北京市高考数学总复习：导数及其应用
2021版高考数学北师大版攻略专题复习课件：专题三 导数及其应用(讲解部分)
例2 (1)曲线f(x)=x2过点P(-1,0)的切线方程是
;
(2)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点(1,3),则b的值是
.
解题导引
解析 (1)由题意,得f '(x)=2x.设直线与曲线相切于点(x0,y0),则所求切线的斜
率k=2x0,
由题意知2x0=
y0 x0
-0 1
=
y0 x0
数学 高考专题
3.2 导数的应用
考点清单
考点一 导数与函数的单调性
数学 高考专题
专题三 导数及其应用
3.1 导数的概念及运算
考点清单
考点一 导数的概念与几何意义
考向基础
1.导数的概念:称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率
lim
Δx 0
=
Δy Δx
lim
Δx 0
f
(x0
Δx)-f Δx
(x0
)
为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f
'(x0)或y'|xx0
,即f
Δy Δx
=
lim
Δx 0
f (x0
Δx)-f (x0 )
Δx
.
2.用导数运算法则求导数应注意的问题:
(1)求函数的导数时,先要把函数拆分为基本初等函数的和、差、积、商的
形式,再利用导数的运算法则求导数.
(2)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,而且还要注意不
要混用公式,如(ax)'=axln a,a>0且a≠1,而不是(ax)'=xax-1,a>0且a≠1.还要特别
1-2ln 2
所以f '(x)= 2 ·2x·ln 2+2x,所以f '(2)= 2 ×22×ln 2+2×2= 4 .
超实用高考数学专题复习(北师大版)：第二章函数导数及其应用 导数的概念及运算定积分与微积分基本定理
挖掘2 根据导数的几何意义求解析式中的参数/ 互动探究
[例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为
y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
[解析] y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1， ∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1. 又∵切线方程为y＝2x＋b， ∴abe＝＋－1＝1，2，即a＝e－1，b＝－1.故选D. [答案] D
[四基自测]
1．(基础点：求导数值)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于( )
A．0
B．e
C．2e
D．e2
答案：C
2．(易错点：导数的运算)已知f(x)＝x·ln x，则f′(x)＝( )
mx A. x
B．x＋1
C.1x＋x 答案：D
D．ln x＋1
3．(基础点：求切线)函数f(x)＝x3在(0，0)处的切线为( )
A．不存在
B．x＝0
C．y＝0 答案：C
D．y＝x
4．(易错点：求切点)曲线y＝ex过点(0，0)的切线的斜率为________．
答案：e
考点一 导数的计算 挖掘1 求导函数值/ 自主练透 [例1] (1)设函数f(x)＝1－ex的图像与x轴交于P点(x0，y0)，则f′(x0)＝________． [解析] 令1－ex0＝0，∴x0＝0， 而f′(x)＝－ex，∴f′(x0)＝f′(0)＝－e0＝－1. [答案] －1
[解析] 对于①，由y＝x3，得y′＝3x2，则y′|x＝0＝0，直线y＝0是过点P(0，0)的曲 线C的切线，又当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，满足曲线C在P(0，0)附近位 于直线y＝0两侧，∴命题①正确；对于②，由y＝(x＋1)2，得y′＝2(x＋1)，则y′|x＝ －1＝0，而直线l：x＝－1斜率不存在，在点P(－1，0)处不与曲线C相切，
2024高考数学复习：导数及其应用
2024高考数学复习：导数及其应用1.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.10.110 B.10.1C.lg10.1D.10.110-2.（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则()A.(0)0f = B.102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.(1)(4)f f -=D.(1)(2)g g -=3.曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，_________.4.若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．5.已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.6.已知函数2()(1)e x f x x ax b =--+.（1）讨论()f x 的单调性.（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点.①21e 22a <≤，2b a >；②102a <≤，2b a ≤.7.已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数.（1）当6k =时：（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值.（2）当3k ≥-时，求证：对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.8.已知函数2()12f x x =-.（1）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（2）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值.9.已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >(1).当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2).对任意21[,)e x ∈+∞均有(),2f x a ≤求a 的取值范围.注：e 2.71828=⋯为自然对数的底数.10.设函数2(){(41)43}xf x ax a x a e=-+++(1).若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行,求a (2).若f ()x 在2x =处取得极小值,求a 的取值范围2024高考数学复习：导数及其应用答案1：A解析：依题意，126.7m =-，2 1.45m =-，所以125lg 1.45(26.7)25.252EE =---=，所以122lg25.2510.15E E =⨯=，所以10.11210E E =.