生命表公式一览
寿险精算公式集合
1 x x s ( x) 1
x
De Moivre 模型(1729)
,
0 x
x Bc x
x Gompertze 模型(1825) s ( x ) exp{ B (c 1)} , B 0,c 1,x 0
x A Bc x
x Makeham 模型(1860) s( x) exp{ Ax B(c 1)} , B 0,A -B,c 1,x 0
Var (T ( x )) E (T ( x ) 2 ) E (T ( x )) 2 2 t
0
p x dt ex
o 2
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： ( x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
ex ex E ( K ( x ))
k
x kx n
n 1 } , k 0, n 0, x 0 Weibull 模型(1939) s ( x ) exp{ kx
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布， 而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义： 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》 。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》 ，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合） 、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。 （用频数估计频率）
第四章 生命表
– 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。
• 由于被保险人要经过体检合格才予以承保，所以， 国民生命表和经验生命表是有区别的。
• 政府和企业根据国民生命表制订社会保险和退休 计划。而保险公司通常使用经验生命表。
• 2、寿险生命表和年金生命表
• 由于逆选择，选择年金的人一般对身体 状况比较乐观，而选择寿险的对身体状况 不太乐观，这两类人的死亡率是有明显区 别的。寿险公司有必要对两类不同的人分 别统计，从而得出寿险生命表和年金生命 表。
t qx Pr[x X t x | X x] F (t x) F (x)
1 F(x) s(x) s(x t)
s(x)
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u qx ，以
概率的方式表示为：
t｜u qx Pr[t T (x) t u] tu qx t qx t px tu px t px u qxt
整值剩余寿命
• 定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X) k, • 概率函数
k T (x) k 1,k 0,1,L
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px k1 px k px qxk k qx
最新3生命表
ex— Average life expectance ex=Tx/nx
Lx— The sum of average life of this age , Lx=(nx+nx+1)/2
藤壶的生命表
Survivorship data are often shown as a survivorship curve for a particular population; a graph showing the proportion of survivors on a logarithmic scale through each phase of life.
1.4 38
0.082
35
1
0
0
0
0
0.5 35
3.555
Dynamic-composite life table
Same as dynamic life table, but the age is different, here the age is a group marked at one time, actually age maybe different.
Life table analysis
1. Survivorship curves（存活曲线）
A curve showing the number of individuals which survive per thousand of population through each phase of life, often use a log scale for the numbers of individuals.
生命表算法
生命表函数及计算通过生命表可以得到任意年龄的人在任何期限内的生存概率、死亡概率等相关数据。
以下介绍生命表中揭示的那些栏目所代表的函数。
1、年龄区间[x,x+1][x,x+1]表示x到x+1岁的年龄区间，除最后一个年龄区间（如：89以上）为开区间以外，其余每一个区间都有两个确定的年龄值来定义。
通常，最后一个年龄区间的起点为ω，半开区间[ω,+∞]。
2、生存人数l x设正好活到某一确切年龄x岁的生存人数以l x表示生命表的基础是生存人数，它表示在一封闭区域一定数量的人口集团随着时间的推移因死亡而逐渐减少的人口生存状态。
生存人数l x表示正好活到某一确切整数年龄x岁的人数。
在人的生命表中，作为起点的出生人数l0称为生命表的基数，研究中可以任意取值，但为方便，一般设为100 000人。
3、死亡人数d xd x为年龄区间[x,x+1]内死去的人口数。
dx是生命表上年龄区间[x,x+1]内的死亡数，不同于实际人口死亡数。
根据定义可知l x+1=l x-d x x=0,1,……ω (7.23)4、死亡概率q xq x表示存活到确切年龄x岁的人在到达x+1岁前死亡的概率。
以x至x+1的死亡人数d z占x岁存活人数l x的比例表示。
q x＝d z/l x， x=0,1,……ω (7.24) q x这一指标是计算生命表的基础，在已知q x后，就可以依生命表基数l0由公式(7.1)和(7.2)计算出各年龄的存活人数l x和死亡人数d z。
l x+1=(1-q x)*l x , d z+1= q x*l x5、生存人年数L xx岁的人平均生存人年数L x是指年龄区间[x,x+1]的所有人在该区间内的存活年数，即活到确切年龄x岁的人群l z在到达x+1岁前平均存活的人年数。
人年是表示人均存活的符合单位，一人年表示一个人存活了一年。
把生存人数l x看作是在区间[t,t+1]内连续变化的函数，以此为基础的生存人年数L x的计算公式为：L x=1tx ttl dt++⎰ x=0,1……ω-1 (7.25)在死亡均匀分布（UDD）假设下，即我们假设l x曲线从x到x+1间是条直线那么，L x的计算公式可以写为：L x =(l x +l x+1)/2又根据公式(7.23)得：L x =(l x -d x +l x )/2=l x -d x /2 (7.26)注意到死亡均匀假设与l x 从0到ω是线性的假设不同，它仅在每一年年龄上假设是线性的，因此是l x 的比较精确的描述。
初学生命表
生命表的基本概念
