−√3sin2π6x在区间[−1,a]上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是（）A. 8B. 9C. 11D. 1248.已知f(x)=sinxcosx+√3cos2x−√32，将f(x)的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y=g(x)的图象.若对任意实数x，都有g(a−x)=g(a+x)成立，则g(a+π4)=（）A. 1+√22B. 1 C. 1−√22D. 049.函数y=sinx−√3cosx的图象可由函数y=sinx+√3cosx的图象至少向右平移______个单位长度得到．50.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+12(ω>0)，且f(α)=−12，f(β)=12，若|α−β|的最小值为3π4，则ω的值为( C )A. 1B. 13C. 23D. 251.设常数a使方程sinx+√3cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=______．52.方程sinx+√3cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于______ ．53.已知0<α<π2,0<β<π2,cosα=35,cos(β+α)=513．(I)求sinβ的值；(II)求sin2αcos2α+cos2α的值．54.已知函数y=4cos2x−4√3sinxcosx−1(x∈R)．(1)求出函数的最小正周期；(2)求出函数的最大值及其相对应的x值；(3)求出函数的单调增区间；(4)求出函数的对称轴．55.已知函数f(x)=1+2√3sinxcosx−2sin2x，x∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[−π2,0]上的最小值和最大值．56.已知函数f(x)=2sin2(x+π4)−√3cos 2x,x∈[π4,π2].(Ⅰ)求f(x)的值域；(Ⅱ)若不等式|f(x)−m|<2在x∈[π4,π2]上恒成立，求实数m的取值范围．57.已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，求m的最小值．58.已知函数f(x)=cosx(√3sinx−cosx)+m(m∈R)，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位后得到g(x)的图象，且y=g(x)在区间[π4,π3]内的最小值为√32．(1)求m的值；(2)在锐角△ABC中，若g(C2)=−12+√3，求sinA+cosB的取值范围．59.已知函数f(x)=sin(3x+π4).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f(α3)=45cos(α+π4)cos2α，求cosα−sinα的值．60.已知函数f(x)=2sinxcosx−2√3cos2x+√3．(1)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；(2)求函数y=f(x)的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．61.已知函数f(x)=4sin(x−π3)cosx+√3．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g(x)=f(x)−m在[0,π2]上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1+x2)的值．62.已知函数f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．人教版数学必修2知识点总结（教师版）第三章 三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=m ； （2）()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±； （3）()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m二、二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ （2）2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． （3）22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ=． 知识点分类练习一、 公式的套用1. sin18∘cos12∘+cos18∘sin12∘=( D )A. −√32B. −12C. √32D. 122. sin63∘cos18∘+cos63∘cos108∘= ______ ．【答案】√223. 计算sin140∘cos50∘+sin130∘cos40∘的值是( C )A. 12B. −12C. 1D. −14. 化简sin50∘(1+√3tan10∘)的结果是______ ．【答案】15. tan23∘+tan22∘+tan23∘tan22∘= ______ ．【答案】16. 求值：cos 415∘−sin 415∘=______．【答案】√327. sin10∘sin30∘sin50∘sin70∘= ______ ．【答案】1168. 若角α∈(−π,−π2)，则√1+cosα1−cosα−√1−cosα1+cosα=( C ) A. −2tanα B. 2tanαC. −2tanαD. 2tanα9. 已知sinα−sinβ=1−√32，cosα−cosβ=12，则cos(α−β)=( D ) A. −√32B. −12C. 12D. √3210. 已知0<A <π2，且cos 2A =35，那么cos A 等于( D )A. 425B. 45C. √55D. 2√5511. 若cos(π2+α)=35，则cos2α=( B )A. −725B. 725C. 一1625D. 162512. sin π12cos π12等于( B )A. 12B. 14C. √32D. √3413. 若cos2αsin(α−π4)=−√22，则cosα+sinα的值为( C )A. −√72B. −12C. 12 D. √7214. 若tanα>0，则( C )A. sinα>0B. cosα>0C. sin2α>0D. cos2α>015. 已知α∈(0,π2)，tanα=2，则cos(α−π4)=______．【答案】3√1010【解析】∵α∈(0,π2)，tanα=2，∴sinα=2cosα， ∵sin 2α+cos 2α=1，解得sinα=2√55，cosα=√55， ∴cos(α−π4)=cosαcos π4+sinαsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010．故答案为3√1010． 16. 已知sin(x +π6)=14，则sin(5π6−x)+cos 2(π3−x)= ______ ．【答案】516二、 知角（值）求角（值）17. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=( D )A. 725B. 15C. −15D. −725【解析】22()24ππαα=--18. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为( B )A. 1225B. 2425C. −2425D. −1225【解析】22()36ππαα+=+ 19. 若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为( A )A. 1718B. −1718C. 1819D. −1819【解析】(3π4+2α)=[π−(π4−2α)]20. 已知tan(α+β)=25，tan(β+π4)=14，则tan(α−π4)的值为( C )A. 16B. 2213C. 322D. 1318【解析】(α−π4)=(α+β)−(β+π4)21. 知sinα=√55,sin(α−β)=−√1010,α,β均为锐角，则β=( C ) A. 5π12B. π3C. π4D. π6【解析】β=α−(α−β)22. 锐角α，β满足cosα=1213，cos(2α+β)=35，那么sin(α+β)=( C )A. 6365B. 5365C. 3365D. 2365【解析】α+β=(2α+β)−α23. 已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ−π4)=______．【答案】−43【解析】()442πππθθ-=++24. 若tan(α−β)=12，tan(α+β)=13，则tan2β等于( C )A. 17B. 43C. −17D. −43【解析】2β=(α+β)−(α−β)三、 常用结论（1） sin cos x x ±类型25. 已知sinα+cosα=15，则sin2α等于( D )A. 2425B. 45C. −45D. −242526. 已知sinα−cosα=43，则sin2α=( A )A. −79B. −29C. 29D. 7927. 已知sinθ+cosθ=13，则sin2θ=( B )A. 89B. −89C. 49D. −4928. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=( D )A. 725B. 15C. −15D. −725【解析】∵cos(π4−α)=√22(sinα+cosα)=35，∴12(1+sin2α)=925，∴sin2α=2×925−1=−725，故选：D ．（2）齐次式类型29. 若sinα+3sin(π2+α)=0，则cos2α的值为( C )A. −35B. 35C. −45D. 45【解析】由sinα+3sin(π2+α)=0，则sinα+3cosα=0，可得：tanα=sinαcosα=−3； 则cos2α=cos 2α−sin 2α=1−tan 2αtan 2α+1=1−91+9=−45．故选：C30. 若3sinα+cosα=0，则1cos2α+sin2α的值为______ ．