故选A.2：BC（转化法）因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于直线32x =对称，3535222424f f ⎛⎫⎛⎫-⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(1)(4)f f -=，所以C 正确；因为(2)g x +为偶函数，所以(2)(2)g x g x +=-，函数()g x 的图象关于直线2x =对称，因为()()g x f x '=，所以函数()g x 的图象关于点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以()g x 的周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因为(1)(4)f f -=，所以(1)(4)f f ''-=-，即(1)(4)(2)g g g -=-=-，所以D 不正确；因为332222f f ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1722f f ⎛⎫⎛⎫''-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1711(22)2222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以B 正确；不妨取()1()f x x =∈R ，经验证满足题意，但(0)1f =，所以选项A 不正确.综上，选BC.（特例法）因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线32x =对称，函数()g x 的图象关于直线2x =对称.取符合题意的一个函数()1()f x x =∈R ，则(0)1f =，排除A ；取符合题意的一个函数()sin f x x =π，则()cos f x x '=ππ，即()cos g x x =ππ，所以(1)cos()g -=π-π=-π，(2)cos 2g =ππ=π，所以(1)(2)g g -≠，排除D.故选BC.3：1e y x =，1ey x=-解析：先求当0x >时，曲线ln y x =过原点的切线方程，设切点为()00,x y ，则由1y x'=，得切线斜率为01x ，又切线的斜率为00y x ，所以0001yx x =，解得01y =，代入ln y x =，得0e x =，所以切线斜率为1e ，切线方程为1e y x =.同理可求得当0x <时的切线方程为1e y x =-.综上可知，两条切线方程为1e y x =，1ey x =-.4：-3解析：解：'()2(3),(0,)f x x x a x =⋅-∈+∞当0a ≤时，'()0f x >()f x ∴在(0,)+∞递增，(0)1f =时，则在(0,)+∞为零点，舍去当0a >时，()f x 在(0,)3a 递减，(,)3a +∞递增，又()f x 只有一个零点，()033af a =⇒=32()231f x x x =-+[]'()6(1),1,1f x x x x =-∈-5、（1）答案：()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞解析：函数的定义域为()0,+∞，又1ln 1)n (l f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b +=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设11x a =，21x b=，由(1)可知不妨设101x <<，21x >.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证12()(2)f x f x >-，即证：22()(2)f x f x >-，其中212x <<.设()()()2g x f x f x =--，12x <<则()()()()()2ln ln 2ln 2g x f x f x x x x x '''⎡⎤=+-=---=--⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b +=，11x a =，21x b=可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-，1t >，则()112()ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+-⎪++⎝⎭，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则1()111xu x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故max ()(0)0u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立，故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.6：（1）由题意得()()e 2x f x x a '=-，当0a ≤时，令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得0x =或ln 2x a =，①当102a <<时，令()0f x '>，得ln 2x a <或0x >，令()0f x '<，得ln 20a x <<.所以()f x 在(,ln 2)a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln 2,0)a 上单调递减，②当12a =时，()()e 10x f x x '=-≥且等号不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.③当12a >时，令()0f x '>，得0x <或ln 2x a >；令()0f x '<，得0ln 2x a <<，所以()f x 在(,0)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(0,ln 2)a 上单调递减.（2）选择条件①，证明如下：由（1）知当12a >时，()f x 在(,0)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(0,ln 2)a 上单调递减.所以()f x 在0x =处取得极大值(0)f ，在ln 2x a =处取得极小值(ln 2)f a ，且(0)1f b =-+，(ln 2)(2ln 2)ln 22f a a a a a b a =-+-.由于21e 22a <≤，2b a >，所以(0)0f >，ln 20a >，20b a ->.令()2ln 2g x x x x =-，则()2ln 211ln 2g x x x '=--=-，令()0g x '=，得e 2x =，当1e22x <<时，()0g x '>.当2e e 22x <≤时，()0g x '<.所以()g x 在1e ,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2e e ,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()g x 在e 2x =处取得极大值e 2g ⎛⎫⎪⎝⎭.