教程相关分析与回归模型的建立与分析
相关分析与回归模型课件
• 解 首先做出的散点图，
从图上我们看
到。这些点大致分别落在一条直线附近，说明月平均广告支出 x 与 月平均销售收入 y 之间具有明显的线性关系。
• 月平均广告支出 x 与月平均销售收入 y 的相关系数为
=
计算结果表明月平均广告支出与月平均销售收入之间存在高度正相
关关系。
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14
• 例2 根据下表的资料，计算家庭月消费支出与家庭月收 入之间的相关系数。
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8
图4 不相关
• 图4中的散点杂乱无章地分布在一个区域中，表明两个变
量之间不相关。
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9
• 三、相关关系的测度
• （一）简单相关系数
ห้องสมุดไป่ตู้
• 相关系数是对变量之间相关关系密切程度的度量，对 两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数。
•设
是
系数的计算公式为
的 n 组观测值，简单相关
相关分析和回归模型
第一节 相关分析 第二节 一元回归分析 第三节 多元线性回归分析 第四节 可线性化的曲线回归 附录：用Excel计算相关系数和进行回归分析
第一节 相关分析
• 相关分析的主要目的是对现象之间的相关关 系的密切程度给出一个数的度量，相关系数和等 级相关系数就是测定变量间相关关系的指标。
• 这里 x 与 y表现为一种线性函数关系。微积分学是研究 函数关系的数学学科。
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3
图1 线性函数
的图形
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4
统计相关关系是变量之间存在的不完全确定性的关系。 在实际问题中，许多变量之间的关系并不是完全确定性 的，例如居民家庭消费与居民家庭收入这两个变量的关 系就不是完全确定的。收入水平相同的家庭，它们的消 费额往往不同；消费额相同的家庭，它们的收入也可能 不同。对现象之间相关关系密切程度的研究，称为
相关和回归的数学模型区别和联系
相关和回归的数学模型区别和联系在统计学和数据分析领域，相关和回归是两种常用的数学模型，用以揭示变量之间的关系。
本文将详细阐述相关和回归的数学模型的区别与联系，帮助读者更好地理解这两种模型的应用场景和特点。
一、相关和回归的数学模型概述1.相关分析相关分析是指衡量两个变量之间线性关系紧密程度的统计分析方法。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
相关分析主要用于描述两个变量之间的相关性，但不能确定变量间的因果关系。
2.回归分析回归分析是指研究一个或多个自变量（解释变量）与一个因变量（响应变量）之间线性或非线性关系的方法。
根据自变量的个数，回归分析可分为一元回归和多元回归。
回归分析可以用于预测因变量的值，并分析自变量对因变量的影响程度。
二、相关和回归的数学模型区别1.目的性区别相关分析的目的是衡量两个变量之间的线性关系程度，但不能判断因果关系；回归分析的目的则是建立变量间的预测模型，分析自变量对因变量的影响程度，并预测因变量的值。
2.数学表达区别相关分析通常使用相关系数（如皮尔逊相关系数）来表示两个变量之间的线性关系程度；回归分析则使用回归方程（如线性回归方程）来描述自变量与因变量之间的关系。
3.结果解释区别相关分析的结果是一个介于-1和1之间的数值，表示两个变量之间的线性相关程度；回归分析的结果是一组回归系数，表示自变量对因变量的影响程度。
三、相关和回归的数学模型联系1.研究对象相同相关分析和回归分析都是研究两个或多个变量之间关系的统计分析方法，可以揭示变量间的相互作用。
2.数据类型相似相关分析和回归分析通常应用于数值型数据，且都需要满足一定的数据分布特征，如正态分布、线性关系等。
3.相互补充在实际应用中，相关分析和回归分析可以相互补充。
通过相关分析，我们可以初步判断变量间是否存在线性关系，进而决定是否采用回归分析建立预测模型。
四、总结相关和回归的数学模型在研究变量关系方面有着广泛的应用。
项目十相关与回归分析--相关关系的测定及回归模型的建立课件.ppt
※ 回归系数b和相关系数r不但含义不同，取值
也不同，但符号必须是
x
r b 一致的。相关系数与
回归系数之间的关系：
y
