第七章课后练习题答案

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23高数切片讲义第7章课后习题与答案

第七章无穷级数【基础练习题52】1. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：（1）1n ∞；（2）1111133557(21)(21)n n ；（3）11ln 1n n ∞. 2. 判定下列级数的收敛性：（1）1111+3693n；（2）13 ；（3）22331111111123232323n n. （4）23111111112322323323n n. 【基础练习题52解析】1.【解析】（1）因为1)1,lim ,n n n S S ∞∞所以根据定义可知级数1n ∞发散.（2）由于1111(21)(21)22121n u n n n n，从而1111111111,23352121221n S n n n1lim ,2n n S 所以根据定义可知级数收敛. （3）341ln 2lnln ln ln(1)23n n S n n，因lim n n S ∞∞，故级数发散. 2.【解析】（1）此级数的部分和1111111113693323n S n n，而111lim 123n n∞∞，故lim n n S ∞∞，即该级数发散.（2）此级数的一般项n u ，11lim lim 13nn n n u∞∞，不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散.（3）此级数的一般项1123n n n u ，注意到112n n ∞与113n n ∞分别是公比12q 与13q 的等比级数，而1q ，故112n n ∞与113n n ∞均收敛. 根据收敛级数的性质可知，原级数11123n n n ∞收敛.（4）此级数的一般项1123n n u n ，又1111122n n n n ∞∞发散，113n n ∞收敛，根据级数的性质可知，原级数11123n n n∞发散.【基础练习题53】1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：（1）111135(21)n ；（2）22212131112131nn ；（3）1112536(1)(4)n n . 2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性：（1）232333*********nnn ；（2）213n n n ∞；（3）12!n nn n n ∞. 3. 判定下列级数的收敛性：（1）233333234444nn；（2）11(2)n n n n ∞；（3. 4. 判定下列级数的收敛性：（1） 2111nn n n. （2）11ln 1nn.（3）1113n nn n. （4）211ln nn n.5. 设1ln 1nn u ，则级数（）（A ）1nn u和21nn u都收敛. （B ）1nn u和21nn u都发散.（C ）1nn u收敛而21nn u发散. （D ）1nn u发散而21nn u收敛.6. 设有下列命题：○1若 1212)(n n n u u 收敛，则1n n u 收敛.○2若1n n u 收敛，则11000n n u 收敛.○3若1lim 1n n n u u ，则1n n u 发散.○4若 1)(n n n v u 收敛，则 1n n u ，1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是（）（A ）○1○2. （B ）○2○3. （C ）○3○4. （D ）○1○4. 【基础练习题53解析】1.【解析】（1）解法一 11 (1,2,)212n u n n n ，由于级数11n n ∞发散，故各项乘12后的级数112n n ∞也发散，由比较审敛法知原级数1121n n ∞发散. 解法二因1121lim 12n n n∞，而11n n∞发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散.（2）221111n n n u n n n n ，而11n n ∞发散，由比较审敛法知原级数发散.（3）因21(1)(4)lim 11n n n n ∞，211n n∞收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数收敛.2.【解析】（1）因1113333lim limlim 1(1)22212n nn n n n n n n u n n n u n ∞∞∞，故级数发散. （2）因2221121(1)1(1)lim lim lim 13333n n n n n n nu n n n u n ∞∞∞，故级数收敛. （3）因11122(1)!2!lim lim lim 21(1)1e nn n n n n n n n nu n n n n n u n∞∞∞，故级数收敛. 3.【解析】（1）1133limlim 144n n n nu n u n ∞∞，由比值审敛法知级数收敛.（2）11lim1(2)n n n n n ∞，而级数11n n∞发散，由极限形式的比较审敛法知原级数发散. （3）121lim lim 10n n n n u n∞∞，故级数发散. 4. 【解析】（1）记21n n u n，则n u 单调递减，且21lim lim 0,n n n n u n 由莱布尼茨判别法知，交错级数2111nn n n收敛. （2）记ln 1n u ，则n u单调递减，且lim lim ln 1ln10,n n n u由莱布尼茨判别法知，交错级数11ln 1nn收敛.（3）记3n n nu，则n u 单调递减，且lim lim 0,3n n n n n u 由莱布尼茨判别法知，交错级数1113n nn n收敛. （4）因为221111ln ln ln nnn n n n n，对于交错级数21ln nn n，记1ln n u n，则n u 单调递减，且1lim lim 0,ln n n n u n由莱布尼茨判别法知，交错级数21ln nn n收敛.对于正项级数21ln n n，因为11ln n n ，又21n n发散，故由正项级数比较审敛法知，级数21ln n n发散. 故由级数收敛的性质知，级数211ln nn n发散. 5.【答案】 C. 【解析】1nn u为交错级数，又满足莱布尼茨判别法的条件，故收敛.2211ln 1,n n n u又n时，221ln 1n ，且级数11n n发散，由比较审敛法的极限形式知，21nn u发散.6.【答案】 B.【解析】级数加括号后收敛不能推本身级数收敛，故○1错，反例可取通项 1nn u ；级数加上，去掉或改变前有限项不改变级数的敛散性，故○2正确；命题○3正确：由1lim 1n n n u u 知，1lim 1n n nu u ，故当n 充分大时，正数列n u 是单调递增的，故当n 时，n u 0，则n u 0，由级数收敛的必要条件知，1n n u 发散；命题○4显然结论反了，可取11,nn u v n n排除.【基础练习题54】1. 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）11n ；（2）111(1)3n n n n∞；（3）12341111111111(1)3232323232n n；（4）21ln nn n n.2. 级数 111cos n n a n（常数0a ）（）（A ）发散.（B ）条件收敛.（C ）绝对收敛.