由于e e 022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，2e 02g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0g x ≥在21e ,22⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，所以(ln 2)0f a >.当x →-∞时，()f x →-∞，所以()f x 有一个零点，得证.选择条件②，证明如下：由（1）知，当102a <<时，()f x 在(,ln 2)a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln 2,0)a 上单调递减，所以()f x 在ln 2x a =处取得极大值(ln 2)f a ，在0x =处取得极小值(0)f .由于102a <<，2b a ≤，所以(0)0f <，20b a -≤，ln 20a <，ln 20a a ->，则2ln 20a a a ->，所以(ln 2)0f a <.当x →+∞，()f x →+∞，所以()f x 有一个零点，得证.7：（1）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+.所以(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-.（ii ）依题意，323()36ln g x x x x x =-++，(0,)x ∈+∞，从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=.令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如表：x (0,1)1(1,)+∞()g x '-0+()g x 单调递减极小值单调递增所以函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值.（2）由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+.对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭.①令1()2ln h x x x x=--，[1,)x ∈+∞.当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+--≥-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t =-++-.②由（1）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t -++>，故32336ln 10t t t t-++->.③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->.所以当3k ≥-时，对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.8：()212f x x=-（1）设切点为()()00,x f x ()2f x x'=-()0022f x x '=-=-01x ∴=()111f =∴切线()1121y x -=--213y x ∴=-+（2）()212f x x =-定义域R ，()()f x f x -=.∴()f x 为偶函数()f x 关于y 轴对称∴只须分析0x ≥既可当0x =不合题意舍0t ∴>()2f x x'=-()2f t x '=-：在()()t f t 、处切线()()2122y t t x t --=--令0x =得212y t =+；令0y =时2122t x t +=()()22221211244t S t xy t+===∴x =()0x >()412x g x x+=()()()(2342232412x x x x x x g x x x ++--+'==()0g x '>x >()0g x '<0x <<()min g x g∴==()()()2min min 1324S t g x ∴==9：(1).当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-+=所以，函数()f x 的单调递减区间为03（，），单调递增区间为3+∞（，）．(2).由1(1)2f a≤，得204a <≤．当204a <≤时，()2f x a ≤等价于2212ln 0x a a--≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =-≥，则()2ln g t g x ≥=-．①.当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=-．记1()ln ,7p x x x =--≥，则1()p'x x ==.故x171(,1)71(1,)+∞()p'x 0+()p x 1()7p 单调递减极小值(1)p 单调递增所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．②.当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>，故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．由（i ）得127127(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此()0g t g ≥=>．由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞≥，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a ≤．综上所述，所求a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．10：(1).1a =(2).a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭解析：(1).因为2()(41)43xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦,所以()()()()()22 2414143212x x x f x ax a e ax a x a e x R ax a x e ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎣⎦⎣'=-+++++∈=++⎦⎣⎦,()()11.f a e '=-由题设知()10,f '=即()10,a e -=解得1a =.此时()130f e =≠.所以a 的值为1(2).由(1)得()()()()221212x xf x ax a x e ax x e ⎡'=++-⎣⎦-⎤-=.若12a >,则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f x <;当()2,x ∈+∞时,()0f x '>.所以()0f x <在2x =处取得极小值.若12a ≤,则当()0,2x ∈时,1–20,1102x ax x <-≤-<,所以()0f x '>.所以2不是()f x 的极小值点.综上可知,a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭。
2023年高考数学总复习第三章 导数及其应用第5节：利用导数研究函数的零点问题(教师版)
