2.3《等差数列的前n项和》作业(第二课时)
2.3等差数列前n项和公式(2)
班级：高一（ ）班 2． 等差数列的前 3 n 项和（2） 授课时间 主备人 学生姓名： 第 周星期 王少媚 课型 审核人 复备人 学号： 新课 万冠民 王少媚
课题
1、加深理解数列前 n 项和的含义，掌握数列的通项与前 n 项和的关系，掌握根 考试说明 据前 n 项和求通项公式。 要求及习 2、熟练掌握等差数列的前 n 项和的公式，理解等差数列的前 n 项和与二次函数 目标 的关系，会求二次函数的最值问题。 学法 指导 公式灵活应用 学习过程 一、问题导学 1、等差数列的前 n 项和公式： S n 2、你能将等差数列 a n 的前 n 项和公式 S n n a1 化成关于 n 的函数吗？它是
2、 已知等差数列 a n 满足 a1 a 2 a1 0 0 0 ，则有（
A. a1 a1 0 1 0
B. a1 a1 0 1 0
C. a1 a1 0 1 0
3、等差数列 a n 中，若 S n 3 n 2 2 n ，则公差 d
，
n n 1 2
课堂札 记
Sn
d
函数，具有的特点：
3、数列 a n 的前 n 项和 S n a1 a 2 a n ，前 n 1 项和 S n 1 你能从以上两式得到 a n 与 S n 、 S n 1 的关系吗？
n 1 呢？ a 1
（2）利用 S n ： 由 S n
d d 2 n a1 n 2 2
利用二次函数配方法求得最值时 n 的值。
三、当堂检测 1、 在等差数列 a n 中，a 2 6 ，a 8 6 ， 若数列 a n 的前 n 项和为 S n ， （ 则 A. S 4 S 5 B. S 4 S 5 C. S 6 S 5 D. S 6 S 5 ） D. a 5 1 5 1 . ）
高中数学：2.3等差数列的前n项和公式(2)
2.3 等差数列的前n 项和公式(2) 课前预习 ● 温故知新 学前温习1.等差数列的前n 项和公式设等差数列{n a }的公差为d ，其前n 项和Sn= 或Sn= .2.等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系 新课感知1.在等差数列{n a }中，若1a ＞0，d ＜0，则Sn 是否存在最大值？若存在，如何求？2. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：12186126,,S S S S S --也成等差数列。
由此推广，你能得到什么结论？ 课堂学习 ● 互动探究 知识精讲1.等差数列的前n 项和有如下的性质．(1)若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也为等差数列．(2)等差数列{a n }中，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列．(3)等差数列{a n }中，若S m ＝S p (m≠p)，则S m ＋p ＝0. (4)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n(a 1＋a 2n )＝n(a n ＋a n ＋1)(a n ，a n ＋1为中间两项)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1. (5)若数列{n a }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则a n b n ＝n n --2121S T.2.求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法： (1)利用二次函数的最值特征求解．S n ＝n 1a ＋nn －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2－d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2.由二次函数的对称性及n∈N *知，当n 取最接近12－a 1d 的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)，值得注意的是最接近12－a 1d 的正整数有时有1个，有时有2个． (2)根据项的正负来定．若1a >0，d<0，则数列前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 若1a <0，d>0，则数列前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值 课堂点拨1、在等差数列{ a n }中， 125a =，179s s =，求n s 的最大值．解析：方法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ， 解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， 由二次函数性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二：先求出d ＝－2(同方法一)， ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0a n ＋1＝25－2n<0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312n>1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三：先求出d ＝－2(同方法一)，1,..S S a a a a a a a a a a a a a d a a a ⋯<>∴><1791011171017111612151314131413140020000Q ，由＝得＋＋＋＝， 而＋＝＋＝＋＝ ＋故＋＝＝－，，，故n ＝13时，Sn 有最大值169.方法四：先求出d ＝－2(同方法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象对称轴n ＝9＋172＝13， ∴当n ＝13时，取得最大值169.【点拨】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和Sn=An 2+Bn （A 、B 为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.2、已知数列{n a }为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公式．解析：方法一：由等差数列的性质可知奇数项a 1，a 3，a 5，…，a 11与偶数项a 2，a 4，a 6，…，a 12仍然成等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 S 偶＝a 2×6＋6×52×2d＝6a 1＋36d ， S 奇＝a 1×6＋6×52×2d＝6a 1＋30d ， ⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＝354，6a 1＋36d 6a 1＋30d ＝3227，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝5.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.方法二：设奇数项与偶数项的和分别为S 奇，S 偶， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＋S 奇＝354，S 偶S 奇＝3227，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162，∴d＝192－1626＝5， 又∵S 奇＝a 1＋a 11×62＝3(2a 1＋10d)＝162， ∴a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.【点拨】等差数列{n a }中，a 1，a 3，a 5，…是首项为a 1，公差为2d 的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是首项为a 2，公差为2d 的等差数列．