参数变量函数的导数
第三讲 参变量函数
u
(nk )
v
(k )
uv
Cnu
k
(nk )
v
(k )
k0
公式（3）称为 莱布尼兹公式
几个初等函数的高阶导数
(1 ) ( a )
x (n)
a
(n)
x
ln
n
n
a
(a 0)
(e )
x
(n)
e
x
( 2 ) (sin kx ) ( 3 ) (cos kx )
(4) ( x )
2
设函数
y f ( x ) 有导数
,
f ( x ),
( 1 ) 若 x 是自变量时
dy f ( x ) dx ;
( 2 ) 若 x 是中间变量时 微函数
, 即另一变量
t 的可
x ( t ), 则 dy f ( x ) ( t ) dt
dy f ( x ) dx .
x e 2 t 3t 1 3 2 y 4t 2t 6
t x 1 t y 1 t 1 t
第四讲 微分
1、定义：
设函数 y
y f
f
x 定义在 x 0 的改变量是 y 与自变数 x 的改变量 x ，有下列关系
f
x 的 n 1 阶微分在 x 的微分，称为函数 f x 在 x 的 n 阶微
分，表为 d n y 或 d n f x
dy f ' x dx
d y d dy
2
f ' x dx ' dx
2
f '' x d x
参变量函数的导数
(4)
1 tan tan
将 (3) 式代入 (4) 式, 化简后可得
tan ( ) .
(5)
( )
例3 证明对数螺线 e 2上所有点处的切线与向
径的夹角 是常数.
证 因为对每一 值 , tan ( ) ( )
e 2 1 e 2
2 2,
T
e 2
H
•M
O
1x
所以这条曲线上任一点的切线与向径的夹角等于
其中 是切线与 x 轴正向的夹角 ( 见下页图 ) .
当 (t0 ) 0 时, 有 cot (t0 ) . (t0 )
y
Q
•
P•
Δy Δx
O
C
x
若 , 在 [ , ] 上都存在连续导数,且 2(t) 2(t) 0 ,
则称曲线 C 为光滑曲线. 光滑曲线的每一点都存在
切线, 且切线与 x 轴正向的夹角 (t)是 t 的连续函
常数 arctan 2.
Δ y (t0 Δt) (t0) , Δ x (t0 Δt) (t0)
如果 (t ), (t ) 在点 t0 可导，(t0 ) 0, 则切线
的斜率为
tan lim Δ y lim [ (t0 Δt) (t0 )] Δt Δt0 Δ x t0 [ (t0 Δt) (t0 )] Δt (t0 ) , (t0 )
函数和反函数的求导法 (t) .
(2)
dx dt dx dt dt (t)
(2) 式的几何意义如下: 设由 (1) 式表示的曲线 C
在点 P( (t0 ), (t0 )) 处有切线. 过点 P及邻近点
Q( (t0 Δt), (t0 Δt)) 的割线 PQ 的斜率为
( )tan ( ) . ( ) ( )tan
求隐函数偏导数的三种方法
求隐函数的偏导数有三种常用的方法
1. 全微分法：利用全微分的定义，即对于一个自变量和因变量之间的函数关系，将其看作是多个自变量的函数关系，然后对其进行求导。
该方法适用于方程形式简单，且易于进行全微分的情况。
2. 参数法：采用参数将隐函数表示出来，然后对参数进行求导。
具体的做法是引入新的参数，使得原方程式可以表示为参数方程式，然后对参数方程式进行求导。
这种方法适用于将隐函数表示为参数方程式较为容易的情况。
3. 直接求导法：将隐函数视为一个整体，直接对方程式两边进行求导。
首先求出隐函数对于一个自变量的导数，然后通过链式法则等方法将其转化为对其他自变量的导数。
这种方法适用于函数关系比较复杂，无法简单表达为参数方程式的情况。
这些方法可以根据具体的隐函数形式和求导的难度选择合适的方法进行求解。
13 隐函数及由参数方程所确定的导数
隐函数及由参数方程所确定的导数一、隐函数的导数1、隐函数的求导法函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的方式表达.前面我们遇到的函数，例如2ln cos y x x =，3523x x y x e =-+等，这种函数表达式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数.但是有些函数的表达式却不是这样，例如方程310x y +-=表示一个函数，因为当自变量x 在()+∞∞-,内取值时，变量y 有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数.一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如由方程310x y +-=解出31x y -=，就把隐函数化成了显函数.但是，隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.例如，方程0y e xy -=所确定的隐函数就不能用显式表示出来.因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.我们知道，把方程()0,=y x F 所确定的隐函数()x y y =代入原方程，便得恒等式()()0,≡x y x F ，把这个恒等式的两端对x 求导，所得的结果也必然相等.