新人教版必修二高中数学1-3-2空间几何体的体积教案

高中数学必修2第1章132空间几何体的体积课件(38张)1

方法归纳根据球的截面面积来求球的表面积和体积问题，关键是利用重要的直角三角形建立关于半径R的方程．求出R，然后代入球的表面积公式和体积公式进行求解．
4．本例中，若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．
解：如图，由题意可知：OO1＝1，设截面圆的半径为 r，则 π＝πr2，∴r＝1，即 O1A＝1. 在 Rt△OO1A 中，球半径 R＝OA＝ O1O2＋O1A2＝ 12＋12＝ 2， ∴球的表面积 S 球＝4πR2＝8π，
＝ 23a，所以 CH＝EH·tan130°＝32a.
在 Rt△CDH 中，CD＝ CH2－DH2＝ 32a2－12a2＝ 2a，
所以
S
△
CDF＝12CD·AD＝
1 2
×
2a×a＝ 22a2，所以 VE－CDF＝
13·EH·S△CDF＝13× 23a× 22a2＝ 126a3.
(2)在 Rt△AFE 中，由 AE＝a，AF＝12CD＝ 22a，
43πr31∶43πr23＝rr213＝233＝8∶27.
3．如图在所有棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，三棱 23
锥B－A1C1C的体积是__3______．
解析：∵三棱锥 B－A1C1C 与三棱锥 B－A1AC 等底同高，故 VB—A1C1C＝VB－A1AC，又 VB－A1AC＝VA1－ABC， ∴VB－A1C1C＝VA1－ABC，而三棱锥 A1－ABC 的底面就是正三棱柱的底面，它的高就是正三棱柱的高，
∴DE＝
3 4 a.
[感悟提高] (1)在三棱锥 A－BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA－BCD.则因为 V＝13hS△BCD，所以 h＝S△3BVCD.这种方法就是用等积法求点到平面的距离，其中 V 的求法一般用换顶点法求解，可利用 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ ABC 求解，求解的原则是 V 易求，且△BCD 的面积易求． (2)等体积法主要用于求点面距离，且常用于三棱锥，通过选取不同的底面建立体积等式．

高一数学必修2教案：1.3.2空间几何体的表面积和体积(教学设计)Word版

探究几种方法，找出形成归纳、
公式背后的理论依
猜想和证
据
明的科学
思维习惯
圆台的上、下底面半径分别为 r，r′，母线为 l，其表面积 S＝ __________________.
根据台体的特征，如何求台体的体积？由于圆台 ( 棱台 ) 是由圆锥 ( 棱锥 ) 截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台 ( 棱台 ) 的体积公式．
2 A．3
B．2
3 C． 2
1 D．2
环节四：归纳总结 , 知识回顾
棱台的侧面展开是什么图形？圆台的侧面展示是什么图形？棱台和圆台的侧面积和体积公式
环节五：作业与测试
练习与测试
学生整理反思，深化认识
独立完成作业限时完成测试
通过作业与测试巩固知识提升应用能力
类比得出圆台的体积
环节二：例题讲解
例 1 、已知一正四棱台的上底边长为 8cm，高为 3cm，求其体积。
4cm，下底边长为
例 2．如图，一个圆台形花盆盆口直径 20cm，盆底直径
为 15cm，底部渗水圆孔直径为 1.5cm，盆壁长 15cm．为
了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用
100
1.3 空间几何体的表面积和体积（第二课时）
【教学过程】
教学流程
教师活动
环节一：问题导入
类比棱柱、棱锥，思考：棱台也是由多个平面图形围成的几何体，什么？如何计算它的表面积？
它的展开图是
学生活动结合已有知识进行思考，引出新知识
设计意图新旧知识建立联系
环节二：探棱台侧面展开图究过程
忆，加强应用方面的
A． 81π C． 14π