（D ）收敛性与a 有关.【基础练习题54解析】1.【解析】（1）112(1)n n u n，11121nn n un∞∞是发散的；又1nn u∞是交错级数，满足1n n u u ，且lim 0n n u ∞，故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.（2）因1111lim lim 133n n n nu n u n ∞∞，由比较审敛法知级数1n n u ∞收敛，故原级数绝对收敛.（3）1(1)32n n n u ，因11132n nn n u ∞∞是公比1 (1)2q q 的等比级数，故收敛，从而原级数绝对收敛.（4）因为2211ln ln nn n n n n n，又11ln n n n ，且21n n发散，故由正项级数比较审敛法知，级数21ln nn n n发散.因为21ln nn n n为交错级数，令1ln n u n n，则n u 单调递减，且1lim lim 0,ln n n n u n n 由莱布尼茨判别法知，交错级数 21ln nn n n收敛. 综上，级数21ln nn n n条件收敛.2.【答案】 C.【解析】先判定是否绝对收敛，即判定正项级数 1111cos 1cos nn n a a n n的敛散性，因为n 时，22211cos ,22a a a n n n 又级数222211122n n a a nn收敛，由比较审敛法的极限形式知，级数11cos n a n收敛，即原级数绝对收敛.【基础练习题55】1. 求下列幂级数的收敛区间.（1）23232222225101n nx x x x n ；（2）221212n nn n x ∞；（3）1nn ∞；（4）1132nnnn x n. 2. 求下列幂级数的收敛域.（1）2323nx x x nx ；（2）2221(1)2nn x x x n；（3）23231323333nnx x x x n ；（4）211(1)21n nn x n ∞.3. 已知幂级数1nn n a x在1x 处条件收敛，则幂级数11nn n a x的收敛半径为 . 4. 已知幂级数11nn n a x在2x 处收敛，在0x 处发散，则幂级数11nn n a x的收敛域为 .【基础练习题55解析】1.【解析】（1）级数可表示为2121n nn x n，因为122211lim2,21n nn n n故收敛半径为112R，收敛区间为11,.22（2）记 2221,2n n nn u x x因为 221122212limlim ,2122nn n n n n n nn x u x x n u x x由正项级数比值审敛法知，212x时收敛，解得收敛区间为 .（3）记nn u x 因为1lim 5,n n n nu x x u x 由正项级数比值审敛法知，51x 时收敛，解得收敛区间为 4,6. （4）记1,32nn nn x u x n因为11111132limlim ,1332n n n n n n n nnn x n x u x x u x n由正项级数比值审敛法知，13x时收敛，解得收敛区间为 3,3 .2.【解析】（1）级数可表示为1nn nx，因为1lim1,n n n故收敛半径为11R，收敛区间为 1,1 ，又当1x 时，级数显然发散（不满足级数收敛的必要条件），故收敛域为 1,1 .（2）级数可表示为211(1)nnn x n，因为122(1)1lim1,(1)n nn n n故收敛半径为11R，收敛区间为 1,1 ，又当1x 时，级数2111(1)nn n收敛，当1x 时，级数2111n n收敛，故收敛域为 1,1 .（3）级数可表示为13nnn x n，因为 11131lim ,133n n n n n 故收敛半径为13R，收敛区间为 3,3 ，又当3x 时，级数11n n发散，当3x 时，级数11nn n收敛，故收敛域为 3,3 .（4）记 21(1),21n nn x u x n 因为2311221(1)23lim lim ,(1)21n n n n n n n nx u x n x x u x n由正项级数比值审敛法知，21x 时收敛，解得收敛区间为 1,1 .又1x 时，级数11(1)21nn n ∞收敛，当1x 时，111(1)21n n n ∞收敛，故收敛域为 1,1 .3.【解析】由阿贝尔定理知，幂级数1nnn a x的收敛半径为101R ，收敛区间为 1,1 .故幂级数 11nn n a x在111x ，即02x 时收敛，收敛区间为 0,2，收敛半径为1.4.【解析】由阿贝尔定理知，幂级数11nn n a x在121x ，即02x 内绝对收敛，在101x ，即02x x 或时发散，又幂级数在2x 处收敛，在0x 处发散，故收敛域为 0,2.【基础练习题56】求下列幂级数的和函数：（1）2(1)1212n n n n ∞；（2）1211(1)21n n n x n ∞；（3）1(1)nn n x ∞；（4）1(1)nn x n n ∞.【基础练习题56解析】（1）2(1)21()2n n nn u x x ，221()21lim lim ()2122n n n nu x xx n u x n ∞∞. 当212x 时，原级数收敛；当212x，因级数的一般项()n u x )u ∞，故级数发散. 因此原级数的收敛域为212x，即(.设和函数为()S x ，即2(1)121()2n nn n S x x∞，从0到x 积分并逐项积分：22121101002211()d 22221,(2212nxn n n n n n n x x S x x x x x xx x x∞∞∞上式两端对x 求导，得22222()2(2)x x S x x x，(x . （2）121(1)()21n n n u x x n ，221()21limlim()21n n n n u x n x x u x n ∞∞.当1x 时，级数收敛；当1x 时，因级数一般项()n u x 0 ()u ∞，故级数发散；当1x ，级数11(1)21n n n ∞与1(1)21nn n ∞是收敛的交错级数，因此原级数的收敛域为[1,1] .设和函数为()S x ，则1211(1)()21n n n S x x n ∞，且(0)0S .在(1,1) 内，上式两端对x 求导，得12222211()(1)(1)()1n n nnn n n n S x xxx x∞∞∞. 于是，201()()(0)()d d arctan 1xxS x S x S S x x x x x.又由于幂级数在1x 处收敛，且arctan x 在1x 处连续，故()arctan S x x ， [1,1]x .（3）令1x t ，幂级数1nn nt∞的收敛域为(1,1) . 记其和函数为()t ，即有1111()nn n n n n t nt t ntt t∞∞∞21(1)t t t t t， (1,1)t . 于是原级数的和函数21()(1)(2)x S x x x， (0,2)x .（4）()nn n u x a x ，1(1)n a n n. 由1limlim 12n n n n a n a n ∞∞，得幂级数的收敛半径1R . 当1x 时，级数11(1)n n n∞与1(1)(1)n n n n ∞均收敛，故幂级数的收敛域为[1,1] .设和函数为()S x ，即1()(1)nn x S x n n ∞.当0x ，(0)0S ；当01x 时，11()(1)n n x xS x n n ∞，上式两端对x 求导，得1[()]nn x xS x n∞，再求导，得111[()]1n n xS x x x∞. 