【答案】5 31. 已知tan(π4+α)=1，则2sinα+cosα3cosα−sinα= ．【答案】13 32. 若sinα+cosαsinα−cosα=2，则tan2α=( A )A. −34B. 34C. −43D. 43（3）用已知角表示要求角类型33. 若cos(α+π4)=13，α∈(0,π2)，则sinα的值为( A )A. 4−√26B. 4+√26C. 718D. √23【解析】()44ππαα=+-34. 已知cos(α−π3)=23，cos(β+π6)=−23，α是锐角，β是钝角，则sin(α−β)=( B )A. −12B. −1C. −√36 D. −√33【解析】α−β=(α−π3)−(β−π6)35. 已知cos(23π−2θ)=−79，则sin(π6+θ)的值等于( B )A. 13B. ±13C. −19D. 19【解析】22()(2)63ππθπθ+=-- 36. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为______．【答案】17√250【解析】2α+π12=2（α+π6）−π4四、 三角恒等变换16. y=2cos 2 x-3 答案：原式=cos 2x-217. x x y 24cos sin += 答案：原式=422213sin sin 1(sin )24x x x -+=-+ 18. 1cos cos 22y x x =-答案：原式2213(cos )24x =--+19. y =sin 2x+cos 2x 答案：原式)4x π+20. 5y x x =+ 答案：原式=)53x π++21. f x x x x ()cos sin cos =-223 答案：原式=2sin(2)6x π-22. 2sin()cos()36y x x ππ=--+ 答案：原式=3sin()3x π-23. )cos[2()]y x x ππ=-+ 答案：原式=42x -24. y=sin 2 x-cos 2 x-sin 2x+1 答案：原式=)14x π++25. y=sin 4 x+x cos x-cos 4 x答案：原式=(sin 2 x+cos 2 x )·(sin 2 x-cos 2 x )sin 2x-cos 2x=2sin(2)6x π-26. y=4cos sin()16x x π+- 答案：原式=2sin (2)6x π+27. 2sin cos y x x x =- 答案：原式=sin(2)3x π+-28. y=(1tan x )cos x答案：原式=cos x=21cos 2x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=2=2sin ()6x π+ 29. f(x)=2sin 2(2x +π6)−sin(4x +π3) 答案：原式=1−√2sin(4x +7π12) 30. f (x )=2cosx (sinx +cosx )答案：原式=2sinxcosx +2cos 2x =sin2x +1+cos2x =√2sin(2x +π4)+1，五、 三角形内的问题37. 在△ABC 中，B =π4，BC 边上的高等于13BC ，则cosA 等于( C )A. 3√1010B. √1010 C. −√1010D. −3√101038. 在△ABC 中，cosA =35，且sinB =1213，则cosC =(D )A. −3365B. 3365C. 6365D. 6365或3365【解析】在△ABC 中，∵cosA =35>0，A 为三角形的内角， ∴A 为锐角，可得：sinA =√1−cos 2A =45，又∵sinB =1213，B 为三角形的内角，∴cosB =±√1−sin 2B =±513，则cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−35×(±513)+45×1213=6365或3365．39. 在△ABC 中，tanA =12,cosB =3√1010，则tanC 的值是( B ) A. 1 B. −1C. 2D. −240. 在锐角△ABC 中，B >π6，sin(A +π6)=35，cos(B −π6)=45，则sin(A +B)= ______ ．【答案】2425六、 综合应用41. （二次函数类型）函数f(x)=cos2x +6cos(π2−x)的最大值为( B )A. 4B. 5C. 6D. 7【解析】函数f(x)=cos2x +6cos(π2−x)=1−2sin 2x +6sinx ， 令t =sinx(−1≤t ≤1)，可得函数y =−2t 2+6t +1=−2(t −32)2+112，由32∉[−1,1]，可得函数在[−1,1]递增，即有t =1，x =2kπ+π2，k ∈Z 时，函数取得最大值5．42. （二次函数类型）函数f(x)=sin 2x +√3cosx −34(x ∈[0,π2])的最大值是______ ．【答案】1【解析】f(x)=sin 2x +√3cosx −34=1−cos 2x +√3cosx −34， 令cosx =t 且t ∈[0,1]，则f(t)=−t 2+√3t +14=−(t −√32)2+1，当t =√32时，f(t)max =1，即f(x)的最大值为1，故答案为1．43. 已知直线2x −y −3=0的倾斜角为θ，则sin2θ的值是（ C ）A. 14B. 34C. 45D. 25【解析】由直线2x−y−3=0方程，得直线2x−y−3=0的斜率k=2，∵直线2x−y−3=0的倾斜角为θ，∴tanθ=2，∴sin2θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθ1+tan2θ=2×21+22=45．故选：C．44.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1的交点为P(x,√32)，则cos2α=( B )A. 12B. −12C. −√32D. 1【解析】∵角α的终边与单位圆x2+y2=1的交点为P (x ,√32)，∴sinα=√32，则cos2α=1−2sin2α=1−2⋅34=−12，故选：B．45.已知x∈[0,π]，则函数y=√3sinx−cosx的值域为( B )A. [−2,2]B. [−1,2]C. [−1,1]D. [0,2]【解析】由题意可得：y=√3sinx−cosx=2sin(x−π6)，因为x∈[0,π]，所以x−π6∈[−π6,5π6]，所以−12≤sin(x−π6)≤1，所以：−1≤y≤2．故选B．46.已知函数f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)为偶函数，且在[0,π4]上是增函数，则φ的一个可能值为(C)A. π3B. 2π3C. 4π3D. 5π347.函数f(x)=sinπ6xcosπ6x−√3sin2π6x在区间[−1,a]上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是(A )A. 8B. 9C. 11D. 1248.已知f(x)=sinxcosx+√3cos2x−√32，将f(x)的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y=g(x)的图象.若对任意实数x，都有g(a−x)=g(a+x)成立，则g(a+π4)=( B )A. 1+√22B. 1 C. 1−√22D. 049.函数y=sinx−√3cosx的图象可由函数y=sinx+√3cosx的图象至少向右平移______个单位长度得到．【答案】2π350.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+12(ω>0)，且f(α)=−12，f(β)=12，若|α−β|的最小值为3π4，则ω的值为( C )A. 1B. 13C. 23D. 251.设常数a使方程sinx+√3cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=______．【解析】sinx+√3cosx=2(12sinx+√32cosx)=2sin(x +π3)=a ，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0,2π]上，当a =√3时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin(x +π3)=√32，x +π3=2kπ+π3，即x =2kπ，或x +π3=2kπ+2π3，即x =2kπ+π3， ∴此时x 1=0，x 2=π3，x 3=2π， ∴x 1+x 2+x 3=0+π3+2π=7π3．故答案为：7π3 52. 方程sinx +√3cosx =1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于______ ．【答案】7π3【解析】∵sinx +√3cosx =1，∴12sinx +√32cosx =12，即sin(x +π3)=12，可知x +π3=2kπ+π6，或x +π3=2kπ+5π6，k ∈Z ， 又∵x ∈[0,2π]，∴x =11π6，或x =π2，∴11π6+π2=7π3故答案为：7π3． 53. 已知0<α<π2,0<β<π2,cosα=35,cos(β+α)=513．(I)求sinβ的值；(II)求sin2αcos 2α+cos2α的值．【解析】(I)∵0<β<π2，0<α<π2，0<α+β<π，cosα=35， ∴sinα=45，sin(α+β)=1213，那么：sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=1665； (II)由(I)sinα=45，cosα=35，那么sin2α=2sinαcosα=2425，cos 2α=925， cos2α=1−2sin 2α=−725，∴sin2αcos 2α+cos2α=2425925−725=12．54. 已知函数y =4cos 2x −4√3sinxcosx −1(x ∈R)．(1)求出函数的最小正周期；(2)求出函数的最大值及其相对应的x 值； (3)求出函数的单调增区间；(4)求出函数的对称轴． 