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（一）一元回归分析（续2）
2.二次曲线回归分析 将自变量的观察值按由小到大依次排列，然后计算自变量的 一次差和因变量的二次差，若自变量的一次差和因变量的二次 差分别接近一个常数，则现象之间的关系属二次曲线形式：
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★ 直线相关系数的计算实例
相关系数计算表
x y 企业 月产量 生产费用
2
2
编号 （千吨）x （万元）y
xy y c ( y yc )2
1
1.2
2
2.0
3
3.1
4
3.8
5
5.1
6
6.1
7
7.2
8
8.0
62
1.44 3844 74.4 66.8
23.04
86
4.00 7396 172.0 77.13
相关分析的作用：通过相关分析，可以确定现象 相关关系的形式、方向和程度；为回归分析奠定 基础；为回归预测提供参考数据。
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※ 相关分析方法之相关表
相关表是根据相关变量的原始数据，按自变量和因变量的 对应关系平行排列在一张表格上而形成的统计表。它是相 关分析的一种最简单的方法，可以粗略地反映变量之间相 关关系的形式和密切程度。在相关表中，自变量数值按从 小到大顺序排列。
★ 曲线相关系数
曲线相关系数 又称为相关指 数，是测定两 变量之间曲线 相关密切程度 的统计指标。
R
2 yc
2 y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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线性回归模型的建模与分析方法
线性回归模型的建模与分析方法线性回归模型是一种常用的统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在本文中，我们将探讨线性回归模型的建模与分析方法，以及如何使用这些方法来解决实际问题。
一、线性回归模型的基本原理线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以通过自变量的线性组合来预测。
其基本形式可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。
二、线性回归模型的建模步骤1. 收集数据：首先需要收集自变量和因变量的相关数据，确保数据的准确性和完整性。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等预处理步骤，以确保数据的可靠性。
3. 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适合的线性回归模型，如简单线性回归模型、多元线性回归模型等。
4. 模型拟合：使用最小二乘法等方法，拟合回归模型，得到回归系数的估计值。
5. 模型评估：通过统计指标如R方值、调整R方值、残差分析等，评估模型的拟合优度和预测能力。
6. 模型应用：利用已建立的模型进行预测、推断或决策，为实际问题提供解决方案。
三、线性回归模型的分析方法1. 回归系数的显著性检验：通过假设检验，判断回归系数是否显著不为零，进一步判断自变量对因变量的影响是否显著。
2. 多重共线性检验：通过计算自变量之间的相关系数矩阵，判断是否存在多重共线性问题。
若存在多重共线性，需要进行相应处理，如剔除相关性较高的自变量。
3. 残差分析：通过观察残差的分布情况，判断模型是否符合线性回归的基本假设，如误差项的独立性、正态性和方差齐性等。
4. 模型诊断：通过观察残差图、QQ图、杠杆值等，判断是否存在异常值、离群点或高杠杆观测点，并采取相应措施进行修正。
5. 模型优化：根据模型评估结果，对模型进行优化，如引入交互项、非线性变换等，以提高模型的拟合效果和预测准确性。
回归模型的建立和分析
残差 图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高
残差平 方和
n
残差平方和为__i＝_1__(y_i_－__^y_)2，残差平方和_越__小__，
模型拟合效果越好
相关指 数R2
n
yi－^yi2
i＝1
R2 ＝ 1 －
，R2 表示_解__释__变量对
x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
求得回归直线方程为^z ＝0.272x－3.849，
∴^y ＝e0.272x－3.849.