注意到0[()]0x xS x ，上式两端从0到x 积分，得0d [()]ln(1)1xxxS x x x，再积分，得()ln(1)d (1)ln(1)xxS x x x x x x ，于是，1()ln(1)1xS x x x， (1,0)(0,1)x .由于幂级数在1x 处收敛，故和函数分别在1x 处左连续与右连续，于是111(1)lim ()lim ln(1)11x x xS s x x x.因此111ln(1),[1,0)(0,1),()0,0,1,1.x x x S x x x【基础练习题57】1. 将函数1()f x x展开成(3)x 的幂级数. 2. 将函数21()32f x x x 展开成(4)x 的幂级数.3. 将函数11()ln 41xf x x展开成x 的幂级数.4. 将函数12()arctan 12xf x x展开成x 的幂级数.【基础练习题57解析】1.【解析】利用011n n x x ∞，(1,1)x 得01111113333331133133,(1,1),333nn x x x x x x∞ 即101(1)(3)3n nn n x x ∞，(0,6)x . 2.【解析】2111132(1)(2)12x x x x x x ，其中0111114413(4)33313nn x x x x∞， 4(1,1)3x ，即(7,1)x ；0111114422(4)22213nn x x x x∞， 4(1,1)2x ，即(6,2)x . 于是2110001141411(4),32223323n nnn n n n n x x x x x∞∞∞(7,1)(6,2)(6,2)x .3.【解析】11111212111111()ln ln 1ln 14141111,11411141211,1.421221n n n n n nn n n n n n x f x x x x x x x x n n x n x x x n n其中4.【解析】因为2222212014()1212112122141411411214,,,22nn n n n n n f x x x x x x x x x其中其中故12021100()d arctan1214d π11214,.42122xx n n n n n n n n f x f f x xx xx x n其中又当12x 时，级数21211110001122142*********n n n n n n n n n n x n n n收敛，又12()arctan12x f x x 在12x 处连续，故展开范围可以包含端点12x ，即有 2110π11214,,.42122n n n n x f x x n【基础练习题58】1. 设 f x 是周期为1的周期函数，其在区间11,22上的定义为 11,0,211,0,2x x f x x x则 f x 的傅里叶级数在32x处收敛于 . 2. 将函数e ,0,()1,0x x f x x 展开成傅里叶级数.3. 将函数() (0)2xf x x展开成正弦级数. 4. 将函数2()2 (0)f x x x 分别展开成正弦级数和余弦级数.5. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）：（1）211()1 22f x x x；（2）21,0,()1,0 3.x x f x x【基础练习题58解析】1. 【解析】由迪利克雷收敛定理知，1122311110022222111002221111lim 1lim 10.2222x x S S f f f f x x【注】可画出 f x 的图形，辅助求解. 2.【解析】设()x 是()f x 经周期延拓而得的函数，它在(,) 内连续，x 是()x 的间断点. 又()x 满足收敛定理的条件，故在(,) 内它的傅里叶级数收敛于()f x .0011e e d d xa x x，211(1)e e cos d cos d n x n a nx x nx x n(1,2,)n ，01e sin d sin d xn b nx x nx x21[1(1)e ]1(1)1n n n n n(1,2,)n . 故2211e 11(1)e (1)e 1(1)()cos sin 11n n n n n n f x nx nx n n n∞(,)x .3.【解析】作(),(0,],()0,0,(),(,0).f x x x x f x x()x 是()f x 的奇延拓. 令()x 是()x 的周期延拓，则()x 满足收敛定理的条件，而在2 ()x k k Z 处间断，又在(0,] 上，()()x f x ，因此()x 的傅里叶级数在(0,] 上收敛于()f x .0 (0,1,2,)n a n ,200221sin d cos sin 222n x x b nx x nx nx n n1 (1,2,)n n，故11()sin n f x nx n∞，(0,]x . 4.【解析】（1）展开成正弦级数令222, [0,],()2, (,0).x x x x x是()f x 的奇延拓，又()x 是()x 的周期延拓函数，则()x 满足收敛定理的条件，而在(21) ()x k k Z 处间断，又在[0,] 上()()x f x ，故它的傅里叶级数在[0, 上收敛于()f x .0n a (0,1,2,)n ，202sin d n b x nx x2230422cos sin cos x x nx nx nx n n n2334(1)(1)22n n n n n(1,2,)n ，故2331422()(1)sin nn f x nx n n n，[0,)x .（2）展开成余弦函数令2()2x x ，(,]x 是()f x 的偶延拓，又()x 是()x 的周期延拓函数，则()x 满足收敛定理的条件且处处连续，又在[0,] 上()()x f x ，故它的傅里叶级数在[0,] 上收敛于()f x .0n b (0,1,2,)n ，220042d 3a x x， 22082cos d (1)n n a x nx x n(0,1,2,)n . 故2212(1)()8cos 3nn f x nx n∞，[0,]x . 5.【解析】（1）函数()f x 是半周期12l的偶函数，故21 1220011222200122223301220(1,2,),211(1)d ,1622(1)cos d 4(1)cos(2)d 11221224sin(2)cos(2)sin(2)248(1)(1,2,),n n n b n a x x n x a x x x n x x x x n x n x n x n n n n n因()f x 满足收敛定理的条件且处处连续，故有1221111(1)()cos(2)12n n f x n x n∞，(,)x ∞∞. （2）函数()f x 的半周期3l .303033011()d (21)d d 133a f x x x x x， 30333011()cos d (21)cos d cos d 33333n n x n x n x a f x x x x x 226[1(1)]n n， (1,2,)n ， 30333011()sin d (21)sin d sin d 33333n n x n x n x b f x x x x x16(1)n n， (1,2,)n . 因()f x 满足收敛定理的条件，其间断点为3(21)x k ，k Z ，故有1221166()[1(1)]cos (1)sin 233n n n n x n x f x n n∞， \{3(21)}x k k R Z .。