当项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，方法2中运用到了这些，利用等差数列前n 项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．3、两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，求a n b n . 解析： 方法一：设a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1＋(n －1)e. 取n ＝1，则a 1b 1＝S 1T 1＝12，所以b 1＝2a 1.所以S n T n ＝na 1＋n n －12d nb 1＋n n －12e ＝a 1＋n －12d b 1＋n －12e ＝a 1＋n 2d －d22a 1＋n 2e －e 2＝2n3n ＋1，故en 2＋(4a 1－e)n ＝32dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1－32d ＋d 2n ＋a 1－d 2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d2＝0，4a 1－e ＝3a 1－d ，e ＝32d.即⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1，e ＝3a 1.所以a n b n ＝2n －13n －1.方法二：设S n ＝an 2＋bn ，T n ＝pn 2＋qn(a ，b ，p ，q 为常数)， 则S n T n ＝an ＋b pn ＋q ＝2n3n ＋1，所以3an 2＋(3b ＋a)n ＋b ＝2pn 2＋2qn ，从而⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2p ，3b ＋a ＝2q ，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2q ，b ＝0，p ＝3q ，所以S n ＝2qn 2，T n ＝3qn 2＋qn.当n ＝1时，a 1b 1＝S 1T 1＝12；当n≥2时，a n b n ＝S n －S n －1T n －T n －1＝2n －13n －1方法三：1212112121()22()22n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T ----+===+2(21)21=.3(21)131n n n n --=-+- 【点拨】由S n T n ＝7n ＋2n ＋3，设S n 与T n 时，如果设成S n ＝(7n ＋2)k ，T n ＝(n ＋3)k 则错误．从此 的性质方向讲是正确的．但要考虑到等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数，所以应设为S n ＝(7n ＋2)kn ，T n ＝(n ＋3)kn. , 当堂达标1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．92、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ， 则99963a a a a ++++Λ的值为 （ ） A. 78 B. 82 C. 148 D. 1823. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=126S S ( ) （A ）103 （B ） 31 （C ）8 （D ）914. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．1005.等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝( )A ．－11B ． 11C ．10D 。
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)达标检测(
等差数列的前n 项和A 级 基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n ＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A ．30B ．31C ．32D ．33解析：中间项为a n ＋1.S 奇＝（a 1＋a 2n ＋1）2·(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1＝512. S 偶＝a 2＋a 2n 2·n ＝n ·a n ＋1＝480. 所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案：C2．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，则下列结论正确的是()A ．d <0B ．a 9＝0C ．S 11>S 7D ．S 8、S 9均为S n 的最大值解析：由S 7<S 8得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7<a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8，即a 8>0，又因为S 8＝S 9，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9，所以a 9＝0，故B 项正确．同理由S 9>S 10，得a 10<0，因为d ＝a 10－a 9<0，故A 项正确．对C ，S 11>S 7，即a 8＋a 9＋a 10＋a 11>0，可得2(a 9＋a 10)>0，由结论a 9＝0，a 10<0，显然C 项是错误的．因为S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，所以S 8与S 9均为S n 的最大值，故D 项正确．答案：ABD3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为()A.310B.13C.18D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，令S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，所以S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.所以S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.所以S 6S 12＝310. 答案：A4．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于()A ．15B ．35C ．66D ．100解析：易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0则2n －5>0，所以n ≥3.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.答案：C5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.所以a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152. 又n 为正整数，所以当S n 取最小值时，n ＝7.答案：C二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________．解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)．因为S 3＝9，S 6－S 3＝27，所以S 9－S 6＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.答案：457．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________． 