高一数学必修2教案：1.3.3 空间几何体的表面积和体积(教学设计) Word版

1.3空间几何体的表面积和体积（第三课时）【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：问题导入问题1：一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？问题2：如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆设球的半径为R,截面半径为r,平面α与截面的距离为那么 r = 22lR-因此 S圆 = π2r结合已有知识进行思考，引出新知识新旧知识建立联系环节二：探究过程1.排液法测小球的体积2.类推法3、分割极限法：探究几种方法，找出公式背后的理论依据形成归纳、猜想和证明的科学思维习惯球的表面积球面被分割成n 个网格，表面积分别为：则球的表面积则球的体积为：球的体积和表面积公式.,2,1,)]1([22n i i n RR r i =--=环节二：例题讲解例一：(1)球的体积是323π，则此球的表面积是( )A．12πC．16 3π(2)两个球的体积之比是8∶27，那么这两个球的表面积之比是( )A．2∶3C．2∶ 3例二：某个几何体的三视图如图所示(单位：m)(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的体积．例3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。

例4、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，学生做题总结思考，笔记教师讲解通过做题可以加深学生对基础知识的记忆与利用.教师结合实际情况适当讲解表面积．环节三：课堂演练练习一：1、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.2、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.3、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.练习二：1、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.4、若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.5、长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_____.6、若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π ,则两球的直径之差为______.7、将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.学生自主做题，思考讨论的同时，可以加深本节知识点的记忆，加强应用方面的方法技巧，加深对知识的认识.通过演练直击本节知识点，起到巩固作用.环节四：归纳总结,知识回顾1.球体的表面积和体积公式2.三视图与球体的关系3.球体与其他几何体的切接问题学生整理反思，深化认识环节五：作业与测试作业与测试独立完成作业限时完成测试通过作业与测试巩固知识提升应用能力。

高中数学必修2《空间几何体的表面积与体积》教案

⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。

该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。

3重点难点重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。

难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结：求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积课时设计课堂实录 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结：求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计：、、、、、、、、、、、、⼩编推荐各科教学设计：、、、、、、、、、、、、。