【解析】y =4cos 2x −4√3sinxcosx −1=4×1+cos2x2−2√3sin2x=2cos2x −2√3sin2x +2=−4sin(2x −π6)+2 (1)函数的最小正周期T =2π2=π；(2)当sin(2x −π6)=−1时，函数取最大值为：6，此时2x −π6=−π2+2kπ(k ∈Z)，解得x =−π6+kπ(k ∈Z)； (3)由π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ(k ∈Z)得，π3+kπ≤x ≤5π6+kπ(k ∈Z)，∴函数的单调增区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z)；(4)由2x−π6=π2+kπ(k∈Z)得，x=π3+kπ2(k∈Z)，∴函数的对称轴方程是x=π3+kπ2(k∈Z)．55.已知函数f(x)=1+2√3sinxcosx−2sin2x，x∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[−π2,0]上的最小值和最大值．【解析】(1)f(x)=1+2√3sinxcosx−2sin2x=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，下面分为单调增区间和单调减区间进行求解，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，得kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，可得函数f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z．(2)若把函数f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin(2(x−π6)+π6)=2sin(2x−π6)的图象，∵x∈[−π2,0]，∴2x−π6∈[−7π6,−π6]，∴sin(2x−π6)∈[−1,12]，∴g(x)=2sin(2x−π6)∈[−2,1]．故g(x)在区间[−π2,0]上的最小值为−2，最大值为1．56.已知函数f(x)=2sin2(x+π4)−√3cos 2x,x∈[π4,π2].(Ⅰ)求f(x)的值域；(Ⅱ)若不等式|f(x)−m|<2在x∈[π4,π2]上恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(Ⅰ)∵f(x)=2sin2(x+π4)−√3cos 2x=[1−cos(π2+2x)]−√3cos2x=1+sin2x−√3cos2x=1+2sin(2x−π3)，又∵x∈[π4,π2]，∴π6≤2x−π3≤2π3，即2≤1+2sin(2x−π3)≤3，∴f(x)∈[2,3]．(Ⅱ)∵|f(x)−m|<2，可得：f(x)−2<m<f(x)+2，又∵x∈[π4,π2]，∴m>f(x)max−2且m<f(x)min+2，∴1<m<4，即m的取值范围是(1,4)．57.已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，求m的最小值．【解析】(Ⅰ)函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx =1−cos2x2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12，f(x)的最小正周期为T =2π2=π；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，可得2x −π6∈[−5π6,2m −π6]，即有2m −π6≥π2，解得m ≥π3，则m 的最小值为π3．58. 已知函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)+m(m ∈R)，将y =f(x)的图象向左平移π6个单位后得到g(x)的图象，且y =g(x)在区间[π4,π3]内的最小值为√32．(1)求m 的值；(2)在锐角△ABC 中，若g(C 2)=−12+√3，求sinA +cosB 的取值范围．【解析】：(1)f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +m =√32sin2x −12cos2x +m −12=sin(2x −π6)+m −12，∴g(x)=sin[2(x +π6)−π6]+m −12=sin(2x +π6)+m −12， ∵x ∈[π4,π3]，∴2x +π6∈[2π3,5π6]，∴当2x +π6=5π6时，g(x)取得最小值12+m −12=m ，∴m =√32． (2)∵g(C 2)=sin(C +π6)+√32−12=−12+√3，∴sin(C +π6)=√32， ∵C ∈(0,π2)，∴C +π6∈(π6,2π3)，∴C +π6=π3，即C =π6． ∴sinA +cosB =sinA +cos(5π6−A)=sinA −√32cosA +12sinA =32sinA −√32cosA =√3sin(A −π6).∵△ABC 是锐角三角形， ∴{0<A <π20<5π6−A <π2，解得π3<A <π2， ∴A −π6∈(π6,π3)，∴12<sin(A −π6)<√32，∴√32<√3sin(A −π6)<32，∴sinA +cosB 的取值范围是(√32,32). 59. 已知函数f(x)=sin(3x +π4).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f(α3)=45cos(α+π4)cos2α，求cosα−sinα的值． 【解析】(1)∵函数f(x)=sin(3x +π4)，令2kπ−π2≤3x +π4≤2kπ+π2，k ∈Z ， 求得2kπ3−π4≤x ≤2kπ3+π12，故函数的增区间为[2kπ3−π4,2kπ3+π12]，k ∈Z ．(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cos(α+π4)cos2α， ∴sin(α+π4)=45cos(α+π4)cos2α，即sin(α+π4)=45cos(α+π4)(cos 2α−sin 2α)，∴sinαcos π4+cosαsin π4=45(cosαcos π4−sinαsin π4)(cosα−sinα)(cosα+sinα)即(sinα+cosα)=45⋅(cosα−sinα)2(cosα+sinα)， 又∵α是第二象限角，∴cosα−sinα<0，当sinα+cosα=0时，tanα=−1，sinα=√22，cosα=−√22，此时cosα−sinα=−√2．当sinα+cosα≠0时，此时cosα−sinα=−√52．综上所述：cosα−sinα=−√2或−√52．60. 已知函数f(x)=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3．(1)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；(2)求函数y =f(x)的图象与直线y =1相邻两个交点间的最短距离．【解析】(1)f(x)=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)， 当x ∈[0,π2]时，2x −π3∈[−π3,2π3]，所以f(x)的值域为[−√3,2]．(2)令f(x)=2sin(2x −π3)=1，∴sin(2x −π3)=12，故2x −π3=2kπ+π6或2x −π3=2kπ+5π6，k ∈Z ，∴当函数y =f(x)的图象和直线y =1时的两交点的最短距离为π3．61. 已知函数f(x)=4sin(x −π3)cosx +√3．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g(x)=f(x)−m 在[0,π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1+x 2)的值． 【解析】函数f(x)=4sin(x −π3)cosx +√3．化简可得：f(x)=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −2√3(12+12cos2x)+√3=sin2x −√3cos2x=2sin(2x −π3)(1)函数的最小正周期T =2π2=π，由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2时单调递增，解得：kπ−π12≤x ≤kπ+5π12 ∴函数的单调递增区间为[：kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ．(2)函数g(x)=f(x)−m 所在[0,π2]匀上有两个不同的零点x 1′，x 2′，转化为函数f(x)与函数y =m 有两个交点令u=2x−π3，∵x∈[0,π2]，∴u∈[−π3,2π3]可得f(x)=2sin(u)的图象(如图)．从图可知：m在[√3,2)，函数f(x)与函数y=m有两个交点，其横坐标分别为x1′，x2′.故得实数m的取值范围是m∈[√3,2)，由题意可知x1，x2是关于对称轴是对称的：那么函数在[0,π2]的对称轴x=5π12∴x1+x2=5π6那么：tan(x1+x2)=tan5π6=tan(π−π6)=−tanπ6=√22．62.已知函数f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．【解析】(1)∵f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3．∴x≠kπ+π2，即函数的定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z}，则f(x)=4tanxcosx⋅(12cosx+√32sinx)−√3=4sinx(12cosx+√32sinx)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3=sin2x+√3(1−cos2x)−√3=sin2x−√3cos2x =2sin(2x−π3)，则函数的周期T=2π2=π；(2)由2kπ−π2<2x−π3<2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12<x<kπ+5π12，k∈Z，即函数的增区间为(kπ−π12,kπ+5π12)，k∈Z，当k=0时，增区间为(−π12,5π12)，k∈Z，∵x∈[−π4,π4]，∴此时x∈(−π12,π4]，由2kπ+π2<2x−π3<2kπ+3π2，k∈Z，得kπ+5π12<x<kπ+11π12，k∈Z，即函数的减区间为(kπ+5π12,kπ+11π12)，k∈Z，当k=−1时，减区间为(−7π12,−π12)，k∈Z，∵x∈[−π4,π4]，∴此时x∈[−π4,−π12)，即在区间[−π4,π4]上，函数的减区间为∈[−π4,−π12)，增区间为(−π12,π4].。