(8 分)
残差
yi
7
11
21
24
66
115 325
^yi 6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应 残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在 异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
为了研究某种当细菌堂随诊时学间x变化，繁殖的个数，收
集数据如下：
天数x/ 1 2
天
繁殖个数 6 12
[规范解答] (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y
不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布
在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1、c2为待
定的参数．
(4分)
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则 有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，(a＝ln c1，b＝ c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间 的非线性回归方程了，数据可以转化为：
相关分析与回归分析
什么是回归分析？
(regression analysis)
1. 重点考察考察一个特定的变量(因变量)， 而把其他变量(自变量)看作是影响这一变 量的因素，并通过适当的数学模型将变量 间的关系表达出来
当假定其他变量不变，其中两个变量的相关 关系。
厦门大学嘉庚学院
用散点图观察变量之间的相关关系
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
相关系数
●总体相关系数
对于所研究的总体，表示两个相互联系变量相关 程度
的总体相关系数为：
总体相关系数反映总体两个变量X和Y的线性相关 程度。 特点：对于特定的总体来说，X和Y的数值是既定 的，总体相关系数是客观存在的特定数值。
2. 利用样本数据建立模型的估计方程 3. 对模型进行显著性检验 4. 进而通过一个或几个自变量的取值来估计
或预测因变量的取值
2008年8月
回归模型的类型
回归模型
一元回归
多元回归
线性回归 非线性回归 线性回归 非线性回归
2008年8月
一元线性回归
1. 涉及一个自变量的回归 2. 因变量y与自变量x之间为线性关系
厦门大学嘉庚学院
相关分析
一、变量间的相互关系
◆确定性的函数关系 Y=f (X)
◆不确定性的统计关系—相关关系
Y= f（X）+u (u为随机变量)
◆没有关系
35 30
变量间关系的图形描述 坐标图(散点图)
Y
25
第八章相关分析与回归分析
x
2 ( x x )
n
、x的标准差 y
2 ( y y )
n
2 2
、y标准差
( x x)( y y ) ( x x)( y y ) 即r 或r n ( x x) ( y y )
x y
《统计基础》
协方差的意义
①、显示x与y是正相关还是负相关 协方差为负，是负相关， 协方差为正，是正相关。 ②、协方差显示x与y相关程度的大小 当相关点在四个象限呈散乱的分布，相关程度很低 当相关点分布在x与y的平均值线上时，表示不相关 当相关点靠近一直线，表示相关关系密切 当相关点全部落在一直线，表示完全相关
二、相关分析和回归分析的区别与联系
《统计基础》
三、简单线性回归方程：
1、简单线性方程式：yc a bx 2、变量y不仅受x的影响，还受其他随机因素的影 响，因此通过相关图，可以直观地发现各个相关点 并不都落在一条直线上，而是在直线上下波动，只 呈现线性相关的趋势。 3、我们试图在相关图的散点中引出一条模拟的回 归直线，以表明两变量x与y的关系，称为估计回归 线，回归方程： yc a bx yc 为y的估计值 a—纵轴截距 b—回归系数,代表自变量增加一个单位时因变量的 平均增加值。
《统计基础》
4、计算a、b值
当实际值y与估计值 yc 的离差平方和为最小值时， 则此直线为最优的理想直线。 即： Q y y 2 y a bx2 最小值
得方程： na b x y .......... ....... a x b x xy
《统计基础》
6、回归分析和相关分析的特点：
回归分析是研究两变量之间的因果关系，所以 必须通过定性分析来确定哪个是自变量，哪个是因 变量。 回归分析是研究两变量具有因果关系的数学形式 回归分析中回归系数有2个（区分自变量、因变量） 相关分析中相关系数有1个（不区分自变量、因变 量）对于回归方程进行预测估计时，只能根据x估 计 yc ，不能根据 yc 估计x
线性回归模型的构建与分析
线性回归模型的构建与分析线性回归是统计学中一种常见的建模方法，用于研究自变量与因变量之间的线性关系。
在实际应用中，线性回归模型被广泛用于预测、分析和建模。
本文将介绍线性回归模型的构建与分析过程，包括数据准备、模型建立、参数估计、模型评估等内容。
一、数据准备在构建线性回归模型之前，首先需要准备数据集。
数据集应包括自变量（特征）和因变量（目标变量），并且需要保证数据的质量和完整性。
通常情况下，我们会对数据进行清洗、缺失值处理、特征选择等操作，以确保数据的可靠性和有效性。
二、模型建立线性回归模型的数学表达形式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_nX_n +\varepsilon$$其中，$Y$为因变量，$\beta_0$为截距，$\beta_1, \beta_2, ...,\beta_n$为自变量的系数，$X_1, X_2, ..., X_n$为自变量，$\varepsilon$为误差项。