第七章-线性变换练习题参考答案

第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r .3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于1nii i a =∑ ，而全体特征值的积等于||A .4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 .5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ⨯同构.6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001011A 与1010101k B k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．10．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 0和1 ．11．线性空间3R 上的线性变换为A =),,(321x x x 132321(2,33,2)x x x x x x ++-，变换A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε下的矩阵为102033210⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.二、判断题1．设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,,s V ααα∈线性无关，则向量组12(),(),,()s σασασα也线性无关. （错） 2．设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0).V V σσ-=⊕ （错）未必有1()(0).V V σσ-=⊕3．在线性空间2R 中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是2R 的一个线性变换. （错）零向量的像是（1,0）4．若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1(0)σ-＝｛0｝. （正确）σ是可逆的当且仅当σ是双射.5．设σ为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W σ是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W σ为x 轴上的向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．（正确）7．已知1-=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关．（正确）1P AP B -=，P 的列向量为A 的特征向量.8．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关．（错）当σ可逆时无关，当σ不可逆时相关.9．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则})(|{)(1αησηασ==-是V 的子空间．（错）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T AT -成对角形.133313331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：先求矩阵A 的特征值与特征向量.2133313(7)(2)331E A λλλλλλ----=---=-+---. 矩阵A 的特征值为12,37,2λλ==-.当17λ=时，解方程组1231231236330,3630,3360.x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'ξ=.当2,32λ=-时，解方程组1231231233330,3330,3330.x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'ξξ=-=-.矩阵A 有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A 可对角化，取矩阵111110101T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭有1722T AT -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭2．在线性空间n P 中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ=（1）证明：σ是n P 的线性变换.（2）求()n P σ与1(0).σ-（1）证明：112222(,,,)(0,,,)n n n n x y x y x y x y x y σ+++=++ 221212(0,,,)(0,,,)(,,,)(,,,)n n n n x x y y x x x y y y σσ=+=+12122((,,,))(,,,)(0,,,)n n n k x x x kx kx kx kx kx σσ== 212(0,,,)(,,,)n n k x x k x x x σ==.所以σ是n P 的线性变换.（2）{}2()(0,,,)|,2,,.n n i P x x x P i n σ=∈=. {}111(0)(,0,,0)|.x x P σ-=∈3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=a A 33242111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00020002相似．（1）求b a ,的值；（2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．解：(1)由矩阵A 与B 相似可得，矩阵A 与B 有相同的迹与行列式，因此有45,46 6.b a b a +=+⎧⎨=-⎩ 所以5,6a b ==.(2)先求矩阵A 的特征值与特征向量.2111||242(6)(2)335E A λλλλλλ---=--=--- 特征值为1,232,6λλ==.当1,22λ=时，解方程组1231231230,2220,3330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'ξξ==.当16λ=时，解方程组12312312350,2220,330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'ξ=-.因此可取矩阵011102113P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，有B AP P =-1.4．令n n P ⨯表示数域P 上一切n 级方阵所成的向量空间，取定,n n A B P ⨯∈，对任意的n n P X ⨯∈，定义()''X A XA B XB σ=-. 证明σ是n n P ⨯上的一个线性变换.证明：对任意的,,n n X Y P k P ⨯∈∈，有()'()'()''''()(),X Y A X Y A B X Y BA XAB XB A YA B YB X Y σσσ+=+-+=-+-=+()'()'()('')()kX A kX A B kX B k A XA B XB k X σσ=-=-=.因此σ是n n P ⨯上的一个线性变换.。

