大数定律
大数定律
对任意ε > 0 ,估计 µ n 偏离 p 不小于ε 的概率 P(| µ n − p |≥ ε )
P(| µ n − p |≥ ε ) = P(| Sn − np |≥ nε )
(k − np) 2 = ∑ P ( Sn = k ) ≤ ∑ P ( Sn = k ) 2 2 nε k :|k − np|≥ nε k :|k − np|≥ nε
1 0
述计算积分 A = ∫ f ( x) dx 的 Monte Carlo 法.
设 X1 , Y1 , X 2 , Y2 ,⋯ 是相互独立的随机变量序列, 且都服从[0,1] 上的均匀分布.设 1 若f ( X i ) ≥ Yi Zi = , 0 若f ( X i ) < Yi
则 Zi = 1当且仅当 ( X i , Yi ) 落在曲线 f ( x) 下面阴影中.因而
µ n = Sn / n
当 n 无限增大时,频率 µ n 在某一确定值附近趋于稳定，这一确 定值称为 A 的概率。
如果 µ n 有极限,自然会把这极限看作这确定值,即 A 的概率.
µ n 是随机变量,通常的数列的极限的定义不适用.
下面证明频率 µ n “依概率收敛”(定义见后)于 p ,因而
概率的统计定义与(以公理 1.1 和公理 1.2 为基础的建立 起来的)概率论理论是相容的.
P(| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
证 2 2) 分别用 ( X − EX ) 2 和ε 2 代替 1)中的 X 和ε 有. 1
P (( X − EX ) 2 |≥ ε 2 ) ≤ E ( X − EX ) 2 / ε 2 ，
由此得
P (| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
大数定律
k 1
定理二（李雅普诺夫(Lyapunov) (L )定理） 设随机变量 数学期望和方差 (k=1,2,…) 1,2,…) ，记 相互独立，它们具有 ，
若存在正数 使得当
时，
则随机变量之和
Zn
的标准化变量
X
k 1 n k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
16
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见。
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每 个别因素对这种综合 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大。 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布。 从或近似服从正态分布 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题。 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 无限增大时 这个和的极限分布是什么呢？
k 1
Bn
21
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
k 1
Bn
的分布函数
Fn ( x)
n X n i i 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
由切比雪夫不等式
2 n 1 n P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
4
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
通俗的解释大数定律
通俗的解释大数定律
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
偶然中包含着某种必然。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律。
大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。
这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。
来源
最早的大数定律的表述可以追溯到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。
1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。
不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现。
因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。
后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin （“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。
直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolmogorov才真正证明了最后的强大数定律。
大数定律
,
X
2 2
,,
X
n
2
,也是相互独立的，
由 E( Xk ) 0, 得 E( Xk2 ) D( Xk ) [E( Xk )]2 2 ,
由辛钦定理知
对于任意正数 ,
有
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
2
2
1.
四、小结
契比雪夫定理的特殊情况
三个大数定理
伯努利大数定理
辛钦定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性.
{ Xn a Yn b }
Xn
a
2
Yn
b
2
,
因此 P{ g( Xn, Yn ) g(a,b) }
P
X
n
a
2
P
Yn
b
2
n 0,
故
lim
n
P{
g(
Xn,
0,
说明每一个随机变量都有数学期望, 检验是否具有有限方差？
Xn2
P
(na )2 1 2n2
0
1
1 n2
(na )2 1 2n2
E
(
X
2 n
)
2(
na
)2
1 2n2
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
大数定律揭示了随机变量行为的规律性，为概率论的应用提供了基础。
大数定律有两种主要形式：弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律
弱大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，其样本均值接近于期望值的概率趋近于1。
换句话说，样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零。
弱大数定律包括切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于满足一定条件的随机变量，如独立同分布的随机变量。
2. 强大数定律
强大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，样本均值几乎确定地收敛于期望值。
也就是说，样本均值与期望值之间的差值几乎为零，而不仅仅是在概率意义下趋近于零。
强大数定律包括辛钦大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于更一般的随机变量，包括不满足独立同分布条件的情况。
大数定律在概率论和统计学中有广泛的应用。
它提供了实验结果稳定性的保证，使我们能够对随机事件进行准确的估计和推断。
无论是在金融领域、生物领域还是工程领域，大数定律都扮演着重要角色。
总结起来，概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
弱大数定律和强大数定律分别描述了样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零和几乎为零的情况。
希望本文对您理解概率论中的大数定律有所帮助。
第05章 大数定律
二、主要内容
大数定律
辛 钦 大 数 定 律 伯 努 利 大 数 定 律
中心极限定理
定 理 一 定 理 二 定 理 三
辛钦定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ), X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望
则对于任意正数
,
E(Xk)
n n
D X k k 1
n
.
的分布函数
F n ( x ) 对于任意
n
Байду номын сангаас
x 满足
X k n k 1 lim Fn ( x ) lim P x n n n
x
1 2π
t
2
e
2
d t ( x ).