答案：48．若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________． 解析：S 3S 5＝3（a 1＋a 3）5（a 1＋a 5）＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案：3∶2三、解答题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的X 围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， 所以－247＜d ＜－3. (2)因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0， 所以a 6＞0.又由(1)知d ＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．10．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 解：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10，② ①×10－②，整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100. 所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150 ＝110×1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 法二 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10， 因为S 10＝100，代入上式得d ′＝－22， 所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120， 所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法三 设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn . 因为S 10＝100，S 100＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－11100，b ＝11110， 所以S n ＝－11100n 2＋11110n ， 所以S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. B 级 能力提升1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则()A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 答案：A2．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003· a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知 a 2 003＞0，a 2 004＜0，故S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003·(a 2 003＋a 2 004)＞0， S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007×a 2 004＜0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006. 答案：4 0063．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 因为S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ， 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13(110－3n －110)＝n 10（10－3n ）.。
2.3等差数列的前n项和
【例 3】 已知数列的前 n 这个数列的通项公式，
这个数列一定是等差数列吗？如果 是，它的首项和公差分别是什么？
【探究】 已知数列的前 n 项和公式 为 S p n q n r ，求这个数列的通项公 式.
2 n
【例 4】已知是等差数列
5, 4 2 7 ,3 4 7
2
求a
1
a 3 a 5 a 21 的值
探究发现
泰姬陵坐落于印度古都阿 格，是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理 石砌建而成的主体建筑叫人 心醉神迷，成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰， 图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形 图案，以相同大小的圆宝石 镶饰而成，共有100层（见左 图），奢靡之程度，可见一 斑。你知道这个图案一共花 了多少宝石吗？
德国著名数学家高斯10岁的时候很快 就解决了这个一个类似的问题：
1＋2＋3＋…＋100=？
【ex1】 根据下列条件，求前 n 项和 S
n
(1) a 1 4, a 8 1 8, n 8 ( 2 ) a 1 1 4 .5, d 0 .7 , a n 3 2
【例2】已知一个等差数列的前 10项的和是310，前20项的和是 1220，由这些条件能确定这个等 差数列的前n项和的公式吗？
n n
,
的前 n 项和为 S ，求使得 S 最大的 n
【变式】数列 a 是等差数列， a 5 0, d 0 .6 （1）从第几项开始有 a 0 ； （2）求此数列的前 n 项和的最大的 n.
n
1
n
作业 A：1，4
【补】已知数列的前 n 项和 S n n 3 n 1
2.3等差数列前n项和
例2、已知一个等差数列 {a n }前10项的和是 310 , 前 20项的和是 1220 .由这些条件能确定这个 等差数 列的前 n项和的公式吗 ?
等差数列的前n项和计算公式
例3.已知数列{an}的前n项和为sn=n2+(1/2)n, 求这个数列的通项公式，这个数列是等差数 列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？
公式1 S n = n(a1 + an ) 2
2Sn=n(a1+an)
方法2：
+）
S n = a1 + (a1 + d ) + L + [a1 + n − 1)d ] （
S n = an + (an − d ) + L + [an − (n − 1)d ]
n(a1 + an ) 公式1 S n = 2
高 斯 的 故 事
高斯上小学时， 高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们出了一道 题： 计算从1到 的自然数之和。 计算从 到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目 的自然数之和 那个老师认为， 需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 他刚坐下，马上就有一个学生举手说： 老师，我做完了。 他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。”老师 大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边， 大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他 在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他， 在笔记本上写着 ，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他， 老师买了一本数学书送给他。 老师买了一本数学书送给他。
例4 已知等差数列 2 4 5,4 ,3 , ... 的前n项和为S n , 求使 7 7 得S n 最大的序号n的值.