人教课标版高中数学必修二《空间几何体的表面积和体积(第2课时)》教案(1)-新版

1.3.2柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）一、教学目标（一）核心素养通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，锻炼自己的空间思维能力，从而增强学习的积极性. （二）学习目标1.掌握柱、锥、台体积的求法.2.让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间体积的关系（三）学习重点运用公式解决问题. （四）学习难点理解计算公式之间的关系. 二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第25页至第27页.填空：棱长为a 的正方体的体积计算公式为3a .长、宽、高分别为c b a 、、的长方体的体积的计算公式为abc . 圆柱体积公式:Sh V =.一般柱体的体积:Sh V =.（S 为底面面积，h 为柱体的高）椎体的体积Sh V 31=（S 为底面面积，h 为高）.台体的体积()h S SS S V ++=''31（'S S 、分别为上、下底面面积，h 为台体的高）. 2.预习自测（1）已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V :2V =______.【答案】1:3【知识点】柱体、椎体的体积公式【解题过程】设圆柱、圆柱的底面积为S ，高为h ，则由柱体、锥体的体积公式得：()121313V :V Sh :Sh :,⎛⎫== ⎪⎝⎭故选D.【思路点拨】直接用公式解（2）设直角三角形的两直角边43==AC AB ，，则它绕AB 旋转一周得到的旋转体的体积为____________. 【答案】π16【知识点】锥体体积公式、旋转体【解题过程】根据题意可知，所得的立体图形是一个圆锥：底面半径是4，高为3，圆锥体积=2143163π⨯⨯⨯=π. 【思路点拨】运用锥体体积公式求解.（3）已知棱台的上下底面面积分别为16,4，高为3，则该棱台的体积为___________. 【答案】28【知识点】台体的体积公式【解题过程】台体体积()()1141632833'V S S h =++=⨯+⨯= 【思路点拨】牢记台体体积公式 (二)课堂设计 1.知识回顾已学柱体、椎体、台体表面积计算方法. 2.问题探究探究一柱体、锥体体积计算公式活动① 结合实例，进行猜想将正方体、长方体的体积公式分别改写为：h S a a a V ⋅=⋅==底正方体23，其中a h =；h S c ab abc V ⋅=⋅==底长方体，其中c h =.据此猜想棱柱的体积公式是什么？h S V ⋅=底棱柱，其中h 表示棱柱的高.类比棱柱，可得圆柱体积: h S V ⋅=底圆柱【设计意图】根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯.活动②互动交流，得出结论如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？''用几何画板展示动态过程，并进行相应的证明，加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解，由此可得锥体的体积计算公式：h S V ⋅=底锥31，其中h 表示棱锥的高.【设计意图】虽然此处还不能进行理论的论证，但是在猜想的基础上可以引导学生进行说理，培养学生的理性思维习惯. 活动③巩固练习，熟记公式例1若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为（） A.π1B.π2C.π3D.π4【知识点】圆柱【数学思想】空间想象【解题过程】底面半径ππ122==r ，πππ2122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=柱V .【思路点拨】利用公式直接计算. 【答案】B同类训练若圆锥的表面积是π15，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是( ) A.π715 B.π7315 C.π725D.π7325 【知识点】圆锥【数学思想】空间想象【解题过程】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则l r ππ312=，得r l 6=，ππππ157622==⋅+=r r r r S ，得715=r ，圆锥的高71535⨯=h πππ73257153571531312=⨯⨯⨯==h r V【思路点拨】利用公式直接计算. 【答案】D例2一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积是（）A.432+π B.42+π C.4+π D.2+π 【知识点】由三视图求面积、体积. 【数学思想】空间想象【解题过程】解：由三视图可知几何体为半圆柱与长方体的组合体. 半圆柱的底面半径为1，高为2，长方体的棱长分别为1、2、2，所以几何体的体积422121212+=⨯⨯+⨯⨯⨯=ππV .【思路点拨】几何体为半圆柱与长方体的组合体. 【答案】C同类训练某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.π838+B.π8316+C.π1638+D.π16316+ 【知识点】由三视图求简单几何体的体积. 【数学思想】空间想象【解题过程】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为：ππ842212=⨯⋅⨯，三棱锥的底面面积为：44221=⨯⨯，高为2，故体积为：38，故组合体的体积π838+=V ，【思路点拨】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，分别求出体积，相加可得答案. 【答案】A【设计意图】巩固检查学生对柱体、椎体体积公式的掌握. 探究二台体体积的求法活动①分组合作，讨论交流类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗？如何求？如图，设圆台的上下底面积分别为'S 和S ，高为h ，试求其体积. 转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解.（以圆台为例）：如下图，设x O O ='''，上下底面的半径分别为'r 和r ，圆台的上下底面积分别为'S 和S .SS S S rr h x x '''===+ππ ,''SS S h x -=∴()x S Sx Sh x S x h S V ''31313131-+=-+=台()()''''31313131SS S h S S Sh x S S Sh --+=-+=()()''''313131S SS S h S hS S Sh ++=++=【设计意图】感受圆台体积的计算过程，从而加深台体体积公式的记忆活动②基础训练，加深印象例3四棱台的上下底面均是正方形，边长分别为cm 3和cm 5，高是cm 6，求此棱台的体积。

人教版高中数学必修2第一章空间几何体-《1.3.2球的体积和表面积》教案

§1.3.2 球的体积和表面积一. 教学目标１．知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

２．过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

３．情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具１．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

２．教学用具：投影仪四. 教学设计（一）创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（二）探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为n R ，底面是“小圆片”的底面。