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简单的三角恒等变换【学习目标】1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形：sin cos a x b x +x x ⎫⎪⎭令cos ϕϕ==，则sin cos a x b x +)sin cos cos sin x x ϕϕ+)x ϕ+（其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan ba ϕ=确定，或由sin ϕ=和cos ϕ=）2．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式sin cos a x b x +)x ϕ+（或sin cos a x b x +)αϕ-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一个三角函数)x ϕ+（或)αϕ-）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．要点三：半角公式(以下公式只要求会推导，不要求记忆)sin2α=cos 2α=tan2α=以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．sin 1cos tan,tan 21cos 2sin αααααα-==+ 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 要点四：积化和差公式1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+要点诠释：规律1：公式右边中括号前的系数都有12．规律2：中括号中前后两项的角分别为αβ+和αβ-． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．要点五：和差化积公式sin sin 2sincos22x y x yx y +-+= sin sin 2cos sin22x y x yx y +--=cos cos 2cos cos22x y x yx y +-+= cos cos 2sin sin22x y x yx y +--=- 要点诠释：规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．规律2：在所有的公式中，左边都是角A 与B 的弦函数相加减，右边都是2A B +与2A B-的弦函数相乘．规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos ）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如sin cos αβ+就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如1πππcos cos cos 2sin sin 236262αααα⎛⎫⎛⎫-=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．【典型例题】类型一：利用公式对三角函数式进行证明 例1．求证：A AA AA 4tan 4cos 2cos 434cos 2cos 43=+++-．【思路点拨】观察等式左右两边，易知运用倍角公式进行转换．【证法一】12cos 22cos 4312cos 22cos 4322-++-+-=A A A A 左边222cos 24cos 222cos 24cos 22A A A A -+=++12cos 22cos 12cos 22cos 22+++-=A A A A22(cos 21)(cos 21)A A -=+2222)cos 2()sin 2(A A =4tan A ==右边∴ 等式成立【证法二】)4cos 1()2cos 1(4)4cos 1()2cos 1(4A A A A --+---=左边=⋅-⋅-422242222222sin sin cos sin A AA A AA A A A A 222222cos sin 8cos 8cos sin 8sin 8--= 2222sin (1cos )cos (1sin )A A A A -=- 424sin tan cos AA A===右边 ∴ 等式成立【总结升华】 证明题的一般原则是由繁到简．本题从左往右证，方法是弦化切，注意到42A A A →→，然后巧妙地运用二倍角的余弦公式而获解． 举一反三：【变式1】求证：2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 【证明】2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos 1tan 222ααααααααα===++22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222ααααααααα--=-==++ 2222sincos2tansin 222tan cos cos sin 1tan 222ααααααααα===--．【变式2】 证明：cos cos(120)cos(120)tan sin sin(120)sin(120)2A B B A BB A A +︒++︒-+=+︒+-︒-．【证明】cos cos(120)cos(120)sin sin(120)sin(120)A B B B A A +︒++︒-+︒+-︒-cos 2cos120cos sin 2cos120sin A BB A+︒=+︒ cos cos 2222sin sin 2222A B A B A B A B A B A B A B A B +-+-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sinsin 22tan 22cos sin 22A B A BA B A B A B +--+==+--． 例2．已知βαβθθαθθ2cos 2cos 2,sin cos sin ,sin 2cos sin 2===+求证：． 【证明】方法一： αα2sin 212cos -=Θ()ααα22sin 42sin 2122cos 2-=-=∴ 将αθθsin 2cos sin =+代入：()2cos sin 22cos 2θθα+-=()θθθθ22cos cos sin 2sin 2++-=θθcos sin 21-=又,sin cos sin 2βθθ=Θ ββα2cos sin 212cos 22=-=∴ 方法二：βθθαθθ2sin cos sin ,sin 2cos sin ==+Θ， 又()βθθθθ22sin 21cos sin 21cos sin +=+=+Θ，βα22sin 21sin 4+=∴,1cos 21cos 241222αβ--∴⋅=+⋅， ()()βα2cos 112cos 12-+=-∴，βα2cos 2cos 2=∴．【总结升华】证明条件三角恒等式要注意观察条件和所要证的等式中角、三角函数名称、运算等方面的关系．方法一用代入法把θα化成，再把βθ化成；方法二中利用恒等式()θθθθcos sin 21cos sin 2+=+消去条件中θθcos sin 的方法，即消元法，这是三角变换中常用的方法．类型二：利用公式对三角函数式进行化简 例3． 已知322πθπ<<【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式21sin sin cos 22θθθ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭，于是【解析】原式sincossincos2222θθθθ=+--，∵322πθπ<<，∴342πθπ<<，∴0sin 22θ<<，1cos 22θ-<<- 从而sincos022θθ+<，sincos022θθ->，∴原式sin cos sin cos 2sin 22222θθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos 2θ，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到322πθπ<<，则sin 0θ<，cos 0θ>，设x =x ＜0，则2222cos x θ=-=-=-，又342πθπ<<，故sin 02θ>，从而2sin 2x θ==-． 举一反三： 【变式13,22αππ⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【解析】∵3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos α＞0cos α=，∴原式=3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 02α>，sin 2α=．即原式=sin 2α． 类型三：利用公式进行三角函数式的求值例4． 已知1sin sin 31cos cos 2αβαβ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，试求sin()αβ+的值．【解析】 解法一：由①2+②2，得1322cos()36αβ--=，即59cos()72αβ-=． 再将①②两边分别相乘，得111sin 2sin 2sin()226αβαβ+-+=-， 即1sin()cos()sin()6αβαβαβ+--+=-．将59cos()72αβ-=代入上式，得12sin()13αβ+=． 解法二：因为2sin sin3cos cos 222sin sin 2cos sin 22αβαβαβαβαβαβ+----==+--tan 2αβ+=-， 所以3tan 22αβ+=，再由例1的【变式1】中的公式可得：22tan 2sin()sin 221tan 2αβαβαβαβ++⎛⎫+=⨯= ⎪+⎝⎭+3212291314⨯==+． 