平方根与立方根知识点小结
平方根和立方根的应用知识点总结
平方根和立方根的应用知识点总结在数学领域中，平方根和立方根是我们经常使用的概念。
平方根是一个数字的平方等于给定的数字时所得到的结果，而立方根则是一个数字的立方等于给定的数字时所得到的结果。
这两个概念在实际生活和各个学科中都有广泛的应用。
下面将对平方根和立方根的应用进行总结。
一、平方根的应用1. 几何学中的平方根应用平方根在几何学中有着广泛的应用。
例如，在直角三角形中，根据勾股定理，我们可以利用平方根来计算三角形的边长。
此外，平方根还可用于计算圆的半径、直径和周长等相关的几何问题。
2. 物理学中的平方根应用物理学中的许多公式和定律需要使用平方根来求解。
例如，运动学中的速度公式v = √(2as)可以根据已知的加速度a和位移s来计算物体的速度v。
此外，平方根还被广泛应用于波动力学、电磁学和光学等物理学的各个分支中。
3. 统计学中的平方根应用在统计学中，平方根被广泛应用于协方差和方差的计算中。
例如，标准差是一种常用的统计量，它是方差的平方根。
通过计算方差和标准差，我们可以对数据的离散程度进行度量和比较。
二、立方根的应用1. 几何学中的立方根应用和平方根类似，立方根在几何学中也有重要的应用。
例如，在立方体的计算中，我们可以利用立方根来计算其体积和表面积。
此外，立方根还可用于计算球体的体积和表面积等几何问题。
2. 工程学中的立方根应用在工程学中，立方根广泛应用于力学和结构分析领域。
例如，在弹性力学中，弹性势能的计算就需要使用立方根。
此外，立方根还可用于计算某些结构的稳定性和可靠性等工程问题。
3. 经济学中的立方根应用在经济学中，立方根被应用于风险分析和金融建模等领域。
例如，立方根可用于计算资产收益率的波动性和标准差，进而评估投资的风险。
此外，立方根还可用于计算某些经济指标的增长率和波动性等经济问题。
总结：平方根和立方根是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学、统计学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。
通过对平方根和立方根的应用知识点的总结，我们可以更好地理解和应用这些概念，提升数学和相关学科的学习能力和解决实际问题的能力。
七年级平方根立方根知识点
平方根和立方根是数学中的重要概念，它们帮助我们理解数的大小和运算。
在七年级数学课程中，学习平方根和立方根是很重要的一部分。
首先，我们来介绍平方根。
正如它的名字所示，平方根是一个数的平方的根。
如果一个数x的平方等于另一个数a，那么x就是a的平方根。
平方根通常用符号√来表示。
例如，√9=3，因为3²=9、在数学中，平方根有两个解，一个是正的，一个是负的。
例如，√9=3或-3，因为（3）²=9和（-3）²=9、负的平方根通常在代数中使用，它们有时被称为虚数。
平方根有一些基本的性质。
首先，任何正数的平方根都是一个正数。
其次，平方根的平方等于它本身。
即√a² = a。
最后，平方根满足乘法法则。
例如，√(ab) = √a × √b。
这个规则可以用于简化平方根表达式。
接下来，我们来介绍立方根。
立方根是一个数的立方的根。
如果一个数x的立方等于另一个数a，那么x就是a的立方根。
立方根通常用符号³√来表示。
例如，³√8=2，因为2³=8、和平方根一样，立方根也会有两个解。
例如，³√8=2或-2，因为2³=8和（-2）³=8立方根也有一些基本的性质。
首先，任何正数的立方根都是一个正数。
其次，立方根的立方等于它本身。
即³√a³ = a。
最后，立方根也满足乘法法则。
例如，³√(ab) = ³√a × ³√b。
在七年级学习平方根和立方根的过程中，有几个重要的知识点需要掌握。
首先是平方根和立方根的定义，学生需要理解平方根和立方根的概念以及它们的基本性质。
其次是平方根和立方根的计算。
学生需要学会计算给定数的平方根和立方根。
这可以使用计算器来进行计算，但也应该知道如何手工计算。
最后，学生需要学会在实际问题中应用平方根和立方根。
例如，在几何问题中，需要计算边长或体积等。
平方根和立方根知识点总结及练习
【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
中考知识点平方根与立方根
中考知识点平方根与立方根中考知识点：平方根与立方根一、平方根平方根是指某一数的二次方所得结果等于该数的非负根。
在数学中，平方根用符号√( )表示，其中"√"为根号符号，"( )"内为需要求平方根的数。
例如，√9 = 3，因为3² = 9。
而√16 = 4，因为4² = 16。
要计算平方根，除了使用根号符号，还可以使用幂运算的方式。
即：如果一个数的平方等于已知数值，那么这个数就是待求解的平方根。
例如，x² = 9，那么x的解可以是±3。
在中考中，平方根常常涉及到对数值大小的估计和近似。
为了方便计算和表达，我们可以将平方根转化为一个无理数的近似值。
例如，√2约等于1.414，√3约等于1.732。
二、立方根立方根是指某一数的三次方所得结果等于该数的根。
在数学中，立方根用符号³√( )表示，其中"³√"为立方根号符号，"( )"内为需要求立方根的数。
例如，³√8 = 2，因为2³ = 8。
而³√27 = 3，因为3³ = 27。
与平方根类似，计算立方根也可以使用幂运算的方式。
即：如果一个数的立方等于已知数值，那么这个数就是待求解的立方根。
例如，x³= 8，那么x的解是2。
在中考中，立方根的运算也常常出现在几何体的计算中，如求立方体的体积或边长。
三、平方根与立方根的性质1. 平方根的求解：- 对于任意正数a，有√(a²) = a，这意味着一个数的平方根的平方等于该数本身。
2. 平方根与乘法运算：- 对于正数a和正数b，有√(ab) = √a × √b，这意味着对两个数进行乘法运算之后再求平方根，等于对这两个数分别求平方根然后再进行乘法运算。
3. 平方根与除法运算：- 对于正数a和正数b，有√(a/b) = √a / √b，这意味着对一个数除以另一个数后再求平方根，等于对这两个数分别求平方根然后再进行除法运算。
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问平方根和立方根是数学中重要的概念，它们在各个学科领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将详细讲解平方根和立方根的概念、运算规则以及需要注意的事项，以解答学生们提出的疑问。
一、平方根的概念和运算规则平方根是指一个数的平方等于该数的非负根。
即，对于任意非负数x和非负数a，若a的平方等于x，那么我们称a是x的平方根。
用符号表示，可以写作√x=a。
平方根的运算规则如下：1. 非负数的平方根是唯一的。
即，一个非负数x只有一个非负平方根。
2. 负数没有实数平方根。
平方根的定义要求平方根是非负的，因此负数没有实数平方根。
3. 平方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意非负数x和y，有√(x*y)=√x*√y和√(x/y)=√x/√y。
4. 平方根运算满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，平方根运算和幂运算可以互相转换，即√(x^n)=(√x)^n。
二、立方根的概念和运算规则立方根是指一个数的立方等于该数的非负根。
即，对于任意数值x 和非负数a，若a的立方等于x，那么我们称a是x的立方根。
用符号表示，可以写作³√x=a。