高中数学 1.3.2柱体、锥体、台体的体积精品教案新人教A版必修2

（一）教学目标1．知识与技能（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.（二）教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的体积计算.难点：简单组合体的体积计算.（三）教学方法讲练结合教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.教师设问，学生回忆师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积.复习巩固点出主题探索新知柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体 = Sh (S是底面积，h为柱体高)V锥体 =13Sh(S是底面积，h为锥体高)V台体 =1()3S SS s h''++(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？生：V= Sh(S为底面面积，h为高)师：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积. 公式：V = Sh (S为底面面积，h为高)师：锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出). 锥体的体积公式都是V=13Sh(S为底面面积，h为高)师：现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.生：锥体体积同底等高柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故采用讲授式效率会更高.的柱体体积的13.师：台体的结构特征是什么？生：台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体，截得两平行平面间的部分. 师：台体的体积大家可以怎样求？生：台体的体积应该等于两个锥体体积的差. 师：利用这个原理我们可以得到台体的体积公式 V =1()3S SS s h ''++其中S ′、S 分别为上、下底面面积，Q 为台体的高(即两底面之间的距离) 师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？生：令S ′=0，得到锥体体积公式. 令S ′=S ，得到柱体体积公式.因台体的体积公式的推导需要用到后面知识，故此处不予证明，只要学生了解公式及公式的推导思路.培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握.典例分析例 1 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8g/cm 3)六角螺帽(如图)共重5.8kg ，已知底面是正六边形，边长为12cm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个(π取 3.14，可用计算器)？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即2231012610 3.14()1042V =⨯⨯⨯-⨯⨯≈2956 (mm 3) = 2.956(cm 3)所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个)师：六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么？你准备怎样计算它的体积？生：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.学生分析，教师板书过程.师：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等.空间组合体的体积计算关键在于弄清它的结构特征.1()3V h S SS S ''=++棱台S = S ′ S = 0 V 柱体 = ShV 锥体=13Sh答：这堆螺帽大约有252个.典例分析例 2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积.【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h = 2r，∵S = S侧 +2S底= 2rhπ +2226r rππ=，∴6Srπ=.∴内接正四棱柱的底面边长a=2r sin45°=2r.∴V = S底·h =23(2)24r r r⋅== 4·326()69S SSπππ=⋅，即圆柱的内接正四棱柱的体积为269SSππ.教师投影例2并读题师：要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条件可以用S表示它.大家想想，这个轴截面最好选择什么位置.生：取内接正四棱柱的对角面.师：有什么好处？生：这个截面即包括圆柱的有关量，也包括正四棱柱的有关量.学生分析，教师板书过程.师：本题是正四棱柱与圆柱的相接问题. 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面，找到这个截面，就能迅速搭好已知和未知的桥梁.随堂练习1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积.答案：2325cm2.2．正方体中，H、G、F分别是棱AB、学生独立完成培养学生理解能力，空间想象能力.AD 、AA 1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？答案：148.归纳总结1．柱体、锥体、台体的体积公式及关系.2．简单组合体体积的计算. 3．等积变换学生归纳，教师补充完善.巩固所学，提高自我整合知识能力. 课后作业1.3 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力备用例题例1：三棱柱ABC – A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1:V 2 = 7:5 .【分析】不妨设V 1对应的几何体AEF – A 1B 1C 1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的14；V 2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V 1来表示.【解析】设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V = V 1 + V 2 = Sh . ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点∴14AEFSS =. 1117()34412S V h S S S Sh =++⋅=21512V Sh V Sh =-=∴V 1:V 2 = 7:5.【评析】本题求不规则的几何体C 1B 1—EBCF 的体积时，是通过计算棱柱ABC —A 1B 1C 1和棱台AEF —A 1B 1C 1的体积的差来求得的.例2：一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π=3.14)【解析】因为圆锥形铅锤的体积为 216()206032ππ⋅⨯=(cm 3) 设水面下降的高底为x ，则小圆柱的体积为π(20÷2)2x = 100πx (cm 3) 所以有60π=100πx ，解此方程得x = 0.6 (cm). 答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.。

