贵州省贵阳市高考数学一模试卷(文科)
又 AB∥l⇒AB∥β，C 对 AC⊥l，但 AC 不一定在平面 α 内，故它可以与平面 β 相交、平行，故不一定垂直，所以 D 不一定成立． 高考考点：线面平行、线面垂直的有关知识及应用 易错点：对有关定理理解不到位而出错． 全品备考提示：线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点 掌握
线 AC⊥l，直线 m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一
定成立的是（ ）
A. AB∥m
B. AC⊥m
C. AB∥β
D. AC⊥β
11. 已知点 F1，F2 分别是椭圆 E：
=1 的左、右焦点，
P 为 E 上一点，直线 l 为∠F1PF2 的外角平分线，过点 F2 作 l 的垂线，交 F1P 的延
而椭圆 E：
=1 的 a=5，
2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10， 故选：A．
12.【答案】D
【解析】【分析】 本题考查了函数的图象对称关系，函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力． 求出 f（x）的对称轴，y=|x2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解 方程可得所求值． 【解答】 解：∵f（x）=f（a-x），
O 的球面上，则球 O 的表面积为______． 16. 已知直线 l：x+y-6=0，过直线上一点 P 作圆 x2+y2=4 的切线，切点分别为 A，B，则
四边形 PAOB 面积的最小值为______，此时四边形 PAOB 外接圆的方程为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=bcosC+csinB．
∴f（x）的图象关于直线 x= 对称，
又 y=|x2-ax-5|的图象关于直线 x= 对称，
当 m 为偶数时，两图象的交点两两关于直线 对称，
∴x1+x2+x3+…+xm= •a=2m，解得 a=4． 当 m 奇数时，两图象的交点有 m-1 个两两对称，另一个交点在对称轴上，
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 向量 ， 是相互垂直的单位向量，若向量 =2 +3 ， = -m （m∈R）， • =1，则
m=______． 14. 曲线 y=xex+x+1 在点（0，1）处的切线方程为______． 15. 三棱锥 S-ABC 中，SA，SB，SC 两两垂直，且 SA=3，SB=4，SC=5，其顶点都在球
）
A. -1
B. -3
C. 1 或 3
D. 1 或-3
8. 平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4，则 BD=（ ）
A. 4
B.
C.
D.
9. 等比数列{an}的前 n 项和 Sn=a•2n+1（n∈N*），其中 a 是常数，则 a=（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
10. 已知平面 α⊥平面 β，α∩β=l，点 A∈α，A∉l，直线 AB∥l，直
A. ±1
B. ±3
C. 1 或 3
D. -1 或-3
3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A. y=x3
B. y=|x-1|
C. y=|x|-1
D. y=2x
4. 已知{an}为递增的等差数列，a4+a7=2，a5•a6=-8，则公差 d=（ ）
A. 6
B. -6
C. -2
利用余弦定理：
=
，
故：
，
则：BD2=AD2+AB2-2•AD•AB•cos∠DAB， 解得：BD= ． 故选：B．
直接利用余弦定理求出
，进一步利用余弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运 算能力和转化能力，属于基础题型．
9.【答案】B
【解析】解：n=1 时，a1=S1=2a+1． n≥2 时，an=Sn-Sn-1=a•2n+1-（a•2n-1+1），化为：an=a•2n-1， 对于上式 n=1 时也成立，∴2a+1=a，解得 a=-1． 故选：B． n=1 时，a1=S1=2a+1．n≥2 时，an=Sn-Sn-1，对于上式 n=1 时也成立，解得 a． 本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档
对于 C，y=|x|-1=
，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数，符合题意；
对于 D，y=2x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意； 故选：C．
4.【答案】A
【解析】解：∵{an}为递增的等差数列，且 a4+a7=2，a5•a6=-8， ∴a5+a6=2， ∴a5，a6 是方程 x2-2x-8=0 的两个根，且 a5＜a6， ∴a5=-2，a6=4， ∴d=a6-a5=6， 故选：A． a5，a6 是方程 x2-2x-8=0 的两个根，且 a5＜a6，求解方程得答案． 本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题．
长线于 M，则|F1M|=（）
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
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12. 已知函数 f（x）（x∈R）满足 f（x）=f（a-x），若函数 y=|x2-ax-5|与 y=f（x）图象
的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），且
=2m，则 a=（ ）
A. 1
23. 已知函数 f（x）=|2x+1|-|2x-3|，g（x）=|x+1|+|x-a|．
（l）求 f（x）≥1 的解集；
（2）若对任意的 t∈R，s∈R，都有 g（s）≥f（t）．求 a 的取值范围．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：∵A∩B={2}； ∴2∈B； ∴4-4+m=0； ∴m=0； ∴B={x|x2-2x=0}={0，2}． 故选：D． 根据 A∩B={2}即可得出 2∈B，从而可求出 m=0，解方程 x2-2x=0 得，x=0 或 2，从而得 出 B={0，2}． 考查交集的定义及运算，描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系．
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5.【答案】D
【解析】解：由题意， =1
∴双曲线的离心率 e= =
=．
故选：D．
根据双曲线的渐近线方程，可得 a，b 的关系，利用 e= =
，即可求得结论．
本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：log32＜log33=1，1=log22＜log23＜log24=2，
题．
10.【答案】D
【解析】解：如图所示 AB∥l∥m；A 对 AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B 对 AB∥l⇒AB∥β，C 对 对于 D，虽然 AC⊥l，但 AC 不一定在平面 α 内，故它可以与平面 β 相交、平行，故不 一定垂直；故错． 故选：D． 利用图形可得 AB∥l∥m；A 对
再由 AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B 对
20. 如图，已知直线 L：x=my+1 过椭圆 C： + =1（a＞b
＞0）的右焦点 F，且交椭圆 C 于 A、B 两点，点 A、F 、B 在直线 G；x=a2 上的射影依次为点 D、K、E，若 抛物线 x2=4 y 的焦点为椭圆 C 的顶点． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 L 交 y 轴于点 M， =λ1 ， =λ2 ， 当 M 变化时，求 λ1+λ2 的值．
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21. 已知函数 f（x）=ax2+（a-2）lnx+1（a∈R）．
（1）若函数在点（1，f（1））处的切线平行于直线 y=4x+3，求 a 的值；
（2）令 c（x）=f（x）+（3-a）lnx+2a，讨论 c（x）的单调性；
（3）a=1 时，函数 y=f（x）图象上的所有点都落在区域
男 女 总计
积极型
懈怠型
总计
（2）在张华的这 40 位好友中，从该天行走的步数不超过 5000 步的人中随机抽取 2 人，设抽取的女性有 X 人，求 X＝1 时的概率．
参公式与数据：
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P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.【答案】A
【解析】解：∵z=2+ai，
∴z• =
，
即 a=±1． 故选：A．
由已知结合
列式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于 基础题． 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【解答】 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，y=x3 为幂函数，是奇函数，不符合题意， 对于 B，y=|x-1|，不是奇函数，不符合题意；
步数 性别
0～2000
2001～5000 5001～8000
8001～ 10000
＞10000
男
1
2
4
7
6
女
0
3
9
6
2
（1）若某人一天行走的步数超过 8000 步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈 怠型”，根据题意完成下列 2×2 列联表，并据此判断能否有 90％的把握认为男、 女的“评定类型”有差异？
【贵州省贵阳市】2017年高考一模数学(文科)试卷(附答案)
贵州省贵阳市2017年高考一模数学（文科）试卷一、选择题（共12小题,每小题5分,满分60分） 1．已知i 为虚数单位,则232017i i i i z =++++=（ ）A ．0B ．1C ．﹣iD ．i 2．满足{{1,2}1,2,,4}3P ⊆Ø的集合P 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．某公司某件产品的定价x 与销量y 之间的数据统计表如下,根据数据,用最小二乘法得出y 与x 的线性回归直线方程为：ˆˆ6.517.5yx =+,则表格中n 的值应为（ ）A ．45B ．50C ．55D ．604．已知{}n a 是等差数列,且公差0d ≠,n S 为其前n 项和,且56S S =,则11S =（ ） A ．0B ．1C ．6D ．115．如图的程序框图,如果输入三个数a ,b ,c ,22(0)a b +≠要求判断直线0ax by c ++=与单位圆的位置关系,那么在空白的判断框中,应该填写下面四个选项中的（ ）A ．0?c =B ．0?b =C ．0?a =D ．0?ab =6．某一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长为（ ）A ．2BC ．D ．37．在[0,π]内任取一个实数x ,则1sin 2x ≤的概率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．148．设M 为边长为4的正方形ABCD 的边BC 的中点,N 为正方形区域内任意一点（含边界）,则AM AN 的最大值为（ ） A ．32B ．24C ．20D ．169．经过双曲线的左焦点1F 作倾斜角为30︒的直线,与双曲线的右支交于点P ,若以1PF 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点,则双曲线的离心率为（ ）AB ．2CD10．设SA 为球的直径,B C D 、、三点在球面上,且SA BCD ⊥面,三角形BCD 的面积为3,33S BCD A BCD V V --==，则球的表面积为（ ）A ．16πB ．64πC ．32π3D ．32π 11．设命题p ：若()y f x =的定义域为R ,且函数(2)y f x =-图象关于点(2,0)对称,则函数()y f x =是奇函数,命题q ：0x ∀≥,1123x x ≥,则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝12．过点(22M 作圆221x y +=的切线l,l 与x 轴的交点为抛物线22(0)E y px p =：＞的焦点,l 与抛物线E 交于A B 、两点,则AB 中点到抛物线E 的准线的距离为（ ）A B ． CD ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知2sin cos 3sin cos αααα+=-,则tan2α=_________.14．函数2()f x x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为__________.15．我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家,他在《九章算术圆田术》注重,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法,所谓“割圆术”,即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长无限接近圆的周长,进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率）.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径R ,此时圆内接正六边形的周长为6R ,此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,可得圆周率为3,当正二十四边形内接于圆时,按照上述算法,可得圆周率为______（参考数据：cos150.966︒≈,0.26≈）16．已知数列{}n a 满足：23*1232222(N )nn a a a a n n ++++=∈,数列2211{}log log n n a a +的前n 项和为n S ,则12310S S S S =___________.三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知锐角ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,sin()b A C =+,cos()cos A C B -+=. （1）求角A 的大小； （2）求b c +的取值范围.18．（12分）2017年1月1日,作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园,元旦期间,为了活跃气氛,主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放,现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查,统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况, （1）根据条件完成下列22⨯列联表,并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者,再从中抽取2人参加挑战,求抽取的2人中至少有一名男生的概率. 参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++.19．（12分）底面为菱形的直棱柱1111ABCD A B C D -中,E F 、分别为棱11A B 、11A D 的中点,（1）在图中作一个平面α,使得BD α⊂,且平面AEF α∥（不必给出证明过程,只要求做出α与直棱柱1111ABCD A B C D -的截面）（2）若12AB AA ==,60BAD ∠=︒,求点C 到所作截面α的距离.20．（12分）已知圆1F：22(9x y ++=与圆2F：22(1x y -+=,以圆1F 、2F 的圆心分别为左右焦点的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=＞＞经过两圆的交点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线x =M 、N （M 在第一象限）满足120F M F N =,直线1MF 与2NF 交于点Q ,当||MN 最小时,求线段MQ 的长.21．（12分）设()e x f x x =,21()2g x x x =+. （1）令()()()F x f x g x =+,求()F x 的最小值；（2）若任意12[1)x x ∈-+∞，，且12x x ＞有1212))][((())(m f x x g x g x f --＞恒成立,求实数m 的取值范围. 四、请考生在第22.23题中任选一题作答,如多做,则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲 22．（10分）在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为12cos 6sin 0ρθθρ-+=-,直线l的参数方程为132()3x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点P 的坐标为(3,3),求|||PA PB +|的值. 选修4-5：不等式选讲 23．设()|1||4|f x x x =+--.（1）若2(x)6f m m -+≤恒成立,求实数m 的取值范围；（2）设m 的最大值为0m a b c ，，，均为正实数,当0345a b c m ++=时,求222a b c ++的最小值,贵州省贵阳市2017年高考一模数学（文科）试卷答 案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1~5．DBDAA6~10．DCBCA11~12．CD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．815-． 14．14．15．3.12．16．111． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin()b A C =+，可得：sin b B =， ∴由正弦定理sin sinB sin a b cA C==，可得：sin a A =，sin c C =，cos()cos A C B -+=，可得：cos()cos()A C A C --+=，可得：cos cos sin sin (cos cos sin sin )A C A C A C A C +--=，2sin sin A C ∴=，2ac ∴=，可得：sin a A ==， ∵A 为锐角，π3A ∴=．（2）3a =，π3A =，∴由余弦定理可得：222π2cos 3b c bc -=+，即2234b c bc =+-，整理可得：23()4b c bc +=+， 又22324b c bc bc bc bc =+--=≥，当且仅当b c =时等号成立，23333()4442b c bc ∴+=++=≤，解得：b c +，当且仅当b c =时等号成立，又b c a +=＞，b c ∴+∈． 18．解：（1）列联表2100(15202045) 6.59 6.63535656040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＜，∴不能在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关；（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，男生3名，女生4名，从中抽取2人参加挑战，共有2721C =种方法，全是女生的方法有6种，∴抽取的2人中至少有一名男生的概率为651217-=．19．解：（1）1111B C G D C H BG GH DH 取的中点，的中点，连结，，，1111BDHG ABCD A B C DBDHG αα-则平面就是所求的平面，与直棱柱的截面即为平面．