【总结升华】 将条件进行加、减、乘、除以及对条件式进行平方再进行运算都是常用的解题手段，当然这需要根据题设条件灵活处理． 举一反三：【变式1】若tan α＋1tan α＝103，α∈(4π，2π)，则sin(2α＋4π)的值为( ) AC.10D. 10【答案】A【解析】 由tan α＋1tan α＝103⇒(tan α－3)(3tan α－1)＝0得tan α＝3或tan α＝13，由α∈(4π，2π)得tan α>1，故tan α＝13舍去，而sin(2α＋4π)＝2×sin 2cos 21αα+＝2×22222sin cos cos sin sin cos αααααα+-+，将分式分子与分母同除以cos 2α得sin(2α＋4π)＝2×222tan 1tan 1tan ααα+-+＝－10. 【变式2】若sin cos sin cos αααα+-＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________ .【答案】43【解析】∵sin cos sin cos αααα+-＝tan 1tan 1αα+-＝3，∴tan α＝2.又tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan()tan 1tan()tan αβααβα-+--⋅＝43.类型四：三角恒等变换的综合应用【高清栏目：简单的三角恒等变换401793 例4】 例5．已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求： （1）()f x 的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）()f x 的单调区间．【思路点拨】先用降幂公式降幂，然后利用sin cos )a x b x x ωϕ++这个公式把原式进行变形．【答案】（1）|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭2（2）单增区间 3,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦ 单间区间5,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）()sin 2cos 22f x x x =++)24x π++ 由x R ∈，2242x k πππ∴+=+时即|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭时，max ()2f x =．（2）22,2422x k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦， 即3,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦()f x 是单增函数．322,2422x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦， 即5,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦()f x 是单减函数．举一反三：【变式1】设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA.【答案】（1）12 π（2）13【解析】（1）f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x=1cos 21cos 2cos sin 2sin 23322x x x x ππ--+= 所以函数f(x),最小正周期π. （2）f(3C )=1223C =－41,所以2sin 32C =,因为C 为锐角,所以233C π=,所以2C π=,所以sinA=cosB=31.【变式2】已知函数2()sin cos cos (0)2f x a x x x a b a =⋅++> (1)写出函数的单调递减区间；(2)设]20[π，∈x ，()f x 的最小值是2-，最大值是3，求实数,a b 的值．【答案】（1）511[,],1212k k k Z ππππ++∈（2）22a b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩【解析】1()sin 2(1cos 2)222f x a x x a b =-+++sin 22sin(2)23a x xb a x b π=+=-+ （1）3511222,2321212k x k k x k πππππππππ+≤-≤++≤≤+ 511[,],1212k k k Z ππππ∴++∈为所求 （2）20,2,sin(2)1233323x x x πππππ≤≤-≤-≤-≤-≤min max 3()2,()3,f x a b f x a b =-+=-=+= 3222233a ab b a b ⎧=⎧-+=-⎪⎪⇒⎨⎨=-+⎪⎩⎪+=⎩类型五：三角恒等变换在实际问题中的应用例6．青海玉树地震过后，当地人民积极恢复生产，焊工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1 m ，圆心角3πθ=，厂长要求王师傅按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下钢板面积最大．试问王师傅如何确定A 点位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？【思路点拨】因为A 点是动点，所以连接OA ，设∠AOP=α，然后用α的三角函数来表示平行四边形钢板ABOC 的面积，最后利用三角函数的知识求面积的最大值．【答案】当A 是»PQ的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为36m 3 【解析】连接OA ，设∠AOP=α，过A 作AH ⊥OP ，垂足为H ，在Rt △AOH 中，AH=sin α，OH=cos α．在Rt △ABH 中，tan 603AHBH=︒=，所以3sin 3BH α=，所以3cos sin 3OB OH BH αα=-=-， 设平行四边形ABOC 的面积为S ，则233cos sin sin sin cos sin S OB AH αααααα⎛⎫=⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 13133sin 2(1cos 2)sin 2cos 222αααα=--=+- 313sin 2cos 2sin 22262633ππααα⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由于03πα<<，所以当262ππα+=，即6πα=时，max 333S =-=．所以当A 是»PQ 的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为36m 3． 【总结升华】 解决本题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用α表示，建立S 关于α的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用．举一反三：【变式1】如图ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，其中ATPN 是一半径为90m 的扇形小山，P 是弧TN 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR.（1）设PAB θ∠=，长方形停车场PQCR 面积为S ，求()S f θ= （2）求()S f θ=的最大值和最小值．【答案】（1）100009000(sin cos )8100sin cos S θθθθ=-++（2）14050－90002 950 【解析】（1）作PM ⊥AB 于M 点，又,(090)PAB θθ∠=≤≤o o ，则90cos ,90sin ,AM PM θθ==10090sin ,RP RM PM θ=-=-10090cos ,PQ MB θ==-(10090sin )(10090cos )S PQ PR θθ∴=⋅=--100009000(sin cos )8100sin cos θθθθ=-++（2）设sin cos t θθ+=，即2sin()(0)1242t t ππθθ=+≤≤∴≤≤则21sin cos 2t θθ-=．代入化简得2810010()95029S t =-+． 故当t=910时，S min =950(m 2)；当t=2时，S max =14050－90002(m 2) ．【巩固练习】1．设3sin 52πααπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，1tan()2πβ-=，则tan(2)αβ-的值等于（ ）A ．247-B ．724-C ．247D ．7242．若71sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．79-B ．13-C ．13D ．793．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称4．sin 2002sin 2008cos6sin 2002cos 2008sin 6︒︒-︒︒︒+︒的值是（ ）A ．tan28°B ．－tan28°C ．1tan 28︒D ．1tan 28-︒5．若θ是第二象限的角，且cos02θ<sincos22- ）A ．－1B ．12C ．1D ．2 6．在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cosA ＋cosB ＋cosC 的最大值为( )A.54C ．1 D.327．函数2()cos sin f x x x =+在区间ππ44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值（ ）Ｂ． Ｃ．1-8．函数()cos f x x=（ ）A ．