但应注意，左端()(),F x y x 是将()x y y =代入(),F x y 后所得的结果，所以，当方程()0,=y x F 的两端对x 求导时，要记住y 是x 的函数，然后利用复合函数求导法则求导.这样，便可得到欲求的导数.下面举例说明这种方法.例1求由方程221x y +=所确定的隐函数y 的导数.解把方程两端分别对x 求导，记住y 是x 的函数，得220x yy '+=，由此得xy y'=-（0y ≠）.例2求由方程0y e xy e +-=所确定的隐函数y 的导数.解把方程两端分别对x 求导，得0='++'⋅y x y y e y ，由此得()0,≠++-='y ye x ex yy .例3求曲线322y y x +=在横坐标为1的点处的切线和法线方程.解由导数的几何意义，所求切线的斜率为1x k y ='=，方程两端分别对x 求导，有2322y y yy ''+=，从而2232y y y'=+当时，1=y ，代入上式，得1125x y y =='=.于是所求的切线方程为()1521-=-x y ，即0352=+-y x .法线方程为()1251--=-x y ，即0725=-+y x .例4求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dxy d .解方程两端分别对x 求导，得0cos 211='⋅+'-y y y ，于是yy cos 22-='.上式两端再对x 求导，得()()232sin 4sin 2cos 2cos y y yy y y '-⋅-''==--.上式右端分式中的y 是由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数.2、对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.我们通过下面的例子来说明这种方法.例5求()tan 0x y x x =>的导数.解对于tan x y x =两边取对数，得x x y ln tan ln =，两边对x 求导，得xx x x y y tan ln sec 12+='，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x x x x x y y x tan ln sec tan ln sec 2tan 2.注例5中函数tan x y x =既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数.幂指函数的一般形式为()0v y u u =>，其中,u v 是x 的函数.例6求y x =的导数.解先在两边取对数（假定4>x ），得()()()()[]4ln 3ln 2ln 1ln 21ln 2ln -----+-+=x x x x x y ，上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-+='413121112121x x x x x y y ，于是()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-+----='4131211121243212x x x x x x x x x x y .当1<x 时，y x =；当32<<x 时，y x =，用同样的方法可得与上面相同的结果.二、由参数方程所确定的函数的导数一般地，如果参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数）确定y 与x 之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.对于参数方程所确定的函数，通常也并不需要由参数方程消去参数t 化为y 与x 之间的直接函数关系后再求导.如果函数()t x ϕ=，()t y ψ=都可导，且()0≠'t ϕ，又()t x ϕ=具有单调连续的反函数()x t 1-=ϕ，则由参数方程所确定的函数可以看成()t y ψ=与()x t 1-=ϕ复合而成的函数()[]x y 1-=ϕψ，根据复合函数与反函数的求导法则，有()()t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，即()()t t dx dy ϕψ''=，也可写成dtdxdt dy dx dy =.例7求摆线()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩在2π=t 处的切线方程.解摆线在任意点的切线斜率为()[]()[]()tt t a t a t t a t a dx dy cos 1sin cos 1sin sin cos 1-=-='-'-=，2π=t 时，摆线上对应点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-a a ,12π，在此点的切线斜率为1cos 1sin 22=-====ππt t tt dxdy k ，于是，切线方程为⎪⎭⎫⎝⎛--=-12πa x a y ，即22y x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.例8求方程32ttx ey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数的二阶导数22d ydx.