（2）取BC 中点M ，12AB AA ==，60BAD ∠=︒，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DM为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(C -，(0,0,0)D ，B ，G ， DB =，DG =，(DC =-，设平面BDG的法向量(,,)n x y z =，则0320n DB x n DGy z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1y =，得(23,n =-，∴点C 到所作截面α的距离：||4||219n DC d n ===．20．解：（1）由题意，c =，两圆的交点坐标为， 代入椭圆方程可得2242331a b +=， 联立223a b +=，可得22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）设直线1MF 的方程为()y kx k =+＞0，可得)M ，同理N ， 1|MN |)|6k k∴=+≥，当且仅当k =时，|MN|取得最小值6，此时M ，1||6MF =，1||3QF =，||3MQ ∴=．21．解：（1）21()()()e 2x F x f x g x x x x =+=++，()(1)(e 1)x F x x '=++， 令()0F x '＞，解得：1x ＞-，令0F x '（）＜，解得：1x ＜-， 故()F x 在(,1)-∞-递减，在(1,)-+∞递增，故min 1()(1)1eF x F =-=--；（2）若任意12[1)x x -∈+∞，，且12x x ＞有1212[))](())((m f x f x g x g x -﹣＞恒成立， 则任意12[1)x x -∈+∞，，且12x x ＞有1122(())))((0mf x g x mf x g x --＞＞恒成立， 令21()()()e 1,[2x h x mf x g x mx x x x -=-=∈-+∞﹣，）， 即只需()h x 在[1,)-+∞递增即可；故()(1)1(e 0-)x h x x m '=+≥在[1,)-+∞恒成立，故1e x m ≥，而1e e x≤， 故e m ≥．四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲22．解：（1）曲线C 的极坐标方程为12cos 6sin 0ρθθρ+-=-，可得：22cos 6sin 10ρρθρθ-+-=， 可得222610x y x y -+-+=，曲线C 的普通方程：222610x y x y -+-+=．（2）由于直线l的参数方程为132()3x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数． 把它代入圆的方程整理得2250t t +-=，122t t ∴+=-，125t t =-，1||||PA t =，2||||PB t =，12||||||||PA PB t t +=+== ∴||||PA PB +的值选修4-5：不等式选讲23．解（1）51||4|5x x -+--≤|≤． 由于2()6f x m m -+≤的解集为R ，265m m ∴-+≥，即15m ≤≤．（2）由（1）得m 的最大值为5，3455a b c ∴++=由柯西不等式2222222(3453)()(45)25a b c a b c ++++++=≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故22212a b c ++≥．（当且仅当310a =，410b =，510c =时取等号）222a b c ∴++的最小值为12．贵州省贵阳市2017年高考一模文科数学试卷解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【考点】虚数单位i及其性质．【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出．【解答】解：z====i，【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】集合A一定要含有1、2两个元素，可能含有3、4，但不能包含全部，即可得出结论．【解答】解：P可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，个数为3．【点评】子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n 个元素，则集合M的子集共有2n个，真子集2n﹣1个．3．【考点】线性回归方程．【分析】求出、，根据回归直线方程经过样本中心点，求出n的值．【解答】解：由题意可知：=×（2+4+5+6+8）=5，=×（30+40+n+50+70）=38+，∵回归直线方程经过样本中心，∴38+=6.5×5+17.5解得n=60．【点评】本题考查了平均数与回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．4．【考点】等差数列的前n项和．【分析】先求出a6=S6﹣S5=0，由此利用S11=（a1+a11）=11a6，能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且公差d≠0，S n为其前n项和，且S5=S6，∴a6=S6﹣S5=0，∴S11=（a1+a11）=11a6=0．【点评】本题考查数列两项倒数和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．【考点】程序框图．【分析】根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，当c2＜a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，即可得解．【解答】解：根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，当c2＜a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，可得：空白的判断框中，应该填写c=0？【点评】本题考查的知识点是程序框图的作用，点到直线的距离，属于基础题．6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据，即可求出四棱锥中最长的棱长．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个直角梯形OABC，直角梯形的上底是BC=1，下底是AO=2，垂直于底边的腰是OP=2，如图所示：则四棱锥的最长棱长为PB===3．【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是还原出几何体结构特征，是基础题．7．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题属于几何概型的运用，已知区间的长度为π，满足sinx≤，可得0≤x≤或，区间长度为，由几何概型公式解答．【解答】解：在区间[0，π]上，长度为π，当x∈[0，π]时，sinx≤，可得0≤x≤或，区间长度为由几何概型知，符合条件的概率为=．【点评】本题考查解三角函数与几何概型等知识，关键是求出满足条件的x区间长度，利用几何概型关系求之．8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划方法解决问题．【解答】解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，则A=（0，0），M（4，2），则=（4，2），设N点坐标为（x，y），则=（x，y），，∴•=4x+2y，设z=4x+2y，平移目标函数，则过点C（4，4）时有最大值，此时最大值为z=16+8=24，【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，PF2⊥x轴，将x=c代入双曲线方程求出点P的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：由题意，PF2⊥x轴，将x=c代入双曲线的方程得y=，即P（c，）在△PF1F2中tan30°=，即，解得e=．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．10．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V S﹣BCD=3V A﹣BCD=3，求出球的直径，即可得出结论．【解答】解：设三棱锥A﹣BCD的高为h，则三棱锥S﹣BCD的高为3h，球的直径为2R，∵三角形BCD的面积为3，V A﹣BCD=1，∴=1，∴h=1，∴R=2，∴球的表面积为4π•22=16π，【点评】本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．11．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】函数y=f（x﹣2）图象关于点（2，0）对称⇒函数y=f（x﹣2）图象关于点（0，0）对称，则函数y=f（x）是奇函数，故命题p为真命题；当x=时，x=，x=，此时，x＜x，故命题q是假命题．所以p∧￢q为真命题．【解答】解：若y=f（x）的定义域为R，且函数y=f（x﹣2）图象关于点（2，0）对称⇒函数y=f（x）图象关于点（0，0）对称，则函数y=f（x）是奇函数，故命题p为真命题；当x=时，x=，x=，此时，x＜x，故命题q是假命题．所以p∧￢q为真命题，【点评】本题考查了复合命题真假的判定，属于基础题．12．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】利用已知条件求出切线方程，求出抛物线的焦点坐标，得到抛物线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出中点的横坐标，然后求解结果．【解答】解：过点M（，﹣）作圆x2+y2=1的切线l，点在圆上，可得曲线的斜率为：1，切线方程为：y+=x﹣，可得x﹣y﹣=0，直线与x轴的交点坐标（，0），可得抛物线方程为：y2=4x，，可得x2﹣6+2=0，l与抛物线E交于A（x1，y1）、B（x2，y2），可得：x1+x2=6，则AB中点到抛物线E的准线的距离为：3=4．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知及同角三角函数间的基本关系式即可求出tanα的值，由二倍角的正切公式即可求值．【解答】解：由=，可得：tanα=4，那么：tan2α==【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系式，二倍角的正切公式的应用，属于基本知识的考查．14．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，求出切点，代入点斜式方程，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入三角形的面积公式求解．【解答】解：函数f（x）=x2的导数为f′（x）=2x，可得在x=1处的切线斜率为2，切点为（1，1），即有在x=1处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），令x=0，可得y=﹣1；y=0，可得x=．则围成的三角形的面积为×1×=．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题．15．【考点】模拟方法估计概率．【分析】求出边长为≈0.26R，周长为0.26×24R=2πR，即可得出结论．【解答】解：正二十四边形的圆心角为15°，圆的半径R，边长为≈0.26R，周长为0.26×24R=2πR，∴π=3.12，故答案为3.12．【点评】本题考查模拟方法估计概率，考查学生的计算能力，比较基础．16．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】根据2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，求出a n=，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到=﹣，裂项求和得到S n，代值计算即可．【解答】解：∵2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，∴2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1a n﹣1=n﹣1，∴2n a n=1，∴a n=，∴===﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴S1•S2•S3…S10=×××…××=，故答案为：【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a=sinA，c=sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAsinC=，从而可求a==sinA，结合A为锐角，可求A的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求b+c≤，由三角形两边之和大于第三边可得b+c＞a=，即可得解b+c的范围．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式以及三角形两边之和大于第三边等知识的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．18．【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可得出结论；（2）利用古典概型的概率公式求解即可．【点评】本题考查独立性检验知识的运用，考查概率的计算，考查学生对数据处理的能力，属于中档题．19．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】（1）取B1C1的中点G，D1C1的中点H，连结BG，GH，DH，则平面BDHG就是所求的平面α．（2）取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到所作截面α的距离．【点评】本题主要考查满足条件的平面的作法，考查点到直线的距离的求法，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．20．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意，c=，两圆的交点坐标为（，±），代入椭圆方程可得=1，联立a2+b2=3，求出a，b，即可得到椭圆方程；（2）求出M，N的坐标，利用基本不等式求出|MN|的最小值，即可得出结论．【点评】本题考查椭圆方程，考查直线方程，考查基本不等式的运用，属于中档题．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）求出函数F（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（2）问题转化为任意x1，x2∈[﹣1，+∞）且x1＞x2有mf（x1）﹣g（x1）＞mf（x2）﹣g（x2）＞0恒成立，令h（x）=mf（x）﹣g（x）=mxe x﹣x2﹣x，x∈[﹣1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程；参数方程的优越性．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可．（2）把直线方程代入圆的方程化简可得t的二次方程，利用根与系数的关系，以及|PA|=|t1|，|PB|=|t2|求出|PA|•|PB|．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数t 的几何意义，是基础题．选修4-5：不等式选讲23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求出f（x）=|x+1|﹣|x﹣4|的最大值，f（x）max≤﹣m2+6m即可．（2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25【点评】本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题．。
2019年贵州省贵阳市高考数学一模试卷(文科)-(解析版)
2019年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设设集合A ={1，2，3}，B ={x |x 2-2x +m =0}，若A ∩B ={2}，则B =（ ）A. {0}B. {2}C. {1}D. {0,2} 2. 复数z =2+ai （a ∈R ）的共轭复数为z −，若z •z −=5，则a =（ ）A. ±1B. ±3C. 1或3D. −1或−3 3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）A. y =x 3B. y =|x −1|C. y =|x|−1D. y =2x 4. 已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d =（ ）A. 6B. −6C. −2D. 45. 若双曲线x 2a2-y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y =±x ，则双曲线的离心率为（ ） A. √3B. 2C. √5D. √26. 设a =log 32，b =log 23，c =512，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a >c >bB. b >c >aC. c >b >aD. c >a >b7. 执行如图的程序框图，如果输出的S =3，则输入的t =（ ）A. −1B. −3C. 1或3D. 1或−38. 平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =3，AC =4，则BD =（ ）A. 4B. √10C. √19D. √79. 等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n +1（n ∈N *），其中a 是常数，则a =（ ）A. −2B. −1C. 1D. 210. 已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A. AB//m B. AC ⊥m C. AB//βD. AC ⊥β11. 已知点F 1，F 2分别是椭圆E ：x 225+y 29=1的左、右焦点，P 为E 上一点，直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线，过点F 2作l 的垂线，交F 1P 的延长线于M ，则|F 1M |=（ ）A. 10B. 8C. 6D. 412. 已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （a -x ），若函数y =|x 2-ax -5|与y =f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），且∑x i m i=1=2m ，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 向量i ⃗，j ⃗是相互垂直的单位向量，若向量a ⃗⃗=2i ⃗+3j ⃗，b ⃗⃗=i ⃗-m j ⃗（m ∈R ），a ⃗⃗•b ⃗⃗=1，则m =______．14. 曲线y =xe x +x +1在点（0，1）处的切线方程为______．15. 三棱锥S -ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA =3，SB =4，SC =5，其顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为______．16. 已知直线l ：x +y -6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最小值为______，此时四边形PAOB 外接圆的方程为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b cos C +c sin B ．（1）求B ；（2）求y =sin A -√22sin C 的取值范围．18. 运动健康已成为大家越来越关心的话题，某公司开发的一个类似计步数据库的公众号．手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 和点赞．