2023年高考数学总复习第三章导数及其应用利用导数研究函数的零点问题题型一判断、证明或讨论函数零点的个数例1已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1).(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点.(1)解当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减.(2)证明由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增.故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点.又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－a －162－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点.综上，f (x )只有一个零点.感悟提升利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置.(3)数形结合法分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现.训练1设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m 为正数.试讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数.解由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0).转化为函数y ＝m 与y ＝－13x 3＋x 的图像的交点情况.设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减，∴x ＝1是φ(x )唯一的极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当实数m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点.题型二根据零点个数确定参数范围例2(2021·全国甲卷)已知a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝x a ax (x ＞0).(1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间；(2)若函数φ(x )＝f (x )－1有且仅有两个零点，求a 的取值范围.解(1)当a ＝2时，f (x )＝x 22x ，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x （2－x ln 2）2x(x ＞0)，令f ′(x )＞0，则0＜x ＜2ln 2，此时函数f (x )单调递增，令f ′(x )＜0，则x ＞2ln 2，此时函数f (x )单调递减，所以函数f (x )(2)函数φ(x )＝f (x )－1有且仅有两个零点，则转化为方程x a a x ＝1(x ＞0)有两个不同的解，即方程ln x x ＝ln a a 有两个不同的解.设g (x )＝ln x x (x ＞0)，则g ′(x )＝1－ln x x2(x >0)，令g ′(x )＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，当x ＞e 时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，故g (x )max ＝g (e)＝1e，且当x ＞e 时，g (x )g (1)＝0，所以0＜ln a a ＜1e，所以a ＞1且a ≠e ，故a 的取值范围为(1，e)∪(e ，＋∞).感悟提升在解决已知函数y ＝f (x )有几个零点求f (x )中参数t 的取值范围问题时，经常从f (x )中分离出参数t ＝g (x )，然后用求导的方法判断g (x )的单调性，再根据题意求出参数t 的值或取值范围.解题时要充分利用导数工具和数形结合思想.训练2已知函数f (x )＝ax －2ln x －a x(a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数h (x )＝1－a 2x －f （x ）2恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.解(1)函数f(x)＝ax－2ln x－ax的定义域是(0，＋∞)，求导可得f′(x)＝a－2x＋ax2＝ax2－2x＋ax2.当a≤0时，f′(x)<0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.当a≥1时，4(1－a2)≤0，此时f′(x)＝ax2－2x＋ax2≥0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当0<a<1时，4(1－a2)>0，令f′(x)＝0，得x1＝1－1－a2a，x2＝1＋1－a2a，所以函数f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减.综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a≥1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<1时，函数f(x)(1－1－a2a，1＋1－a2a)上单调递减.(2)由题意得函数h(x)＝1－a2x－f（x）2＝1－a2x＋ln x(x>0)，则函数h(x)＝1－a2xf（x）2恰有两个不同的零点即方程1－a2x＋ln x＝0恰有两个不同的根.由1－a2x＋ln x＝0得a＝2（1＋ln x）x，所以直线y＝a与函数g(x)＝2（1＋ln x）x的图像有两个不同的交点.由g(x)＝2（1＋ln x）x，得g′(x)＝－2ln xx2，当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝2.又e－2<1，g(e－2)＝2（1＋ln e－2）e－2＝－2e－2<0，x>1时，g(x)>0，所以实数a的取值范围为(0，2).题型三可化为函数零点的个数问题例3已知函数f(x)＝ln x(0<x≤1)与函数g(x)＝x2＋a的图像有两条公切线，求实数a的取值范围.解设公切线与函数f(x)＝ln x的图像切于点A(x1，ln x1)(0<x1≤1)，因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝1 x，所以在点A(x1，ln x1)处切线的斜率k1＝f′(x1)＝1 x1，所以切线方程为y－ln x1＝1x1(x－x1)，即y＝xx1＋ln x1－1，设公切线与函数g(x)＝x2＋a的图像切于点B(x2，x22＋a)，因为g(x)＝x2＋a，所以g′(x)＝2x，所以在点B(x2，x22＋a)处切线的斜率k2＝g′(x)＝2x2，所以切线方程为y－(x22＋a)＝2x2(x－x2)，即y＝2x2x－x22＋a，1x1＝2x2，ln x1－1＝－x22＋a.因为0<x1≤1，所以1x1＝2x2≥1，x2≥12.