生命表是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它 是以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出 各年龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
生命表主要函数
1、尚存人数
lx
和死亡人数
dx
l 生命表基数：0 是指生命表的出生人数，也即0岁（确切年龄）的人 数，通常定 l 0 =100000。
静止人口
3. 基本性质
每年出生人数与死亡人数不变且相等 B=D 各年龄人数不变
Px B Lx, Lx表示出生婴儿活到 x岁的比例
出生率与死亡率相等且与平均预期寿命互为倒数
P
P
x 0
x
B L
x 0
x
B Lx B e0
x 0
B B 1 b d P B e0 e0
静止人口
4. 重新阐释生命表
l0 每年出生数及死亡数 lx 每日历年到达 岁的人数 x nLx 任何时间点存活的 到x n岁人数 N L x , Tx 任何时间点存活的 岁以上人数 x T0 总人口规模 ndx 每年x到x n岁死亡人数 e0 任何一年死亡人口的平 均年龄
静止人口
讨论：
静止人口是一种非常理想化的人口，在现实 中很难出现，那么研究静止人口的意义何在？
时期生命表
时期生命表
② 高龄组
l d m d a l a 1 m
时期生命表
7. 编制步骤
获取基础数据 mx n 选择一套nax 计算nqx n nmx n nmx nmx 1 选定l0 100000 计算lx
测算预期寿命计算公式
测算预期寿命计算公式预期寿命是指一个人在出生时预期能够活到的年龄，是衡量一个国家或地区人口健康水平的重要指标之一。
预期寿命的计算涉及到许多因素，包括但不限于生活习惯、环境因素、医疗条件等。
在统计学和人口学中，有一些常用的公式可以用来计算预期寿命，本文将介绍其中一种常见的计算公式。
预期寿命的计算公式通常是基于人口统计数据和死亡率来进行推算的。
其中，最常用的是基于死亡率的计算方法，即使用生存曲线和死亡率表来推算出一个人在某个年龄能够活到的平均年龄。
下面我们将介绍一个常见的预期寿命计算公式——生命表法。
生命表法是根据人口统计学原理和方法，按照不同年龄段的死亡率和存活率，推算出一个人在某个年龄能够活到的平均年龄。
生命表法的计算公式如下：\[ E(x) = \sum_{i=0}^{n} l(x+i) \]其中，E(x)表示在年龄x时的预期寿命，l(x)表示在年龄x时的存活率，n表示最大寿命。
这个公式的计算过程是将不同年龄段的存活率加总起来，得出的结果就是在年龄x时的预期寿命。
生命表法的计算公式虽然简单，但是其中涉及到的数据却是非常复杂的。
通常情况下，需要大量的人口统计数据和死亡率数据来进行计算。
而且，由于不同地区、不同年代的生存条件和医疗水平不同，所以生命表法的计算结果也会有所差异。
除了生命表法之外，还有其他一些常见的预期寿命计算方法，比如Kaplan-Meier法、Cohort法等。
这些方法在计算原理和数据要求上有所不同，但都是基于死亡率和存活率来进行推算的。
总的来说，预期寿命的计算是一个复杂而严谨的过程，需要大量的人口统计数据和死亡率数据来支撑。
而且，预期寿命的计算结果也受到许多因素的影响，比如医疗水平、生活习惯、环境因素等。
因此，在进行预期寿命计算时，需要综合考虑各种因素，以确保计算结果的准确性和科学性。
预期寿命的计算不仅对于个人健康管理有重要意义，也对于国家和地区的人口政策制定具有重要的指导意义。
保险精算第3章(3)
s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21
生命表理论
解2.4
e • 在常数死亡力下， t px t ，则
e e e t
p25
15
0.04t
p25
, 0 t 15
p t15 40
0.0415
0.06(t 15)
,t 15
.
• 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
0
25
e25:25 0 t p25dt
死亡效力
•
( 定义：
x)
的瞬时死亡率，简记
x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
• 死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0 xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
lx l0 S (x)
• l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期
望个数n：dx
特别：n=1时，记作d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表的构造
l0
t Lx
• 个新生生命在年龄x至xx+t t区间共存活年数：
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
例2.2
• 已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
生命表构成
1、l
x ：生存数，有l x 人活到x 年龄；
（l x 是个时点的生存人数；l x 是个递减函数）
2、 d x ：死亡人数，x 岁的人在一年内死亡的人数；
（d x 是个时间段，期间的概念）
d x = l x - l 1+x = l x * q x
3、q x ：死亡率，x 岁的人在一年内死亡的概率；
q x =x x l d =x x x l l l 1+-
、p x ：生存率，x 岁的人在一年后生存的概率；
p x =
x x l l 1+=1- q x
、t q x ：x 岁的人在t 年内死亡的概率; t q x = x t
x x l l l +-
、t P x ：x 岁的人在t 年末仍生存（活过t 年）的概率； t P x =
x
t x l l += p x * P 1+x ·····P 1-+t x
、t |u q x ：x 岁的人在生存t 年后u 年内死亡的概率； t |u q x = x u
t x t x l l l +++-
、 t |q x ：x 岁的人在生存t 年后，在那一年中死亡的概率； U=1
t |q x = t P x - t+1P x
= t+1q x - t q x
= t P x * q x+t （x 岁的人先活到x+t 岁，然后在x+t 的那一年中死亡的概率）
5q 40= 4045
40l l l -
5|q 40= 4046
45l l l -
5|10q 40= 40
55
45l l l -
9、e x ：平均余命，x 岁的人今后还能生存的平均年数； （假设死亡率发生在每一年的年中）
1
2
3
·
·
·
l x
e x =（总人数）生存总年数x
l =x
1x 2x x 1x l d 21l *1d 21l *1⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++++ =
()x 1x x 3x 2x 1x l d d 21l l l ⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅
⋅⋅⋅⋅+++++++ =
()x 1x x x 3x 2x 1x l d d 21l l l l ⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅+++++++ =21l l l l x 3x 2x 1x +⋅⋅⋅⋅++++++
x x+1。