第11讲 函数的图象(解析版)
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【解答】解：（Ⅰ）函数 的图象如图；
（Ⅱ）当 时，满足 ，
当 ，由 得 ，得 或 ，
此时 或 ，
当 时， 恒成立，
综上得 或 ，
即 的取值范围是得 或 ；
（Ⅲ）由图象知 ，即 的值域是 ， ．
【跟踪训练1-1】（2019秋•石河子校级月考）已知函数 ．
（1）作出函数的图象；
（2）由图象写出函数的单调区间．
故答案为： ．
【跟踪训练3-1】（2019秋•大同期末）函数 ，若函数 的图象与函数 的图象有公共点，则 的取值范围是．
【分析】作出函数图象，求出函数的值域，结合函数与方程的关系转化为图象交点问题进行求解即可．
【解答】解：作出函数的图象如图：
当 时， ，
当 时， ，
即函数 的值域为 ， ， ，
要使函数 的图象与函数 的图象有公共点，
【解答】解：根据题意，由 的图象分析可得：在 和 上， ，在区间 上， ，
又由 为偶函数，则在 和 上， ，在区间 上， ，
或 ，
则有 或 或 ，
即不等式的解集为 或 或 ；
故答案为： 或 或 ．
【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数 其中 表示不超过 的最大整数，如： ， ， ．若直线 与函数 的图象恰好有三个不同的交点，则实数 的取值范围是．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
题型3函数图象的应用
【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数 的图象
A．关于 轴对称B．关于 轴对称
C．关于直线 对称D．关于原点对称
【分析】先求出函数的定义域，再计算 的表达式，并观察 与 的联系，发现 ，故而得解．
，
不等式 的解集为 ，
故答案为： ，
【名师指导】
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
C． D．
【分析】先根据题意列出函数解析式，再分析图象即可得出答案．
【解答】解： ，
选项 符合题意，
故选： ．
【名师指导】
识别函数图象的方法技巧
函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x) y＝－f(x)．
②y＝f(x) y＝f(－x)．
③y＝f(x) y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1) y＝logax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x) y＝|f(x)|．
②y＝f(x) y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
→y＝f(ax)．
第11讲函数的图象
思维导图
知识梳理
1．利用描点法作函数的图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
【分析】画图可知 就是周期为1的函数，且在 ， 上是一直线 的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线 过点 与直线 过点 之间即可．
【解答】解： 函数 ，
函数的图象如下图所示：
，故函数图象一定过 点
若 有三个不同的根，则 与 的图象有三个交点
当 过 点时， ，当 过 点时， ，
故 有三个不同的根，则实数 的取值范围是
【分析】由函数的奇偶性排除 与 ，在分析复合函数的单调性排除 ，则答案可求．
【解答】解：令 ，该函数的定义域为 ，且 ，
为 上的偶函数；
令 ，该函数的定义域为 ，且 ，
为 上的奇函数，
又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，
且图中所给出的函数为偶函数，排除 与 ；
又由图可知，所求函数在 ， 上为减函数，
【解答】解：由图可知，函数 为奇函数，而选项 和 中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项 和 ；
当 时，从图象可知， ，而对于选项 ， ， ，所以 ，与图象不符，排除选项 ．
故选： ．
【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角 的始边与 的非负半轴重合，与圆 相交于点 ，终边与圆 相交于点 ，点 在 轴上的射影为点 ， 的面积为 ，则函数 的图象大致是
2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
题型2函数图象的识辨
【例2-1】（2020•天津）函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】解：函数 的定义域为实数集 ，关于原点对称，
②y＝f(x)
→y＝af(x)．
题型归纳
题型1作函数的图象
【例1-1】（2019秋•海淀区校级期中）已知函数 ．
（Ⅰ）画出函数 的图象；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围；
（Ⅲ）直接写出 的值域．
【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，直接进行作图即可；
（Ⅱ）结合分段函数的表达式，分别进行求解；
（Ⅲ）由图象结合函数值域的定义进行求解．
【解答】解： ， 或 ，即函数的定义域为 ， ， （定义域关于原点对称），
， ，
函数 是偶函数，关于 轴对称，
故选： ．
【例3-2】（2019秋•琼海校级月考）已知定义在 上的偶函数 部分图象如图所示，那么不等式 的解集为．