又a＝－ln2x2＋x22－1，令t＝x2∈12，＋∞，则h(t)＝－ln2t＋t2－1＝－ln2－ln t＋t2－1，所以h′(t)＝2t2－1 t.令h′(t)>0且t≥12，得t>22；令h ′(t )<0且t ≥1，得12≤t <22.所以h (t )在12，所以函数f (x )＝ln x (0<x ≤1)与函数g (x )＝x 2＋a 有两条公切线，满足h (t )≤ln2－12<h (t )≤－34，所以a ln 2－12，－34.感悟提升解决曲线的切线条数、两曲线的交点个数、方程根的个数等问题的关键是转化为对应函数的零点个数问题，利用数形结合思想，通过研究函数的零点个数解决相关问题.训练3已知函数f (x )＝1＋ln x x.(1)求函数f (x )的图像在x ＝1e 2处的切线方程(e 为自然对数的底数)；(2)当x >1时，方程f (x )＝a (x －1)＋1x(a >0)有唯一实数根，求a 的取值范围.解(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln x x 2，所以f 2e 4，又e 2，所以函数f (x )的图像在x ＝1e2处的切线方程为y ＋e 2＝2e 即y ＝2e 4x －3e 2.(2)当x >1时，f (x )＝a (x －1)＋1x，即ln x －a (x 2－x )＝0.令h (x )＝ln x －a (x 2－x )，有h (1)＝0，h ′(x )＝－2ax 2＋ax ＋1x.令r (x )＝－2ax 2＋ax ＋1(a >0)，则r (0)＝1，r (1)＝1－a ，①当a≥1时，r(1)≤0，r(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以x∈(1，＋∞)时，r(x)<0，即h′(x)<0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，故当x>1时，h(x)<h(1)＝0，所以方程f(x)＝a(x－1)＋1x无实根.②当0<a<1时，r(1)＝1－a>0，r(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以存在x0∈(1，＋∞)，使得x∈(1，x0)时，r(x)>0，即h(x)单调递增；x∈(x0，＋∞)时，r(x)<0，即h(x)单调递减.所以h(x)max＝h(x0)>h(1)＝0.取x＝1＋1(x>2)，则1＋1a ln1＋1a a1＋1a＋a1＋1a ln1＋1a－1＋1a.令t＝1＋1a>0，故m(t)＝ln t－t(t>2)，则m′(t)＝1t－1<0，所以m(t)在(2，＋∞)单调递减，所以m(t)<ln2－2<0，即h 1＋1a故存在唯一x1x0，1＋1a，使得h(x1)＝0.综上，a的取值范围为(0，1).隐零点问题在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫作隐零点；若x0容易求出，就叫作显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.例1设函数f(x)＝e x－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值.解(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝e x－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间.当a>0时，令f′(x)<0，得x<ln a，令f′(x)>0，得x>ln a，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞). (2)由题设可得(x－k)(e x－1)＋x＋1>0，即k<x＋x＋1e x－1(x>0)恒成立，令g(x)＝x＋1e x－1＋x(x>0)，得g′(x)＝e x－1－（x＋1）e x（e x－1）2＋1＝e x（e x－x－2）（e x－1）2(x>0).由(1)的结论可知，函数h(x)＝e x－x－2(x>0)是增函数.又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1，2)(该零点就是h(x)的隐零点).当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)min＝g(α)＝α＋1eα－1＋α.又h(α)＝eα－α－2＝0，所以eα＝α＋2且α∈(1，2)，则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2，3)，所以k的最大值为2.例2已知函数f(x)＝(x－1)e x－ax的图像在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0.(1)求a，b的值；(2)求证函数f(x)有唯一的极值点x0，且f(x0)>－32.(1)解因为f′(x)＝x e x－a，由f′(0)＝－1得a＝1，又f(0)＝－1，所以切线方程为y－(－1)＝－1(x－0)，即x＋y＋1＝0，所以b＝1.(2)证明令g(x)＝f′(x)＝x e x－1，则g′(x)＝(x＋1)e x，所以当x<－1时，g(x)单调递减，且此时g(x)<0，则g(x)在(－∞，－1)内无零点；当x≥－1时，g(x)单调递增，且g(－1)<0，g(1)＝e－1>0，所以g(x)＝0有唯一解x0，f(x)有唯一的极值点x0.由x0e x0＝1⇒e x0＝1 x0，f(x0)＝x0－1x0－x0＝1x又＝e2－1<0，g(1)＝e－1>0⇒12<x0<1⇒2<1x0＋x0<52，所以f(x0)>－3 2 .1.已知函数f(x)＝e x＋(a－e)x－ax2.(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.解(1)当a＝0时，f(x)＝e x－e x，则f′(x)＝e x－e，f′(1)＝0，当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为f(1)＝0，无极大值.(2)由题意得f′(x)＝e x－2ax＋a－e，设g(x)＝e x－2ax＋a－e，则g′(x)＝e x－2a.若a＝0，则f(x)的最大值f(1)＝0，故由(1)得f(x)在区间(0，1)内没有零点.若a<0，则g′(x)＝e x－2a>0，故函数g(x)在区间(0，1)内单调递增.又g(0)＝1＋a－e<0，g(1)＝－a>0，所以存在x0∈(0，1)，使g(x0)＝0.故当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.因为f(0)＝1，f(1)＝0，所以当a<0时，f(x)在区间(0，1)内存在零点.若a>0，由(1)得当x∈(0，1)时，e x>e x.则f(x)＝e x＋(a－e)x－ax2>e x＋(a－e)x－ax2＝a(x－x2)>0，此时函数f(x)在区间(0，1)内没有零点.综上，实数a的取值范围为(－∞，0).2.设函数f(x)＝12x2－m ln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图像的交点个数.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝（x＋m）（x－m）x.