3.2平方根
3.2矩阵三角分解,平方根
2014-12-29
北京信息科技大学
4
2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 例如A= 4 1 2 1 0 5 2 3 0 5 / 3
这里有A的两种不同的三角分解，类似可举出很多，一般， 若A=LU是一个三角分解，任取与A同阶的非奇异对角矩阵D， 则
xn yn / unn xi ( yi i n 1,
k i 1
u
n
ik
xk ) / uii
, 2,1
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北京信息科技大学
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例 用杜利特尔分解法求解方程组
2 x1 2 x2 3 x3 3 4 x1 7 x2 7 x3 1 2 x 4 x 5 x 7 1 2 3
， 则矩 , n 1 ）
U 为上三角阵。 其中 L 为单位下三角阵，
其中
A LU
1 l21 1 L l31 l32 l n1 ln 2
1 ln ,n 1
u11 u12 u22 ，U 1
u1n u2 n unn
矩阵三角分解法
矩阵直接三角分解法是高斯消去法的变形方法。 高斯消去法 有多种变形，有的是高斯消去法的改进，有的是用于某种特殊系 数矩阵的化简。 分解原理 1．概述 高斯消去法解线性方程组先消元，然后再回代。当用矩阵描 述时，是对系数矩阵分解为一个上三角阵和一个下三角阵的乘 积，即 LU 分解。因此，高斯消去法与矩阵的 LU 分解是一致的。
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紧凑格式
2 2 3 A 4 7 7 5 2 4 (2) 2 (4) 2 (-2) -1 (2) 2 (7) 3 (4) 2 (3) 3 (7) 1 (5) 6
根号估算的方法
根号估算的方法根号是数学中一种非常常见的数学符号，用来表示平方根。
在日常生活中，我们经常需要对一些数值进行估算，而根号估算就是一种简单而常用的方法。
在本文中，我们将介绍根号估算的方法以及其应用。
根号估算的基本原理是利用根号的近似值来对一个数进行估算。
根号的近似值可以通过一些常见的数学方法和技巧来获得。
下面我们将介绍几种常用的根号估算方法。
1. 简化法：对于一个数的平方根，如果该数的个位数是1、4、5、6、9中的一个，那么它的平方根的个位数只可能是1、2、5、6、9中的一个。
例如，根号16约等于4，根号25约等于5。
这种方法适用于对整数的平方根进行估算。
2. 近似法：对于一个非整数的平方根，我们可以通过近似法来估算。
首先，找到该数的两个完全平方数之间的数字，然后将其平均值作为该数的估算值。
例如，要估算根号8的值，我们可以找到两个完全平方数4和9，它们的平均值为6.5，因此根号8约等于6.5。
这种方法适用于对非整数的平方根进行估算。
3. 分解法：对于一个较大的数，我们可以通过分解法来估算其平方根。
首先，将该数分解成两个较小的数的乘积，然后对这两个数进行根号估算。
例如，要估算根号80的值，我们可以将80分解成8和10的乘积，它们的平方根分别约等于2.8和3.2，因此根号80约等于2.8乘以3.2，即8.96。
这种方法适用于对较大数的平方根进行估算。
根号估算方法在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在购物时，我们经常需要估算商品的价格折扣，而根号估算可以帮助我们快速而准确地估算出商品的实际价格。
此外，在科学研究和工程设计中，根号估算也经常用于对实验数据和物理量进行估算和分析。
根号估算的优点是简单易用，不需要复杂的计算过程和专业的数学知识。
然而，它也有一定的局限性。
根号估算只能提供一个数的近似值，并不能给出其精确的数值。
因此，在需要高精度计算的情况下，我们仍然需要借助计算器或计算软件来进行准确计算。
在使用根号估算的过程中，我们应该注意估算结果的精度和误差。
平方根的性质
平方根的性质平方根是数学中的重要运算之一，它可以帮助我们求解方程、计算实数的大小关系以及解决各种实际问题。
在本文中，我们将讨论平方根的性质，探究它在数学中的应用和重要性。
1. 平方根的定义平方根可以简单地理解为一个数的平方等于给定数时的值。
对于非负实数a，我们定义其平方根为非负实数x，即x的平方等于a。
可以用符号√a表示平方根，其中√符号称为根号，a称为被开方数。