近似
定理二(李雅普诺夫定理定理)
设随机变量 们具有数学期望 E(Xk) k , 记 Bn
2
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 和方差： D(X k )
n 2 k
,它
0 ( k 1 , 2 , ),
k 1
2 k
,
若存在正数 1 B
2 k 1 n
Yn a .
P
辛钦大数定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ),
则
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望 E(Xk)
,
X
X n
k 1
1
n
k
依概率收敛于 , 即X .
P
伯努利大数定理
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nA ( X1,Y1), ( X 2 ,Y2 ), , ( Xn ,YnG)落入 D中L个数
由伯努利大数定律有
nA n
P P( A)
D G
的面积 的面积
|
D
D
|
故当 n充分大时 ,的D 面积
|
D
|
nA n
.
8/8
在概率论发展初期，由于概率的数学定义尚未明确，所
以缺乏理解概率收敛的理论基础，故把频率“趋于”概率
{
Xn
}
lim P{|
依概率收n 敛于 X
Xn X
,记为X n
| }
P X .
0
lim P{| X n X | } 0 lim P{| X n X | } 1
n
n
X n P X 的直观含义: 随着 的n 增大,绝对误差
|
Xn
X
|较大的可能性越来越小. 抛硬币试验的频率稳定性
nA
Xn
nA n
P
1 2
n
1
1 2
1/2
1 2
O
n
k
5/8
（伯努利大数定律）设 nA是 次n 独立重复试 验中事件 A 发生的次数,且 P(A) p. 则 0,有
则机独律表变立该，的概则量同定由著有率列0分理雅 作,论,且布通可《（令如历XX具大常比猜1切i,何史X有数称·测比E2伯证上,(相定为术0雪1Xnl努明的,,inl,im同i律》夫第)X第m利第nP的中大,Pii于{一次{数次|,提数D1相1n个| 7试学试出(n定in1互nX大A13验期验i.律X)年独数i望）pAA发立定发不和|设2,生发|方{(}Xi生差n为nn}A}1,0,记相(20i,P互1),独p2, 立的) 随
皮尔逊
li2m40f0n0(x)
对罗于曼随诺机夫斯变基量列,n是80否64有0
X n lim0.X5n ((n)
f1(2x0)12 39699
p)(
逐点不00收..54太敛0902现53 实, 要求太 严!
)
n
4/8
设X , X1, X 2, , X n, 是一列随机变量,若 0,有
则称
视为经大量试验而得到的结果，就象物理学中的定律一样.
在概率论的公理化体系建立以后，大数定律可在理论上
进行严格的证明而成为意义明确的定理，故现在教材上称
为“大数定理”.
为什么叫“大数定律” END 而不叫“大数定理”
立、M均on服te从CaGrl上o 方均法匀的分原布理的主随要机基变于大数定律.
量(随机点设)计算机屏幕上有一矩形区域 G不( 妨设 的G面
积为 1)现.( X用1,鼠Y1标), (在X 2 ,的YG2 )内, 部, (任X画n ,Y一n )封闭曲线 求L, 围成L
的内记部事图件形 D的A 产面{生积的|随D机| .点落入 中D }
6/8
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一. 是 Monte Carlo 方法的主要数学理论基础.
7/8
Monte Carlo 方法或称为计算机随机模拟方法、计算
机仿真方法用是计科算学机与产工生程一中串的相一互种独重要工具.
A {正面朝上 }
nA n 次试验中 A发生的次数
则
A
发生的频率为 蒲丰（1707-17X88n ）
nA n
(n 1, 2,)
法国数学家、自然哲学家
{{X蒲实X n验n}n者丰X1是n(随)机}n变1是4量0n定4列8义在样2本n0A4空8间 上0的.5n函06数9 列
fn (正xX设)n收面函德n敛皮n朝A数:·尔于上摩11逊ff根(12(xx是),13)反f指n24面(:x53朝)1632(2上n007340x80831, 294(a,14,0b)1)5116在有0016261区11963 间174 1(75a1,76b00)..55上..01..18.有.61定420042义81 ,
第五章 大数定律与中心极限定理
2/8
“概率”的概念是如何产生的
设 n次独立重复试验中事件 发A 生的
次数为 nA,则当 n 时,有
随机变量 X n
nA n
p
n重伯努利试验
频怎率样理解“概越率来P(越A)接近”？ 怎样定义极限 lim X n p
n
“频率稳定性”的严格数学描述是什么
3/8Leabharlann “抛硬币”试验将一枚硬币连续抛 n次 ,记
或E变从( X量而1)列设伯nlim的随努存P方机{利（在|差En变n大n辛nA(，A存X量数钦i则)在n1p定大i的|nn{Pllnpii律1{Xm数m,X方|nD,}、}iP定该P(差服{X{切(律条E0|in|从)1n(1比n）件Dk大)1kn(存雪pn,设1可|12(nl数X1)i,X夫在m用{k定k}XP)大,p则是n{“)律}|数Dn1(独同|,i(i即|定2n1n立分1)1iX律有,n}同2布i1},X均分”i0p)要01|布0来,,P求有r代}.人v随辛物替列0机钦介,绍列