3.1.1方程的根与函数的零点导学案
3.1方程的根与函数的零点(导学案)
3.1．1方程的根与函数零点一、教学目标1.结合二次函数，知道函数零点的概念；2.能说出函数零点与相应方程根的关系；3.会根据零点存在的判定条件求方程的根和函数的零点．二、重点与难点重点：零点的概念及存在性的判定．难点：零点的确定．三、教法与建议学生分组讨论，教师引导总结。
四、学生情况分析初中阶段，学生掌握了二次函数、二次方程的相关知识，又刚刚结束了指数函数、对数函数的学习，故学生已具备了接受本节内容的知识基础和心理储备。
尽管如此，还要采取有具体到抽象、有特殊到一般的讲课方式，灵活运用数形结合的思想以降低学习难度。
五、教学练评活动程序【活动1】设计问题，创设情境问题1：求下列方程的根。
(1)610x -= 2(2)3610x x +-=5(3)610x x +-=.(如何解，会解吗？）阿拉伯数学家花拉子米给出了一次方程和二次方程的一般解法。
挪威数学家阿贝尔证明了五次以上的方程的一般解法。
问题2：求下列方程的实数根。
ln 260x x +-=问题3：方程()0f x =的根与函数()y f x =有什么关系？【活动2】引导探究，获得新知问题1：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：○1方程0322=--x x 与函数223y x x =-- ○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ○3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y 请同学们解出方程，画出函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标有什么关系？ 你能将结论推广到))((D x x f y ∈=吗？函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．反思：函数()y f x =的零点、方程0)(=x f 实数根、函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的交点横坐标有什么关系？问题2：所有函数都存在零点吗？什么条件下才能确定零点的存在呢？（Ⅰ）让学生画出二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）．○2 在区间]4,2[上有零点______； )2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点； )(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点； )(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点； )(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？【活动3】信息交流，揭示规律函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．问题1：这个定理的前提有几个条件？问题2：“有零点”是指有几个零点？只有一个吗？问题3：再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？问题4：若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，一定能得出f (a )·f (b )<0的结论吗？ 问题5：这个定理有什么作用呢？【活动4】运用规律，解决问题例1．求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？例2．求函数2223+--=x x x y ，并画出它的大致图象【活动5】形成性评价1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ；（2）3)2(2-=-x x ；（3）442-=x x ；（4）532522+=+x x x ．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）53)(3+--=x x x f ；（2）3)2ln(2)(--=x x x f ；（3）44)(1-+=-x e x f x ；（4）x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(．六、小结与反思1.本节课学习了哪些主要内容？2.零点存在定理有什么样的限制条件？七、展与延伸（选学）求下列函数的零点：（1）452--=x x y ；（2）202++-=x x y ；（3）)13)(1(2+--=x x x y ；（4）)23)(2()(22+--=x x x x f ．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1）12312+-=x x y ； （2）1422+--=x x y ．已知124)1(2)(2-+++=m mx x m x f ：（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m 的值．附：总结性评价一、选择题1．已知函数f (x )＝log 2x －(13)，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不小于零2．在下列哪个区间内，函数f (x )＝x 3+3x-5一定有零点 ( )A ．(—1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)3．函数f (x )＝(x 2－2)(x 2－3x +2)的零点个数为 ( )A ．4B ．3C ．2D ．14.若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )·f (b )>0. 则函数f (x )在区间[a ，b ]上（ ）A 一定没有零点B 至少有一个零点C 只有一个零点D 零点情况不确定二、填空题5．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )有一个零点，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．三、解答题6.求下列函数的零点： （1）()53xf x =-； （2）2(1)(43)()3x x x f x x --+=-； （3）7()3f x x =-. 7．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．8．(选做)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.（1）有且仅有一个零点；（2）有两个零点且均比－1大。
3.1.1方程的根与函数的零点导学案
教法指导
通过引导、探究，发现方程的根与函数零点的关系；通过观察函数图象与 轴的交点的情况，来研究函数零点的情况；通过研究：①函数图象不连续；② ；③ ，函数在区间上不单调；④ ，函数在区间上单调，等各种情况，加深对零点存在性定理的理解．
2.零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点.