2. 2.1 平方根存在性对于任何非负实数a，都存在一个唯一非负实数x，使得x的平方等于a。
这意味着平方根在非负实数范围内都是可定义的。
2.2 平方根的基本性质(1) 非负实数的平方根是非负实数。
即对于非负实数a≥0，其平方根√a≥0。
(2) 平方根是一个递增函数。
即如果a≤b，则√a≤√b。
(3) 平方根的平方等于原数。
即对于任何非负实数a，有(√a)^2=a。
3. 平方根的运算性质3.1 平方根的乘法对于非负实数a和b，有以下公式成立：√(a*b) = √a * √b这意味着两个非负实数的乘积的平方根等于它们各自平方根的乘积。
3.2 平方根的除法对于非负实数a和b（b≠0），有以下公式成立：√(a/b) = √a / √b这意味着一个非负实数被另一个非零实数除后的平方根等于它们各自平方根的商。
3.3 平方根的加减法对于非负实数a和b，有以下公式成立：√(a±b) ≠ √a ± √b这是因为平方根的加减法没有一个简单且普适的形式。
4. 平方根在实际问题中的应用4.1 几何应用平方根在几何学中有广泛的应用，特别是在计算图形的边长、面积和体积时。
以长方形为例，它的对角线长度可以通过两条边的平方和的平方根来表示。
4.2 物理应用平方根也在物理学中发挥着重要作用，例如在计算速度、加速度和能量等方面。
结合平方根和其他数学运算，可以推导出许多物理定律和公式。
4.3 统计学应用在统计学中，平方根可以用于计算标准差和方差等统计量。
七上3.2平方根
（3）∵（ 0.6）=0.36，∴ 0.36的平方根是 0 5 （4）∵（ ）= =1 ，∴ 1 的平方根是 ，即 1 = 4 16 16 16 4 16 4
学以致用
求下列各数的平方根
49 （1） 36 （2）0.49 （3）0 （4） 81 （5） -100
121=
±11
9 3 16 4
你知道它们的值吗?
例1： 求下列各数的平方根
（1） 64
9 （2） 16
2
（3）0.36
9 （4） 1 16
解：（）∵（ 8）=64，∴ 64的平方根是 8，即 64= 8 1
3 2 9 9 3 9 3 （2）∵（ ）= ，∴ 的平方根是 ，即 = 4 16 16 4 16 4
回顾 & 思考 ☞
1、什么是算术平方根
一个正数x的平方等于a,即 这个正数x叫做a的算术平方根 x2＝a，
a的 术 方 记 算 平 根 为
x2 = a (x为正数)
a
读作“根号a”
x a
0 0
规定0的算术平方根是0，记作
被开方数a≥0
（1）的算术平方根是（ 3） 9 （2） 16的算术平方根是（ 2 ） (3) (-4)的算术平方根是（ 4）
等于一个正数，这样的数有2个， 并且互为相反数
一般地,如果一个数的平方等于ɑ，那
么这个数叫做ɑ的平方根（或二次方根）
根据定义，就能求一个数的平方根
例如: 3 9 3是 9的 平 方 根
2
又 3 9 3是 也 9的 平 方 根
2
可以合写为:
3 9 9的平方根是 3
49 7 解：（1） = 36 6
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
初中生背平方根表1-100
初中生背平方根表1-100
平方根在数学中是一个重要的概念，对初中生来说，背诵平方根表可以帮助他
们快速计算一些常见数的平方根，从而提高计算的效率。
下面是初中生背诵平方根表1-100的方法。
一、平方根的概念
在数学中，一个数的平方根是指另一个数，使得这个数的平方等于该数。
比如，4的平方根是2，因为2的平方等于4。
二、背诵平方根表1-100的方法
1.从1到10的数字，先背诵其平方根，依次是1、1.41、1.73、2、
2.24、2.45、2.65、2.83、3、
3.16。
2.对于10的倍数，如20、30、40等，可以根据已背诵的数字以及倍
数的关系进行计算。
3.对于其他数字，可以估算其平方根值，找到最接近的已知平方根，进
行修正。
4.制作一个平方根表格，将1-100的数字与其平方根对应起来，方便
查阅。
三、背诵平方根表的意义
1.通过背诵平方根表，可以提高初中生的计算速度和准确性。
2.平方根表可以帮助初中生更好地理解数学知识，巩固数学基础。
3.背诵平方根表可以锻炼初中生的记忆力和逻辑思维能力。
四、总结
初中生背诵平方根表1-100对他们的数学学习有着积极的影响，可以提高他们
的计算效率，加深对数学知识的理解。
希望通过不断的练习和巩固，初中生能够掌握更多数学知识，取得更好的成绩。
以上是初中生背诵平方根表1-100的方法，希朥对初中生的数学学习有所帮助。