在0,,,22πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上递增，在33,,,222ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上递减 B ．在30,,,22πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭上递增，在3,,,222ππππ⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦上递减 C ．在3,,,222ππππ⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦上递增，在30,,,22πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭上递减D ．在33,,,222ππππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭上递增，在0,,,22πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上递减 9．在△ABC 中，已知cos(4π＋A )＝35，则cos2A 的值为________．10．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．11．已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围是________．12．若()sin sin 44f x a x b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ab ≠0）是偶函数，则有序实数对（a ，b ）可以是________．（注：写出你认为正确的一组数字即可） 13．已知5sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭求下列各式的值． （1）sin 2α；（2）tan()4πα+．14．已知：0<α<2<β<π，cos(β－4π)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos(α＋4π)的值． 15．已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．16．如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且AB ＝1，过点P 作圆的切线PC ，使PC ＝1.连结BC ，当点P 在什么位置时，四边形ABCP 的面积等于12？【答案与解析】 1．【答案】D【解析】 ∵3sin 52πααπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，∴4cos 5α=-，3tan 4α=-，1tan()2πβ-=，∴1tan 2β=-，4tan 23β=-，34tan tan 2743tan(2)1tan tan 21124αβαβαβ-+--===++，故选D ． 2．【答案】A【解析】71sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴1sin 63πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 原式217cos 212sin 2123639ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ．3．【答案】D【解析】因为sin 2cos 222442y x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，对称轴为2x=k π，即()2k x k Z π=∈． 4．【答案】D 【解析】原式sin 2002sin 2008cos(20082002)sin 2002cos 2008sin(20082002)︒︒-︒-︒=︒︒+︒-︒cos 2008cos 2002cos 28cot 28sin 2008cos 2002sin 28-︒︒︒==-=-︒︒︒︒，故选D ．5．【答案】A【解析】θ是第二象限的角，且cos02θ<，∴5322422k k θππππ+<<+，k ∈R ，cossin 221sincossincos2222θθθθ-==---，故选A ．6．【答案】D【解析】由sin 2A ＋cos 2B ＝1，得sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B ，故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos2A ＝－cos 2A ＋2cos A ＋1.又0＜A ＜2π，0＜cos A ＜1. ∴cos A ＝12时，有最大值32.7．【答案】D【解析】22241()cos sin 1sin sin sin 52f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-- ⎪⎝⎭，又因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22sin ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选Ｄ．8．【答案】A【解析】原式=2tan ,()2|sin |cos 2tan ()x x x x x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩在一、二象限，在三、四象限，图象如图所示． 9．【答案】 【解析】cos(4π＋A )＝cos 4πcos A －sin 4πsin A ＝22(cos A －sin A )＝35， ∴cos A －sin A ＝32＞0. ① ∴0＜A ＜4π，∴0＜2A ＜2π ①2得1－sin2A ＝1825，∴sin2A ＝725. ∴cos2A ＝2241sin 225A -=. 10．【答案】1[,1]2-，[,]62ππ【解析】第一问略．（2）因为x ∈[-π/6，a]，所以2x+π/6∈[-π/6，2a+π/6]，因为值域是[-1/2，1]，画一个单位圆可知定义域的长度是小于2π的．然后通过单位圆可知2a+π/6小于等于7π/6 ，大于等于π/2，所以a ∈[π/6，π/2] 11．【答案】[－12，12] 【解析】法一：设x ＝cos αsin β， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12＋x ， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝12－x . ∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴11121112x x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩ ∴31221322x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩ ∴－12≤x ≤12. 法二：设x ＝cos αsin β，sin αcos βcos αsin β＝12x . 即sin2αsin2β＝2x .由|sin2αsin2β|≤1，得|2x |≤1，∴－12≤x ≤12. 12．【答案】（－2，2）【解析】由442x x πππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()sin cos 44f x a x b x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 4a x b πϕϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由于函数y=cos x 的对称轴为x=k π（k ∈Z ），因此只需4k πϕπ+=（k ∈Z ）即可，于是4k πϕπ=-（k ∈Z ），此时tan ϕ=－1，∴a+b=0．于是取任意一对非零相反数即可，如（1，－1）． 13．【解析】Q14．【解析】(1)法一：∵cos(β－4π)＝cos 4πcosβ＋sin 4πsinβ ＝13. ∴cosβ＋sinβ＝3. ∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79. 法二：sin2β＝cos(2π－2β) ＝2cos 2(β－4π)－1＝－79.(2)∵0<α<2π<β<π，∴4π<β－4π<34π，2π<α＋β<32π.∴sin(β－4π)>0，cos(α＋β)<0. ∵cos(β－4π)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－4π)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos(α＋4π)＝cos[(α＋β)－(β－4π)] ＝cos(α＋β)cos(β－4π)＋sin(α＋β)sin(β－4π) ＝－35×13＋4522823-.15．【解析】（1）因为31()4cos sin 14cos cos 1622f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2322cos 132cos 22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π．（2）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤． 于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值－1．16．【解析】设∠PAB=α，连结PB. ∵AB 是直径，∴∠APB=90°. 又AB=1，∴PA=cosα，PB=sinα. ∵PC 是切线，∴∠BPC=α.又PC=1， ∴S 四边形ABCP =S △APB +S △BPC=11sin 22PA PB PB PC α⋅+⋅⋅=211cos sin sin 22ααα+=11sin 2(1cos 2)44αα+-=11(sin 2cos 2)44αα-+=1)444πα-+11)442πα-+=sin(2)42πα∴-=．又30,,2,2444ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2,444πππαα∴-=∴=故当点P 位于AB 的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP 的面积等于12．。