问题1. 不是连续函数，结论还成立吗？请举例说明。
问题2. ,那么,函数 在区间 内一定没有零点吗?
问题3.若 ,那么,函数 在区间 内一定只有一个零点吗?
问题4.若函数 在区间 内有零点,那么一定有 吗?
问题5.若 ,那么,增加什么条件可确定函数 在区间 内一定只有一个零点?
例2.求函数 的零点的个数。
达标检测
1.函数 的零点为( )
A.(0,0),(4,0) B.0,4 C.(– 4 ,0), (0,0),(4,0) D.– 4 ,0,4
2.对于定义在R上的函数 ,若 ,则函数 在 内（）
A.只有一个零点B.至少有一个零点C.无零点D.无法确定有无零点
二次备课
1.三分钟德育教育：
2.预习评价情况反馈：
3.教学措施：
课堂学习研讨、合作交流
1.比较二次函数图象与 轴的交点和相应方程的根的关系，可知：
函数 的零点就是方程 的，也就是函数 的图象与的交点的横坐标。
方程 有实数根 函数 的图象 函数 。
例1.（1）求函数 的零点。（2）利用函数图象判断方程根的情况：
3.1.1方程的根与函数的零点
班级：姓名：小组：
教学目标知识与技能：1.ຫໍສະໝຸດ 解并掌握方程的根与相应函数零点的关系.
高中数学《方程的根与函数的零点》导学案
3．1.1方程的根与函数的零点1．函数零点的概念函数的零点：□1对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根．2．方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数根⇔□2函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔□3函数y＝f(x)有零点．3．零点的存在性定理□4如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)(教材改编P88T1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________．(2)(教材改编P88例1)若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．(3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．答案(1)0和－3(2)1(3)(1.25,1.5)『释疑解难』(1)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c.(2)零点的存在性定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图(1)中函数在区间(a，b)内有4个零点，图(2)中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．(3)零点的存在性定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图(3)，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f (a )·f (b )>0.(4)如果单调函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．探究1 求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x 2＋7x ＋6；(2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)；(3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2. 解 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或x ＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.拓展提升求函数零点的方法函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法：(1)令y ＝0，解方程f (x )＝0的根就是函数的零点；(2)画出函数y ＝f (x )的图象，图象与x 轴交点的横坐标就是函数的零点．【跟踪训练1】若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．解由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，∴f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.∴函数f(x)其余的零点是2.探究2判断函数零点所在的区间例2若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案A拓展提升确定函数零点所在区间的方法(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)对于连续函数f (x )，若存在f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点，若只有一个零点，则称此零点为变号零点，反过来，若f (a )与f (b )不变号，而是同号，即不满足f (a )·f (b )<0，也不能说函数无零点，如f (x )＝x 2，f (－1)·f (1)＝1>0，但0是f (x )的零点．【跟踪训练2】 根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的最小区间为________．答案 解析 解题的关键是e x 与x ＋2的差的符号，构造函数f (x )＝e x －x －2，将求方程e x －x －2＝0的根所在的区间转化为求函数的零点问题．令f (x )＝e x －x －2，由表格中数据知f (－1)＝0.37－1＝－0.63<0，f (0)＝1－2＝－1<0，f (1)＝2.72－3＝－0.28<0，f (2)＝7.39－4＝3.39>0，f (3)＝20.09－5＝15.09>0，由于f (1)·f (2)<0，所以根据表格，可知根所在的最小区间为(1,2)．探究3 判断函数零点的个数例3 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析 解法一：方程x ＋2＝0(x <0)的根为x ＝－2，方程x 2－1＝0(x >0)的根为x ＝1，所以函数f (x )有2个零点：－2与1.解法二：画出函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的图象，如图所示，观察图象可知，f (x )的图象与x 轴有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案 C拓展提升 判断函数零点个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断．(2)结合函数图象进行判断．(3)借助函数的单调性进行判断．