现从张华的好友中随机选取40人（男、女各20人），记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如表：步数 性别 0～2000 2001～5000 5001～8000 8001～10000 ＞10000 男 1 2 4 7 6 女3962（1）若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下列2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异？积极型 懈怠型 总计男 女 总计（2）在张华的这40位好友中，从该天行走的步数不超过5000步的人中随机抽取2人，设抽取的女性有X 人，求X =1时的概率． 参考公式与数据： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．19. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =2，点M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面△ADM ⊥平面ABCM ． （1）求证：AD ⊥BM ；（2）求点C 到平面BDM 的距离．20. 如图，已知直线L ：x =my +1过椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线G ；x =a 2上的射影依次为点D 、K 、E ，若抛物线x 2=4√3y 的焦点为椭圆C 的顶点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线L 交y 轴于点M ，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，当M 变化时，求λ1+λ2的值．21. 已知函数f （x ）=ax 2+（a -2）ln x +1（a ∈R ）．（1）若函数在点（1，f （1））处的切线平行于直线y =4x +3，求a 的值； （2）令c （x ）=f （x ）+（3-a ）ln x +2a ，讨论c （x ）的单调性；（3）a =1时，函数y =f （x ）图象上的所有点都落在区域{y ≥tx −x 2x>0内，求实数t 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =2+2sinαx=2cosα（α为参数），曲线C 2的方程为（x -1）2+（y -1）2=2．（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）直线θ=β（0＜β＜π）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |的最大值．23. 已知函数f （x ）=|2x +1|-|2x -3|，g （x ）=|x +1|+|x -a |．（l ）求f （x ）≥1的解集；（2）若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g （s ）≥f （t ）．求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A∩B={2}；∴2∈B；∴4-4+m=0；∴m=0；∴B={x|x2-2x=0}={0，2}．故选：D．根据A∩B={2}即可得出2∈B，从而可求出m=0，解方程x2-2x=0得，x=0或2，从而得出B={0，2}．考查交集的定义及运算，描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系．2.【答案】A【解析】解：∵z=2+ai，∴z•=，即a=±1．故选：A．由已知结合列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3为幂函数，是奇函数，不符合题意，对于B，y=|x-1|，不是奇函数，不符合题意；对于C，y=|x|-1=，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数，符合题意；对于D，y=2x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵{a n}为递增的等差数列，且a4+a7=2，a5•a6=-8，∴a5+a6=2，∴a5，a6是方程x2-2x-8=0的两个根，且a5＜a6，∴a5=-2，a6=4，∴d=a6-a5=6，故选：A．a5，a6是方程x2-2x-8=0的两个根，且a5＜a6，求解方程得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题．5.【答案】D【解析】解：由题意，=1∴双曲线的离心率e===．故选：D．根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用e==，即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：log32＜log33=1，1=log22＜log23＜log24=2，；∴c＞b＞a．故选：C．可以得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、幂函数的单调性，以及增函数的定义，对数的运算．7.【答案】C【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=的值，由于输出的S=3，则当t≥1时，可得：4t-t2=3，解得：t=3，或1，当t＜1时，可得：3t=3，解得t=1（舍去）．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=的值，根据S的值，分类讨论即可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：如图所示：平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，AC=4，则：在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，利用余弦定理：=，故：，则：BD2=AD2+AB2-2•AD•AB•cos∠DAB，解得：BD=．故选：B．直接利用余弦定理求出，进一步利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】B【解析】解：n=1时，a1=S1=2a+1．n≥2时，a n=S n-S n-1=a•2n+1-（a•2n-1+1），化为：a n=a•2n-1，对于上式n=1时也成立，∴2a+1=a，解得a=-1．故选：B．n=1时，a1=S1=2a+1．n≥2时，a n=S n-S n-1，对于上式n=1时也成立，解得a．本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：如图所示AB∥l∥m；A对AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对AB∥l⇒AB∥β，C对对于D，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故错．故选：D．利用图形可得AB∥l∥m；A对再由AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B 对又AB∥l⇒AB∥β，C对AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直，所以D不一定成立．高考考点：线面平行、线面垂直的有关知识及应用易错点：对有关定理理解不到位而出错．全品备考提示：线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握11.【答案】A【解析】解：如图，由直线1为∠F1PF2的外角平分线，l⊥F2M，可得|PM|=|PF2|，而椭圆E ：=1的a=5，2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10，故选：A．由题意可得三角形PMF2为等腰三角形，|PM|=|PF2|，运用椭圆的定义，计算可得所求值．本题考查椭圆的定义，以及等腰三角形的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称，当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=2对称，∴x1+x2+x3+…+x m =•a=2m，解得a=4．当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两对称，另一个交点在对称轴上，∴x1+x2+x3+…+x m =a•+=2m．解得a=4．故选：D．求出f（x）的对称轴，y=|x2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值．本题考查了函数的图象对称关系，函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】13【解析】解：∵•=（2+3）•（-m）=22-3m2+（3-2m）•=2-3m又已知•=1，所以2-3m=1，解得m=故答案为：．利用向量数量积的性质运算得到•，与已知相等，列式解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14.【答案】2x-y+1=0【解析】解：y=xe x+x+1的导数为y′=（1+x）e x+1，可得曲线在点（0，1）处的切线斜率为1+1=2，则曲线在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．故答案为：2x-y+1=0．求得函数y的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】50π【解析】解：由SA，SB，SC两两垂直，联想长方体，利用长方体外接球直径为其体对角线长可得球直径为=，∴=50π，故答案为：50π．利用三线垂直联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，容易求解．此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大．16.【答案】2√14（x-32）2+（y-32）2=92【解析】解：圆x2+y2=4的半径为2，圆心为（0，0），由切线性质可知OA⊥AP，∴AP=，又△OAP 的面积S==，∴当OP 取得最小值时，△OAP 的面积取得最小值，又OP 的最小值为O 到直线l 的距离d==3．∴四边形PAOB 面积的最小值为：2S △OAP =2=2．此时，四边形PAOB 外接圆直径为d=3．∵OP ⊥直线l ，∴直线OP 的方程为x-y=0． 联立方程组，解得P （3，3），∴OP 的中点为（，），∴四边形PAOB 外接圆的方程为（x-）2+（y-）2=．故答案为：2，（x-）2+（y-）2=．求出O 到直线l 的最短距离即可得出四边形的最小面积，求出此时P 的坐标，得出OP 的中点坐标，从而得出外接圆方程．本题考查了圆的切线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题． 17.【答案】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：sin A =sin B cos C +sin C sin B ，即sin （B +C ）=sin B cos C +sin C sin B ， 故 cos B sin C =sin C sin B ， 因为 sin C ≠0， 所以 cos B =sin B ， 因为 0＜B ＜π，所以 B =π4；………………………………………………………（6分） （2）因为B =π4， 所以y =sin A -√22sin C =sin （3π4-C ）-√22sin C =sin 3π4cos C -cos 3π4sin C =√22cos C ，又因为0＜C ＜3π4，且y =√22cos C 在（0，3π4）上单调递减，所以y =sin A -√22sin C 的取值范围是（-12，√22）．………………………………（12分）【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosBsinC=sinCsinB ，由sinC≠0，可求cosB=sinB ，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值．（2）由B=，利用三角函数恒等变换的应用可求y=cosC ，由0＜C ＜，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．积极型 懈怠型 总计 男 13 7 20 女 8 12 20总计2119K 2=40(13×12−7×8)2(13+7)(8+12)(13+8)(7+12)=100399≈2.506＜2.706，因此，没有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异；………………………（6分）（2）该天行走的步数不超过5000步的人有3男2女共6人，设男生为A 、B 、C ，女生为a ，b ，c ，A B C a b c A ABAC Aa Ab Ac B BCBa Bb Bc C CaCb Cc a abac b bcc=1”包含的基本事件个数N =9， 所以P （X =1）=915=35………………（12分） 【解析】（1）先得2×2列联表，再根据列联表计算K 2的观测值，并结合临界值表可得； （2）用列举法列举出所有基本事件的种数以及x=1包含的基本事件后根据古典概型的概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.【答案】（1）证明：取AM 中点O ，连结DO ，因为平面ADM ⊥平面ABCM ，AD =DM ，所以OD ⊥平面ABCM ，DO ⊥BM ， 易知AM ⊥BM ，所以MB ⊥平面ADM ，所以BM⊥AD；………………………………………………………（6分）（2）解：∵在矩形ADCB中，AB=2BC=2，点M为DC的中点，∴DM=CM=12CD=1，BM=AM=√AD2+MD2=√2，DO=12AM=√22，由（1）知MB⊥平面ADM，DM⊂平面ADM，∴BM⊥DM，S△BDM=12×BM×DM=12×√2×1=√22．，又∵DO⊥平面ABCM，∴V D−BCM=13S△BCM×DO=13×12×1×1×√22=√212．，记点C到平面BDM的距离为h，∴V C-BDM═13S△BDM⋅ℎ=13×√22ℎ，又∵v D-BCM=V C-BDM∴1 3×√22ℎ=√212，解得h=12，∴点C到平面BDM的距离为12．………………………………………………………（12分）【解析】（1）取AM中点O，连结DO，可得DO⊥BM，AM⊥BM，MB⊥平面ADM，即可得BM⊥AD；（2）×=．，记点C到平面BDM的距离为h，V C-BDM═，又v D-BCM=V C-BDM，即可得点C到平面BDM的距离．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点线面距离的求法，考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：（1）抛物线x2=4√3y的焦点为（0，√3），且为椭圆C的上顶点∴b=√3，∴b2=3，又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4．∴椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线x=my+1代入椭圆方程，整理可得：（3m2+4）y2+6my-9=0，故△=144（m2+1）＞0．∴y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4∴1y1+1y2=2m3∵MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴（x1，y1+1m）=λ1（1-x1，-y1）．∴λ1=-1-1my1．同理λ2=-1-1my2∴λ1+λ2=-2-1m（1y1+1y2）=-83．【解析】（1）求出抛物线的焦点，可得b的值，结合F的坐标，即可确定椭圆的方程；（2）直线x=my+1代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可求λ1+λ2的值．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，考查向量知识的运用，联立方程组，利用韦达定理解题是解题的关键．21.【答案】解：函数的定义域为（0，+∞），（1）f′（x）=2ax+a−2x，由题意f′（1）=4，所以2a+（a-2）=4，解之得：a=2………………………………………………………………（4分）（2）由已知c（x）=ax2+ln x+2a+1，则c′（x）2ax+1x=2ax2+1x，当a≥0，则当x∈（0，+∞）时，有c′（x）＞0，故c（x）在x∈（0，+∞）上单调递增；当a＜0，则当x∈（0，√−12a）时有c′（x）＞0，当x∈（√−12a，+∞））时有c′（x）＜0，故c（x）在（0，√−12a）单调递增，在（√−12a，+∞）单调递减；……………（8分）（3）a=1时，f（x）=x2-ln x+1，即当x＞0时恒有x2-ln x+1≥tx-x2，又x∈（0，+∞），整理得：t≤2x-lnxx+1x，令g（x）=2x-lnxx+1x，则g′（x）=2-1−lnxx2-1x2=2x2+lnx−2x2，令h（x）=2x2+ln x-2，由h ′（x ）=4x +1x ＞0恒成立，即h （x ）=2x 2+ln x -2在（0，+∞）上单调递增， 且h （1）=0，则g ′（1）=0，所以x ∈（0，1）时h （x ）＜0，x ∈（1，+∞）时h （x ）＞0， 所以x ∈（0，1）时g ′（x ）＜0，此时y =g （x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时g ′（x ）＞0，此时y =g （x ）单调递增， 所以g （x ）≥g （1）=3，所以t ≤3；………………………………………………………………（12分） 【解析】（1）求出函数的导数，得到关于a 的方程，求出a 的值即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； （3）代入a 的值，整理得：t≤2x -+，令g （x ）=2x-+，根据函数的单调性求出t 的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）由曲线C 1的参数方程为{y =2+2sinαx=2cosα（α为参数），转换为直角坐标方程为：x 2+（y -2）2=4．① 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入①， 化简得：ρ=4sinθ，即C 1的极坐标方程为ρ=4sinθ；将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入C 2的方程（x -1）2+（y -1）2=2， 得ρ=2cosθ+2sinθ， 化简得ρ=2√2sin(θ+π4)，即C 2的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4)； （2）由极径的几何意义，|AB |=|ρ1-ρ2|=|4sinβ-2cosβ-2sinβ|=|2√2sin(β−π4)|， 当β=3π4时，|AB|max =2√2，所以：|AB |的最大值为2√2． 【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转化．（2）利用极径对三角函数关系式进行恒等变换，利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.【答案】解：（1）∵函数f （x ）=|2x +1|-|2x -3|，故f （x ）≥1，等价于|2x +1|-|2x -3|≥1， 令2x +1=0，解得x =-12， 令2x -3=0，解得x =32，则：不等式等价于：{x ＜−12−2x −1−(3−2x)≥1①， 或{−12≤x ≤322x +1−(3−2x)≥1②， 或{x ＞322x +1−(2x −3)≥1③． 解①求得x ∈∅，解②求得32≥x ≥34，解③求得x ＞32． 综上可得，不等式的解集为{x |x ≥34}．（2）若对任意的t ∈R ，s ∈R，都有g （s ）≥f （t ），可得g （x ）min ≥f （x ）max ， ∵函数f （x ）=|2x +1|-|2x -3|≤|2x +1-2x +3|=4， ∴f （x ）max =4．∵g （x ）=|x +1|+|x -a |≥|x +1-x +a |=|a +1|， 故g （x ）min =|a +1|，∴|a +1|≥4，∴a +1≥4或a +1≤-4， 求得a ≥3或a ≤-5．故所求的a 的范围为{a |a ≥3或a ≤-5}． 【解析】（1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论． 直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g （s ）≥f （t ），可得g （x ）min ≥f （x ）max ，进一步求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法，零点讨论法的应用，利用恒成立问题求参数的取值范围问题．。