当0<x<m时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>m时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.综上，函数f(x)的单调递增区间是(m，＋∞)，单调递减区间是(0，m).(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－12x2＋(m＋1)x－m ln x，x>0，题中问题等价于求函数F(x)的零点个数.F′(x)＝－（x－1）（x－m）x，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，因为F(1)＝32>0，F(4)＝－ln4<0，所以F(x)有唯一零点；当m>1时，0<x<1或x>m时，F′(x)<0；1<x<m时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，因为F(1)＝m＋12>0，F(2m＋2)＝－m ln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点.综上，函数F(x)有唯一零点，即函数f(x)与g(x)的图像总有一个交点.3.已知函数f(x)＝(x－1)e x－ax2＋b＋12.(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝12时，f(x)的图像与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围.解(1)当a＝1时，f(x)＝(x－1)e x－x2＋b＋12(x∈R)，则f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2x＝x(e x－2).令f′(x)>0，解得x<0或x>ln2；令f′(x)<0，解得0<x<ln2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(ln2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln2).(2)因为a＝12，所以f(x)＝(x－1)e x－12x2＋b＋12.由(x－1)e x－12x2＋b＋12＝bx，得(x－1)e x－12(x2－1)＝b(x－1).当x＝1时，方程成立.当x≠1时，只需要方程e x－12(x＋1)＝b有2个实根.令g(x)＝e x－12(x＋1)，则g′(x)＝e x－12.当x <ln 12时，g ′(x )<0，当x >ln 12且x ≠1时，g ′(x )>0，所以g (x )∞，ln 12，(1，＋∞)上单调递增，因为＝12－12＋＝12ln 2，g (1)＝e －1≠0，所以b 2，e －(e －1，＋∞).4.已知函数f (x )＝ax cos x －1在0，π6上的最大值为3π6－1.(1)求a 的值；(2)证明：函数f (x )2个零点.(1)解f ′(x )＝a (cos x －x sin x )，因为x ∈0，π6，所以cos x >sin x ≥0，又1>x ≥0，所以1·cos x >x sin x ，即cos x －x sin x >0.当a >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在区间0，π6上单调递增，所以f (x )max ＝a ·π6×32－1＝3π6－1，解得a ＝2.当a <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在区间0，π6上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)＝－1，不符合题意，当a ＝0时，f (x )＝－1，不符合题意.综上，a ＝2.(2)证明设g (x )＝cos x －x sin x ，则g ′(x )＝－2sin x －x cos x x所以g (x )又g (0)＝1>0，＝－π2<0，所以存在唯一的x0g(x0)＝0，当0<x<x0时，g(x)>0，即f′(x)＝2g(x)>0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增；当x0<x<π2时，g(x)<0，即f′(x)＝2g(x)<0，所以f(x)0又f(0)＝－1<0，＝2π4－1>0，1<0，所以f(x)综上，函数f(x).。
北师大版 高考数学总复习 导数应用 章末整合4
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第四章 章末整合
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设 φ(x)＝2x－2x2， 又 φ′(x)＝－x22－4x＜0， ∴φ(x)＝2x－2x2 在[1,3]上是减少的， 所以 φ(x)的最小值为 φ(3)＝－532，即 a 的取值范围为 －∞，－532.
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导数与函数的单调性 函数的极值 导数应用函数的最值 实际应用
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一、导数与函数的单调性 对函数单调性的讨论，往往先确定定义域，然后在定义域 内根据 f′(x)的符号解决问题．在这里充分体现了数形结合的 数学思想，应重视数学思想方法的归纳提炼．
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(2)由(1)知 f(x)＝x3－12x＋c； f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)． 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2. 当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故 f(x)在(－∞，－2)上 为增函数； 当 x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故 f(x)在(－2,2)上为减函数； 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故 f(x)在(2，＋∞)上为增 函数．
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已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路 (1)转化为不等式在某区间上恒成立问题，即 f′(x)≥0(或 ≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使 f′(x)＝0 的参数是否符合题意． (2)构造关于参数的不等式求解，即令 f′(x)＞0(或＜0)求 得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不 等式求参数的取值范围．
高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算
3.(2018课标全国Ⅰ,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
2
ln
x
.