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b )上单调，满足f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在区间(a ，b )上有且仅有一个零点，如图所示．【跟踪训练3】 判断下列函数零点的个数．(1)f (x )＝x 2－34x ＋58；(2)f (x )＝ln x ＋x 2－3.解 (1)由f (x )＝0，即x 2－34x ＋58＝0， 得Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－4×58＝－3116<0， 所以方程x 2－34x ＋58＝0没有实数根，即f (x )零点的个数为0.(2)解法一：函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图所示)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而方程ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点．解法二：由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f (1)·f (2)<0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．探究4 函数零点的应用例4 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋4＝0，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)一个根大于1，一个根小于1；(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．解 (1)方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，设f (x )＝x 2－2ax ＋4，结合二次函数的图象与性质及零点的存在性定理得f (1)＝5－2a <0，解得a >52.(2)方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的图象与性质及零点的存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝4>0，f (1)＝5－2a <0，f (6)＝40－12a <0，f (8)＝68－16a >0，解得103<a <174.拓展提升 解决根的分布的注意事项及方法(1)解决有关根的分布问题应注意以下几点：①首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．②结合草图考虑四个方面：a.Δ与0的大小；b.对称轴与所给端点值的关系；c.端点的函数值与零的关系；d.开口方向．③写出由题意得到的不等式并检验条件的完备性．(2)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．【跟踪训练4】 函数y ＝x 2＋2px ＋1的零点一个大于1，一个小于1，求p 的取值范围．解 解法一：记f (x )＝x 2＋2px ＋1，则函数f (x )的图象开口向上，当f (x )的零点一个大于1，一个小于1时，即f (x )与x 轴的交点一个在(1,0)的左方，另一个在(1,0)的右方，∴必有f (1)<0，即12＋2p ＋1<0.∴p <－1.∴p 的取值范围为(－∞，－1)．解法二：设y ＝x 2＋2px ＋1的零点为x 1，x 2，则⎩⎨⎧ Δ＝4p 2－4>0，(x 1－1)(x 2－1)<0⇔⎩⎨⎧ p 2>1，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0 ⇔⎩⎨⎧ p 2>1，1＋2p ＋1<0，得p <－1.1.函数的零点 (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.(2)根据函数零点定义可知，函数f (x )的零点就是f (x )＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根.(3)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象交点的横坐标.2.判断函数y ＝f (x )零点的存在性的两个条件(1)函数的图象在区间[a ，b ]上是一条连续不断的曲线.(2)由f (a )·f (b )<0就可判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点.但应用时应注意以下问题：①并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y ＝x 2的零点在x＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法.②利用上述结论只能判别函数y＝f(x)在区间(a，b)上零点的存在性，但不能确定其零点的个数.1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2B ．(－2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12. 2．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 C解析 因为函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (－2)＝e－2－4<0，f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e 2>0，所以f (0)·f (1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．3．方程x 3－x －1＝0在[1,1.5]上实数解有( ) A ．3个 B ．2个 C ．至少一个 D ．0个答案 C解析 令f (x )＝x 3－x －1，则f (1)＝－1<0，f (1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0，故选C.4．已知函数f (x )的图象是不间断的，且有如下的x ，f (x )对应值表：则函数f (x )在区间[－2,2]内的零点个数至少为________． 答案 3解析由f(－2)·f(－1.5)<0，f(－0.5)·f(0)<0，f(0)·f(0.5)<0可知，函数f(x)在区间[－2,2]内至少有3个零点．5．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？解(1)依题意，f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4<－m≤0，∴0≤m<4.∴当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，即当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．