人教A版 数学 必修4 第3章 三角恒等变换章末复习 优等生专用 (解析版)
公式总结1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin α cos β±cos α sin β； cos(α∓β)＝cos α cos β ± sin α sin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4 4. 升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α， 1－cos 2α＝2sin 2α， 1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2 .5. 降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2.6. 半角公式sin α2＝±1－cos α2 cos α2＝± 1＋cos α2， tan α2＝± 1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α7. 辅助角公式 a sin x ＋b cos x22ba +=)cos sin (2222x ba b x ba a +++22b a +=)cos sin sin (cos x x ϕϕ+三角恒等变换章末复习=a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba8. 万能公式sin α ＝2sin α 2cos α2＝2sinα 2cos α 2sin 2α 2＋cos 2α 2＝2tan α21＋tan2α 2.cos α ＝cos 2α 2－sin 2α2＝cos 2α 2－sin 2α 2sin 2α 2＋cos 2α 2＝1－tan 2α21＋tan2α 2.一、选择题1．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin α2的值为( )A ．－55 B.55 C ．±55D ．±15解析：选C 因为tan α＝43，所以sin αcos α＝43.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝35或⎩⎨⎧sin α＝－45，cos α＝－35.因为α为第一象限角，所以α2为第一、三象限角，且⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝35，所以sin α2＝±1－cos α2＝± 1－352＝±55. 2．函数f (x )＝12(1＋cos 2x )·sin 2x (x ∈R)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数确定，由其中2222cos sin b a a b a b +=+=ϕϕϕ练习C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选D 因为f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，选D.3. 1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( ) A.33B. 3C ．tan 6° D.1tan 6°解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.4．在△ABC 中，若2sin B 2cos B 2sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．非等腰三角形D ．直角三角形解析：选B 在△ABC 中，因为2sin B 2cos B 2sin C ＝cos 2A 2，所以sin B sin C ＝cos 2A2，即sinB sinC ＝1＋cos A2，2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，即cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，所以cos(B －C )＝1，B －C ＝0，B ＝C ，故选B.5．在△ABC 中，若tan Atan B>1，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 解析：选A 由tan Atan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角． 又tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan Atan B <0，即tan C ＝－tan(A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．6．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 解析：选C ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－(B ＋C )．由已知可得 sin(B ＋C )＝2sin C cos B ⇒sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B ⇒sin B cos C －cos B sin C ＝0⇒sin(B －C )＝0. ∵0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π.∴B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．7．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365 C.6365 D.3365解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A.8．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 2D ．1＋ 3 解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1，∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋ tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.9．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154 B ．±158 C ．－158 D.158解析：选C 因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin 2x ＝2sin x cos x ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C.10．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.32 B.12 C.34D ．1 解析：选A 由已知得(sin α－sin β)2＝⎝⎛⎭⎫1－322，①(cos α－cos β)2＝⎝⎛⎭⎫122，② ①＋②得2－2cos(α－β)＝1－3＋34＋14，∴cos(α－β)＝32.故选A.二、填空题1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝________. 解析：56 因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23. 所以cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－α2＝1＋232＝56.2．若函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为6，则m ＝________. 解析：3 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1，∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6.所以当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝2＋m ＋1＝6，∴m ＝3.3．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：钝角 由已知得⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13.∴tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B＝531－13＝52，在△ABC 中，tan C ＝tan[π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形．4．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， 所以f (x )的最大值为1.三、解答题1. 化简：1＋sin 3α－2sin 2⎝⎛⎭⎫45°－α2cos α－1＋2cos 23α2.解：原式＝sin 3α＋cos (90°－α)cos α＋cos 3α＝sin 3α＋sin αcos α＋cos 3α＝2sin 2αcos α2cos 2αcos α＝tan 2α.2. 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值．解：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.3. 