《平面向量的坐标运算》PPT课件
解：设B x,y ,
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 (5,1)
x 5 ∴ y 1
例4、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标. 解： BA 2,3 3,5 5, 2. 2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
4
6
小结:对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标； 当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为 向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若a b ， a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ), 则( x1, y1 ) ( x2 , y2 ),即x1 x2 , y1 y2 .
平面向量的坐标运算
y
a
O
x
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A(a,b)
O
a
x
3.复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2.
（二）平面向量的坐标运算：
(1)a b x1 i y1 j x2 i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
同理得 a b ( x1 x2 , y1 y2 ) (2) a xi y j xi y j ( x, y )
1
O
-4 -3
-2
-1
1 i -1
j
2
3
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系?
什么叫平面的一组基底?
不共线的两向量 e1 , e2 叫做这一平面内所 有向量的一组基底.
平面的基底有多少组?
无数组
（一）平面向量坐标的概念 y 在直角坐标系内，我们分别 (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底. (2) 得到实数对:任作一个向量a， 由平面向量基本定理，有且只 有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标， o i a ( x , y ) ⑴ 记作
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
问2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问3:相等向量的坐标 有什么关系？ 结论1:一个向量的坐标 等于表示此向量的有 向线段终点的坐标减 去始点的坐标。
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
例3已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 求 F3的坐标。 解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0 得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
( x2 x1 , y2 y1 )
A(x1,y1)
y
B(x2,y2)
O
x
结论 1: 一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标。
从向量运算的角度
解： a b (2,1) (3,4) (1,5) a b (2,1) (3,4) (5, 3)
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差. 结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
( x1 x2 , y1 y2 )
已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标.
AB OB OA ( x2, y2 ) ( x1 , y1 )
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a (1, 2)
解：
y
(2)b (1, 2)
B(1, 2)
y
o
. A(1, 2) a x
.
b
o
x
问题: (1)已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求 a b, a b的坐标. (2)已知a ( x, y )和实数 , 求 a 的坐标.
⑴式叫做向量的坐标表示. 注：每个向量都有唯一的坐标.
a
x
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
例1.用基底 i , j 分别表示向量 y a,b,c,d,并求出它们的坐标. B 5 4 b AB 2i 3 j a b 2i 3 j 3 2 (2,3) ( 2, 3) A
y
B1 P(x,y) 1
O
B(x2,y2)
a
b
x
A (x1,y1) A 1
j
i 1
向量的坐标与点的坐标关系
4 3
yj
j
-2
2
P（x，y）
1
O
-1 -2
2
i
-3
OP xi y j ( x, y) 一一对应 向量 OP P（x ，y）
xi
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 (5,1)
x 5 ∴ y 1
例4、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标. 解： BA 2,3 3,5 5, 2. 2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
4
6
小结:对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标； 当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为 向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若a b ， a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ), 则( x1, y1 ) ( x2 , y2 ),即x1 x2 , y1 y2 .
平面向量的坐标运算
y
a
O
x
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A(a,b)
O
a
x
3.复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2.
（二）平面向量的坐标运算：
(1)a b x1 i y1 j x2 i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
同理得 a b ( x1 x2 , y1 y2 ) (2) a xi y j xi y j ( x, y )
1
O
-4 -3
-2
-1
1 i -1
j
2
3
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系?
什么叫平面的一组基底?
不共线的两向量 e1 , e2 叫做这一平面内所 有向量的一组基底.
平面的基底有多少组?
无数组
（一）平面向量坐标的概念 y 在直角坐标系内，我们分别 (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底. (2) 得到实数对:任作一个向量a， 由平面向量基本定理，有且只 有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标， o i a ( x , y ) ⑴ 记作
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
问2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问3:相等向量的坐标 有什么关系？ 结论1:一个向量的坐标 等于表示此向量的有 向线段终点的坐标减 去始点的坐标。
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
例3已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 求 F3的坐标。 解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0 得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
( x2 x1 , y2 y1 )
A(x1,y1)
y
B(x2,y2)
O
x
结论 1: 一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标。
从向量运算的角度
解： a b (2,1) (3,4) (1,5) a b (2,1) (3,4) (5, 3)
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差. 结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
( x1 x2 , y1 y2 )
已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标.
AB OB OA ( x2, y2 ) ( x1 , y1 )
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a (1, 2)
解：
y
(2)b (1, 2)
B(1, 2)
y
o
. A(1, 2) a x
.
b
o
x
问题: (1)已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求 a b, a b的坐标. (2)已知a ( x, y )和实数 , 求 a 的坐标.