A级：基础巩固练一、选择题1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x－3－2－101234f(x)6m－4－6－6－4n6不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在区间是( )A ．(－3，－1)和(2,4)B ．(－3，－1)和(－1,1)C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案 A解析 因为f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．2．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)<0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 因为函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x )＝0在(－1,3)上不一定有实数解．3．函数y ＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)答案 D解析 因为f (9)＝lg 9－1<0，f (10)＝lg 10－910＝1－910>0，所以f (9)·f (10)<0，所以y ＝lg x －9x 在区间(9,10)上有零点，故选D.4．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有2018个，则f (x )的零点的个数为( )A ．2018B ．2019C ．4036D ．4037答案 D解析 ∵f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内有2018个零点，∴在(－∞，0)上也有2018个零点，又∵f (0)＝0，∴共有4036＋1＝4037个．5．设a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若x 0>a ，则( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定答案 B解析 如图所示，画出函数y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象，可知当x 0>a 时，2 x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0.二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13解析 由题意知，方程x 2－ax －b ＝0的两根为2,3，∴⎩⎨⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ，即a ＝5，b ＝－6，∴方程bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1＝0的根为－12，－13，即为函数g (x )的零点．7．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 由零点存在性定理得f (－1)·f (1)<0， 即(3a ＋1－2a )·(－3a ＋1－2a )<0，整理(a ＋1)(－5a ＋1)<0，解得a <－1或a >15.8．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．答案 (0,2)解析 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．三、解答题9．已知f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1.(1)当m 满足什么条件时，函数f (x )有两个零点？(2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<0<x 2，求实数m 的取值范围．解(1)由题意，知⎩⎨⎧2(m ＋1)≠0，(4m )2－4×2(m ＋1)(2m －1)>0，解得m <1且m ≠－1.(2)根据二次函数的图象，可知函数f (x )的两个零点满足x 1<0<x 2，有两种情况(如图)：开口向上与开口向下．因为⎩⎨⎧2(m ＋1)>0，f (0)＝2m －1<0或⎩⎨⎧2(m ＋1)<0，f (0)＝2m －1>0，解得－1<m <12.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.B 级：能力提升练10．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0，若该方程的一根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝4x 2－2(m ＋1)x ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴的交点分别在区间(0,1)和(1,2)内，画出示意图(如图)：则有⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝m ＞0，f (1)＝4－2(m ＋1)＋m ＜0，f (2)＝4×22－2×2(m ＋1)＋m ＞0，解得2＜m ＜4，所以实数m 的取值范围(2,4)．。
3.1.1 方程的根与函数的零点
3.1.1 方程的根与函数的零点【学习目标】1.理解函数零点的概念，掌握函数的零点与方程的根的关系；2.能够找出函数的零点的个数.【重点难点】重点：函数零点的概念、函数的零点与方程的根的关系。
难点：函数零点存在性定理【学法指导】通过研究一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x 轴的交点的横坐标之间的关系，让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切关系.【知识链接】一元二次方程、二次函数图像之间的关系.【问题探究】探究一：函数零点的概念1.观察下列一元二次方程的根与其相应的二次函数图像有什么关系？(1)方程2230x x --=与函数223y x x =--; (2)方程2210x x -+=与函数221y x x =-+; (3)方程2230x x -+=与函数223y x x =-+;2.对一般的一元次方程()200ax bx c a ++=≠的根与二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图像有什么关系？设24b ac ∆=-，有如下结论： (1)当0∆>时，一元二次方程有两个不等的实数根12,x x , 相应的二次函数的图像与x 轴有两个交点为 ；(2)当0∆=时，一元二次方程有两个相等实数根12x x =, 相应的二次函数的图像 ；（3)当0∆<时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图像 .3.