根号的标准写法
根号的标准写法一、根号的定义和表示方法1.1 根号的概念根号是数学中常见的符号之一，用来表示对某个数求平方根的操作。
根号符号通常是一个平方根符号√，放在被开方的数的上方。
根号后面的数被称为被开方数，开方又分为平方根、立方根等不同的情况。
1.2 根号的表示方法根号的表示方法有几种常见的形式。
除了常用的平方根符号√外，还可以用分数的形式表示。
例如，对于一个数a，开平方根可以表示为√a，也可以表示为a的1/2次方。
二、根号的计算方法2.1 平方根的计算平方根是根号运算中最常见的一种情况。
对于一个非负实数a，其平方根运算可以表示为√a。
我们可以通过不同的方法来计算平方根，其中最常见的是牛顿迭代法和二分法。
2.1.1 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过迭代逼近的方法来计算平方根的算法。
它的基本思想是利用函数的切线来逼近函数的零点。
对于求a的平方根，可以选择一个初始近似值x0，然后使用迭代公式xn+1 = (xn + a/xn) / 2来不断逼近真实的平方根。
2.1.2 二分法二分法是一种通过逐步缩小搜索区间的方法来计算平方根的算法。
基本思想是，对于一个非负实数a，它的平方根一定落在区间[0,a]之间。
我们可以先选择一个区间的中点b作为初始近似值，然后根据b的平方与a的大小关系来缩小搜索区间，直到找到满足要求的近似值。
2.2 其他根的计算除了平方根外，根号运算还可以用于计算其他次数的根，例如立方根、四次根等。
这些根的计算方法和平方根类似，只是迭代公式和搜索区间的选择会有所不同。
三、根号的性质和运算规律3.1 根号的性质根号具有一些特殊的性质，可以帮助我们简化根号运算。
3.1.1 求根运算与幂运算的关系根号运算与幂运算是互为逆运算的关系。
例如，对于一个数a，先对它求平方根再平方，可以得到a；先对它平方再求平方根，同样也可以得到a。
3.1.2 根号运算的可加性根号运算具有可加性的性质。
即，对于两个非负实数a和b，有√(a b) = √a√b。
平方根教学设计(教案)
平方根教学设计(教案)第一章：平方根的引入1.1 平方根的概念解释平方根的定义通过实际例子说明平方根的概念1.2 平方根的性质探讨平方根的性质，如正数的平方根有两个等通过图形和实际例子来展示平方根的性质第二章：平方根的计算方法2.1 手算法介绍手算法计算平方根的方法通过实际例子演示手算法计算平方根的过程2.2 计算器法介绍如何使用计算器计算平方根通过实际例子演示计算器法计算平方根的过程第三章：平方根的应用3.1 实际问题解决通过实际问题引入平方根的应用引导学生运用平方根的性质和计算方法解决问题3.2 平方根在科学和工程中的应用介绍平方根在科学和工程中的常见应用通过实际例子展示平方根在科学和工程中的重要性第四章：平方根的性质和判定4.1 平方根的性质探讨平方根的性质，如正数的平方根有两个等通过图形和实际例子来展示平方根的性质4.2 平方根的判定介绍如何判定一个数的平方根通过实际例子演示如何判定一个数的平方根第五章：平方根的综合练习5.1 练习题提供一些有关平方根的练习题引导学生通过运用平方根的性质和计算方法来解决练习题5.2 应用题提供一些有关平方根应用的题目引导学生通过运用平方根的性质和计算方法来解决应用题第六章：平方根的图像6.1 平方根的图像特点解释平方根函数的图像特点通过图形展示平方根函数的图像特点6.2 利用图像求解平方根介绍如何利用平方根函数的图像来求解平方根通过实际例子演示如何利用图像求解平方根第七章：平方根的性质和定理7.1 平方根的性质探讨平方根的性质，如正数的平方根有两个等通过图形和实际例子来展示平方根的性质7.2 平方根的定理介绍与平方根相关的定理，如平方根的乘积等于原数的乘积等通过实际例子来展示平方根的定理第八章：平方根在代数中的应用8.1 平方根在解方程中的应用介绍平方根在解方程中的应用通过实际例子演示如何利用平方根来解方程8.2 平方根在证明中的应用介绍平方根在证明中的应用通过实际例子演示如何利用平方根来证明代数式第九章：平方根在实际生活中的应用9.1 平方根在几何中的应用介绍平方根在几何中的应用，如求解三角形的面积等通过实际例子展示平方根在几何中的应用9.2 平方根在其他领域中的应用介绍平方根在其他领域中的应用，如物理学、经济学等通过实际例子展示平方根在其他领域中的应用第十章：平方根的综合练习与拓展10.1 综合练习题提供一些有关平方根的综合练习题引导学生通过运用平方根的性质、计算方法和图像来解决练习题10.2 拓展题目提供一些有关平方根的拓展题目引导学生通过运用平方根的知识来解决拓展题目，提高学生的思维能力重点和难点解析六、平方根的图像：理解平方根函数的图像特点对于学生来说是一个难点，因为它涉及到函数图像的直观理解和数学概念的结合。