【分析】根据题意，由函数的图象以及奇偶性分析可得 以及 的解集，又由 或 ，据此分析可得答案．
C． D．
【分析】由 的解析式知该函数为奇函数可排除 ，然后计算 时的函数值，根据其值即可排除 ， ．
【解答】解：由 在 ， ，知
，
是 ， 上的奇函数，因此排除
又 （4） ，因此排除 ， ．
故选： ．
【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是
A． B．
C． D．
函数 ，则 ，则函数 为奇函数，故排除 ， ，
当 是， ，故排除 ，
故选： ．
【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数 的图象如图所示，那么该函数可能为
A． B．
C． D．
【分析】由图可知，函数 为奇函数，结合函数奇偶性的概念可排除选项 和 ；对比 和 选项，发现当 时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解．
A． B．
C． D．
【分析】由题可知，点 ，点 ，点 ，则 ，故排wk.baidu.com选项 和 ，又因为当 时， ，排除选项 ，可得所求图象．
【解答】解：由题知，点 ，点 ，点 ，
则 ，故排除选项 和 ，
又因为当 时， ，排除选项 ．
故选： ．
【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数 在 ， 的图象大致为
A． B．
3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
【分析】（1）由函数 ．分别画出 和 时的图象即可；
（2）根据函数的图象，写出单调区间即可．
【解答】解：（1）函数 ．
当 时， ；
当 时， ．
故图象如图所示；
（2）函数的增区间为： ， ， ；
减区间为： ， ， ， ．
【名师指导】
作函数图象的两种常用方法
1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
则 ，或 ，
则 的取值范围 ， ， ，
故答案为： ， ，
【跟踪训练3-2】（2019•嘉定区一模）已知函数 和 的图象如图所示，则不等式 的解集是．
【分析】根据 和 图象可得 和 的正负，即可求解不等式 的解集．
【解答】解：由图象 可得 时， ，
时， ，
当 时
由图象 可得 时， ，
时， ，
不等式 ，即 或 ；
而 中内层函数 在 ， 上为增函数，而外层函数正弦函数在 ， 上为增函数，
故当 大于0且在0附近时， 中函数为增函数，排除 ．
故选： ．
【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点 在以 为直径的半圆弧上，点 沿着 运动，记 ．将点 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图象大致为
A． B．
（Ⅱ）当 时，满足 ，
当 ，由 得 ，得 或 ，
此时 或 ，
当 时， 恒成立，
综上得 或 ，
即 的取值范围是得 或 ；
（Ⅲ）由图象知 ，即 的值域是 ， ．
【跟踪训练1-1】（2019秋•石河子校级月考）已知函数 ．
（1）作出函数的图象；
（2）由图象写出函数的单调区间．
故答案为： ．
【跟踪训练3-1】（2019秋•大同期末）函数 ，若函数 的图象与函数 的图象有公共点，则 的取值范围是．
【分析】作出函数图象，求出函数的值域，结合函数与方程的关系转化为图象交点问题进行求解即可．
【解答】解：作出函数的图象如图：
当 时， ，
当 时， ，
即函数 的值域为 ， ， ，
要使函数 的图象与函数 的图象有公共点，
【解答】解：根据题意，由 的图象分析可得：在 和 上， ，在区间 上， ，
又由 为偶函数，则在 和 上， ，在区间 上， ，
或 ，
则有 或 或 ，
即不等式的解集为 或 或 ；
故答案为： 或 或 ．
【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数 其中 表示不超过 的最大整数，如： ， ， ．若直线 与函数 的图象恰好有三个不同的交点，则实数 的取值范围是．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
题型3函数图象的应用
【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数 的图象
A．关于 轴对称B．关于 轴对称
C．关于直线 对称D．关于原点对称
【分析】先求出函数的定义域，再计算 的表达式，并观察 与 的联系，发现 ，故而得解．
，
不等式 的解集为 ，
故答案为： ，
【名师指导】
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
C． D．
【分析】先根据题意列出函数解析式，再分析图象即可得出答案．
【解答】解： ，
选项 符合题意，
故选： ．
【名师指导】
识别函数图象的方法技巧
函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x) y＝－f(x)．
②y＝f(x) y＝f(－x)．
③y＝f(x) y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1) y＝logax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x) y＝|f(x)|．
②y＝f(x) y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
→y＝f(ax)．
第11讲函数的图象
思维导图
知识梳理