当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;
当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
思路分析 (1)先求导,再求切线斜率,进而得出切线方程; (2)令g(x)=x-1-f(x),待证等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1),再利用函数单调性和最值解决问题.
又g(e)=0,∴ln x= ex 有唯一解x=e.∴x0=e.
∴点A的坐标为(e,1).
方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: ①设切点为(x0, f(x0)); ②求k=f '(x0); ③得出切线的方程为y-f(x0)=f '(x0)(x-x0); ④由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.
= 2
.
(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),
则y0=2 x03 -3x0,且切线斜率为k=6 x02-3,所以切线方程为y-y0=(6 -3)(x-x0), 因此t-y0=(6 x02 -3)(1-x0).整x理02 得4 x03 -6 x02 +t+3=0. 设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.
(北京专用)2019版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 导数的综合应用课件 理
解析 (1)因为函数f(x)=2ex-ax2-2x-2,所以f'(x)=2ex-2ax-2, 故f(0)=0,f '(0)=0,曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=0. (2)证明:当a≤0时,令g(x)=f '(x)=2ex-2ax-2,则g'(x)=2ex-2a>0, 故g(x)是R上的增函数.又g(0)=0, 故当x<0时,g(x)<0,当x>0时,g(x)>0. 即当x<0时,f '(x)<0,当x>0时,f '(x)>0. 故f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,函数f(x)的最小值为f(0). 又f(0)=0,故f(x)有且仅有一个零点. (3)当0<a<1时,f(x)有两个零点; 当a=1时,f(x)有一个零点; 当a>1时,f(x)有两个零点.
当Δ=4a2-12b=0时, f '(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0. 当x∈(-∞,x0)时, f '(x)>0, f(x)在区间(-∞,x0)上单调递增; 当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0, f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增. 所以f(x)不可能有三个不同零点.
综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0. 故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件. 当a=b=4,c=0时,a2-3b>0, f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以 a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件. 因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
北京高考导数复习知识点
北京高考导数复习知识点导数是微积分中的重要概念，它在数学和物理等学科中都有广泛的应用。
在高考中，导数是必考内容，理解和熟练掌握导数的定义、性质和运算法则对于考生来说非常重要。
本文将对北京高考中涉及的导数知识点进行详细介绍和复习，帮助考生全面了解导数的相关内容。
一、导数的基本定义和概念1. 函数的导数：给定函数y=f(x)，在其中一点x处，如果函数在该点附近有定义并存在极限，那么称函数在点x处可导，并将该极限值称为函数在该点的导数，记作f'(x)或dy/dx。
2. 导函数：导函数是函数y=f(x)在其定义域上的每个可导点处的导数所确定的新函数，记作f'(x)或dy/dx。
二、导数的计算和运算1. 基本导数公式：常数的导数为0，幂函数的导数为幂次乘以底数的幂次减一，指数函数的导数为导数等于自身乘以ln(a)，对数函数的导数为导数等于自身的导数除以自身。
2.导数的四则运算法则：和的导数等于导数的和，差的导数等于导数的差，常数倍的导数等于常数倍后函数的导数，积的导数等于先导后函数加后导前函数，商的导数等于分母导后函数减后导前函数除以分母的平方。
三、导数的几何意义和应用1.导数的几何意义：在直角坐标系中，函数在其中一点x处的导数f'(x)表示函数的曲线在该点处的切线的斜率。
2.函数的单调性和极值点：若函数在其中一区间上的导数恒大于（或小于）0，则该函数在该区间上单调递增（或递减）；函数在其中一点处的导数为0，则该点可能是函数的极值点。
3.函数的凸凹性和拐点：若函数在其中一区间上的导数恒大于（或小于）0，则该函数在该区间上是凸函数（或凹函数）；函数在其中一点处的导数的增减性改变，且导数为0，则该点可能是函数的拐点。
4.极限与导数的关系：若函数在其中一点处可导，则函数在该点处一定连续。
四、应用题1.切线方程：已知函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，切线方程y=f'(a)(x-a)+f(a)。
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（1）讨论f（x）的单调性．
（2）当a＝﹣1，x＞1时，证明：f（x） ．
22．已知函数 ，其中a∈R．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的极值；
（2）当a＝1时，若不等式 在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数b的取值范围．
23．已知函数f（x）＝a（xex﹣1﹣4）﹣blnx+3x．
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值是4，求a的值．
7．已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex+x2．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的单调区间；
（2）若a＜0，函数f（x）的极大值为ln22﹣2ln2+2，求a的值．
8．已知函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x﹣alnx（a∈R且a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