根据一元二次方程的根与其相应的二次函数图像的关系，推广到一般情况，可得到函数零点的概念： 探究二：函数零点的存在性定理引导：观察二次函数223y x x =--的图像，我们发现函数()223f x x x =--在区间[]2,1-上有零点.计算()2f -与()1f 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？ 在区间[]2,4是否也具有这种特点？试一试：请同学们任意画几个函数的图像，观察图像，看是否能得出同样的结果？ 函数零点的存在性定理：【典例分析】例1.求下列函数的零点：⑴()223f x x x =-+； ⑵()41f x x =-.引导：求函数的零点就是求该函数相应方程的根. 解:点拨：求函数的零点就是求该函数相对应方程的根，一般可借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而求出函数的零点. 例2.判断下列函数在给定区间上是否存在零点：⑴()[]2318,1,8f x x x x =--∈； ⑵()[]31,1,2f x x x x =--∈-. 引导：利用函数的零点的存在性定理或图像进行判断. 解：点拨：判断函数在某一给定区间上是否存在零点，既是对函数零点的存在性定理的应用，只需看端点值是否异号即可.例3.求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.引导：(1)用计算器或计算机作出(),x f x 对应值表；(2)作出函数()f x 的图像；(3)确定函数()f x 的单调性；(4)若在区间[],a b 上连续，且()()0f a b ⋅<，则在区间(),a b 内有一个零点；(5)结合单调性，确定零点的个数.解：【总结提升】1.判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断，当不能直接求出时，可根据零点存在性定理，当用定理也无法判断时，可利用计算机画出图形判断；2.判断二次函数()f x 零点的个数，就是判断一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的实数根的个数.可利用判别式完成.而对于二次函数在某区间上的零点的个数，以及不能用判别式判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图像进行.【总结反思】知识 . 重点 . 能力与思想方法 .【自我评价】你完成本节课的学案情况为（ ）A.很好B.较好C.一般D.较差3.1.1 方程的根与函数的零点一、选择题 1．若y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( ) A ．若f(a)f(b)<0，不存在实数c ∈(a ，b)，使得f(c)＝0B ．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b)，使得f(c)＝0C ．若f(a)f(b)>0，不存在实数c ∈(a ，b)，使得f(c)＝0D ．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c ∈(a ，b)，使得f(c)＝02.设137x=，则 （ ） A.21x -<<- B.32x -<<- C.10x -<< D.01x <<3.函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间为（ ）A.()1,2B.()2,3C.()11,,3,4e ⎛⎫⎪⎝⎭D.(),e +∞4.函数f(x)＝x ＋1x的零点个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．35.如果二次函数23y x mx m =+++的一个零点在原点，则另一个零点是 （ ） A.3 B.-3 C.32 D.-326.定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2008x ＋log 2008x ，则函数f(x)的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．20067．设函数3y x =与y ＝2-x 21⎪⎭⎫⎝⎛的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)8．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1003个，则f(x)的零点的个数为 ( ) A ．1003 B ．1004 C ．2006 D ．20079．若函数y ＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．无法判断 二、填空题10.方程210ax x --=在()0,1内恰有一解，则a 的取值范围为 ；11.若函数()f x 在定义域R 上是奇函数，且在()0,+∞上是减函数，()20f =，则函数的零点是 .12.x ________.13．二次函数y ＝ax 2则使ax 2 三、解答题14.已知函数()()23263f x x m x m =-+++至多只有一个零点，求实数m 的取值范围. 解：15.已知函数()()221f x x a x =+-+的零点为正数，求实数a 的取值范围.16．如果函数)10()(f ≠>--=a a a x a x x 且有两个不同的零点，求a 的取值范围．。
方程的根与函数的零点导学案2课时
3.1.1方程的根与函数的零点导学案（2课时）课前预习案【使用说明和学法指导】1、仔细阅读课本，课前完成好预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过20分钟。
在做题过程中，如遇不会的问题再回去阅读课本；AA 完成所有题目，BB 完成除★★外所有题目，CC 完成不带★题目。
2、认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。
3、小组长在课上讨论环节时要在组内起引领作用，控制讨论节奏。
4、必须掌握的数学方法和数学思想：数形结合思想；利用零点的概念、方程的根与函数的零点的关系、零点存有性定理准确处理和解决具体问题。
课前准备：1、课本、《方程的根与函数的零点导学案》、典题本、练习本、双色笔。
2、分析错因，自纠学案。
3、标记疑难，以备讨论。
一．学习目标：1、理解函数的零点概念，理解并掌握函数零点与相对应方程根的联系 。
2、掌握判定函数零点存有的条件，并能确定具体函数存有零点的区间；3、学会将求方程的根的问题转化为求相对应函数零点的问题，转化为求相对应函数的图象与x 轴的交点问题，转化为求两函数图象的交点问题；4、激情投入，高效学习，培养学生形成扎实严谨的科学态度和勇于探索的数学精神。
重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存有的判定条件及应用．难点：探究发现函数零点的存有性.求函数零点的个数、方程根的个数、两函数图象交点的个数问题二．预习导学：自主学习教材P86～P87页内容，思考下列问题，找出疑惑之处。