2024届贵州省贵阳市高三下学期一模数学试题及答案
贵阳市2024年高三年级适应性考试（一）数学2024.2本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名､准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将试题卷､答题卡一并收回.第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,3,5,6,2,3,5,8A B ==，则A B ∩=（ ） A.{}1,2,3,5,6,8 B.{}3,5 C.{}1,3 D.{}2,82.已知z 是复数，若()1i 2z +=，则z =（ ） A.1i − B.1i + C.2i 22i −3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知281514,27a a a +==，则12S =（ ） A.150 B.140 C.130 D.1204.向量()6,2a = 在向量()2,1b =− 上的投影向量为（ ） A.()2,1− B.11,2−C.()4,2−D.()3,1 5.已知圆22:(1)(2)9C x y −+−=，直线():10,l m x y y xm +++−=∈R ，则下列说法正确的是（ ） A.直线l 过定点()1,1−−B.直线l 与圆C 一定相交C.若直线l 平分圆C 的周长，则4m =−D.直线l 被圆C 6.2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（ ）A.6种B.9种C.18种D.36种7.将函数()sin f x x =的图像先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的1(0)ωω>倍，得到函数()g x 的图像.若函数()g x 在π,02 − 上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A.10,6 B.10,3 C.10,2D.(]0,1 8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()e xf x ′+也是偶函数，若()()21f a f a >−，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),1∞−B.()1,∞+C.1,13D.()1,1,3∞∞ −∪+二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设样本数据1,3,5,6,9,11,m 的平均数为x ，中位数为0x ，方差为2s ，则（ ）A.若6x =，则7m =B.若2024m =，则06x =C.若7m =，则211s =D.若12m =，则样本数据的80%分位数为1110.已知0,0a b >>，且2a b +=，则（ ）A.22a b +B.112a b+ C.22log log 1a b + D.222a b +11.在三棱锥P ABC −中，PC ⊥平面,3ABC PCAB ==，平面ABC 内动点D 的轨迹是集合}2{|DB M D DA ==.已知,i C D M ∈且i D 在棱AB 所在直线上，1,2i =，则（ ）A.动点D 的轨迹是圆B.平面1PCD ⊥平面2PCDC.三棱锥P ABC −体积的最大值为3D.三棱锥12P D D C −外接球的半径不是定值第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知tan 2α=，则1sin2α=__________.13.已知一个圆台的上､下底面半径分别为1和3，高为若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为__________.（球的厚度可忽略不计）14.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为A .若220AF BF ⋅=，则椭圆C 的离心率为__________. 四､解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =.（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，22PA AD AB ===.（1）证明：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）求平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值.17.（本题满分15分）猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为23，乙同学猜对每个灯谜的概率为12.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求： （1）甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在A 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是23；没有都猜对则在B 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是14，求甲同学抽中新春大礼包的概率； （3）甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为X ，求X 的分布列与数学期望. 18.（本题满分17分）已知双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b−=>>，虚轴长为2，点()4,1A −−在C 上. （1）求双曲线C 的方程；（2）过原点O 的直线与C 交于,S T 两点，已知直线AS 和直线AT 的斜率存在，证明：直线AS 和直线AT 的斜率之积为定值；（3）过点()0,1的直线交双曲线C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与x 轴的交点分别为,M N ，求证：MN 的中点为定点.19.（本题满分17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：23e 1!2!3!nxx x x x n =++++++ 其中!1234,e n n =××××× 为自然对数的底数，e 2.71828= .以上公式称为泰勒公式.设()()e e,2x x f x g x −−==. （1）证明：e 1x x + ；（2）设()0,x ∞∈+，证明：()()f x g x x <；（3）设()()212x F x g x a =−+，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.贵阳市2024年高三年级适应性考试（一）参考答案与评分建议2024.2一､选择题（每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C B D B D二､多项选择题（每小题6分，共18分）题号 9 10 11 答案 ABD ABCD ABC三､填空题（每小题5分，共15分）12.54 13.四､解答题（共5小题，共77分）15.解：（1）由正弦定理，得sin sin cos A C C A =，又()0,π,sin 0C C ∈≠，所以sin A A =，即tan A =.又()0,πA ∈，所以π3A =. （2）由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +−==， 所以224b c bc +−=.由基本不等式知222b c bc + ，于是224244bc b c bc bc =+−−⇒ .当且仅当2b c ==时等号成立.所以ABC 的面积1sin 42S bc A =，当且仅当2b c ==时，面积S16.（1）证明：因为PA ⊥底面,ABCD CD ⊂底面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为底面ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.又PA AD A ∩=，所以CD ⊥平面PAD .又因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD .（2）解 以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,2A B C D P .所以()()()1,2,2,0,2,0,1,0,0PC BC CD =−==− .设平面PBC 的法向量为()111,,n x y z =，则 1111220,0,20.0x y z n PC y n BC +−=⋅= ⇒ =⋅=取12x =，得()2,0,1n = .设平面PCD 的法向量为()222,,m x y z =，则 1111220,0,0.0x y z m PC x m CD +−=⋅= ⇒ −=⋅=取21y =，得()0,1,1m = .设平面PBC 与平面PCD 的夹角为θ，则||cos |cos ,|||||n m n m n m θ⋅=>=<= 所以平面PBC 与平面PCD. 17.解：设A =“甲猜对一个灯谜”，B =“乙消对一个灯谜”，则()()21,.32P A P B == （1）因为甲､乙恰有一人猜对的事件为AB AB +，所以()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B +21111.32322=×+×= 所以，甲､乙恰有一人猜对的概率为12. （2）设C =“甲猜对两道题”，D =“甲中奖”，则()()()()()P D P C P D C P C P D C =+∣∣22222113334=×+−× 85472736108=+= 所以，甲同学抽中新春大礼包的概率47108. （3）由（1）知()()21,32P A P B ==. 易知甲､乙猜对灯谜的个数之和X 的可能取值为0,1,2,3,4.则()221110,3236P X ==×= ()2211222111111111,3322239186P X C ==×××+××=+= ()2222112221112111132,3232332236P X C C ==×+×+×××××=()22112221111213,2233332P X C C ==×××+×××= ()22211.4932P x ==×= 所以X 的分布列为因此，X 的数学期望()11131184701234.3663639363E X =×+×+×+×+×== 18.解：（1）因为虚轴长22b =，所以1b =.又因为点()4,1A −−在双曲线上，所以221611a b −=， 解得28a =.故双曲线C 的方程为2218x y −=. （2）证明：设()00,S x y ，则()00,T x y −−所以200020001114416AT AS y y y k k x x x +−+−⋅=⋅=+−+− 因为()00,S x y 在双曲线C 上，所以2222000011288x x y y −=⇒−=− 于是20202200211816168AS AT x y k k x x −−⋅===−−， 所以直线AS 和直线AT 的斜率之积为定值，定值是18. （3）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为1y kx =+. ()22221,160161888y kx k x kx x y =+ −=−⇒− −= ① 则()()222Δ(16)41816642560,k k k =−−−×−=−>所以 ()()()1212122221118y y kx kx k x x k +=+++=++=−② ()()()2121212121111y y kx kx k x x k x x =++=+++=③直线AP 的方程为()111414y y x x ++−+，令0y =，得点M 的横坐标为11441M x x y +=−+ 同理可得点N 的横坐标为22441N x x y +=−+ 所以121244811NM x x x x y y ++−+=+++ ()()()122112121248811x y x y x x y y y y ++++++−++ ()()()122112121212114881x kx x kx x x y y y y y y ++++++++−+++ ()()121212121222488.1kx x x x y y y y y y +++++−+++ 将①②③式代入上式，并化简得到 ()()2288188484,2218M N k x x k+−+=−=−=−+− 所以MN 的中点的横坐标为22M N x x x +==−， 故MN 的中点是定点()2,0−.19.证明：（1）设()e 1x h x x =−−，则()e 1x h x ′=−. 当0x >时，()0h x ′>：当0x <时，()0h x ′<.所以()h x 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增. 因此，()()00h x h = ，即e 1x x + . （2）由泰勒公式知2345e 12!3!4!5!!nxx x x x x x n =++++++++ ，① 于是5432e 1(1)2!3!4!5!!n x n x x x x x x n −=−+−+−++−+ ，② 由①②得()()3521e e ,23!5!21!x x n x x x f x x n −−−==+++++−()()2422e e 1,2!4!22!2x x n x x x g x n −−+==+++++− 所以 ()()2422121!3!5!n f x x x x n x −+=++++− ()242212!4!22!n x x x n −<+++++− ().g x = 即()()f x g x x <.（3）()()22e e 11222x x x x F x g x a a − +=−+−+=，则 ()()e c e e ,.22x x x xF x ax F x a −−′+=′−=−−′由基本不等式知，e e 1122x x −+=× ，当且仅当0x =时等号成立. 所以当1a 时，()10F x a ′′− ，所以()F x ′在R .单调递增. 又因为()F x ′是奇函数，且()00F ′=，所以当0x >时，()0F x ′>；当0x <时，()0F x ′<.所以()F x 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增.因此，0x =是()F x 的极小值点.下面证明：当1a >时，0x =不是()F x 的极小值点.当1a >时，()ln ln 1111e e ln 0222a a a a a a F a a a −′+ −==−<+−=′ ， 又因为()F x ′′是R 上的偶函数，且()F x ′′在()0,∞+上单调递增（这是因为当0x >时，所以当()ln ,ln x a a ∈−时，()0F x ′′<.因此，()F x ′在()ln ,ln a a −上单调递减.又因为()F x ′是奇函数，且()00F ′=，所以当ln 0a x −<<时，()0F x ′>；当0ln x a <<时，()0F x ′<. 所以()F x 在()ln ,0a −上单调递增，在()0,ln a 上单调递减. 因此，0x =是()F x 的极大值点，不是()F x 的极小值点. 综上，实数a 的取值范围是(],1∞−.。
贵阳市高三模拟考文科数学试卷及答案解析
贵阳市高三适应性考试文科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|2}A x x =>，2{|40}B x x x =-<，则A B = （）A．(4,)+∞B．(2,4)C．(0,4)D．(0,2)2.若a 为实数，i 是虚数单位，且22a ii i+=+，则a =（）A．1B．2C．-2D．-13.已知向量,a b满足||a b +=，2a b = ，则||a b -=（）A．8B．4C．2D．14.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若35727a a a ++=，则9S =（）A．81B．79C.77D．755.设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最大值是（）A．-3B．-6C.15D．126.已知1sin 24α=，则2sin (4πα+=（）A．34B．38 C.58D．237.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0B．-1 C.-2D．-88.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(2,1)n =-垂直的概率为（）A．16B．14C.13D．129.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+B．6+ C.8+D．6+10.函数1()sin()2f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的单调递增区间为（）A．15(2,2)2424k k ππ-++，()k Z ∈B．15(,)122122k k-++，()k Z ∈C.11(2,2)123k k ππ-++，()k Z ∈D．15(,242242k k -++，()k Z ∈11.若函数21()1f x nx x a e=-+有零点，则实数a 的取值范围是（）A．(,1]-∞-B．(,1]-∞ C.[1,)-+∞D．[1,)+∞12.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与两条平行直线1:l y x b =+与2:l y x b =-分别相交于四点,,,A B D C ，且四边形ABCD 的面积为283b ，则椭圆E 的离心率为（）A．2B．2C.3D．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若cos cos 2cos a C c A b B +=，则B =．14.若命题:p x R ∀∈，2210x ax ++≥是真命题，则实数a 的取值范围是．15.正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，则该四棱锥外接球的表面积为．16.富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句．据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是．（A 莎士比亚、B 雨果、C 曹雪芹，按顺序填写字母即可．）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若公差0d ≠，510a =，且124,,a a a 成等比数列。
2020年贵州省贵阳市高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)(有解析)