解()()ttt t t e e e ee dx dy 2323232-=-=''=--，22223t d y d dy d e dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第四节隐函数和由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数函数)(x f y =的形式,是因变量y 由含有自变量x 的数学式子直接表示的函数,例如x y 2sin =,21x y -=等,称为显函数.如果变量x 与y 的函数关系可以由一个二元方程0),(=y x F 表示,例如013=-+y x ,0=-+e xy e y ,122=+y x 等,对在给定范围内的每一个x ,通过方程有确定的y 值与之对应,所以y 是x 的函数,这种函数称为隐函数.定义1如果变量x 、y 之间的函数关系是由某一方程0),(=y x F 所确定,那么称这种函数是由方程),(=y x F 所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如从方程013=-+y x 解出31x y -=,就把隐函数化成了显函数.但有的隐函数不易显化,甚至不可能显化.例如由方程0=-+e xy e y确定的隐函数就不能显化.对由方程),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =,在不显化的条件下,怎样求)(x y '呢?假设由方程),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =,将y 视为中间变量,利用复合函数求导法,方程两边分别对x 求导,可得到一个含有y '的方程,最后解出y '即得隐函数)(x y y =的导数.例1已知由方程0=-+e xy e y 确定了隐函数)(x y y =,求)(x y '及)0(y '.解把y 看成x 的函数)(x y ,将方程两边分别对x 求导,由复合函数的求导法则有0)()()()(='++'x y x x y x y e x y .从而)()()(x y e x x y x y +-=',即ye x yx y +-=')()0(≠+y e x .将0=x 代入原方程得1=y ,故11)0(-==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='e e x y y y x y.隐函数求导方法小结:(1)把y 视作复合函数的中间变量,将方程两边分别对x 求导；(2)从求导后的方程中解出y '；(3)隐函数求导的结果允许含有y ,但求某一点的导数时不仅要代x 的值,还要把对应的y 值代入.例2求曲线)1(322+=x x y 在点)2,2(处的切线方程.解把2y 看成x 的复合函数,方程两边分别对x 求导,得x x y y 2362+=',解得yxx y 6232+=')0(≠y .因而所求切线斜率为34)2,2(='y .于是所求切线方程为)2(342-=-x y .即234=--y x .例3证明抛物线)0>=+a a y x 上任一点的切线在两个坐标轴上的截距之和等于a .证方程两边分别对x 求导,有2121='+y y x ,得x yy -='.设),(000y x M 是抛物线上任一点,则抛物线过点),(000y x M 的切线斜率为0),(00x y y k y x-='=,所以切线方程为)(000x x x y y y --=-,即100000=+++y x y y y x x x.所以抛物线上任一点),(000y x M 的切线在两坐标轴上的截距之和为0000000002)()(y y x x y x y y x x ++=+++aa y x ==+=2200)()(.例4求由方程)tan(y x y +=所确定的隐函数的二阶导数22dx yd .解方程两边分别对x 求导,得)1)((sec 2y y x y '++=',即)(sec 1)(sec 22y x y x y +-+='111222--=+-=y y y .从而523)1(22y y y y y +-='='')(cot )(csc 32y x y x ++-=.说明：求由方程),(=y x F 确定的函数)(x y y =的二阶导数,可把y 视为中间变量将0),(=y x F 两边分别对x 求导,,求出),(y x y ϕ='后,仍视y 为中间变量,对y '再求一次导数,则表达式中有y ',将第一次求出的y '代入后即可求出y ''.二、对数求导法定义2先将函数)(x f y =的两边取对数,然后利用隐函数求导法求出y 的导数dx dy,这种方法称为对数求导法.对以下两类函数,使用对数求导法求导一般较为简便.(1)幂指函数)()]([x g x f y =)0)((>x f ；(2)多个因式的积、商、乘方、开方构成的函数.下面通过例题来说明这种方法.例5求幂指函数)0(>=u u y v的导数,其中v u ,为x 的可导函数.