统计学第七章、第八章课后题答案

统计学复习笔记第七章参数估计一、思考题1．解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。

估计量也是随机变量。

如样本均值，样本比例、样本方差等。

根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。

2．简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。

（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。

对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。

（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。

3．怎样理解置信区间在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。

置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。

有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。

因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。

在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。

这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。

4．解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。

也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。

不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。

5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。

1. 估计总体均值时样本量n 为2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为其中： 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=▪ 与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；▪ 与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；▪ 与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。

中级会计职称第7章非货币性资产课后习题及答案

中级会计职称《中级会计实务》第七章课后练习题及答案第七章非货币性资产交换一、单项选择题1．下列各项中不属于货币性资产的是（）。

A．现金B．应收账款C．准备持有至到期的债券投资D．长期股权投资答案：D解析：长期股权投资属于非货币性资产。

2．甲公司属于增值税一般纳税人，适用的增值税税率为17%，2011年1月1日以一批存货与乙公司的无形资产进行交换，该项交换具有商业实质。

甲公司该批存货的成本为30万元，当日的公允价值（计税价格）为50万元，无存货跌价准备。

乙公司无形资产的原价为500万元，已计提摊销400万元，无减值准备，当日的公允价值为58．5万元。

不考虑其他因素，双方均不改变资产的使用用途。

则乙公司应确认的营业外支出的金额是（）。

A．0B．50C．41．5D．100答案：C解析：换出无形资产的公允价值与账面价值之间的差额，应当计入营业外收入或营业外支出，应计入营业外支出的金额=（500-400）-58．5=41．5（万元）。

3．甲公司和乙公司均属于增值税一般纳税人，适用的增值税税率均为17%。

2011年2月20日，甲公司以一台机器设备与乙公司的无形资产进行交换。

甲公司该机器设备的原价为500万元，已计提折旧200万元，已计提减值准备60万元，当日的公允价值为300万元。

乙公司无形资产的账面原价为100万元，已累计摊销50万元，当日的公允价值为300万元。

乙公司另支付补价51万元。

该项交换具有商业实质，不考虑其他因素，则乙公司换入机器设备的入账价值是（）万元。

A．300B．351C．50D．101答案：A解析：乙公司换入机器设备的入账价值=换出无形资产的公允价值+支付的补价-可以抵扣的进项税额=300+51-300×17%=300（万元），选项A正确。

4．甲公司属于增值税一般纳税人，适用的增值税税率为17%。

2011年3月2日，甲公司以一批存货换入乙公司持有的丙公司的长期股权投资和乙公司生产的产品。

《宏观经济学》课后练习题参考答案7

第七章总需求（Ⅰ）一、选择题二、名词解释1、IS-LM 模型：IS —LM 模型是描述产品市场和货币市场之间相互联系的理论结构。

在产品市场上，国民收入取决于消费、投资、政府支出和净出口加起来的总支出或者说总需求水平，而总需求尤其是投资需求要受到利率影响，利率则由货币市场供求情况决定，就是说，货币市场要影响产品市场；另一方面，产品市场上所决定的国民收入又会影响货币需求，从而影响利率，这又是产品市场对货币市场的影响。