在建立模型时，需要根据实际问题选择合适的自变量，并利用最小二乘法等方法估计模型参数。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来求解模型参数。
三、参数估计参数估计是线性回归模型中的关键步骤，它决定了模型的准确性和可靠性。
在参数估计过程中，我们需要计算各个自变量的系数$\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$，以及截距$\beta_0$。
这些参数的估计值将决定模型的形状和拟合程度。
通过最小二乘法可以求解出参数的闭式解，也可以利用梯度下降等迭代方法进行参数估计。
在实际应用中，通常会结合交叉验证等技术来选择最优的模型参数，以提高模型的泛化能力。
四、模型评估模型评估是判断线性回归模型好坏的重要标准。
常用的模型评估指标包括均方误差（Mean Squared Error，MSE）、决定系数（Coefficient of Determination，$R^2$）、残差分析等。
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第三章相关分析与回归模型的建立与分析相关分析和回归分析是统计分析方法中最重要内容之一，是多元统计分析方法的基础。
相关分析和回归分析主要用于研究和分析变量之间的相关关系，在变量之间寻求合适的函数关系式，特别是线性表达式。
◆本章主要内容：1、对变量之间的相关关系进行分析（Correlate）。
其中包括简单相关分析（Bivariate）和偏相关分析（Partial）。
2、建立因变量和自变量之间回归模型（Regression），其中包括线性回归分析（Linear）和曲线估计（Curve Estimation）。
◆数据条件：参与分析的变量数据是数值型变量或有序变量。
§3.1 相关分析在SPSS中，可以通过Analyze菜单进行相关分析（Correlate），Correlate菜单如图3.1所示。
图3.1 Correlate相关分析菜单§3.1.1简单相关分析两个变量之间的相关关系称简单相关关系。
有两种方法可以反映简单相关关系。
一是通过散点图直观地显示变量之间关系，二是通过相关系数准确地反映两变量的关系程度。
§3.1.1.1 散点图SPSS软件的绘图命令集中在Graphs菜单。
下面通过例题来介绍具体操作方法。
例1：数据库SY-8中的变量X表示山东省人均国内生产总值，Y表示山东省城镇居民的消费额（资料来源：山东省2003年统计年鉴），现画出散点图来观察两个变量的关联程度。
具体操作步骤如下：首先打开数据SY-8，然后单击Graphs Scatter,打开Scatter plot散点图对话框，如图3.2所示。
然后选择需要的散点图，图中的四个选项依次是：Simple 简单散点图Matrix矩阵散点图Overlay 重叠散点图3-D三维散点图图3.2 散点图对话框如果只考虑两个变量，可选择简单的散点图Simple，然后点击Define，打开SimpleScatterplot对话框,如图3.3所示。
图3.3 SimpleScatterplot对话框选择变量分别进入X轴和Y轴，点击OK后就可以得到散点图，见图3.4。
从下面输出的人均国内生产总值与城镇居民消费额的散点图3.4中可以粗略地看出，两个变量之间有强正相关的线性关系。
人均国内生产总值（元）12000100008000600040002000城镇居民（元）80007000600050004000300020001000图3.4散点图§3.1.1.2 简单相关分析操作简单相关分析是指两个变量之间的相关分析，主要是指对两变量之间的线性相关程度作出定量分析。
仍然数据SY-8为例，说明居民收入与某商品的销售量两变量的相关分析过程，具体操作如下：1、打开数据库SY-8后，单击Analyze → Correlate → Bivariate 打开Bivariate 对话框，见图3.5所示。
图3.5 Bivariate ：Correlation 两变量相关分析对话框2、从左边的变量框中选择需要考察的两个变量进入Variables 框内，从Correlation Coefficients 栏内选择相关系数的种类，有Pearson 相关系数，Kendall ′s 一致性系数和Spearman 等级相关系数。
从检验栏内选择检验方式，有双尾检验和单尾检验两种。
3、单击Options按纽，选择输出项和缺失值的处理方式。
本例中选择输出基本统计描述，见图3.6所示。
图3.6 Bivariate Correlation：Options对话框4、单击OK，可以得到相关分析的结果。
从表3.1（a）可以得到两个变量的基本统计描述，从表(b)中可以得到相关系数及对相关系数的检验结果，由于尾概率就小于0.01，故说明两变量之间存在着显著的线性相关性。
表3.1（a）基本统计描述Descriptive StatisticsMean Std. Deviation N城镇居民消费额（元）2582.2800 2335.96384 25人均国内生产总值（元）3689.8800 3701.50798 25表3.1（b）相关系数检验Correlations城镇居民消费额（元）人均国内生产总值（元）城镇居民消费额（元）Pearson Correlation 1 .998(**)Sig. (2-tailed) . .000N 25 25人均国内生产总值（元）Pearson Correlation .998(**) 1Sig. (2-tailed) .000 .N 25 25从表3.1（b）中可以看到两个变量相关性分析的结果：相关系数是0.998，相关程度非常高，且假设检验的P值远远地小于0.05，可以认为居民收入与某产品的销量存在线性正相关关系。