解（法一）将函数)0(>=u u y v 两边取对数得u v y ln ln =,两边分别对x 求导,由于v u y ,,都是x 的函数,则由隐函数求导法则,有u u v u v y y '⋅⋅+⋅'='1ln 1,⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'='u u v u v u u u v u v y y v ln ln .（法二）因为uv v e u y ln ==,所以由复合函数求导法则得)ln ()(ln ln '⋅='='u v e e y u v u v ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅⋅+'=u u v u v u u u v u v e v u v ln 1ln ln .例6已知xx y cos 2)1(+=,求y '.解两边取对数得)1ln(cos ln 2x x y +⋅=,上式两边分别对x 求导得x x x x x y y 211cos )1ln(sin 122⋅+⋅++⋅-='⋅,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++⋅-+='22cos 21cos 2)1ln(sin )1(x x x x x x y x .例7已知xxx y =,求y '.解两边取对数得x x y xln ln =,方程两端再取对数得)ln(ln ln )ln(ln x x x y +=,方程两端分别对x 求导得x x x x x y y y 1ln 11ln 1ln 1⋅+⋅+='⋅,所以)ln 1ln 1(ln xx x x x x y x x x++⋅⋅='1ln (ln 2x x x x x x x ++=+.例8求函数322)2(21x x x x y -+⋅-=的导数.解两边取对数得)2ln(32)2ln(31)1ln(ln 2ln x x x x y --++--=，两边分别对x 求导得x x x x y y --⋅-++---='⋅2132)2(311121，所以⎦⎤⎢⎣⎡-+++-+-+⋅-=')2(32)2(31112)2(21322x x x x x x x x y .例9求函数x x ey xsin 1=的导数.解两边取对数得xx e x y sin ln 81ln 41ln 121ln +⋅+⋅=，方程两端分别对x 求导得x x x x y y sin 8cos 4112112++⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅，即x x ey xsin 1='⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x x x cot 8141212.三、由参数方程所确定的函数的导数在许多实际问题中,变量y 与x 的函数关系可用参数方程⎩⎨⎧==).(),(t y t x ψϕ)(βα≤≤t 确定,于是我们有下面定义:定义3如果参数方程⎩⎨⎧==).(),(t y t x ψϕ确定了y 与x 之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.如何求由参数方程所确定函数的导数dx dy呢?在参数方程中,如果函数)(t x ϕ=具有单调连续的反函数)(1x t -=ϕ,且此函数能与函数)(t y ψ=复合而成复合函数)]([1x y -=ϕψ.假设)(),(t y t x ψϕ==均可导,且0)(≠'t ϕ,则根据复合函数和反函数的求导法则,可得)()(1t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=)0)((≠'t ϕ.即dtdxdt dy dx dy =⎪⎭⎫⎝⎛≠0dt dx .如果函数)(),(t y t x ψϕ==有二阶导数)0)((≠'t ϕ,那么可求出22dx yd :dx dtt t dt d dx dy dx d dxy d ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(22ϕψ)(1))(()()()()(2t t t t t t ϕϕψϕϕψ'⋅''''-'''=3))(()()()()(t t t t t ϕψϕϕψ''''-'''=.例10已知椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin 3,cos 2t y t x )20(π≤≤t .求椭圆在3π=t 相应点处的切线方程.解因为t t t t t dx dy cot 23sin 2cos 3)cos 2()sin 3(-=-=''=,所以椭圆在3π=t 处的切线的斜率为2131233-=⋅-==πt dx dy .当3π=t 时,23,1==y x ,因而椭圆在3π=t 处的切线方程是)1(2123--=-x y ,即042=-+y x .例11求由参数方程⎩⎨⎧=+=.cos ,12t y t x 所确定的函数的22,dx y d dx dy .解t t x y dx dy t t 2sin -=''=,t t x t t dx dt dx dy dt d dx y d '⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=12sin 22t t t t t 212sin cos 2⋅+-=34cos sin t t t t -=.