复习：①函数零点定义：对于函数()y f x =,把使得 的实数x 叫做()y f x =的零点复习：②函数()y f x =有零点的等价条件函数 ()y f x =有零点⇔方程()0f x =有⇔函数()y f x =的图像函数()y f x =的零点⇔方程()0f x =的⇔函数()y f x =的图像复习：③函数零点的求法：代数法、图象法基础落实：④函数零点存有性定理如果函数()y f x =在区间[a,b]上的图象是 的一条曲线，并且有，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）内有零点，即存有c ∈（a,b ），使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根三．小试牛刀：（1）函数82xy =-的零点为（2）函数()2x f x x =+ 的一个零点所在的大致区间为（ ）A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D. （1，2）一、合作探究重点讨论内容：1、零点存有的判定条件；（结合思考1-6及例1）2、函数零点的个数、方程根的个数与两函数图象交点的个数问题的等价转化。
3.1.1 方程的根与函数的零点导学案
鸡西市第十九中学学案
【函数零点的定义】问题1考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
＝0与函数y＝x2－2x－3；
0与函数y＝x2－2x＋1;
0与函数y＝x2－2x＋3.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点坐标吗？
判断函数的零点的个数，可以转化为判断函数对应方程的实根的个数，也可以转化为判断函数图象与x轴交点的个数．
上的图象是一条的曲线，且，
)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有这两个条件后，函数的零点是唯一的吗？
函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝。
方程的根与函数的零点导学案
3.1.1 方程的根与函数的零点导学案一、预习目标复习1：一元二次方程2ax +bx+c=0 (a ≠0)的解法.判别式∆= . 当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实数.复习2：方程2ax +bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象之间有什么关系？判别式 一元二次方程 二次函数图象0∆>0∆=0∆<二、学习过程探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为 ； （2）函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()f a f b 0；在区间[,]b c 上 零点；()()f b f c 0；在区间[,]c d 上 零点；()()f c f d 0.新知：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b <0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.三、 典型例题例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.变式一：求函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．例2求函数23x y =-的零点大致所在区间.变式训练二求下列函数的零点：（1）254y x x =--；（2）2(1)(31)y x x x =--+.课后练习：1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 42.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定3. 函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）.A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)。
方程的根与函数的零点 导学案——高一上学期数学人教A版必修1
第三章函数的应用3.1.1 方程的根与函数的零点（导学案）【课时目标】1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.2.掌握函数零点的存在性定理．3.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.【知识梳理】预习课本P86-P881．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系Δ>0 Δ＝0 Δ<02.对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．3．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y ＝f(x)__________．【探究讨论】请观看视频——穿越国门若将中俄两国国界看成x 轴，火车途径的两个站点抽象到平面中来为点A ，B （两点对应的横坐标分别为a,b ），回到函数问题中来，请在下列四个图中分别画出过A ，B 两点的一条连续不断的曲线表示一个函数。
（1） （2）（3） （4）【思考1】满足什么条件，函数()y f x =在区间()b a ,上一定有零点？4．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内________，即存在c ∈(a ，b)，使得__________，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．【思考2】如果函数有零点，有几个零点？【牛刀小试】()21.log 1f x x =-求函数的零点.()2.23 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)x f x x =-函数的零点所在的区间是（ ）3.()35x f x x =+-判断的零点个数.【课后思考】如何求出函数()ln 26f x x x =+-的零点？。
高中数学 第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点导学案 新人教版必修1
