2017年中考数学专题复习八：几何证明题

专题八：几何证明题

【问题解析】

几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中

占有重要地位•根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难度方面要降低•但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题型.

【热点探究】

类型一：关于三角形的综合证明题

【例题11(2016 •四川南充)已知△ ABN和厶ACM位置如图所示，AB=ACAD=AE /仁/ 2.

(1) 求证：BD=CE

(2) 求证：/ M=/ N.

【分析】(1)由SAS证明△ ABD^A ACE得出对应边相等即可

(2)证出/BAN/ CAM由全等三角形的性质得出/ B=/ C,由AAS证明△ ACI WA ABN 得出对应角相等即可.

【解答】(1)证明：在厶ABD和厶ACE中，’IL*

•••△ABD^A ACE( SAS,

••• BD=CE

(2)证明：T/ 1=/ 2,

• / 1+/ DAE/ 2+/ DAE 即/ BAN/ CAM

由(1)得：△ ABD^A ACE

• / B=/ C,

r zc=z&

«AC=AB

在厶ACM^n^ ABN 中，| Z CM=Z BAN,

•••△ ACMmABN( ASA,

•••/ M= N.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.

【同步练】

(2016 •山东省荷泽市・3 分)如图，△ ACB和厶DCE均为等腰三角形，点A，D, E在同一直线上，连接BE

(1)如图1，若/ CAB M CBA M CDE M CED=50

①求证：AD=BE

②求/ AEB的度数.

(2)如图2,若/ ACB M DCE=120 , CM^^ DCE中DE边上的高，BN%A ABE 中AE边

类型二：关于四边形的综合证明题

【例题2] (2016 •山东省滨州市•10分)如图，BD是△ ABC的角平分线，它的垂直平

分线分别交AB, BD BC于点E，F，G,连接ED DG

(1)请判断四边形EBGD勺形状，并说明理由；

(2)若/ ABC=30，/ C=45, , 点H是BD上的一个动点，求HG+HC勺最小值.

【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质.

【分析】（1）结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=G即可.

（2）作EM L BC于M, DN^ BC于N,连接EC交BD于点H 此时HG+H（最小，在RT^ EMC 中，求出EM MC即可解决问题.

【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形.

理由：••• EG垂直平分BD

••• EB=ED GB=GD

•••/ EBD=/ EDB

•••/ EBD=/ DBC

•••/ EDF玄GBF

在厶EFD和△ GFB中，

r ZEPF=ZGBF

“ ZEFD^ZGFB,

DF=BF

•△EFD^A GFB

• ED=BG

• BE=ED=DG=GB

•四边形EBGD是菱形.

（2）作EM L BC于M, DNL BC于N ,连接EC交BD于点H ,此时HG+HC t小,

在RT^ EBM 中，I/ EMB=90 , / EBM=30 , EB=ED=^Q ,

• EM=7BE= I ',

•••DE// BC, EMIBC, DN!BC,

• EM// DIN EM=DN= , MN=DE=2可!',

在RT^ DNC中 , DNC=90 , / DCN=45 ,

NDC/ NCD=45 ,

• DN=NC= ,

••• MC=3 | ,

在RT^ EMC中，•••/ EMC=90 , EM= - . MC=3 ,

•EC粕珊5腿也』（帧）S （3负）'=10履.

•/ HG+HC=EH+HC=,EC

• HG+HC勺最小值为10 | -.

B M 仔N C

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型.

【同步练】

(2016 •山东省济宁市• 3分)如图，正方形ABCD勺对角线AC BD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA连接AF,/ ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M,连接E0.

(1)已知BD=",求正方形ABCD勺边长；

(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.

类型三：关于圆的综合证明题

【例题3】(2016 •山东潍坊)正方形ABCD内接于O 0,如图所示，在劣弧—上取一点E,连接DE BE,过点D作DF// BE交OO于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G 求证：

(1)四边形EBFD是矩形；

（2）DG=BE

【分析】(1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出

/ BED=/ BAD=90，/ BFD2 BCD=90，/ EDF=90，进而得出答案；

(2)直接利用正方形的性质疋的度数是90°,进而得出BE=DF则BE=DG

【解答】证明：(1厂••正方形ABCD内接于O 0,

•••/ BED d BAD=90，/ BFD2 BCD=90 ,

又• DF// BE

•••/ EDF+d BED=180 ,

•••/ EDF=90 ,

•四边形EBFD是矩形;

(2)) •正方形ABCD内接于O 0,

•「的度数是90°,

•••/ AFD=45 ,

又GDF=90 ,

•••/ DGF d DFC=45 ,

• DG=DF

又••在矩形EBFD中, BE=D

【同步练】

(枣庄市2015 中考-24 )如图，在△ ABC中，/ ABC=90，以AB的中点0为圆心、0A为半径的圆交AC于点D, E是BC的中点，连接DE, 0E

(1)判断DE与OO的位置关系，并说明理由；

(2)求证：BC=CD?20；

(3)若cos / BAD=3, BE=6,求0E 的长.

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