2.3等差数列的前n项和(二)
2 数列{an}的通项公式为：an 2n 1 2 点评：
(n 1)
(n 1)
( n 1) S1 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n S n S n 1 ( n 1)
论 思 想
8
2 { a } ● 如果一个数列 n 的前n项和为 s n pn qn r 其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等 差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
5 【解析】由题意知，等差数列的公差为 7
Sn 5n n(n 1) 5 5 15 1125 ( ) ( n ) 2 2 7 14 2 56
15 2
例 题 讲 解
于是，当n取与
最接近的整数即7或8时， S n 取最大值.
函数思想
还有其它 方法吗？
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例 题 讲 解 2 4 例4. 已知等差数列5， 4 ，3 ，的前 .... n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
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1.等差数列的前n项和公式
n(n 1) Sn na1 d 2 ( n 1) S1 2. 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n
n(a1 an ) Sn 2
S n S n 1 ( n 1) 3.推导等差数列前n项和公式方法：
4.本节基本思想：
（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列. n ( n 1) d 2 d s n na1 d n ( a1 ) n 2 2 2
常数项为 0的关于n 的二次型 函数
2
结论：数列是等差数列等价于
新教材高考数学第二课时等差数列前n项和的最值及应用练习含解析选修2
等差数列前n 项和的最值及应用课标要求素养要求能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过利用等差数列的前n 项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究公元前二千多年的巴比伦人就提出了等差数列问题，“十兄弟分银子”就是其中之一.有100两银子要分给10个兄弟，按年龄的不同分给不同的数量，老大要比老二多，老二要比老三多，依次类推，都相差一级，每一级相差数都一样，但不知是多少，只知道老八分到的银子是6两.问题 每一级的差额是多少？提示 设十兄弟所分得的银子从多到少依次为a 1，a 2，…，a 10，易知其为等差数列，且a 8＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋12×9×10d ＝100，a 8＝a 1＋7d ＝6，解得a 1＝865，d ＝－85.故每一级的差额是85两.1.前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .2.等差数列前n 项和的最值d 的符号决定S n 有最大值还是最小值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定.(2)因为S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值，且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值.拓展深化[微判断]1.若等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，则其最大值或最小值一定在n ＝－B2A 取得.(×)提示 只有当－B2A是正整数时才成立.2.若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }的前n 项和一定有最小值.(√)3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S p ＝S q (p ，q ∈N *)，则S n 在n ＝12(p ＋q )处取得最大值或最小值.(×)提示 当12(p ＋q )是正整数，即p ＋q 是偶数时结论才成立.[微训练]1.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n ，则其最小值为________.解析 由S n ＝n 2－3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －322－94，可知当n ＝1或2时，S n 的最小值为－2.答案 －22.设a n ＝14－3n ，则数列{a n }的前n 项和S n 有最________(填“大”或“小”)值为________. 解析 由于a 1＝11>0，d ＝－3<0，所以S n 有最大值. 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝14－3n ≥0，a n ＋1＝14－3（n ＋1）≤0，得n ＝4，则其最大值为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝11＋8＋5＋2＝26.答案 大 26 [微思考]1.在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＞0或a 1＜0，d ＜0时，S n 能否取得最值？提示 当a 1＞0，d ＞0时，S n 的最小值为a 1，无最大值；当a 1＜0，d ＜0时，S n 的最大值为a 1，无最小值.2.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －37，则当n 为何值时S n 取得最小值？ 提示 ∵a n ＝2n －37，a n ＋1－a n ＝2＞0， ∴{a n }为递增数列.由a n ＝2n －37≥0，得n ≥18.5.∴a 18＜0，a 19＞0，∴S 18最小， 即当n ＝18时，S n 取得最小值.题型一 等差数列前n 项和最值问题的判断【例1】 (多选题)在等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N *)，则下列命题正确的是( ) A.若S 3＝S 11，则必有S 14＝0B.若S 3＝S 11，则S 7是{S n }中的最大项C.若S 7>S 8，则必有S 8>S 9D.若S 7>S 8，则必有S 6>S 9解析 根据等差数列的性质，若S 3＝S 11，则S 11－S 3＝4(a 7＋a 8)＝0，则a 7＋a 8＝0，S 14＝14（a 1＋a 14）2＝7(a 7＋a 8)＝0；根据S n 的图象，当S 3＝S 11时，对称轴是 3＋112＝7，且d <0，那么S 7是最大值；若S 7>S 8，则a 8<0，且d <0，所以a 9<0，所以S 9－S 8<0，即S 8>S 9；S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，即S 6>S 9，所以ABCD 都正确.答案 ABCD规律方法 一般地，在等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大.【训练1】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15>0，S 16<0，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 的前15项中最大的项是( ) A.第1项 B.第8项 C.第9项 D.第15项解析 S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)<0，故a 8>0，a 9<0，公差d <0，所以数列{a n }是递减数列，所以a 1，…，a 8均为正，a 9，…，a n 均为负，且S 1，…，S 15均为正，S 16，…，S n 均为负，则S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 8a 8>0，S 9a 9<0，S 10a 10<0，…，S 15a 15<0. 