已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．解：∵π2<β<α<3π4，∴0＜α－β＜π4.∵cos(α－β)＝1213，∴sin(α－β)＝1－144169＝513. ∵π2＜α＜3π4，π2＜β＜3π4，∴π＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝－1－925＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝ 1213×⎝⎛⎭⎫－45－513×⎝⎛⎭⎫－35＝－3365.4. 已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值． 解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22. (2)因为f (α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )图象的对称轴方程、对称中心的坐标； (3)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的最大、最小值．解：f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －22·1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－ 2. (1)函数f (x )的最小正周期为π.(2)令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝12k π＋π8(k ∈Z)，所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝12k π＋π8(k ∈Z)．令2x ＋π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝12k π－π8(k ∈Z)． 所以函数f (x )图象的对称中心的坐标是⎝⎛⎭⎫12k π－π8，－2(k ∈Z)． (3)当0≤x ≤π2时，π4≤2x ＋π4≤5π4，－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1， 所以当x ＝π2时，f (x )取最小值－322，当x ＝π8时，f (x )取最大值1－ 2.6．已知sin x 2－2cos x 2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos 2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24.11。
高中数学必修4第三章_三角恒等变换知识点
111高中数学必修4第三章三角恒等变换知识点⑴商的关系： ① tan y sin x cos ②cotx cos y sin ③sin y cos ta n④cosx .r r⑵倒数关系： tan cot 1⑶平方关系： sin 2 cos 212、两角和与差的正弦、 余弦和正切公式：⑴cos cos cos sin sin:⑵ cos cos cos ⑶sin sin cos cos sin :⑷ sinsin cos ⑸ta ntan tan(tan tantan 1 1 tan tan ⑹ta n tan tan (tan tantan 11 tan tan1、同角关系: cos sintan tan 余弦和正切公式: 3、二倍角的正弦、 sin sin tan tan⑴ si n2 2sin cos 1 sin 2 sin 2 cos 22si n cos (sincos )2⑵ cos2 2 cos.2 sin 2cos 21 1 2si n 2升幕公式 cos 降幕公式 cos 2c 22cos — 2 cos2 1 1 cos 2sinsin 221 cos2⑶tan2羊1 tan 24、万能公式: ① sin 22 ta n 1 tan 2② cos2ta n 2 tan 2 ③ tan 22ta n 1 tan 2④ si n 2tan 21 tan 2⑤ cos 2_____1 tan 25、半角公式cos—2sin —2cos tan2 cossin 1 cos1 cos sin（后两个不用判断符号，更加好用）6、asin bcos . a2b2sin(（其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tanb-)a2。
必修4-第三章三角恒等变换-知识点详解
必修4 第三章三角恒等变换知识点详解3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2. 倍角公式：()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-3. 正切变形公式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)3.2 简单的三角恒等变换三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， （2）公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.4知识点总结含同步练习题及答案
例题： 求 sin 18∘ 的值． 解：因为 sin 36∘ = cos 54∘ ，所以
sin 36∘ = 2 sin 18∘ cos 18∘ = 4 cos3 18∘ − 3 cos 18∘ ，
因为 cos 18∘ ≠ 0 ，所以
因为 cos 18∘ ≠ 0 ，所以
2 sin 18∘ = 4 cos2 18∘ − 3,
即 2 sin 18∘ = 4 − 4 sin 2 18∘ − 3，整理得 4 sin 2 18∘ + 2 sin 18∘ − 1 = 0，故
sin 18∘ =
√5 − 1 ． 4
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高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 三角恒等变换 3.4 三倍角公式（补充）
一、学习任务 能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换，了解三倍角公式． 二、知识清单
三倍角公式
三、知识讲解
1.三倍角公式 描述： 正弦 − 4 sin 3 α = 4 sin α sin(
证明：
π π + α) sin( − α) 3 3
sin 3α = = = = =
余弦三倍角公式
sin(2α + α) sin 2α cos α + cos 2α sin α 2 sin α cos2 α + (1 − 2 sin 2 α) sin α 2 sin α(1 − sin 2 α) + sin α − 2 sin 3 α 3 sin α − 4 sin 3 α. π π + α) cos( − α) 3 3
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α = 4 cos α cos(
数学必修四第三章三角恒等变换知识点总结与测试
第三章 三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sinsin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒221cos 2cos1cos 2sin22αααα+=-=，⇒2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．⑶22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()22sin cos sin α+=++a x b x a b x ，2222cos sin a b a ba bϕϕϕ==++其中由，决定四、三角变换方法：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；②2304560304515o ooooo=-=-=；③()ααββ=+-；④()424πππαα+=--； ⑤2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
高中数学 第三章 三角恒等变换章末归纳总结课件 新人教A版必修4
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
三角恒等变换 第三章
章末归纳总结 第三章
1 知识结构 2 专题突破
知识结构
专题突破
Байду номын сангаас
专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
[解析]
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
原式＝cos2θ－31s＋in23θt＋an2θsinθcosθ＋3cos2θ＋53s＋in52θta＋nθ8sinθcosθ
cosθ＋3sinθ
3cosθ＋5sinθ
＝cosθ＋3sincθosθcosθ－sinθ＋3cosθ＋5sicnoθsθcosθ＋sinθ
已知 tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β 均为锐角， 求 cosβ 的值．
[探究] 利用 β＝(α＋β)－α 进行角的代换，则 cosβ＝cos[(α＋ β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
[解析] ∵α、 β 均为锐角，∴0<α＋β<π. 又 cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143.
又 tanα＝4 3， ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489.
∴sinα＝473，从而 cosα＝ 1－sin2α＝17， 故 cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.