立方根的运算规则如下：1. 实数的立方根是唯一的。
即，一个实数x只有一个实立方根。
2. 负数的立方根是存在的。
与平方根不同，负数是存在实数立方根的，例如-8的立方根是-2，因为(-2)^3=-8。
3. 立方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意数值x和y，有³√(x*y)=³√x*³√y和³√(x/y)=³√x/³√y。
4. 立方根运算也满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，立方根运算和幂运算可以互相转换，即³√(x^n)=(³√x)^n。
三、注意事项在计算平方根和立方根时，需要注意以下几点：1. 平方根和立方根的符号。
平方根是指非负根，因此其结果为正数或零。
八年级上册数学《实数》平方根和立方根 知识点整理
加速度学习网 我的学习也要加速平方根和立方根有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网 整理一、本节学习指导平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一，此节我们要掌握平方根和立方根的概念。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
2、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
加速度学习网 我的学习也要加速例1 求下列各数的算术平方根 （1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误.例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9. （2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53.（4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.加速度学习网 我的学习也要加速例（1）64的立方根是（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
八年级数学上册平方根与立方根知识点整理华东师大版
八年级数学上册《平方根与立方根》知识点整理华东师大版知识点平方根:归纳1：一样地，若是一个数的平方等于a，那个数就叫做a的平方根。
确实是说，若是x=a,那么x就叫做a的平方根。
如：23与-23都是29的平方根。
因为=29，因此±23是29的平方根。
问：16，49，100，1100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系?0的平方根是什么?归纳2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
归纳3：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
平方与开平方互为逆运算。
一个数能够是正数、负数或是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。
但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。
负数没有平方根。
因为平方与开平方互为逆运算，因此咱们能够通过平方运算来求一个数的平方根，也能够通过平方运算来查验一个数是不是另一个数的平方根。
一、算术平方根的概念正数a有两个平方根，咱们把其中正的平方根，叫做a的算术平方被开方数a表示非负数，即a≥0;a也表示非负数，即a≥0。
也确实是说，非负数的“算术”平方根是非负数。
负数不存在算术平方根，即a<0时，a无心义。
如：=3，8是64的算术平方根，?6无心义。
9既表示对9进行开平方运算，也表示9的正的平方根。
二、平方根与算术平方根的区别在于①概念不同;②个数不同：一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个;③表示方式不同：正数a的平方根表示为?a,正数a的算术平方根表示为a;④取值范围不同：正数的算术平方根必然是正数,正数的平方根是一正一负⑤0的平方根与算术平方根都是0三、例题讲解：例一、求以下各数的算术平方根：100;49;08164注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们归纳成：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，a≥0用几何图形能够直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a、边长为的正方形就表示a的算术平方根。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）； （3）； ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习：已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。
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“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根：
⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：
⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
（1）64；（2）2)3(-； （3）49151
； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）
259； （4）2)4(-.
（5）44.1，（6）36-，（7）4925±
（8）2)25(-
例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵ 102
27
-； ⑶ 0.729
二、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.
例4、若,622=---
-y x x 求y x 的立方根.
练习：已知,21221+-+
-=x x y 求y x 的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a
例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.
练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.
四、巧解方程
例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.
23(2)0y z +-++=，求xyz 的值。
②已知
互为相反数，求a ，b 的值。
(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____
(4)实数包括____________或__________________；
(5)下列各数：
3，π，0.28，0，3.14159，0.121121112，，227．其中无理数有（ ）个 ④7-
和－2.45。