可见，产品市场和货币市场是相互联系、相互作用的，而收入和利率也只有在这种相互联系、相互作用中才能决定。

IS 曲线是描述产品市场达到均衡，即I=S 时，国民收入与利率之间存在着反向变动关系的曲线。

LM 曲线是描述货币市场达到均衡，即L=M/P 时，国民收入和利率之间存在着同向变动关系的曲线。

把IS 曲线和LM 曲线放在同一个图上，就可以得出说明两个市场同时均衡时，国民收入与利息率决定的IS-LM 模型。

2、凯恩斯交叉图：凯恩斯主义交叉图是由表示计划支出的曲线和表示实际支出的曲线构成的图形。

其中计划支出（E ）是内生变量收入（Y ）和外生变量计划投资水平（I ）及财政政策变量（G 和T ）的函数，用式子表示为：E=C （Y-T ）+I +G 。

用实际支出等于计划支出的曲线代表经济所有的均衡点。

如图7-2-1所示，图中两条曲线的交点表示当前经济的均衡。

凯恩期交叉图的均衡在A 点，这时实际支出等于计划支出，决定了均衡收入。

G 与T 为既定时，收入Y 是如何决定的，以及当这些外生变量中的一种变量改变时，收入Y 将如何变动。

通过凯恩斯主义交叉图和投资函数可以推导出IS 曲线。

3、税收乘数：税收乘数指收入变动（△Y ）对引起这种变动的税收变动（用△T 表示）的比率，此时指的是税收总量的变化而不是税率的变化。

税收乘数用△Y/△T 表示，△Y/△T=－MPC/（1-MPC ），其中MPC 是边际消费倾向。

《基础会计》(简明版)(第3版)课后习题答案 07第七章应用练习题参考答案与指导

第七章成本计算方法及其应用练习题参考答案与指导一、判断题答题要求：根据各题给出的说法判断正误，你认为正确的，在题后的括号中打“√”，你认为错误的打“×”。

1.成本计算是计算确定各计算对象总成本的一种专门方法。

( × )解题指导：成本计算不仅要计算各计算对象的总成本，还应计算其单位成本。

2.成本计算对象是指具体负担相应费用的材料和产品等。

( √ )解题指导：成本计算就是围绕材料和产品等具体对象而进行的，发生的各种支出相应地也由这些具体对象承担。

3.与材料采购有关的费用都要计入材料采购的成本。

( × )解题指导：根据重要性原理，有一部分与材料采购有关的费用，如材料采购人员的差旅费、发生的市内零星运费等，可不计入材料采购成本，而计入企业的管理费用。

4.将有关费用计入成本的方法有直接计入和间接计入两种。

( √ )解题指导：这是两种将有关费用计入成本计算对象成本的基本方法。

其中，直接计入的部分是指由某一成本计算对象独立承担的费用；间接计入的部分是指由多个成本计算对象共同承担的费用。

5.企业只能以月份为单位作为成本计算的周期。

( × )解题指导：在一般情况下，产品生产企业是以月份为单位作为成本计算周期的。

某些企业对于生产周期长的产品，也可以该产品的生产周期作为成本计算期。

6.材料采购过程中发生的共同性费用应分配计入材料采购成本。

( √ )解题指导：共同性费用往往是为同时购入多种材料而发生的，应分配计入材料采购成本。

7.产品生产过程中发生的制造费用应直接计入产品的生产成本。

( × )解题指导：在同时生产多种产品的情况下，制造费用也是为多种产品的生产而共同发生的，一般应分配计入产品生产成本，而不能直接计入产品的生产成本。

当然，如果企业只生产一种产品，那么发生的制造费用就应全部由该产品承担。

8.“完工产品成本计算表”是会计上的重要原始凭证。

( √ )解题指导：“完工产品成本计算表”是计算完工产品成本的专用表格，在会计上可以根据该表的计算结果进行完工产品验收入库的账务处理。

第七章基础会计学课后练习题参考答案

第七章会计凭证一、填空题1.会计凭证按填制程序和用途的不同，可分为（原始凭证）和（记账凭证）两种。

2.原始凭证按其来源不同，可分为（自制原始凭证）和（外来原始凭证）两种；按填制手续和方法不同，可分为（一次原始凭证）、（累计原始凭证）和（汇总原始凭证）三种。

3.由本单位内部经办业务的部门和人员自行填制的原始凭证称为（自制原始凭证）。

4.（外来）原始凭证是在经济业务完成时，从其他单位取得的原始凭证。

5.在一定时期内连续记录若干同类经济业务的自制原始凭证称为（累计原始凭证）。

6.根据许多相同的原始凭证或会计核算资料汇总填制的原始凭证，称为（汇总原始凭证）。

7.记账凭证是会计人员根据审核无误的（原始凭证）或（原始凭证汇总表）填制的，用以确定（会计分录），作为记账依据的会计凭证。

8.记账凭证按其反映的经济业务不同，可分为（收款凭证）、（付款凭证）和（转账凭证）三种；按其填制方法不同，可分为（单式凭证）和（复式凭证）两种。

9.（收款凭证）是用来记录现金和银行存款收入业务的记账凭证。

10.（转账凭证）是用来记录现金、银行存款收付业务以外的其他业务的记账凭证。

11.为了避免过账重复，对于将现金存入银行或从银行提取现金的业务，可以只编（付款凭证）。

12.付款凭证的左上角“贷方科目”应填列（银行存款）或（库存现金）科目。