19．已知三次函数f（x）＝x3+ax2+4x+1（a为常数）．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在x＝2处的切线方程；
（2）若a＜0，讨论函数f（x）在x∈（0，+∞）的单调性．
20．已知函数f（x）＝（x2﹣2x+a）ex．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，判断函数g（x）＝f（x） x2+lnx零点的个数，并说明理由．
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0．
30．已知函数f（x）＝xex kx2﹣kx（k∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数．
31．已知函数f（x）＝ex﹣ax2+b的图象在点x＝0处的切线为y＝ax．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求证：f（x）+x2≥x；
14．已知函数 ．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
15．已知f（x）＝2x3﹣mx2﹣12x+6的一个极值点为2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．
16．设函数 ，其中a∈R．
（Ⅰ）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
5．已知函数f（x）＝ex（ax+1）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＝1时，若P为直线y＝x+3与函数f（x）图象的一个公共点，其横坐标为t，且t∈（m，m+1），求整数m的所有可能的值．
6．设函数f（x）＝ex﹣ax+3（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的极值；
10．设函数f（x）＝x3﹣ax2+1．
（1）若f（x）在x＝3处取得极值，求a的值；
（2）若f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，求a的取值范围．
11．已知函数f（x）＝mx2+lnx．
（1）若m＝﹣4，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设x1，x2是f'（x）＝1的两个不相等的正实数解，求证：f（x1）+f（x2）+3＜ln4+x1+x2．
（1）当b＝0时，讨论f（x）的单调性；
（2）若a＝b＝1，且f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．
26．已知函数 ．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在区间 上不单调，证明： ．
27．已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若a≤1，证明：当x∈[0，+∞）时，f（x）≤sinx﹣cosx．
（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣2，﹣1）上有极大值，求a的取值范围．
17．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有极值且极值大于0，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝x（ex﹣1）．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）若不等式f（x）＞lnx﹣1+t对于任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数t的取值范围．
（2）讨论函数f（x）的零点个数．
3．已知关于x的函数f（x） 2+cx+bc，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝1处有极值 ．
（1）求实数b、c的值；
（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．
4．已知函数f（x）＝﹣2a2lnx x2+ax（a∈R）．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．
12．已知函数f（x） 2．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）＞0，求a的取值范围．
13．已知函数f（x）＝（x2﹣3x+a）ex．
（1）若f（x）的极小值点小于2，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝af（x）（a≠0），讨论g（x）在（0，+∞）上的单调性．
28．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＝﹣2，证明：当x＞0时，ex﹣x2+2x﹣1﹣xf（x）＞0．
29．设函数f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，g（x） ，其中a∈R，e＝2.718……为自然对数的底数．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当a＞2时，若函数y＝f（x）的图象与x轴交于A，B两点，设线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＞0．
9．已知函数f（x）＝ex﹣x，h（x）＝af（x）+2f（﹣x）+（2a﹣4）x（a∈R且a≠0，e是自然对数的底数）．
（1）讨论函数y＝f（ax）的单调性；
（2）当x≥0时，h（x）≥（a+2）cosx恒成立，求a的取值范围．
（3）若f（x）+kx＞0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．
32．已知函数f（x） （e≈2.718）．
（1）当a＝0时，讨论f（﹣x）的单调性；
（2）若a＝1，且f（x）≥0，求b的值．
24．已知函数f（x）＝e2x﹣2ln（x+1） ax2﹣1．
（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
25．已知函数f（x）＝ax3﹣bx2﹣lnx．
2021年北京市高考数学总复习：导数及其应用
1．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数f（x）的极小值点；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）（0＜x1＜x2）为函数y＝f（x）图象上的任意两点，f'（x）为函数f（x）的导函数，求证： ．
2．已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；