§3.1.2偏相关分析简单相关关系只反映两个变量之间的关系，但如果因变量受到多个因素的影响时，因变量与某一自变量之间的简单相关关系显然受到其它相关因素的影响，不能真实地反映二者之间的关系，所以需要考察在其它因素的影响剔除后二者之间的相关程度，即偏相关分析。
例2：为了考察火柴销售量的影响因素，选择煤气户数、卷烟销量、蚊香销量、打火石销量作为影响因素，得数据表3.2。
试求火柴销售量与煤气户数的偏相关系数.表3.2 火柴销量及影响因素表（见参考文献{1}）年份火柴销售量（万件）煤气户数（万户）卷烟销量（百箱）蚊香销量（十万盒）打火石销量（百万粒）6823.6925.6823.610.1 4.186924.125.7723.4213.31 2.437022.7425.8822.099.49 6.57117.8427.4321.4311.0925.787218.2729.9524.9614.4828.167320.2933.5328.3716.9724.267422.6137.3142.5720.1630.187526.7141.1645.1626.3917.087631.1945.7352.4627.047.397730.550.5945.323.08 3.887829.6358.8246.824.4610.537929.6965.2851.1133.8220.098029.2571.2553.2933.5721.228131.0573.3755.3639.5912.638232.2876.685448.4911.17解：根据数据表建立数据文件SY-9，求解火柴销售量与煤气户数的偏相关系数具体操作如下：1、首先打开数据文件SY-9，单击Analyze →Correlate→Partial，打开Partial Correlations对话框，见图3.7所示。
图 3.7 Partial Correlations2、从左边框内选择要考察的两个变量进入Variables框内，其它客观存在的变量作为控制变量进入Controlling for 框内，如本例中考察煤气户数与火柴销量的偏相关系数进入Variables框内，其它相关变量（除年份外）进入Controlling for 框内。
3、单击Options按纽，打开Options 对话框如图3.8所示。
从 Statistics 栏中选择输出项，有平均值及标准差，Zero-order correlations 表示在输出偏相关系数的同时输出变量间的简单相关系数。
另外还有缺失值的处理方式。
本例中选择简单相关系数。
图3.8 Partial Correlate: Options对话框4、选择结束后，单击OK得输出结果，如表3.3所示。
表3.3 偏相关分析输出表- - - P A R T I A L C O R R E L A T I O N C O E F F I C I E N T S - - -Zero Order Partials 简单相关火柴销量煤气户数打火石量蚊香销量卷烟销量火柴销量 1.0000 .8260 -.4902 .8083 .8788 (简单相关系数)( 0) ( 13) ( 13) ( 13) ( 13) （自由度）P= . P= .000 P= .064 P= .000 P= .000 （P值）煤气户数.8260 1.0000 -.0230 .9489 .9029( 13) ( 0) ( 13) ( 13) ( 13)P= .000 P= . P= .935 P= .000 P= .000打火石量 -.4902 -.0230 1.0000 -.0070 -.0295( 13) ( 13) ( 0) ( 13) ( 13)P= .064 P= .935 P= . P= .980 P= .917蚊香销量 .8083 .9489 -.0070 1.0000 .9030( 13) ( 13) ( 13) ( 0) ( 13)P= .000 P= .000 P= .980 P= . P= .000卷烟销量 .8788 .9029 -.0295 .9030 1.0000( 13) ( 13) ( 13) ( 13) ( 0)P= .000 P= .000 P= .917 P= .000 P= .(Coefficient / (D.F.) / 2-tailed Significance)" . " is printed if a coefficient cannot be computed_- - - P A R T I A L C O R R E L A T I O N C O E F F I C I E N T S 偏相关系数 - - Controlling for（控制变量）.. 打火石量蚊香销量卷烟销量火柴销量煤气户数火柴销量 1.0000 .6046 （偏相关系数）( 0) ( 10) （自由度）P= . P= .037 （P值）煤气户数 .6046 1.0000( 10) ( 0)P= .037 P= .(Coefficient / (D.F.) / 2-tailed Significance)" . " is printed if a coefficient cannot be computed表中的上半部分是简单相关系数，下半部分是偏相关系数。
从表中可以看出，火柴销量与煤气户数的简单相关系数为0.8260，自由度为13，检验的P值为0.000；而偏相关系数为0.6046，自由度为10，检验的P值为0.037，表示煤气户数对火柴销量的真实影响是显著的。
§3.2 线性回归分析线性回归是统计分析方法中最常用的方法之一。
如果所研究的现象有若干个影响因素，且这些因素对现象的综合影响是线性的，则可以使用线性回归的方法建立现象（因变量）与影响因素（自变量）之间的线性函数关系式。