2020年贵州省贵阳市高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 52.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i1+i对应点的坐标为()A. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)3.向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(0,2)，则a⃗⋅b⃗ =()A. 2B. (0,4)C. 4D. (1,4)4.已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是半径为1的半圆形，俯视图为等边三角形，则该几何体的体积为()A. √3π3B. √3π6C. √3πD. √6π5.已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是()A. 若α//β，l⊂α，则l//βB. 若α//β，l⊥α，则l⊥βC. 若l//α，m⊂α，则l//mD. 若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β6.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)=()A. 726B. 114C. 152D. 3147.函数f(x)=x(e−x−e x)4x2−1的部分图象大致是()A. B. C. D.8. 从甲、乙两种玉米中各抽测了10株玉米苗的高度(单位：cm)，其茎叶图如图所示，根据茎叶图，下列描述正确的是( )A. 甲种玉米苗的平均高度大于乙种玉米苗的高度，且甲种玉米苗比乙种玉米苗长得整齐B. 甲种玉米苗的平均高度大于乙种玉米苗的高度，但乙种玉米苗比甲种玉米苗长得整齐C. 乙种玉米苗的平均高度大于甲种玉米苗的高度，且乙种玉米苗比甲种玉米苗长得整齐D. 乙种玉米苗的平均高度大于甲种玉米苗的高度，但甲种玉米苗比乙种玉米苗长得整齐9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sinA sinB+sinC +sinC sinA+sinB ≥1，则角B 的取值范围是( ) A. (0,π2]B. (0,π3]C. [π3,π)D. [π6,π) 10. 已知双曲线C ：y 29−x 2b 2=1(b >0)，其焦点F 到C 的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率e 为( )A. √133 B. √132 C. 23D. 32 11. 若函数f(x)=sinωx (ω>0)在开区间(π6,π2)上有唯一的波峰(即函数图象上的最高点)，则实数ω的取值范围是( )A. (1,3)∪(5,9]B. (1,3)∪[9,12]C. (3,12]D. (1,3)12. 已知函数f (x )={x −1,x ≥1,x 2−2x,x <1,则f(x)的零点是( ) A. 1 B. 0，1 C. 0，2 D. 0，1，2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则的值为_________．14.若x，y满足不等式{x≥2 x+y≤6x−2y≤0，则yx的最大值是 ______ ．15.已知直线l：y=kx+1与圆C：x2+y2−2x−2y+1=0相交于A，B两点，若|AB|=√2，则k=______．16.方程|x2−a|−x+2=0(a>0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．(1)求a n与b n；(2)若不等式1S1+1S2+⋯+1S n<m−20104对n∈N∗成立，求最小正整数m的值．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=1，E，F分别是CC1，BC的中点．(Ⅰ)求证：B1F⊥平面AEF；(Ⅱ)求三棱锥E−AB1F的体积．19.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250,400)内的学生共有__________人.20.在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x=4的距离之比是1，设动点P2的轨迹为E．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若CD//AB，求证：|CD|2为定值．|AB|21.已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)．(Ⅰ)当a=2时，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)设函数ℎ(x)=f(x)+1+ax，求函数ℎ(x)的单调区间；(Ⅲ)若g(x)=−1+ax，在[1,e](e=2.71828…)上存在一点x0，使得f(x0)≤g(x0)成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2√3+at,y=4+√3t(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为(2,π6)，直线l经过点A.曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)过点P(√3,0)作直线l的垂线交曲线C于D，E两点(D在x轴上方)，求1|PD|−1|PE|的值．23.已知函数f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|的解集；x(2)若f(x)的最小值为N，且a+b+c=N，(a,b，c∈R).求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查了交集的运算，属于基础题．解：∵A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，∴A∩B={5,7,11}，∴A∩B中元素个数为3．故选B．2.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，比较基础．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i，则对应的点的坐标为(1,1)，故选：A．3.答案：C解析：解：由题意可得a⃗=(1,2)，b⃗ =(0,2)，∴a⃗⋅b⃗ =1×0+2×2=4故选C由向量数量积的坐标运算，代入已知数据计算可得．本题考查平面向量数量积的运算，属基础题．4.答案：B解析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．由三视图可知，该几何体是半个圆锥，利用已知条件求解几何体的体积．解：由三视图可知，该几何体是半个圆锥，如图：其底面为半径为1，圆锥的高为：√3，故其体积V=12×13×12π×√3=√3π6；故选B．5.答案：C解析：解：当两个平面平行时，一个平面上的线与另一个平面平行，故A正确，一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，就垂直与另一个平面，故B正确，由面与面垂直的性质定理知，D正确，C选项中l，m的关系是不相交，故C不正确，故选C．当两个平面平行时，一个平面上的线与另一个平面平行，一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，就垂直与另一个平面，C选项中l，m的关系是不相交，得到结果．本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，本题是一个基础题，这种题目可以出现在高考卷中的选择题目上，是一个易错题，出错的原因是，题目中所说的结论区分度较低，不易区分．6.答案：A解析：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别事件A、B的概率，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果．解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，∵事件A为“抽得红桃K”，∴事件A的概率152，∵事件B 为“抽得为黑桃”，∴事件B 的概率是P =1352，∴由互斥事件概率公式P(A ∪B)=152+1352=726．故选A ．7.答案：B解析：本题考查了函数图象的应用，函数的奇偶性，函数值的变化趋势是关键，属于中档题.先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．解：∵函数f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，则f(−x)=−x(e x −e −x )4x 2−1=x(e −x −e x )4x 2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y 轴对称，故排除A ，令f(x)=0，即x(e −x −e x )4x 2−1=0，解得x =0，∴函数f(x)只有一个零点，故排除D ，当x =1时，f(1)=1e−e 3<0，故排除C ，综上所述，只有B 符合．故选B ．8.答案：D解析：解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：甲=19+20+21+23+25+29+31+32+33+3710=27， 乙=10+10+14+26+27+30+44+46+46+4710=30S 甲2<S 乙2∴乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D ．本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据数据的分布情况判断哪种树苗长的整齐．数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其方差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其方差越大． 9.答案：B解析：本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题.由正弦定理变形化简已知式可得a 2+c 2−b 2≥ac ，再利用余弦定理求解即可．解：由正弦定理，得a b+c +c b+a ≥1，化简得a 2+c 2−b 2≥ac ，则a 2+c 2−b 22ac ≥12，由余弦定理，得cosB ≥12，所以0<B ≤π3．故选B ．10.答案：A解析：解：双曲线C ：y 29−x 2b 2=1(b >0)，其焦点F(0,√9+b 2)到C 的一条渐近线y =3b x 的距离为2， 可得√9+b 2√1+(3b )=2，可得b =2，a =3，所以c =√13，所以双曲线的离心率为：e =√133． 故选：A ．求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．11.答案：A解析：本题主要考查正弦函数的图象和性质、最值，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 由题意利用正弦函数的图象和性质可得0<ω⋅π6<π2，且5π2≥ω⋅π2>π2；或者π2≤ω⋅π6<5π2，且9π2≥ω⋅π2>5π2，由此求得实数ω的取值范围．解：函数f(x)=sinωx(ω>0)在开区间(π6,π2)上有唯一的波峰(即函数图象上的最高点)， 故0<ω⋅π6<π2，且5π2≥ω⋅π2>π2，求得1<ω<3． 或者π2≤ω⋅π6<5π2，且9π2≥ω⋅π2>5π2，求得5<ω≤9．综合可得，1<ω<3或5<ω≤9， 故选：A ．12.答案：B解析：本题考查函数的零点，解决问题的关键是令f(x)=0求解对应零点． 解：由f(x)=0 可得当x ≥1时，x =1，或{x 2−2x =0x <1，解得x =0． 所以函数的零点为0，1， 故选B ．13.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值． 解：，，∴sin2x =cos(π2−2x)=1−2sin 2(π4−x)=78．故答案为78.14.答案：2解析：本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题．画出满足条件的平面区域，求出A 的坐标，结合yx 的几何意义，求出其最大值即可． 解：画出x ，y 满足不等式{x ≥2x +y ≤6x −2y ≤0的平面区域，如图所示：y x的几何意义表示过平面区域内的点与原点连线的的斜率，由图象得直线过OA 时斜率最大， 由{x =2x +y =6，解得A(2,4)， ∴(yx )max =42=2． 故答案为：2．15.答案：±1解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题． 根据圆心到直线的距离d 与半径和弦长的关系求出k 的值即可． 解：圆C ：x 2+y 2−2x −2y +1=0，化为：(x −1)2+(y −1)2=1， ∴圆心为C(1,1)，半径r =1，则圆心到直线的距离为d =√k 2+1，即|k|√k 2+1=√r 2−(|AB|2)2=√1−12，解得：k =±1． 故答案为：±1．16.答案：a >4解析：解：∵方程|x 2−a|−x +2=0(a >0)有两个不等的实数根， ∴函数y =|x 2−a|(a >0)与函数y =x −2的图象有两个交点， 作函数y =|x 2−a|(a >0)与函数y =x −2的图象如下，，结合图象可得，存在x >2时，x 2−a =0， 故a >4； 故答案为：a >4．题意转化为函数y =|x 2−a|(a >0)与函数y =x −2的图象有两个交点，从而结合图象求解． 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题． 17.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n =3+(n −1)d ，b n =q n−1， ∵b 2S 2=64，b 3S 3=960． ∴{S 3b 3=(9+3d)q 2=960S 2b 2=(6+d)q =64，解得{d =2q =8，或{d =−65q =403(舍去)， 故a n =3+2(n −1)=2n +1,b n =8n−1． (2)∵S n =3+5+⋯+(2n +1)=n(n +2)，∴1S 1+1S 2+⋯+1S n =11×3+12×4+13×5+⋯+1n(n +2)=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)<34≤m−20104，解得m ≥2013，∴所求m 的最小正整数是2013．解析：(1)由条件建立方程组即可求出数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)利用裂项法先求出数列的和，然后再解不等式即可．本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算，以及利用裂项法进行求和的知识，考查学生的计算能力．18.答案：(Ⅰ)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，F 是BC 的中点，且侧棱AA 1⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴AF ⊥BC,AF ⊥AA 1，又AA 1//BB 1，∴BB 1⊥AF ，且BB 1,BC ⊂平面C 1CBB 1，BB 1∩BC =B ， ∴AF ⊥平面C 1CBB 1，，∴AF ⊥B 1F ，由∠BAC =90°，且AB =AA 1=1，得B 1F =√62，EF =√32，B 1E =32，∴B 1E 2=B 1F 2+EF 2，即B 1F ⊥EF ，又∵EF ∩AF =F ，EF ，AF ⊂平面AEF ，EF ∩AF =F ， ∴B 1F ⊥平面AEF ；(Ⅱ)解：由已知可得，AF =√22，且由(Ⅰ)知B 1F ⊥平面AEF ，AF ⊥平面C 1CBB 1， ∵EF ⊂平面C 1CBB 1， ∴AF ⊥EF ， ∴S △AFE =12×√22×√32=√68，∴V E−AB1F =V B1−AEF=13×√68×√62=18．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．(Ⅰ)证明AF⊥B1F，B1F⊥EF，然后证明B1F⊥平面AEF；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，B1F⊥平面AEF，然后利用等积法求得三棱锥E−AB1F的体积．19.答案：750解析：本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．由样本的频率分布直方图求出a，从而成绩在[250,400)内的频率为0.75，由此能求出成绩在[250,400)内的学生人数．解：由样本的频率分布直方图得：(0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003)×50=1，解得a=0.006；∴成绩在[250,400)内的频率为(0.004+0.006+0.005)×50=0.75，∴成绩在[250,400)内的学生共有1000×0.75=750人．故答案为：750．20.答案：解：(1)设点P(x,y)，由题意得√(x−1)2+y2|x−4|=12，将两边平方，并简化得x24+y23=1，故轨迹C1的方程是x24+y23=1．(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，易求|AB|=3，|CD|=2√3，则|CD|2|AB|=4．②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，依题意k ≠0，则直线AB 的方程为y =k(x −1)，直线CD 的方程为y =kx ． 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 3,y 3)，D (x 4,y 4)，由{x 24+y 23=1y =k(x −1)得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0． 则x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(8k 23+4k 2)2−4(4k 2−123+4k 2)=12(1+k 2)3+4k 2，由{x 24+y 23=1y =kx，整理得x 2=123+4k 2，则|x 3−x 4|=√3√3+4k 2．|CD|=√1+k 2|x 3−x 4|=4√3(1+k2)3+4k 2．∴|CD|2|AB|=48(1+k 2)3+4k 2⋅3+4k 212(1+k 2)=4．综合①②知：|CD|2|AB|=4为定值．解析：本题主要考查了圆锥曲线中与圆有关的轨迹方程与定值问题，属于中档题； (1)根据题意设点P (x,y )，由题意得√(x−1)2+y 2|x−4|=12，再将两边平方即可求解；(2)①当当直线AB 的斜率不存在时，易求|AB|=3，|CD|=2√3，则|CD|2|AB|=4．②直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，依题意k ≠0，则直线AB 的方程为y =k(x −1)，直线CD 的方程为y =kx.联立方程，在再通过两根之和与积代入计算化简。
2018年贵州省贵阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）复数 z 满足 z＝ ，则|z|＝（ ）
A．2
B．2
C．Βιβλιοθήκη D．2．（5 分）设 A＝{x|2x＞ }，B＝{﹣3，﹣2，﹣1}，则 A∩B＝（ ）
（Ⅲ）试判断是否有 95%的把握认为喜欢“学习数学”与性别有关？
附：K2＝
，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，
B． 钱
C． 钱
D．1 钱
7．（5 分）已知函数 f（x）在 R 上是减函数，且 a＝f（log310），b＝f（log39.1）， c＝f（20.8），则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
8．（5 分）把函数 y＝2sin（x+ ）图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵
则实数 k 的值范围是（ ）
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A．（﹣e，0） B．（﹣ e﹣2，0） C．（﹣e2，0） D．（﹣2e2，0）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．（5 分）若向量 ＝（x，1）与向量 ＝（1，﹣2）垂直，则| + |＝
．
14．（5 分）已知三角形的三边长分别为 1，1， ，若将一个质点随机投入该三
贵州省贵阳市第六中学2022届高三一模数学(文)试题(含答案解析)
试卷第 3页，共 5页
(1)求出直方图中 a，b，c 的值； (2)估计中位数（精确到 0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)若从得分在区间50, 60 内的学生中抽取 2 人编号为 A，B，从得分在区间90,100 内
的学生中抽取 6 人编号为 1，2，3，4，5，6，组成帮助小组，从 1，2，3，4，5，6 中
进入 A 或 C 区，另一个冰壶进入 B 或 D 区的概率为（ ）
A．1
B．0.2139
C．0.4278
D．0.1958
11．已知 f (x) ln(x 2)
x 1
3x x3
，则曲线
y
f
x 在点 3,
f
3 处的切线方程为
()
试卷第 2页，共 5页
A． 2x 10y 10ln 5 1 0
B． 2x 10y 10ln 5 1 0
21．已知函数
f (x)
ex x2
t ln x ， g(x)
2t x
， F(x)
f
(x) g(x) .