例12求由参数方程⎩⎨⎧-'='=).()(),(t f t f t y t f x ()(t f ''存在且不为零)所确定函数的二阶导数22dx yd .解)(])()([t f t f t f t x y dx dy t t t '''-'=''=t t f t f t f t t f ='''-''+'=)()()()(.)(1122t f x dx dy dx y d t t ''='⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛=.四、相关变化率定义4设)(),(t y y t x x ==都是可导函数,且x 与y 之间存在某种关系,从而变化率dt dx 与dt dy间也存在一定关系.在已知其中一个变化率时,便可求出另一个变化率.这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.例13落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波的半径的增大率总是s m /6,问在s 2末扰动水面面积的增大率为多少？解设在t 秒末最外一圈水波半径为)(t r r =,扰动水面面积为)(t S S =,则2r S π=.两边同时对t 求导,得dt dr r dt dS ⋅=π2.由已知s m dt dr /6=,当s t 2=时,mr 1226=⨯=所以)/(144612222s m dt dS t ππ=⨯⨯==.例14注水入深m 8,上顶直径为m 8的正圆锥容器中,其速率为min /43m ,当水深为m 5时,,其表面上升的速率为多少?解设在t 时刻容积中的水深为h ,容积为V ,由相似三角形的性质得84h r =,即2h r =.于是123132h h r V ππ=⋅⋅=,两边对t 求导dt dh h dt dV ⋅=2312π,当5=h ,4=dt dV 时π2516=dt dh min)/(m .m8m 8r h 42-图。
多元函数的隐函数与参数方程求导
多元函数的隐函数与参数方程求导隐函数求导是微积分中常用的求导方法之一，它用于求解含有多个未知变量的方程。
而参数方程则是将一个变量表示为另外两个变量的函数，通常用于描述曲线或曲面。
一、多元函数的隐函数求导对于一个含有多个未知变量的方程，如果我们无法将其中一个变量表达为其他变量的函数形式，就需要使用隐函数求导的方法。
以二维平面上的函数为例，假设有一个方程 f(x, y) = 0，我们想要求解关于y 的导数dy/dx。
首先，我们需要确保该方程存在一个解y=f(x)。
求解步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求导，得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 02. 将这个方程关于 dy/dx 进行变形，得到 dy/dx 的表达式：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)这样，我们就得到了多元函数隐函数的导数表达式。
二、多元函数的参数方程求导参数方程是将一个变量（通常为 t）表示为另外两个变量（通常为 x 和 y）的函数形式。
在参数方程中，我们可以通过对 t 的求导来求解 x和 y 的导数。
以二维平面上的函数为例，假设有一个由参数方程描述的曲线：x = f(t)y = g(t)我们要求解这条曲线上各个点的导数 dy/dx。
求解步骤如下：1. 先对 x 和 y 分别关于 t 求导，得到导数 dx/dt 和 dy/dt。
2. 计算 dy/dx：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)这样，我们也可以得到多元函数参数方程的导数表达式。
综上所述，多元函数的隐函数和参数方程求导的步骤和原理是类似的，只是需要根据具体的函数形式进行求解。
总结：多元函数的隐函数求导和参数方程求导是微积分中常用的求导方法。
对于隐函数求导，需要通过对方程两边同时对某个变量求导，并变形后得到导数表达式。
而对于参数方程求导，需要分别对 x 和 y 关于参数求导，并计算 dy/dx 的表达式。
这两种方法在解决多元函数的导数问题时非常有用，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化趋势。
参数变量函数的导数
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
x = ϕ( t ) 若函数 二阶可导, y = ψ( t )
d ψ ′( t ) dt d 2 y d dy ) = ( )= ( 2 dx dx dt ϕ′( t ) dx dx
x = ϕ( t ) 在方程 中, y = ψ( t )
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
d2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t)
π x = a ( t − sin t ) 例1 求摆线 在t = 处的切线 2 y = a (1 − cos t ) 方程 .