13.在实际工作中，会计分录是通过填制（原始凭证）来完成的。

14.会计凭证只有经过有关人员（签章）后才能作为登记（账簿）的依据。

15.在一张记账凭证上仅登记一个会计科目，如涉及两个或两个以上的科目，则分别记入两张或两张以上的记账凭证。

这种记账凭证称为（单式凭证）。

16.在一张记账凭证上至少登记两个先后对应的科目，这样的记账凭证称为（复式凭证）。

17.（汇总原始凭证）是将许多同类性质的记账凭证，逐日或定期进行整理、归类、汇总编制的原始凭证。

18.对原始凭证的审核，从（合规性）和（技术性）方面来进行。

19.原始凭证填制的基本要求是（填制及时，真实可靠）、（内容完整，手续完备）、（书写清楚，更正规范）。

第七章练习题参考答案

V1 V3 V6
7. 对下图所示的有向图
(1) 画出它的邻接表 (2) 根据邻接表写出其拓扑排序序列
解：（1）邻接表为
0
2
5∧
2
3
4∧
2 3∧
4∧
1
2
3
6∧
1
4∧
（2）由邻接表可得拓朴排序序列：
1 5 2 3 64
8.已知n个顶点的有向图用邻接矩阵表示，编写函数，计算每对顶点之间的最短路径。
4 18 ∧
2
1 12
32
5 22 ∧
3
1 16
22
44∧
4
1 18
34
5 10 ∧
5
2 22
4 10 ∧
解：（1） V1
12 V2
16 2
18
4 V3 22
V4
10 V5
（2）深度优先遍历的结点序列：v1,v2,v3,v4,v5
广度优先搜索的结点序列：v1,v2,v3,v4,v5
（3）最小生成树
CD CA CAB
CD CA CAB
CD CA CABΒιβλιοθήκη CD3DB
DB
DB DBC
DBCA DB DBC
DBCA DB DBC
10.对于如图所示的AOE网，求出各活动可能的最早开始时间和允许的最晚开始时间，哪些是关键活动？
a1=4
v2
v1
a3=2
a2=3
v3
a5=6 v4
a4=4
解：
顶点 Ve Vl V1 0 0 V2 4 4 V3 6 6 v4 10 10
if(length[i][k]+length[k][j]<length[i][j]) { length[i][j]=length[i][k]+length[k][j];

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第七章证券评价
一、单项选择题
1．已知某证券的系数等于1，则表明该证券( C )。

A．无风险B．有非常低的风险
C．与金融市场所有证券平均风险一致D．比金融市场所有证券平均风险大1倍
2．某种股票为固定成长股票，年增长率为5％，预期一年后的股利为6元，现行国库券的收益率为11％，平均风险股票的必要收益率等于16％，而该股票的贝他系数为1.2，那么，该股票的价值为( A )。

A．50B．33C．45D．30
3．投资短期证券的投资者最关心的是( D)。

A．发行公司的经营理财状况的变动
趋势
B．证券市场的现时指数C．发行公司当期可分派的收益D．证券市场价格的变动
4．证券投资者的购买证券时，可以接受的最高价格是( C )。

A．出卖市价B．风险价值
C．证券价值D．票面价值
5．一般而言，金融投资不是( B )。

A．对外投资B．直接投资
C．证券投资D．风险投资
6．非系统风险( B )。

B．归因于某一投资企业特有的价格因素或事件
C．不能通过投资组合得以分散D．通常以系数进行衡量
7．下列说法中正确的是( D )。

A．国库券没有利率风险B．公司债券只有违约风险
D．国库券没有违约风险，但有利率C．国库券和公司债券均有违约风险
风险
8．如果组合中包括了全部股票，则投资人( A )。

A．只承担市场风险B．只承担特有风险
C．只承担非系统风险D．不承担系统风险
9．债券的价值有两部分构成，一是各期利息的现值，二是( C )的现值。

A．票面利率B．购入价格
C．票面价值D．市场价格
10．A公司发行面值为1000元，票面利率10％，期限五年，且到期一次还本付息(单利计息)的债券，发行价格为1050元，B投资者有能力投资，但想获得8％以上的投资报酬率，则B投资者投资该债券的投资报酬率为( B)。

A．8％B．7.4％C．8.25％D．10％11．某企业于1996年4月1日以950元购得面额为1000元的新发行债券，票面利率12％，每年付息一次，到期还本，该公司若持有该债券至到期日，其到期收益率为( A )。

A．高于12％B．小于12％C．等于12％D．难以确定12．非系统风险( B )。

B．归因于某一投资企业特有的价格因素或事件
C．不能通过投资组合得以分散D．通常是以系数进行衡量
二、多项选择题
1．下列关于贝他系数的表述中正确的有( ABCD )。

A．贝他系数越大，说明风险越大
B．某股票的贝他系数等于1，则它的风险与整个市场的平均风险相同
C．某股票的贝他系数等于2，则它的风险程度是股票市场的平均风险的2倍
D．某股票的贝他系数是0.5，则它的风险程度是股票市场的平均风险的一半2．相对股票投资而言，债券投资的优点有( AB )。