又S 8>S 7>…>S 1>0，a 1>a 2>…>a 8>0，所以S 8a 8>S 7a 7>…>S 1a 1>0，所以最大的项是S 8a 8，即第8项. 答案 B题型二 等差数列前n 项和最值的计算【例2】 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＋a 5＝1，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和. (1)求S n ；(2)求T n 及T n 的最小值. 解 (1)设数列{a n }的公差为d .依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋4d ＝1，15a 1＋15×142d ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1， ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n （n －1）2＝n 2－5n2.(2)法一 由(1)知S n ＝n 2－5n2，∴S n n ＝n －52.设b n ＝S n n ＝n －52，则b n ＋1－b n ＝（n ＋1）－52－n －52＝12，∴数列{b n }是公差为12的等差数列，首项b 1＝S 11＝a 1＝－2.又T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，∴T n ＝－2n ＋n （n －1）2×12＝n 2－9n 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－8116.∴当n ＝4或n ＝5时，(T n )min ＝－5.法二 易知b n ＝n －52，由⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，解得4≤n ≤5.故T n 的最小值为T 4＝T 5＝－5.规律方法 求等差数列前n 项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 即可.【训练2】 已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)法一 ∵a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值.法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列. 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值.题型三 等差数列求和的实际应用【例3】 7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件. (1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？解 (1)设7月n 日售出的服装件数为a n (n ∈N *，1≤n ≤31)，最多售出a k 件.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a k ＝3＋3（k －1），a k －2（31－k ）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，a k ＝39， ∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件. (2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ，1≤n ≤13，65－2n ，14≤n ≤31，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（3＋3n ）n 2，1≤n ≤13，273＋（51－n ）（n －13），14≤n ≤31. ∵S 13＝273>200，∴当1≤n ≤13时，由S n >200，得12≤n ≤13，当14≤n ≤31时，日销售量连续下降，由a n <20，得23≤n ≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).规律方法 应用等差数列解决实际问题的一般思路：【训练3】 某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； (2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？解 (1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a 1＝40，公差d ＝40的等差数列{a n }，所以9月10日的新感染者人数为a 10＝40＋(10－1)×40＝400.从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S 10＝10×（40＋400）2＝2 200，9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b 1＝390，公差d 1＝－10的等差数列{b n }， 又b 20＝390－10×19＝200，所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为T 20＝20×（390＋200）2＝5 900，所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有 2 200＋5 900＝8 100(人).一、素养落地1.通过学习等差数列前n 项和最值的求法，提升数学运算素养，通过学习利用等差数列前n 项和解决实际问题，提升数学建模素养.2.求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观.(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值.3.解决与等差数列有关的实际应用题时，要抓住其反映等差数列的特征，仔细审题，用心联想.要明确该问题是求a n 还是求S n ？要特别注意弄清项数是多少. 二、素养训练1.设a n ＝2n －9，则当数列{a n }的前n 项和取得最小值时，n 的值为( ) A.4 B.5 C.4或5D.5或6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，解得72≤n ≤92，故n ＝4.答案 A2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝S 12，则( ) A.S 9最大B.S 10最大C.S 9与S 10相等且最大D.以上都不对解析 由于不能明确公差的符号，所以S 9与S 10相等可能是最大值也可能是最小值. 答案 D3.若在数列{a n }中，a n ＝43－3n ，则当S n 取最大值时，n ＝( ) A.13 B.14 C.15D.14或15解析 ∵数列{a n }中，a n ＝43－3n ，∴a 1＝40，∴S n ＝n （40＋43－3n ）2是关于n 的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n ＝836，又n 为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.故选B.答案 B4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )A.35B.32C.23D.38解析 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d ＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9a 1－108＝207，解得a 1＝35.答案 A5.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( ) A.11或12 B.12 C.13D.12或13解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2， ∴数列{a n }为等差数列. 