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3.2平方根
一、教学目标
1.理解一个数平方根和算术平方根的意义；
2.理解根号的意义，会用根号表示一个数的平方根和算术平方根；
3.通过本节的训练，提高学生的逻辑思维能力；
4.通过学习乘方和开方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣.
二、教学重点和难点
重点：平方根和算术平方根的概念及求法．
难点：平方根与算术平方根联系与区别．
三、教学方法
讲练结合．
四、教学手段
幻灯片．
五、教学过程
(一)情景引入
1．已知一正方形面积为50平方米，那么它的边长应为多少？
2．已知一个数的平方等于1000，那么这个数是多少？
3．一只容积为0.125立方米的正方体容器，它的棱长应为多少？
这些问题的共同特点是：已知乘方的结果，求底数的值，如何解决这些问题呢？这就是本节内容所要学习的．下面作一个小练习：填空
1．( )2=9；2．( )2=1000；
3．（）3＝0.125 ；
学生在完成此练习时，最容易出现的错误是丢掉负数解，在教学时应注意纠正．
由练习引出平方根的概念．
(二)平方根概念
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根)．
用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．
由练习知：±3是9的平方根；
±0.5是0.25的平方根；
0的平方根是0；
±0.09是0.0081的平方根．
由此我们看到+3与-3均为9的平方根，0的平方根是0，下面看这样一道题，填空：
( )2=-4
学生思考后，得到结论此题无答案．反问学生为什么？因为正数、0、负数的平方为非负数．由此我们可以得到结论，负数是没有平方根的．下面总结一下平方根的性质(可由学生总结，教师整理)．
(三)平方根性质
1．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
2．0有一个平方根，它是0本身．
3．负数没有平方根．
(四)开平方
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算．
由练习我们看到+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算．根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根．与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算，而且正数的运算结果是两个。
(五)平方根的表示方法
一个正数a 的正的平方根，用符号“
”表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数，正数a 的负的平方根用符号“-
”表示，a 的平方根合起来记作 ，其中 读作“正负二次根号”， 读作“二次根号下a ”．根指数为2时，
通常将这个2省略不写，所以正数a 的平方根也可记作“
”读作“正、负根号a ”.
练习：1．用正确的符号表示下列各数的平方根：
①26 ②247 ③0.2 ④3 ⑤
解：①26 的平方根是
②247的平方根是
③0.2的平方根是
④3的平方根是 ⑤ 837的平方根是
由学生说出上式的读法.
2．
表示什么意思？
答：
表示7的正的平方根。
3．-
表示什么意思？ 答：-
表示7的负的平方根。
4．±
表示什么意思？
答：± 表示7的平方根。
例1．下列各数的平方根：
（1）81；（2）；（3）；（4）0.49
解：(1)∵ (±9)2=81，
∴81的平方根为±9．即：±81＝±9
（2）
的平方根是，即
（3）
的平方根是，即
(4)∵(±0.7)2=0.49，
∴0.49的平方根为±0.7．
小结：让学生熟悉平方根的概念，掌握一个正数的平方根有两个.
六．总结
本节课主要学习了平方根的概念、性质，以及表示方法，回去后要仔细阅读教科书，巩固所学知识．
七、作业
教材P．127练习1、2、3、4．
八、板书设计。