即 y = x + a( 2 − ) 2
π
π
例7 不计空气的阻力, 以初速度 v0 , 发射角 α
发射炮弹 , 其运动方程为 x = v0 t cosα , 1 2 y v t sin α − gt , = 0 2 求 (1)炮弹在时t 0的速度大小 .
v 0 sin α − gt 0 . = v 0 cos α
( 2) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
导数定义求函数的导数
导数定义求函数的导数
导数定义是指在一个函数上，对于固定的变化量，随着自变量取值的趋近，函数值的变化量与自变量的变化量比值的极限值。
利用导数定义可以求得函数在某一点的导数，即斜率。
计算方法为求取函数在该点的切线斜率。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处导数存在，则该导数为：
f'(a) = lim (x→a) [f(x)-f(a)] / (x-a)
其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，f(x)表示函数f 在x处的函数值，a表示点的自变量值，x表示自变量的变化量。
利用导数定义可以求取函数在任意一点的导数，从而方便地绘制函数的切线与法线，进而求取函数的最值以及研究函数的性质等。
总之，导数定义对于求解函数的导数具有重要的作用，是函数微积分中的重要概念之一。
- 1 -。
含参变量求导
( x 2 y 2 2)
例3 设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定，试求该 曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线
上点 re (e 2 , ) 处的切线的直角坐标方程 2
解
由极坐标和直角坐标的变换关系知 x r ( ) cos y r ( ) sin
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
x ( t ) 若函数 二阶可导, y ( t )
d ( t ) dt d 2 y d dy ) ( ) ( 2 dx dx dt ( t ) dx dx
5.3 参变量函数的导数
一、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
x 2t , x 例如 消去参数 t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x 1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. dx t 2 1 cos 2
所求切线方程为
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§3 参数变量函数的导数
(一) 教学目的：掌握参变量函数的导数的求导法则． (二) 教学内容：参变量函数的导数的求导法则．
(三) 基本要求：熟练掌握参变量函数的导数的求导法则．
(四) 教学建议：通过足量习题使学生掌握参变量函数的导数的求导法则
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平面曲线C 一般的可表示为参变量方程形式：
),(,
)( ),(βαψϕ∈==t t y t x
设 0t t = 对应曲线上的P 点，如果P 点由切线，那么切线斜率也可由割线斜率去极限得到
割线 PQ 的斜率为
)
()()()(0000t t t t t t x
y ϕϕψψ-∆+-∆+=
∆∆
取极限得切线斜率
)
()()
()(lim )
()(lim lim
00000
000
t t t t t t t t x
y tg t t x ϕψϕϕψψα''=
-∆+-∆+=
∆∆=→∆→∆→∆
于是得到下面结论
结论：设函数 )( ),(t y t x ψϕ==可导且 0)(≠'t ϕ，则 .)
()(t t dx
dy ϕψ''=
证 （ 法一 ） 用定义证明.
（法二 ） 由 ,0)(⇒≠'t ϕ恒有0)(>'t ϕ或 .0)(<'t ϕ)( t ϕ⇒ 严格单调. (这些事实的证明将在下一章给出.) 因此, )(t ϕ有反函数, 设反函数为 x t (1
-=ϕ
), 有
(
)
,)()(1
x t y -==ϕ
ψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有
.(t)(t)ψdt
dx dt dy
dx
dt dt
dy dx
dy ϕ''==
⋅= 例1 .sin ,cos t b y t a x == 求
.dx
dy
解
t a
b aost t b dt
dx dt
dy dx
dy cot )()}sin (-='
'==
若曲线C 由极坐标 )(θρρ= 表示，则可转化为一极角θ 为参数的参量方程
⎩⎨
⎧====θ
θρθρθ
θρθρsin )(sin cos )(cos y x θ
θρθρθρθθρθ
θρθθρθθρθθρθθρθθρtan )()()(tan )(sin )(cos )(cos )(sin )()cos )(()sin )((-'+'=
-'+'=
'
'=
dx
dy （3）
（3）式表示在曲线 )(θρρ=上的点),(θρM 处切线MT 与极轴OX 轴的夹角的正切，如图所示。
过点M 的射线OH 与切线MT 的交角ϕ
θ
αθα
θαϕtan tan 1tan tan )tan(tan +-=
-= （4）
将（3）代入（4）得向径与切线夹角的正切
)
()(tan θρθρϕ'=
(5)
例2 证明：对数螺线 2
/θρe
= 上所有点的切线与向径的夹角ϕ为一常量
证明 由（5），对每一个θ 都有
22
1)
()(tan 2
/2
/==
'=
θθθρθρϕe
e 即在对数螺线上任意一点的切线 与向径的夹角等于 2arctg。