人教课标版高中数学必修二《空间几何体的表面积和体积(第2课时)》教案-新版

1.3.2柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）一、教学目标（一）核心素养通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，锻炼自己的空间思维能力，从而增强学习的积极性. （二）学习目标1.掌握柱、锥、台体积的求法.2.让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间体积的关系（三）学习重点运用公式解决问题. （四）学习难点理解计算公式之间的关系. 二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第25页至第27页.填空：棱长为a 的正方体的体积计算公式为3a .长、宽、高分别为c b a 、、的长方体的体积的计算公式为abc . 圆柱体积公式:Sh V =.一般柱体的体积:Sh V =.（S 为底面面积，h 为柱体的高）椎体的体积Sh V 31=（S 为底面面积，h 为高）.台体的体积()h S SS S V ++=''31（'S S 、分别为上、下底面面积，h 为台体的高）. 2.预习自测（1）已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V :2V =______.【答案】1:3【知识点】柱体、椎体的体积公式【解题过程】设圆柱、圆柱的底面积为S ，高为h ，则由柱体、锥体的体积公式得：()121313V :V Sh :Sh :,⎛⎫== ⎪⎝⎭故选D.【思路点拨】直接用公式解（2）设直角三角形的两直角边43==AC AB ，，则它绕AB 旋转一周得到的旋转体的体积为____________. 【答案】π16【知识点】锥体体积公式、旋转体【解题过程】根据题意可知，所得的立体图形是一个圆锥：底面半径是4，高为3，圆锥体积=2143163π⨯⨯⨯=π. 【思路点拨】运用锥体体积公式求解.（3）已知棱台的上下底面面积分别为16,4，高为3，则该棱台的体积为___________. 【答案】28【知识点】台体的体积公式【解题过程】台体体积()()1141632833'V S S h =++=⨯+⨯= 【思路点拨】牢记台体体积公式 (二)课堂设计 1.知识回顾已学柱体、椎体、台体表面积计算方法. 2.问题探究探究一柱体、锥体体积计算公式活动① 结合实例，进行猜想将正方体、长方体的体积公式分别改写为：h S a a a V ⋅=⋅==底正方体23，其中a h =；h S c ab abc V ⋅=⋅==底长方体，其中c h =.据此猜想棱柱的体积公式是什么？h S V ⋅=底棱柱，其中h 表示棱柱的高.类比棱柱，可得圆柱体积: h S V ⋅=底圆柱【设计意图】根据已有知识经验获得一般的结论，培养学生合情推理的意识和习惯.活动②互动交流，得出结论如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？''用几何画板展示动态过程，并进行相应的证明，加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解，由此可得锥体的体积计算公式：h S V ⋅=底锥31，其中h 表示棱锥的高.【设计意图】虽然此处还不能进行理论的论证，但是在猜想的基础上可以引导学生进行说理，培养学生的理性思维习惯. 活动③巩固练习，熟记公式例1若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为（） A.π1B.π2C.π3D.π4【知识点】圆柱【数学思想】空间想象【解题过程】底面半径ππ122==r ，πππ2122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=柱V .【思路点拨】利用公式直接计算. 【答案】B同类训练若圆锥的表面积是π15，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是( ) A.π715 B.π7315 C.π725D.π7325 【知识点】圆锥【数学思想】空间想象【解题过程】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则l r ππ312=，得r l 6=，ππππ157622==⋅+=r r r r S ，得715=r ，圆锥的高71535⨯=h πππ73257153571531312=⨯⨯⨯==h r V【思路点拨】利用公式直接计算. 【答案】D例2一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积是（）A.432+π B.42+π C.4+π D.2+π 【知识点】由三视图求面积、体积. 【数学思想】空间想象【解题过程】解：由三视图可知几何体为半圆柱与长方体的组合体. 半圆柱的底面半径为1，高为2，长方体的棱长分别为1、2、2，所以几何体的体积422121212+=⨯⨯+⨯⨯⨯=ππV .【思路点拨】几何体为半圆柱与长方体的组合体. 【答案】C同类训练某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.π838+B.π8316+C.π1638+D.π16316+ 【知识点】由三视图求简单几何体的体积. 【数学思想】空间想象【解题过程】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为：ππ842212=⨯⋅⨯，三棱锥的底面面积为：44221=⨯⨯，高为2，故体积为：38，故组合体的体积π838+=V ，【思路点拨】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，分别求出体积，相加可得答案. 【答案】A【设计意图】巩固检查学生对柱体、椎体体积公式的掌握. 探究二台体体积的求法活动①分组合作，讨论交流类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗？如何求？如图，设圆台的上下底面积分别为'S 和S ，高为h ，试求其体积. 转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解.（以圆台为例）：如下图，设x O O ='''，上下底面的半径分别为'r 和r ，圆台的上下底面积分别为'S 和S .SS S S rr h x x '''===+ππ ,''SS S h x -=∴()x S Sx Sh x S x h S V ''31313131-+=-+=台()()''''31313131SS S h S S Sh x S S Sh --+=-+=()()''''313131S SS S h S hS S Sh ++=++=【设计意图】感受圆台体积的计算过程，从而加深台体体积公式的记忆活动②基础训练，加深印象例3四棱台的上下底面均是正方形，边长分别为cm 3和cm 5，高是cm 6，求此棱台的体积。