(1)当 t 1时，求证： F x 0 对于任意正实数 x 恒成立.
(2)若函数 F x 在 0, 2 上有且仅有两个极值点，求实数 t 的取值范围.
试卷第 4页，共 5页
x 1 t
即
ABC
为等边三角形，其外接圆的半径设为
r
，则
2r
4 sin 60
8 ，
3
又 PB2 PA2 AB2 ， PC2 PA2 AC2，
所以 PA AB 且 PA AC ，又 AB AC A ， AB, AC 平面 ABC ，所以 PA 平面 ABC ，
2022年贵州省贵阳市高考文科数学一模试卷及答案解析
2022年贵州省贵阳市高考文科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{3}B ．{1，3}C ．{1，3，4}D ．{1，2，3，4}2．（5分）设复数z =−3+i1−i ，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知函数f （x ）为奇函数，且当x ＞0时，f(x)=x 2+1x，则f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．1D ．24．（5分）已知双曲线的方程为x 24−y 212=1，双曲线的右顶点A 到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2√35．（5分）“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍B ．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的12C ．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的16D ．该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和6．（5分）当0＜x ＜π2时，函数f(x)=2cos 2x+8sin 2xsin2x的最小值为（ ）A ．2B ．2√3C ．4D ．4√37．（5分）正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是A 1D 1，C 1D 1，AA 1的中点．那么过P ，Q ，R 三点的截面图形是（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形8．（5分）已知非零向量a →，b →，若|a →|=√2|b →|，且a →⊥(a →−2b →)，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π49．（5分）由直线x +2y ﹣7＝0上一点P 引圆x 2+y 2﹣2x +4y +2＝0的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为（ ） A ．2√3B ．√17C ．2√5D ．2√710．（5分）若a ＝ln 3，b ＝lg 5，c ＝log 126，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b11．（5分）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则球O 的表面积是（ ） A ．4πB ．163π C ．16π D ．20π12．（5分）过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q （1，2）．若1|AB|+1|CD|=14，则|PF |+|PQ |的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．13．（5分）若x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0，则z ＝3x ﹣4y 的最小值为 ．14．（5分）曲线y =2x 在点（2，1）处的切线与直线y ＝ax +1垂直，则实数a ＝ ． 15．（5分）将函数f(x)=2sin(2x +π3)的图像向右平移φ个单位，所得函数图象关于y 轴对称，则正数φ的最小值为．16．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）•（a cos B+b cos A）＝abc，若a+b＝2，则c的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n=n⋅a n3，已知9a1，3a2，a3成等差数列．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作一一强基计划．现某机构对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如表：数学成绩x4665798999109116120123134140物理成绩y505460636668700737680（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x 的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；（2）在这次物理强基课程的测试中，剔除缺考考生的物理成绩后，剩余这10名学生物理成绩的统计数据如茎叶图所示．若采用分层抽样的方法从男生和女生中抽取5人，再从这5人中抽取3人参加学校组织的关于强基计划的访谈调查，求抽出的学生中恰好有一名女生的概率．附：参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．参考数据：（剔除零分前）∑11i=1x i∑11i=1y i∑11i=1x i y i∑11i=1x i225868326 1120660685861227260.31上表中的x i表示样本中第i名考生的数学成绩，y i表示样本中第i名考生的物理成绩．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AF⊥PB，F为垂足．（1）当点E在线段BC上移动时，判断△AEF是否为直角三角形，并说明理由；（2）若P A＝AB＝2，当点E是BC的中点，且PC⊥DE时，求三棱锥F﹣ADE的体积．20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，左、右焦点分别是F 1，F 2，其离心率为√32，圆F 1：(x +c)2+y 2=1与圆F 2：(x −c)2+y 2=9相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 不经过P （0，1）点且与椭圆E 相交于A ，B 两点，若直线P A 与直线PB 的斜率之和为﹣2，证明：直线l 过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝e x sin x．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x＞0时，f（x）＞e x（sin x﹣1）+x2+a2﹣a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√2ρcos(θ−π4)=3． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(3，π2)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||P A |﹣|PB ||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|．（1）当a＝1，b＝2时，求f（x）的最小值；（2）若a，b均为正实数，且f（x）的最小值5，求证：1a +1b≥45．2022年贵州省贵阳市高考文科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{3}B ．{1，3}C ．{1，3，4}D ．{1，2，3，4}【解答】解：∵A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N }， ∴A ∩B ＝{1，3}． 故选：B ． 2．（5分）设复数z =−3+i1−i，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：z =−3+i1−i =(−3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=−4−2i2=−2﹣i ， 故z =−2+i ，故在复平面内z 的共轭复数对应的点位于第二象限， 故选：B ．3．（5分）已知函数f （x ）为奇函数，且当x ＞0时，f(x)=x 2+1x，则f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．1D ．2【解答】解：∵函数f （x ）为奇函数，x ＞0时，f （x ）＝x 2+1x ， ∴f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣2， 故选：A ．4．（5分）已知双曲线的方程为x 24−y 212=1，双曲线的右顶点A 到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2√3【解答】解：双曲线的方程为x 24−y 212=1，双曲线右顶点A （2，0），双曲线渐近线2√3x ±2y ＝0，双曲线右顶点A 到双曲线渐近线的距离为√12+4=√3．故选：C ．5．（5分）“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍B ．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的12C ．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的16D ．该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和【解答】解：对于A ，∵该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番， ∴第三季度的总收入是第一季度的2×2＝4倍，故A 错误；对于B ，设第一季度的总收入为a ，则第二季度的化妆品的收入为2a ×20%＝0.4a ， 第三季度的化妆品收入为4a ×30%＝1.2a ， ∴第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的0.4a 1.2a=13，故B 错误；对于C ，第一季度的化妆品收入为a ×10%＝0.1a ， ∴第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的0.1a 1.2a=112，故C 错误；对于D ，第一、二季度服装收入和为a +2a ﹣0.1a ﹣0.4a ＝2.5a ， 第三季度服装收入为4a ﹣1.2a ＝2.8a ，故D 正确． 故选：D ．6．（5分）当0＜x ＜π2时，函数f(x)=2cos 2x+8sin 2xsin2x的最小值为（ ） A ．2 B ．2√3C ．4D ．4√3【解答】解：当0＜x ＜π2时，tan x ＞0，∴函数f(x)=2cos 2x+8sin 2x sin2x =2cos 2x+8sin 2x 2sinxcosx =1tanx +4tan x ≥2√1tanx×4tanx =4，当且仅当tan x =12时，取等号， 故f （x ）的最小值为4， 故选：C ．7．（5分）正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是A 1D 1，C 1D 1，AA 1的中点．那么过P ，Q ，R 三点的截面图形是（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【解答】解：如图所示，过P ，Q ，R 三点的截面图形是六边形PQMNSR ， 故选：D ．8．（5分）已知非零向量a →，b →，若|a →|=√2|b →|，且a →⊥(a →−2b →)，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【解答】解：∵a →⊥(a →−2b →)， ∴a →⋅(a →−2b →)=a →2−2a →⋅b →=0，∴a →⋅b →=a→22，且|a →|=√2|b →|，∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=a →22√2a →22=√22，且0≤＜a →，b →＞≤π，∴a →与b →的夹角为π4．故选：B ．9．（5分）由直线x +2y ﹣7＝0上一点P 引圆x 2+y 2﹣2x +4y +2＝0的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为（ ） A ．2√3B ．√17C ．2√5D ．2√7【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2﹣2x +4y +2＝0的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝3，则圆的圆心为（1，﹣2），半径r =√3， 设圆心为M ，则|P A |2＝|MP |2﹣r 2＝|MP |2﹣3， 则|MP |取得最小值时，|P A |取得最小值，且|MP |的最小值即M 到直线x +2y ﹣7＝0的距离，|MP |最小值=√1+4=2√5，则|P A |最小值=√20−3=√17， 故选：B ．10．（5分）若a ＝ln 3，b ＝lg 5，c ＝log 126，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b【解答】解：∵a ＝ln 3＞lne ＝1，b ＝lg 5＜lg 10＝1，c ＝log 126＜log 1212＝1， ∴a ＞b ，a ＞c ， ∵lg 5=log 25log 210=log 251+log 25，log 126=log 26log 212=log 261+log 26，∴构造函数f （x ）=x1+x =1−11+x （x ＞0）， 显然函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又∵0＜log 25＜log 26，∴f （log 25）＜f （log 26），即lg 5＜log 126， ∴a ＞c ＞b ， 故选：D ．11．（5分）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则球O 的表面积是（ ） A ．4πB ．163π C ．16π D ．20π【解答】解：三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°， 如图所示：设△ABC 为外接圆的圆心为D ， 2R =2sin30°=4，所以R ＝2， 设外接球的球心为O ，设球的半径为r ， 所以r =√R 2+OD 2=√5， 故S 球=4π⋅(√5)2=20π． 故选：D ．12．（5分）过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q （1，2）．若1|AB|+1|CD|=14，则|PF |+|PQ |的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx +p2，联立方程{y =kx +p2x 2=2py ，消去y 得：x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2＝2pk ，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+p =2pk 2+p ， 由抛物线的性质可知：|AB |＝y 1+y 2+p ＝2pk 2+2p ， ∵AB ⊥CD ，∴直线CD 的斜率为：−1k ，∴|CD |＝2p （−1k ）2+2p =2p k 2+2p =2p+2pk 2k2， ∴1|AB|+1|CD|=12pk 2+2p+k 22p+2pk 2=k 2+12p+2pk 2=14，∴2p +2pk 2＝4+4k 2， ∴p ＝2，∴抛物线方程为：x 2＝4y ，准线方程为：y ＝﹣1，设点P 到准线y ＝﹣1的距离为d ，由抛物线的性质可知：|PF |+|PQ |＝d +|PQ |， 而当QP 垂直于x 轴时，d +|PQ |的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示： ∴|PF |+|PQ |的最小值为3， 故选：C ．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．13．（5分）若x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0，则z ＝3x ﹣4y 的最小值为 ﹣1 ．【解答】解：由z ＝3x ﹣4y ，得y =34x −z4，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y =34x −z 4，由平移可知当直线y =34x −z 4，经过点B （1，1）时，直线y =34x −z4的截距最大，此时z 取得最小值， 将B 的坐标代入z ＝3x ﹣4y ＝3﹣4＝﹣1， 即目标函数z ＝3x ﹣4y 的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1．14．（5分）曲线y =2x 在点（2，1）处的切线与直线y ＝ax +1垂直，则实数a ＝ 2 ． 【解答】解：由y =2x ，得y′=−2x 2， 所以曲线在点（2，1）处的切线斜率k =y′|x=2=−12， 因为切线与直线y ＝ax +1垂直，所以−12a =−1， 所以a ＝2． 故答案为：2．15．（5分）将函数f(x)=2sin(2x +π3)的图像向右平移φ个单位，所得函数图象关于y 轴对称，则正数φ的最小值为5π12 ．【解答】解：将函数f(x)=2sin(2x +π3)的图象向右平移φ个单位， 得到y ＝2sin[2（x ﹣φ）+π3]＝2sin （2x ﹣2φ+π3）， 因为该函数的图象关于y 轴对称，所以﹣2φ+π3=π2+k π，k ∈Z ，即φ=−π12−k2π，k ∈Z ， 当k ＝﹣1时，正数φ取得最小值5π12．故答案为：5π12．16．（5分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且（a 2+b 2﹣c 2）•（a cos B +b cos A ）＝abc ，若a +b ＝2，则c 的取值范围为 [1，2） ．【解答】解：根据题意，△ABC 中，a cos B +b cos A ＝a ×a 2+c 2−b 22ac +b ×b 2+c 2−a 22bc=2c 22c =c ， 若（a 2+b 2﹣c 2）•（a cos B +b cos A ）＝abc ，则有a 2+b 2﹣c 2＝ab ， 则cos C =a 2+b 2−c 22ab =12，则C =π3，又由a +b ＝2，则c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ＝4﹣3ab ， 又由a +b ＝2，则ab ≤（a+b 2）2＝1，则c 2≥1， 则有c ≥1， 又由c ＜a +b ＝2，则c 的取值范围为[1，2）； 故答案为：[1，2）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n =n⋅a n3，已知9a 1，3a 2，a 3成等差数列．（1）求{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ， ∵9a 1，3a 2，a 3成等差数列， ∴6a 2＝9a 1+a 3，∴6q ＝9+q 2，即q ＝3，故a n =a 1q n−1=3n−1， ∴b n =nan 3=n •3n ﹣2（n ∈N *）；（2）由（1）知b n ＝n •3n ﹣2，∴T n ＝1×3﹣1+2×30+3×31+•+（n ﹣1）•3n ﹣3+n •3n ﹣2，则3T n ＝1×30+2×31+3×32+•+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1，两式相减得−2T n =1×3−1+1×30+1×32+1×33+⋯+1×3n−2−n ⋅3n−1， ∴−2T n =3−1(1−3n )1−3−n ⋅3n−1=−16+（12−n ）•3n ﹣1， ∴T n =112+（n 2−14）•3n ﹣1（n ∈N *）．18．（12分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作一一强基计划．现某机构对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如表：数学成绩x4665798999109116120123134140物理成绩y505460636668700737680（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x 的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；（2）在这次物理强基课程的测试中，剔除缺考考生的物理成绩后，剩余这10名学生物理成绩的统计数据如茎叶图所示．