A．本金安全性高B．收入稳定性强
C．购买力风险低D．拥有管理权
3．下列哪些因素变动会影响债券到期收益率( ABD )。

A．债券面值B．票面利率
C．市场利率D．债券购买价格
4．关于股票或股票组合的贝他系数，下列说法中正确的是( ABCD )。

A．股票的贝他系数反映个别股票相对于平均风险股票的变异程度
B．股票组合的贝他系数反映股票投资组合相对于平均风险股票的变异程度C．股票组合的贝他系数是构成组合的个股贝他系数的加权平均数
D．股票的贝他系数衡量个别股票的系统风险
E．股票的贝他系数衡量个别股票的非系统风险
5．证券投资的收益包括( ABD )
A．资本利得B．股利C．出售售价D．债券利息6．按照资本资产定价模式，影响特定股票预期收益率的因素有( ABC )。

A．无风险的收益率B．平均风险股票的必要收益率C．特定股票的贝他系数D．经营杠杆系数
E．财务杠杆系数
7．下列哪种情况引起的风险属于可分散风险( BC )。

A．银行调整利率水平B．公司劳资关系紧张
C．公司诉讼失败D．市场呈现疲软现象
8．与股票内在价值呈反方向变化的因素有( C D )。

A．股利年增长率B．年股利
C．预期的报酬率D．系数
9．股票价格的影响因素有( ABCD )。

A．预期股利报酬B．金融市场利率
C．宏观经济环境D．投资者心理
10．债券投资与股票投资相比( BDE )。

A．收益稳定性强，收益较高B．投资风险较小
C．购买力风险低D．没有经营控制权
E．求偿权居前
三、判断题
1．当票面利率大于市场利率时，债券发行时的价格大于债券的面值。

( T )
2．股票投资的市场风险是无法避免的，不能用多角化投资来回避，而只能靠更高的报酬率来补偿。

( T )
3．股票价格主要由预期股利和当时的市场利率决定，此外股票价格还受整个经济环境变化和投资者心理等复杂因素的影响。

( T )
4．一般而言，银行利率下降，证券价格下降，银行利率上升，证券价格上升。

( F )
5．如果债券不是分期付息，而是到期时一次还本付息，那么平价发行债券，其到期收益率与票面利率相同。

( F )
6．如果不考虑影响股价的其它因素，零成长股票的价值与市场利率成反比，与预期股利成正比。

( T )
四、计算题
1．ABC 企业计划利用一笔长期资金投资购买股票。

现有甲公司股票和乙公司股票可供选择，已知甲公司股票现行市价为每股10元，最近一年每股股利为0.3元，预计以后每年以3％的增长率增长。

乙公司股票现行市价为每股4元，最近一年每股股利为0.4元，股利分配政策将一贯坚持固定股利政策。

ABC 企业所要求的投资必要报酬率为8％。

要求： (1)利用股票估价模型，分别计算甲、乙公司股票价值。

(2)代ABC 企业作出股票投资决策。

（1）计算甲、乙公司股票价值甲公司股票价值%
3%8%)31(3.0)(-+⨯=
M V =6.18（元）乙公司股票价值)(N V =0.40/8%=5（元）
（2）分析与决策
由于甲公司股票现行市价为10元，高于其投资价值6.18元，故甲公司股票目前
不宜投资购买。

乙公司股票现行市价为4元，低于其投资价值5元，故乙公司股票值得投资，ABC企业应购买乙公司股票。

2．某公司在1998年1月1日平价发行新债券，每张面值1000元，票面利率10％，5年到期，每年12月31日付息。

(计算过程中至少保留小数点后4位，计算结果取整)要求：
(1)1998年1月1日到期收益率是多少?
(2)假定2002年1月1日的市场利率下降到8％，那么此时债券的价值是多少?
(3)假定2002年1月1日的市价为900元，此时购买该债券的到期收益率是多少?
(4)假定2000年1月1日的市场利率为12％，债券市价为950元，你是否购买该债券?
（1）债券到期收益率是指购进债券后，一直持有该债券至到期日可获取的收益率。

平价购入，到期收益率与票面利率相同，即为10%。

（2）V=[(100/1.08)]+[(1000/1.08)]=1019（元）
（3）900=[100/(1+I)]+[1000/(1+I)]; i=22%
（4）V=100(P/A,12%,3)+1,000(P/F,12%,3)=951.98
3．ABC公司最近刚刚发放的股利为2元／股，预计A公司近两年股利稳定，但从第三年起估计将以2％的速度递减，，若此时无风险报酬率为6％，整个股票市场的平均收益率为10%，ABC公司股票的贝他系数为2，若公司目前的股价为11元，该股票应否购买?
K=6%+2×（10%-6%）=14%
V=2×(P/A,14%,2)+[2×(1-2%)/(14%+2%)]×(P/S,14%,2) =2×1.6467+9.4264=12.72
因为股票价值高于目前的买价，所以可以投资。