1．利用描点法作函数的图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
【分析】画图可知 就是周期为1的函数，且在 ， 上是一直线 的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线 过点 与直线 过点 之间即可．
【解答】解： 函数 ，
函数的图象如下图所示：
，故函数图象一定过 点
若 有三个不同的根，则 与 的图象有三个交点
当 过 点时， ，当 过 点时， ，
故 有三个不同的根，则实数 的取值范围是
【分析】由函数的奇偶性排除 与 ，在分析复合函数的单调性排除 ，则答案可求．
【解答】解：令 ，该函数的定义域为 ，且 ，
为 上的偶函数；
令 ，该函数的定义域为 ，且 ，
为 上的奇函数，
又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，
且图中所给出的函数为偶函数，排除 与 ；
又由图可知，所求函数在 ， 上为减函数，
【解答】解：由图可知，函数 为奇函数，而选项 和 中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项 和 ；
当 时，从图象可知， ，而对于选项 ， ， ，所以 ，与图象不符，排除选项 ．
故选： ．
【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角 的始边与 的非负半轴重合，与圆 相交于点 ，终边与圆 相交于点 ，点 在 轴上的射影为点 ， 的面积为 ，则函数 的图象大致是
2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
题型2函数图象的识辨
【例2-1】（2020•天津）函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】解：函数 的定义域为实数集 ，关于原点对称，
②y＝f(x)
→y＝af(x)．
题型归纳
题型1作函数的图象
【例1-1】（2019秋•海淀区校级期中）已知函数 ．
（Ⅰ）画出函数 的图象；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围；
（Ⅲ）直接写出 的值域．
【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，直接进行作图即可；
（Ⅱ）结合分段函数的表达式，分别进行求解；
（Ⅲ）由图象结合函数值域的定义进行求解．
【解答】解： ， 或 ，即函数的定义域为 ， ， （定义域关于原点对称），
， ，
函数 是偶函数，关于 轴对称，
故选： ．
【例3-2】（2019秋•琼海校级月考）已知定义在 上的偶函数 部分图象如图所示，那么不等式 的解集为．
【分析】根据题意，由函数的图象以及奇偶性分析可得 以及 的解集，又由 或 ，据此分析可得答案．
C． D．
【分析】由 的解析式知该函数为奇函数可排除 ，然后计算 时的函数值，根据其值即可排除 ， ．
【解答】解：由 在 ， ，知
，
是 ， 上的奇函数，因此排除
又 （4） ，因此排除 ， ．
故选： ．
【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是
A． B．
C． D．
函数 ，则 ，则函数 为奇函数，故排除 ， ，
当 是， ，故排除 ，
故选： ．
【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数 的图象如图所示，那么该函数可能为
A． B．
C． D．
【分析】由图可知，函数 为奇函数，结合函数奇偶性的概念可排除选项 和 ；对比 和 选项，发现当 时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解．
A． B．
C． D．
【分析】由题可知，点 ，点 ，点 ，则 ，故排wk.baidu.com选项 和 ，又因为当 时， ，排除选项 ，可得所求图象．
【解答】解：由题知，点 ，点 ，点 ，
则 ，故排除选项 和 ，
又因为当 时， ，排除选项 ．
故选： ．
【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数 在 ， 的图象大致为
A． B．
3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
【分析】（1）由函数 ．分别画出 和 时的图象即可；
（2）根据函数的图象，写出单调区间即可．
【解答】解：（1）函数 ．
当 时， ；
当 时， ．
故图象如图所示；
（2）函数的增区间为： ， ， ；
减区间为： ， ， ， ．
【名师指导】
作函数图象的两种常用方法
1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
则 ，或 ，
则 的取值范围 ， ， ，
故答案为： ， ，
【跟踪训练3-2】（2019•嘉定区一模）已知函数 和 的图象如图所示，则不等式 的解集是．
【分析】根据 和 图象可得 和 的正负，即可求解不等式 的解集．
【解答】解：由图象 可得 时， ，
时， ，
当 时
由图象 可得 时， ，
时， ，
不等式 ，即 或 ；
而 中内层函数 在 ， 上为增函数，而外层函数正弦函数在 ， 上为增函数，
故当 大于0且在0附近时， 中函数为增函数，排除 ．
故选： ．
【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点 在以 为直径的半圆弧上，点 沿着 运动，记 ．将点 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图象大致为
A． B．