若采用分层抽样的方法从男生和女生中抽取5人，再从这5人中抽取3人参加学校组织的关于强基计划的访谈调查，求抽出的学生中恰好有一名女生的概率．附：参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．参考数据：（剔除零分前）∑11i=1x i∑11i=1y i∑11i=1x i y i∑11i=1x i225868326 1120660685861227260.31上表中的x i表示样本中第i名考生的数学成绩，y i表示样本中第i名考生的物理成绩．【解答】解：（1）设根据剔除后数据建立的y关于x的回归直线方程为y=b x+a，剔除异常数据后的数学平均分为x=110∑10i=1x i=∑11i=1x i−12010=1120−12010=100，剔除异常数据后的物理平均分为y=110∑10i=1y i=∑11i=1y i−010=660−010=66，又因为∑10i=1x i2=∑11i=1x i2−1202=122726−14400=108326，所以b=68586−10×66×100108326−10×1002=25868326≈0.31，a=66−0.31×100=35，所以所求回归直线方程为y=0.31x+35，又物理缺考考生的数学成绩为120，所以估计其可能取得的物理成绩为y=0.31×120+35=72.2．（2）由茎叶图可知，男生有6人，女生有4人，采用分层抽样的方法抽取5人，则男生应抽取3人，记这3名男生为a1，a2，a3；女生应抽取2人，记这2名女生为b1，b2，从这5人中随机抽取3人一共有10种，分别为（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，b1，b2），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2），其中抽出的学生中恰好有一名女生包括6种情况，所以所求事件的概率为610=0.6．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AF⊥PB，F为垂足．（1）当点E在线段BC上移动时，判断△AEF是否为直角三角形，并说明理由；（2）若P A＝AB＝2，当点E是BC的中点，且PC⊥DE时，求三棱锥F﹣ADE的体积．【解答】解：（1）△AEF是直角三角形．∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，又∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC，且P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，又AF ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AF ，又∵AF ⊥PB ，且PB ∩BC ＝B ，∴AF ⊥平面PBC ， 又EF ⊂平面PBC ，∴AF ⊥EF ，即∠AFE ＝90°， ∴当点E 在线段BC 上移动时，△AEF 是直角三角形． （2）∵P A ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥DE ，又PC ⊥DE ，P A ∩PC ＝P ，∴DE ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AC ，∴∠EDC +∠DCA ＝90°，又ABCD 是矩形， ∴∠ADC ＝∠DCE ＝90°，∴∠EDC +∠DEC ＝90°，∴∠DCA ＝∠DEC ， ∴△ADC ∽△DCE ，∴AD DC=DC CE，又AB ＝DC ＝2，点E 是BC 的中点，∴AD =BC =2√2， 又∵P A ⊥平面ABCD ，取AB 的中点M ，连接FM ， 则有FM =12PA =1，且FM //P A ，∴FM ⊥平面ABCD ，即FM 为三棱锥F ﹣ADE 的高， ∴S △ADE =12AB ×BC =12×2×2√2=2√2， ∴V F−ADE =13×S △ADE ×FM =13×2√2×1=2√23． ∴三棱锥F ﹣ADE 的体积为2√23． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，左、右焦点分别是F 1，F 2，其离心率为√32，圆F 1：(x +c)2+y 2=1与圆F 2：(x −c)2+y 2=9相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 不经过P （0，1）点且与椭圆E 相交于A ，B 两点，若直线P A 与直线PB 的斜率之和为﹣2，证明：直线l 过定点．【解答】解：（1）由题意，得e =c a =√32，2a =1+3，a 2=b 2+c 2， 解得a =2，b =1，c =√3， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（2）①当直线AB 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t ， 由题可知t ≠0，且|t |＜2，设A(t ，√4−t 22)，B(t ，−√4−t 22)，因为直线P A ，PB 的斜率之和为﹣2，所以√4−t 22−1t+−√4−t 22−1t=−2，化简得t ＝1，所以直线l 的方程为x ＝1． ②当直线AB 的斜率存在时，设AB 方程为y ＝kx +m （m ≠1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 2=1y =kx +m，消去y ，化简得（4k 2+1）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0．所以x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，由题意，可得Δ＝16（4k 2﹣m 2+1）＞0， 因为直线P A ，PB 的斜率之和为﹣2， 所以y 1−1x 1+y 2−1x 2=−2，即kx 1+m−1x 1+kx 2+m−1x 2=−2，所以2kx 1x 2+(m−1)(x 1+x 2)x 1x 2=−2，所以（2k +2）x 1x 2+（m ﹣1）（x 1+x 2）＝0，所以(2k +2)⋅4m 2−44k 2+1+(m −1)⋅−8km 4k 2+1=0(m ≠1)，化简整理得k ＝﹣m ﹣1，当且仅当Δ＝16[4（m +1）2﹣m 2+1]＝16（3m 2+8m +5）＞0时， 所以直线AB 的方程y ＝（﹣m ﹣1）x +m ，即y +1＝（﹣m ﹣1）（x ﹣1）． 故直线l 过定点（1，﹣1）．综上①②可得直线l 过定点（1，﹣1）． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x sin x ． （1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当x ＞0时，f （x ）＞e x （sin x ﹣1）+x 2+a 2﹣a ﹣1恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）f ′（x ）＝e x （sin x +cos x ）=√2e x sin （x +π4）， 令f ′（x ）≥0，可得sin （x +π4）≥0，所以2k π≤x +π4≤2kπ+π，k ∈Z ， 所以2kπ−π4≤x ≤2kπ+3π4，k ∈Z ， 所以f （x ）的单调递增区间为[2k π−π4，2k π+3π4]，k ∈Z ； （2）因为x ＞0时，f （x ）＞e x （sin x ﹣1）+x 2+a 2﹣a ﹣1恒成立， 所以e x sin x ＞e x （sin x ﹣1）+x 2+a 2﹣a ﹣1恒成立， 即e x ﹣x 2＞a 2﹣a ﹣1恒成立， 令g （x ）＝e x ﹣x 2，x ＞0，则g ′（x ）＝e x ﹣2x ，g ″（x ）＝e x ﹣2，当x ＞ln 2时，g ″（x ）＞0，g ′（x ）单调递增，当0＜x ＜ln 2时，g ″（x ）＜0，g ′（x ）单调递减，所以g ′（x ）≥g ′（ln 2）＝2﹣2ln 2＞0，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递增，g （x ）＞g （0）＝1， 所以a 2﹣a ﹣1≤1， 解得，﹣1≤a ≤2，所以a 的取值范围为[﹣1，2]．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√2ρcos(θ−π4)=3． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(3，π2)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||P A |﹣|PB ||的值． 【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），转换为普通方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，直线l 的极坐标方程为√2ρcos(θ−π4)=3，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣3＝0．（2）点P 的极坐标为(3，π2)，转换为直角坐标为（0，3）点P 在直线x +y ﹣3＝0上，故直线的参数方程为{x =−√22ty =3+√22t（t 为参数），代入C ：x 2+（y ﹣2）2＝4得t 2+√2t −3=0，∴t 1+t 2=−√2，t 1t 2=−3，故不妨设t 1＞0，t 2＜0且|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|， 故||P A |﹣|PB ||=|t 1+t 2|=√2． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +a |+|x ﹣b |．（1）当a ＝1，b ＝2时，求f （x ）的最小值；（2）若a ，b 均为正实数，且f （x ）的最小值5，求证：1a +1b≥45．【解答】解：（1）法一：当x ＜﹣1时，f （x ）＝﹣（x +1）﹣（x ﹣2）＝﹣2x +1∈（3，+∞）；当﹣1≤x ＜2时，f （x ）＝（x +1）﹣（x ﹣2）＝3； 当x ≥2时，f （x ）＝（x +1）+（x ﹣2）＝2x ﹣1∈[3，+∞）； 综上，f （x ）的最小值为3．法二：由f （x ）＝|x +1|+|x ﹣2|≥|（x +1）﹣（x ﹣2）|＝3， 当﹣1≤x ≤2时，取得等号， 可得f （x ）的最小值为3．（2）证明：a 、b 均为正实数，且f （x ）的最小值5，即f （x ）＝|x +a |+|x ﹣b |≥|（x +a ）﹣（x ﹣b ）|＝|a +b |＝a +b ＝5， 所以1a +1b=15(1a +1b)(a +b)=15(2+b a+a b )≥15(2+2√b a ⋅a b)=45（当且仅当ba=a b且a +b ＝5时，即a =b =52，取“＝”）．。
2024届贵州省贵阳市一中高三一模数学试题及答案
数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2340A x x x =∈+-≤Z ，{}2B x x =≥-，则集合A B 的元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．复数43i 2iz +=-（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-3．已知向量(),1a m =- ，()1,2b m =- ，若a b ∥，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．1-D ．1-4．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，A 市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计1200棵，比例如图所示．青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5:3:，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（ ）A ．60棵B ．100棵C ．144棵D ．160棵5．设随机变量ξ服从正态分布()26,N σ，若()()342P a P a ξξ<-=>-+，则a 的值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．46．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.157．某圆锥的轴截面是一个边长为8的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（）A ．8πB ．C ．D ．16π8．已知定义域为R 的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()20f x f x -<'，()01f =，则（）A ．()2e 11f -<B ．()21e f >C ．1e 2f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()11e 2f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足()1402n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法正确的是（ ）A ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列B ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n=C ．数列{}n a 的通项公式为()141n a n n =+D ．数列{}n a 不是递增数列10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A ．乙发生的概率为35B ．丙发生的概率为35C ．甲与丁相互独立D ．丙与丁互为对立事件11．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>满足：π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()y f x =的值域为[]2,2-B ．函数()y f x =的图象关于直线7π6x =对称C ．函数π3y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数D ．函数()y f x =在π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线，段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．四面体11A D AP 的体积为定值B ．AP PC +的最小值为C ．1A P ∥平面1ACDD ．当直线1A P 与AC 所成的角最大时，四面体1A PCA 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．二项式)7121x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的系数为______．14．核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为2%（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为4%，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的60%，40%，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______．15．如图，表面积为100π的球面上有四点S ，A ，B ，C ，ABC △是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥C SAB -体积的最大值为______．16．已知直线与抛物线()220x py p =>交于A ，B 两点，抛物线的焦点为F ，O 为原点，且15OA OB ⋅= ，OD AB ⊥于点D ，点D 的坐标为()2,1-，则AF BF +=______．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 0a B A +=．（1）．求A ；（2）若6a =，1sin sin 4B C =，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*113n n S a n +=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，4log n n n b a S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a 忘了记录，但知道3655a ≤≤，a ∈Z （i y ，i z 分别表示小明、小红第i 天的成功次数）．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天序号x1234567小明成功次数()y 162020253036a 小红成功次数()z 16222526323535（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y 关于序号x 的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数a 的值．参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆn ni i i ii i n n ii i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．参考数据：116220320425530636582⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；22222212345691+++++=．20．（本小题满分12分）如图，在三棱台ABC DEF -中，H 在AC 边上，平面ACFD ⊥平面ABC ，60ACD ∠=︒，2CH =，4CD =，BC =，BH BC ⊥．（1）证明：EF BD ⊥；（2）若2AC DF =且ABC △的面积为，求CF 与平面ABD 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别是A ，B ，点P （异于A ，B 两点）在椭圆C 上，直线PA 与PB 的斜率之积为49-，椭圆C 的短轴长为4．（1）求C 的标准方程；（2）已知()0,1T ，直线PT 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且直线AP 与BQ 相交于点D ，证明：点D 在定直线上．22．（本小题满分12分）已知函数()()()()1ln 23f x x x a x =----，a ∈R ．（1）若1a =，讨论函数()1f x +的单调性；（2）当3x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围．。
2017年贵州省贵阳市高考数学一模试卷(文科)