又a 1＝24，d ＝－2， ∴S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大. 答案 D2.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为( ) A.6B.7C.8D.9解析 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，即193≤k ≤223.因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7. 答案 B3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？( ) A.4日 B.3日 C.5日D.6日解析 由题意，可知良马第n 日行程记为a n ，则数列{a n }是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n 日行程记为b n ，则数列{b n }是首项为92，公差为－1的等差数列，则a n ＝97＋15(n －1)＝15n ＋82，b n ＝92－(n －1)＝93－n . 因为数列{a n }的前n 项和为n （97＋15n ＋82）2＝n （179＋15n ）2，数列{b n }的前n 项和为n （92＋93－n ）2＝n （185－n ）2，∴n （179＋15n ）2＋n （185－n ）2＝840，整理得14n 2＋364n －1 680＝0，即n 2＋26n －120＝0，解得n ＝4(n ＝－30舍去)，即4日相逢. 答案 A4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.若S 12>0，S 13<0，则数列{|a n |}的最小项是( ) A.第6项 B.第7项 C.第12项D.第13项解析 由题意S 12>0，S 13<0及S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)，S 13＝13a 7，得a 6＋a 7>0，a 7<0，所以a 6>0，a 6>|a 7|，且公差d <0，所以|a 7|最小.答案 B5.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.①② C.①③D.①④解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确. 又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确.S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确.{S n }中最大项为S 6，④不正确. 故正确的是①②. 答案 B 二、填空题6.已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________.解析 由|a 5|＝|a 9|且d ＞0得a 5＜0，a 9＞0，且a 5＋a 9＝0，∴2a 1＋12d ＝0，∴a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小. 答案 6或77.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，数列{a n }的前n 项和最大.解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0. 故前8项的和最大. 答案 88.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________. 解析 ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10（a 3＋a 8）2＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3>0，a 8>0，a 3＋a 8＝40×210＝8，∴a 3·a 8＝a 3(8－a 3)＝－a 23＋8a 3＝－(a 3－4)2＋16≤16.当且仅当a 3＝4时取等号. 答案 16 三、解答题9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由.解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d .∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， ∴－247＜d ＜－3. 即d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. (2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0， ∴a 6＞0，又由(1)知d ＜0.∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.10.某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？解 因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1 000万元，依据题意，知其后应分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{a n }，且a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，…，a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－0.5(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)，所以数列{a n }是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以a 10＝60－9×0.5＝55.5， S 20＝20[60＋（60－19×0.5）]2＝1 105. 所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1 105＋150＝1 255(万元).故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元.能力提升11.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )A.61.395尺B.61.905尺C.72.705尺D.73.995尺解析 设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∵每节竹节间的长相差0.03尺，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d ′＝0.03为公差的等差数列.由题意知竹节上一圈比下一圈细0.013尺，设从地面往上，每圈周长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，可得{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列.∴一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程S 30＝(a 1＋a 2＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋…＋b 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×（－0.013）＝61.395，故选A. 答案 A12.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解 由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }，则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300，S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）×300＝3 100， ①na 1＋n （n －1）2×300＝17 500. ② 由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)， 所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m). 