⑴式叫做向量的坐标表示. 注：每个向量都有唯一的坐标.
a
x
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
例1.用基底 i , j 分别表示向量 y a,b,c,d,并求出它们的坐标. B 5 4 b AB 2i 3 j a b 2i 3 j 3 2 (2,3) ( 2, 3) A
y
B1 P(x,y) 1
O
B(x2,y2)
a
b
x
A (x1,y1) A 1
j
i 1
向量的坐标与点的坐标关系
4 3
yj
j
-2
2
P（x，y）
1
O
-1 -2
2
i
-3
OP xi y j ( x, y) 一一对应 向量 OP P（x ，y）
xi
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平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
高中数学人教A必修4课件：2.3.3平面向量的坐标运算
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的和
a+b=(x1+x2,y 1+y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的差
a-b=(x1-x2,y 1-y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这
个实数乘原来向量的相应坐标
λa=(λx1,λy1)
向量
坐标
一个向量的坐标等于表示此向量
即ACDB,ACBD,ADCB.而错解中只考虑了ACDB一种情形,而遗漏
了另两种情况.
-16-
2.3.3
题型一
平面向量的坐标运算
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
正解:设第四个顶点坐标为 D(x,y).
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 (1)已知 a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3),试用 b,c 表
示 a.
(2)已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3),以 ,
的有向线段的终点的坐标减去始
公式
点的坐标
已知 A(x1,y 1),B(x2,y 2),则
= (2 − 1,
2 − 1)
-3-
2.3.3
平面向量的坐标运算
M 目标导航
UBIAODAOHANG
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的和
a+b=(x1+x2,y 1+y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的差
a-b=(x1-x2,y 1-y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这
个实数乘原来向量的相应坐标
λa=(λx1,λy1)
向量
坐标
一个向量的坐标等于表示此向量
即ACDB,ACBD,ADCB.而错解中只考虑了ACDB一种情形,而遗漏
了另两种情况.
-16-
2.3.3
题型一
平面向量的坐标运算
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
正解:设第四个顶点坐标为 D(x,y).
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 (1)已知 a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3),试用 b,c 表
示 a.
(2)已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3),以 ,
的有向线段的终点的坐标减去始
公式
点的坐标
已知 A(x1,y 1),B(x2,y 2),则
= (2 − 1,
2 − 1)
-3-
2.3.3
平面向量的坐标运算
M 目标导航
UBIAODAOHANG
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示PPT课件(人教版)
[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
8.平面向量的坐标运算ppt
∴顶点D的坐标为（2,2）
变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1),
B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构
成平行四边形四个顶点。
y
D2
解由：uAuBur当 uD平uuCr得行D四1边=(2形, 为2)ADCB时，B
C
当平行四边形为ACDB时， A
D1
得D2=(4, 6)
x=1+3t ∴
,∴
1+3t＜0
y=2+3t
2+3t＞0,
∴ 2 t 1.
3
3
（2）因为 OA =（1，2），PB OB OP （3-3t，3-
3t），
若四边形OABP为平行四边形，则OA PB.
∴ 3-3t=1 3-3t=2,无解，
∴四边形OABP不可能为平行四边形.
总结提高： （1）要加强对向量的坐标与该向量起
解：设Bx,y,
uuur
Q AB 1,2 x, y 2,1,
即12xy21
x3 y 1
即B3,-1.
练习：（2009·辽宁文，13）在平面直角坐标系xOy中，四 边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A（-2，0）, B （6，8），C（8，6），则D点的坐标为(0,-2). 解析 设D点的坐标为（x,y）,由题意知BC AD , 即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).
即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
探究 ： 若已知 点A、B的坐标分别为 （（1，x1，3）y1，）
平面向量的坐标运算 课件
类型 2 平面向量的坐标运算
[典例 2] (1)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量A→C＝(－
4，－3)，则向量B→C＝( )
A．(－7，－4)
B．(7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
(2)已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：①2a＋3b；
②a－3b；③1a－1b. 23
→ (1)解析：依题意得AB＝(3，1)，
温馨提示 向量既有几何表示下图形的几何运算，又 有坐标表示下的代数运算，说明向量是数形结合的载体．
类型 1 平面向量的坐标表示
[典例 1] 如图，取与 x 轴、y 轴同向的两个单位向 量 i，j 作为基底，分别用 i，j 表示O→A，O→B，A→B，并求 出它们的坐标．
→
→
→
解：由图形可知，OA＝6i＋2j，OB＝2j＋4j，AB＝
归纳升华 平面向量坐标的线性运算的方法
1．若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差 及向量数乘的运算法则进行．
2．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量 的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
3．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
类型 3 平面向量坐标运算的应用 [典例 3] 已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若A→P ＝A→B＋λA→C(λ∈R)，试求 λ 为何值时： (1)点 P 在一、三象限角平分线上； (2)点 P 在第三象限内． 解：设点 P 的坐标为(x，y)， 则A→P＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
→
→
－4i＋2j，它们的坐标表示为：OA＝(6，2)，OB＝(2，4)，
→ AB＝(－4，2)．
归纳升华 1．求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点 相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点 的坐标． 2．求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、 终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐 标．
最新《平面向量的坐标运算》课件教学讲义PPT课件
解 ： a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 1 , 5 )
a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 5 , 3 )
3a4b3(2,1)4(3,4) (6,3)(12,16) (6,19)
例3已知三个力 F 1 (3, 4), F 2 (2, 5), F 3 (x, y)的合力
(x1x2,y1y2)
同 理 得 a b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
( 2 )a x i y j x i y j (x ,y )
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差.