2017年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+…+i2017=（）A．0 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）满足{1，2}⊆P⊊{1，2，3，4}的集合P的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）某公司某件产品的定价x与销量y之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为：=6.5+17.5，则表格中n的值应为（）A．45 B．50 C．55 D．604．（5分）已知{a n}是等差数列，且公差d≠0，S n为其前n项和，且S5=S6，则S11=（）A．0 B．1 C．6 D．115．（5分）如图的程序框图，如果输入三个数a，b，c，（a2+b2≠0）要求判断直线ax+by+c=0与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填写下面四个选项中的（）A．c=0？B．b=0？C．a=0？D．ab=0？6．（5分）某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．2 B．C．2 D．37．（5分）在[0，π]内任取一个实数x，则sinx≤的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点（含边界），则•的最大值为（）A．32 B．24 C．20 D．169．（5分）经过双曲线的左焦点F1作倾斜角为30°的直线，与双曲线的右支交于点P，若以PF1为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．10．（5分）设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V S﹣BCD=3V A﹣BCD=3，则球的表面积为（）A．16πB．64πC．πD．32π11．（5分）设命题p：若y=f（x）的定义域为R，且函数y=f（x﹣2）图象关于点（2，0）对称，则函数y=f（x）是奇函数，命题q：∀x≥0，x≥x，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q12．（5分）过点M（，﹣）作圆x2+y2=1的切线l，l与x轴的交点为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，l与抛物线E交于A、B两点，则AB中点到抛物线E的准线的距离为（）A．B．3 C．D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知=3，则tan2α=．14．（5分）函数f（x）=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．15．（5分）我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在《九章算术圆田术》注重，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，所谓“割圆术”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率）．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R，此时圆内接正六边形的周长为6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3，当正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为（参考数据：cos15°≈0.966，≈0.26）16．（5分）已知数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n（n∈N*），数列{}的前n项和为S n，则S1•S2•S3…S10=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=sin（A+C），cos（A﹣C）+cosB=c．（1）求角A的大小；（2）求b+c的取值范围．18．（12分）2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的2人中至少有一名男生的概率．参考公式与数据：K2=．19．（12分）底面为菱形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点，（1）在图中作一个平面α，使得BD⊂α，且平面AEF∥α（不必给出证明过程，只要求做出α与直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面）（2）若AB=AA1=2，∠BAD=60°，求点C到所作截面α的距离．20．（12分）已知圆F1：（x+）2+y2=9与圆F2：（x﹣）2+y2=1，以圆F1、F2的圆心分别为左右焦点的椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过两圆的交点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线x=2上有两点M、N（M在第一象限）满足•=0，直线MF1与NF2交于点Q，当|MN|最小时，求线段MQ的长．21．（12分）设f（x）=xe x，g（x）=x2+x．（1）令F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的最小值；（2）若任意x1，x2∈[﹣1，+∞）且x1＞x2有m[f（x1）﹣f（x2）]＞g（x1）﹣g （x2）恒成立，求实数m的取值范围．四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣2cosθ﹣6sinθ+=0，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（3，3），求|PA|+|PB|的值．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=|x+1|﹣|x﹣4|．（1）若f（x）≤﹣m2+6m恒成立，求实数m的取值范围；（2）设m的最大值为m0，a，b，c均为正实数，当3a+4b+5c=m0时，求a2+b2+c2的最小值．2017年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2017•贵阳一模）已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+…+i2017=（）A．0 B．1 C．﹣i D．i【解答】解：z====i，故选：D．2．（5分）（2017•贵阳一模）满足{1，2}⊆P⊊{1，2，3，4}的集合P的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：P可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，个数为3．故选B．3．（5分）（2017•贵阳一模）某公司某件产品的定价x与销量y之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为：=6.5+17.5，则表格中n的值应为（）A．45 B．50 C．55 D．60【解答】解：由题意可知：=×（2+4+5+6+8）=5，=×（30+40+n+50+70）=38+，∵回归直线方程经过样本中心，∴38+=6.5×5+17.5解得n=60．故选：D．4．（5分）（2017•贵阳一模）已知{a n}是等差数列，且公差d≠0，S n为其前n项和，且S5=S6，则S11=（）A．0 B．1 C．6 D．11【解答】解：∵{a n}是等差数列，且公差d≠0，S n为其前n项和，且S5=S6，∴a6=S6﹣S5=0，∴S11=（a1+a11）=11a6=0．故选：A．5．（5分）（2017•贵阳一模）如图的程序框图，如果输入三个数a，b，c，（a2+b2≠0）要求判断直线ax+by+c=0与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填写下面四个选项中的（）A．c=0？B．b=0？C．a=0？D．ab=0？【解答】解：根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，当c2＜a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，可得：空白的判断框中，应该填写c=0？故选：A．6．（5分）（2017•贵阳一模）某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．2 B．C．2 D．3【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个直角梯形OABC，直角梯形的上底是BC=1，下底是AO=2，垂直于底边的腰是OP=2，如图所示：则四棱锥的最长棱长为PB===3．故选：D．7．（5分）（2017•贵阳一模）在[0，π]内任取一个实数x，则sinx≤的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，π]上，长度为π，当x∈[0，π]时，sinx≤，可得0≤x≤或，区间长度为由几何概型知，符合条件的概率为=．故选：C．8．（5分）（2017•贵阳一模）设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点（含边界），则•的最大值为（）A．32 B．24 C．20 D．16【解答】解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，则A=（0，0），M（4，2），则=（4，2），设N点坐标为（x，y），则=（x，y），，∴•=4x+2y，设z=4x+2y，平移目标函数，则过点C（4，4）时有最大值，此时最大值为z=16+8=24，故选：B．9．（5分）（2017•贵阳一模）经过双曲线的左焦点F1作倾斜角为30°的直线，与双曲线的右支交于点P，若以PF1为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：由题意，PF2⊥x轴，将x=c代入双曲线的方程得y=，即P（c，）在△PF1F2中tan30°=，即，解得e=．故选：C．10．（5分）（2017•贵阳一模）设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA ⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V S=3V A﹣BCD=3，则球的表面积为（）﹣BCDA．16πB．64πC．πD．32π【解答】解：设三棱锥A﹣BCD的高为h，则三棱锥S﹣BCD的高为3h，球的直径为2R，=1，∵三角形BCD的面积为3，V A﹣BCD∴=1，∴h=1，∴R=2，∴球的表面积为4π•22=16π，故选A．11．（5分）（2017•贵阳一模）设命题p：若y=f（x）的定义域为R，且函数y=f （x﹣2）图象关于点（2，0）对称，则函数y=f（x）是奇函数，命题q：∀x≥0，x≥x，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【解答】解：若y=f（x）的定义域为R，且函数y=f（x﹣2）图象关于点（2，0）对称⇒函数y=f（x）图象关于点（0，0）对称，则函数y=f（x）是奇函数，故命题p为真命题；当x=时，x=，x=，此时，x＜x，故命题q是假命题．所以p∧￢q为真命题，故选C．12．（5分）（2017•贵阳一模）过点M（，﹣）作圆x2+y2=1的切线l，l与x轴的交点为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，l与抛物线E交于A、B两点，则AB中点到抛物线E的准线的距离为（）A．B．3 C．D．4【解答】解：过点M（，﹣）作圆x2+y2=1的切线l，点在圆上，可得曲线的斜率为：1，切线方程为：y+=x﹣，可得x﹣y﹣=0，直线与x轴的交点坐标（，0），可得抛物线方程为：y2=4x，，可得x2﹣6+2=0，l与抛物线E交于A（x1，y1）、B（x2，y2），可得：x1+x2=6，则AB中点到抛物线E的准线的距离为：3=4．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2017•贵阳一模）已知=3，则tan2α=．【解答】解：由=，可得：tanα=4，那么：tan2α==14．（5分）（2017•贵阳一模）函数f（x）=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．【解答】解：函数f（x）=x2的导数为f′（x）=2x，可得在x=1处的切线斜率为2，切点为（1，1），即有在x=1处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），令x=0，可得y=﹣1；y=0，可得x=．则围成的三角形的面积为×1×=．15．（5分）（2017•贵阳一模）我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在《九章算术圆田术》注重，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，所谓“割圆术”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率）．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R，此时圆内接正六边形的周长为6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3，当正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为3.12（参考数据：cos15°≈0.966，≈0.26）【解答】解：正二十四边形的圆心角为15°，圆的半径R，边长为≈0.26R，周长为0.26×24R=2πR，∴π=3.12，故答案为3.12．16．（5分）（2017•葫芦岛一模）已知数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n（n∈N*），数列{}的前n项和为S n，则S1•S2•S3…S10=．【解答】解：∵2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，∴2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1a n﹣1=n﹣1，∴2n a n=1，∴a n=，∴===﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴S1•S2•S3…S10=×××…××=，三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•贵阳一模）已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=sin（A+C），cos（A﹣C）+cosB=c．（1）求角A的大小；（2）求b+c的取值范围．【解答】解：（1）∵b=sin（A+C），可得：b=sinB，∴由正弦定理，可得：a=sinA，c=sinC，∵cos（A﹣C）+cosB=c，可得：cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=c，可得：cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴2sinAsinC=，∴2ac=，可得：a==sinA，∵A为锐角，∴A=．（2）∵a=，A=，∴b+c=sinB+sin（﹣B）=sin（B+），∵B+C=，B，C为锐角，可得B∈（，），∴B+∈（，），∴b+c=sin（B+）∈（，]．18．（12分）（2017•贵阳一模）2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的2人中至少有一名男生的概率．参考公式与数据：K2=．【解答】解：（1）2×2列联表K2=≈6.59＜6.635∴不能在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关；（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，男生3名，女生4名，从中抽取2人参加挑战，共有=21种方法，全是女生的方法有6种，∴抽取的2人中至少有一名男生的概率为=．19．（12分）（2017•贵阳一模）底面为菱形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点，（1）在图中作一个平面α，使得BD⊂α，且平面AEF∥α（不必给出证明过程，只要求做出α与直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面）（2）若AB=AA1=2，∠BAD=60°，求点C到所作截面α的距离．【解答】解：（1）取B1C1的中点G，D1C1的中点H，连结BG，GH，DH，则平面BDHG就是所求的平面α，α与直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面即为平面BDHG．（2）取BC中点M，∵AB=AA1=2，∠BAD=60°，∴以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，C（﹣1，，0），D（0，0，0），B（1，，0），G（0，，2），=（1，，0），=（0，，2），=（﹣1，，0），设平面BDG的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（2，﹣2，），∴点C到所作截面α的距离：d===．20．（12分）（2017•贵阳一模）已知圆F1：（x+）2+y2=9与圆F2：（x﹣）2+y2=1，以圆F1、F2的圆心分别为左右焦点的椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过两圆的交点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线x=2上有两点M、N（M在第一象限）满足•=0，直线MF1与NF2交于点Q，当|MN|最小时，求线段MQ的长．【解答】解：（1）由题意，c=，两圆的交点坐标为（，±），代入椭圆方程可得=1，联立a2+b2=3，可得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为=1；（2）设直线MF1的方程为y=k（x+）（k＞0），可得M（2，3k），同理N（2，﹣），∴|MN|=|（3k+）|≥6，当且仅当k=时，|MN|取得最小值6，此时M（2，3），|MF1|=6，|QF1|=3，∴|MQ|=3．21．（12分）（2017•贵阳一模）设f（x）=xe x，g（x）=x2+x．（1）令F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的最小值；（2）若任意x1，x2∈[﹣1，+∞）且x1＞x2有m[f（x1）﹣f（x2）]＞g（x1）﹣g （x2）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）+g（x）=xe x+x2+x，F′（x）=（x+1）（e x+1），令F′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令F′（x）＜0，解得：x＜﹣1，故F（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，故F（x）min=F（﹣1）=﹣1﹣；（2）若任意x1，x2∈[﹣1，+∞）且x1＞x2有m[f（x1）﹣f（x2）]＞g（x1）﹣g （x2）恒成立，则任意x1，x2∈[﹣1，+∞）且x1＞x2有mf（x1）﹣g（x1）＞mf（x2）﹣g（x2）＞0恒成立，令h（x）=mf（x）﹣g（x）=mxe x﹣x2﹣x，x∈[﹣1，+∞），即只需h（x）在[﹣1，+∞）递增即可；故h′（x）=（x+1）（me x﹣1）≥0在[﹣1，+∞）恒成立，故m≥，而≤e，故m≥e．四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲22．（10分）（2017•贵阳一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣2cosθ﹣6sinθ+=0，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（3，3），求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ﹣2cosθ﹣6sinθ+=0，可得：ρ2﹣2ρcosθ﹣6ρsinθ+1=0，可得x2+y2﹣2x﹣6y+1=0，曲线C的普通方程：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0．（2）由于直线l的参数方程为（t为参数）．把它代入圆的方程整理得t2+2t﹣5=0，∴t1+t2=﹣2，t1t2=﹣5，|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，|PA|+|PB|=|t1|+|t2|==2．∴|PA|+|PB|的值2．选修4-5：不等式选讲23．（2017•贵阳一模）设f（x）=|x+1|﹣|x﹣4|．（1）若f（x）≤﹣m2+6m恒成立，求实数m的取值范围；（2）设m的最大值为m0，a，b，c均为正实数，当3a+4b+5c=m0时，求a2+b2+c2的最小值．【解答】解（1）﹣5≤|x+1|﹣|x﹣4|≤5．，由于f（x）≤﹣m2+6m的解集为R，∴﹣m2+6m≥5，即1≤m≤5．（2）由（1）得m的最大值为5，∴3a+4b+5c=5由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）故a2+b2+c2≥．（当且仅当a=，b=c=时取等号）∴a2+b2+c2的最小值为．参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；lcb001；742048；zlzhan；w3239003；whgcn；陈远才；qiss；左杰；双曲线；刘老师（排名不分先后）huwen2017年4月8日。