所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.创新猜想13.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列四个命题，其中正确的命题有( )A.若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B.若S 4＝S 12，则使S n >0的n 的最大值为15C.若S 15>0，S 16<0，则{S n }中S 8最大D.若S 7<S 8，则S 8<S 9解析 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝（a 1＋a 10）·102＝0， 则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1>0，则a 8>0，a 9<0，则有S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a 1＋a 16）2＝16（a 8＋a 9）2＝0，故使S n >0的n 的最大值为15，B 正确；对于C ，若S 15>0，S 16<0，则S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0， S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)<0， 则有a 8>0，a 9<0，故{S n }中S 8最大，故C 正确；对于D ，若S 7<S 8，即a 8＝S 8－S 7>0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误. 答案 BC14.(多空题)已知{a n }是等差数列，首项为a 1，其公差d <0，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n .(1)若a 1＝－4d ，则当n ＝________时，T n 有最大值；(2)若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是________.解析 易知S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2， 若a 1＝－4d ，则S n n ＝d 2n －92d ，由⎩⎪⎨⎪⎧S n n ≥0，S n ＋1n ＋1≤0，解得8≤n ≤9. 即n ＝8或9时，T n 有最大值；若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧S 66＝a 1＋52d >0，S 77＝a 1＋3d <0，d <0，解得－3<a 1d <－52. 答案 8或9 ⎝⎛⎭⎪⎫－3，－52。
高二数学等差数列的前n项和2
主讲老师：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)d
Sn na1
2
练习
在等差数列{an}中， 若a1＋a2＋…＋a5＝30，
(1) 满足an＞0，且an＋1＜0的n值；
(2) 由
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n, 2
利用二次函数的性质求n的值.
(3) 利用等差数列的性质求．
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课后作业
1. 阅读教材P.42到P.44； 2. 《习案》作业十四.
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这个数列一定是等差数列. 首项a1＝p＋q 公差d＝2p
结论:
n(n 1)d
Sn na1
2
可化成
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
讲解范例:
例2. 已知数列{an}是等差数列，a1＝50， d＝－0.6. (1)从第几项开始有an＜0； (1)求此数列的前n项和的最大值.
Sn
1 4
n2
2 3
n
3,
求该数列的通项公式.
这个数列是等差数列吗?
探究:
一般地，如果一个数列{an}的前n项 和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p、q、r为常 数，且p≠0，那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是，它的首项与公差分别 是多少?
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2. 3《等差数列的前n 项和》作业（第二课时）
1.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）
A.5
B.4
C. 3
D.2
2.在等差数列{}n a 中，若1264=+a a ,S n 是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为 ( )
（A ）48 (B)54 (C)60 (D)66
3.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
3163=S S ,则=126S S ( ) （A ）103 （B ） 31 （C ）8 （D ）9
1 4.已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）
A ．55
B ．70
C ．85
D ．100
5.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，，
则111213a a a ++= （ ）
A ． 120
B ． 105
C ． 90
D ．75
6. {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670
7. 若等差数列{}n a 的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若＝则432,3,1S a a ==（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6
9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
10. 等差数列{}n a 的公差是正数,且4,126473-=+-=a a a a ,求它的前20项的和.
11. 已知数列{}n a 为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。
12.在等差数列{}n a 中，已知36151252=+++a a a a ，求16S
13. 求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。
参考答案： 1、C 2、 B 3、A 4、C 5、 B 6、C 7、A 8、 C 9、B 10、18020=S
11、解：设Bn An S n +=2
⎩⎨⎧+=+=∴B A B A 502500303090050 解得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=1549754B A n n S n 15497542+-=∴ 808015
4980754280-=⨯+⨯-=∴S 注：等差数列有如下性质：若()q p p S q S q p ≠==,则()q p S q p +-=+。
12、14416=S 13、解：能被3整除的数99,96,,9,6,3Λ，，共33项，()16832
9933333=+⨯=
T ； 能被5整除的数100,95,,15,10,5Λ，共20项，()10502
10052020=+⨯=P ； 即能被3整除又能被5整除的数90,75,60,45,30,15，共6项，()3152
901566=+⨯=Q ； 1到100所有整数之和()505021001100100=+⨯=S 故所求263231510501683505062033100=+--=+--=Q P T S S。