结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
已知 A(x1,y1),B(x2,y2)，求 AB的坐标.
2.对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: ( 1 ) 若 a ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) , 则 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ,
《平面向量的坐标运算》课 件
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来
表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
ya
b
A(a,b)
Oa
x
例1.用基底 i , j 分别表示向y量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
5
B
b
4
b 2i 3 j
3
a AB 2i 3 j
(2,3)
2
A
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ,a(x1,y1)
解： BA 2,33,5 5 , 2 .
a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 5 , 3 )
3a4b3(2,1)4(3,4) (6,3)(12,16) (6,19)
例3已知三个力 F 1 (3, 4), F 2 (2, 5), F 3 (x, y)的合力
(x1x2,y1y2)
同 理 得 a b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 )
( 2 )a x i y j x i y j (x ,y )
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差.
结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
已知 A(x1,y1),B(x2,y2)，求 AB的坐标.
2.对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: ( 1 ) 若 a ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) , 则 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ,
《平面向量的坐标运算》课 件
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来
表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
ya
b
A(a,b)
Oa
x
例1.用基底 i , j 分别表示向y量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
5
B
b
4
b 2i 3 j
3
a AB 2i 3 j
(2,3)
2
A
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ,a(x1,y1)
解： BA 2,33,5 5 , 2 .
平面向量的坐标运算 课件
P1 P P
O
x
思考5：一般地，若点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)，点P是直线P1P2上一点，
且 P1P PP2 ，那么点P的坐标有何计算
公式？ y
P
P2
P1
O
x
P( x1 x2 , y1 y2 ) 1 1
AB ＝(x2－x1，y2－y1).
B
o
x
任意一个向量的坐标等于表示该向量 的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
平面向量共线的坐标表示
思考1：如果向量a , b共线（其中b≠0）， 那么 a , b 满足什么关系？
a＝ b.
思考2：设a (x1，y1), b (x2，y2 )，若向量 a，b共线（其中b 0），则这两个向量的坐标 应满足什么关系？反之成立吗？
推导过程：
由a b得： (x1, y1) (x2 , y2 )
x1 y1
x2 y2
,
消去：x1 y2 x2 y1 0.
a与b 共线 (b 0)
当且仅当 x1 y2 x2 y1 0时.
1. 消去时能不能两式相除?
不能两式相除， y1, y2有可能为 0，
又b 0, x2, y2中至少有一个不为 0 .
a＝(x1， y1).
思考3：如何用数学语言描述上述向量的坐
标运算？
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向
量相应坐标的和（差）；
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原
来向量的相应坐标.
思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)， 那么向量 AB 的坐标如何？一般地，一个
任意向量的坐标如何计算A？ y
思考2：根据向量的坐标表示，向量
2.3.3 平面向量的坐标运算(必修四 数学 优秀课件)
解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0
得：(3, 4) + (2, 5) + (x, y) = (0, 0)
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 = (5,1)
x 5 ∴ y 1
例：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. y 解：设顶点 D 的坐标为（ 分析：由于 ABCD 为平 x, y) C B 行四边形，那么有 AB (1 (2),3 1) (1,2) D AB=DC A DC (3 x,4 y ) x O 有 AB DC得：（ 1，）（ 2 3-x, 4 y )
b x2 i y 2 j
则 a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
( x1 i x2 i ) ( y1 j y2 j ) ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 ) j
两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .
2.3.3 平面向量的坐标运算
在平面直角坐标中，向量如何用坐标 来表示？
a x i y j
a ( x, y )
1.已知a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) , 求a+b的坐标．
a x1 i y1 j
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y 2 j )
-1 其中A（ 1， 2） , B(3,2), 则x _______