§3.1.1 方程的根与函数的零点1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.8688复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法.判别式∆= .当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关系？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为 ； （2）函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点； ()()f a f b 0；在区间[,]b c 上 零点；()()f b f c 0；在区间[,]c d 上 零点；()()f c f d 0.新知：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b <0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.※ 典型例题例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.变式：求函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．※ 动手试试练1. 求下列函数的零点：（1）254y x x =--；（2）2(1)(31)y x x x =--+.练2. 求函数23x y =-的零点所在的大致区间.三、总结提升※ 学习小结①零点概念；②零点、与x 轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理※ 知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号. 推论：函数在区间[,]a b 上的图象是连续的，且()()0f a f b <，那么函数()f x 在区间[,]a b 上至少有一个零点. .※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 42.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定3. 函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）.A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)4. 函数220y x x =-++的零点为 .5. 若函数()f x 为定义域是R 的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为 .1. 求函数3222y x x x =--+的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.2. 已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-.（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求m 值.。
311方程的根与函数的零点导学案.doc
3.1.1方程的根与函数的零点教学目标：1.理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条一件・2. 理解零点存在性的判定3. 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.重点：零点的概念及存在性的判定.难点：零点的确定一、创设情境：1＞先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图彖：①方程Jr? 一2兀一3 = 0与函数〉‘=兀2一2兀一3・Q方程x2一2兀+ 1二0与函数歹=/一2尤+1思考：表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系。
总结：1)方程根的个数就是函数图象与X轴交点的个数。
2)方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
2、提出问题：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0) 及相应的二次函数y= ax2+bx+c(a7^0)的图彖与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？溜式戶=b?—4ac 方程ax2 +bx+c=(a^O)的根。
函数y二ax2+bx+c(a^0)的图彖函数的图象与X轴的交占A>0两个不相等静实報根共q 、笑2x\■■J(X p 0),(x2, 0)A=0有两个相等的实数根X］二X2(x p 0)A<0没有实根 2 -iyB总结：可见上述关系对一般的一元二次ax2+bx+c=O(a^O)及相应的二次函数y= ax2+bx+c(a^O)也是成立的二、讲授新课：3、函数零点的概念：对于函数y = f(x)(xe D),把使/(x) = 0成立的实数兀叫做函数y 二/(X)(XG£>)的零点.函数零点的意义：函数y = /(%)的零点就是方程/(X)= 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与兀轴交点的横坐标.即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = fM有零点.(1)求函数丁 = /(兀)零点的方法：①方程法：求方程fM = 0的实数根；®图像法：画出函数yh(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标是函数yh(x)的零点例1.求下列函数的零点：1 /(x) = x2-x-2 2 /(兀)二3兀一23 f(X)= e x 4. /W = lnx+2x-64、零点存在性的探索：（I ）观察二次函数f（x） = x2-2x-3的图象:®在区间［-2,1］±有零点_______ ;/（-2） = ______ ， /（D= _______/（-2）• /（D _____ 0 （＜或＞）・©在区间［2,4］上有零点______ ;/⑵• /⑷—0 （V或〉）.（II）观察下面函数y = /（x）的图象®在区间［恥］上 _____ （有/无）零点；/⑺）•0 （＜或＞）・©在区间|Z?,c］±_______ （有/无）零点；/的• /（c）_____ 0（＜或〉）・©在区间［c,〃］上____ （有/无）零点；/（C）• /（d）___ 0（V或〉）・由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？（结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析）总结：函数零点存在性定理5、怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点.三、例题讲解：例:1.求函数/（兀）=lnx + 2x-6的零点个数.问题：1) 你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2) 判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？(引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识・)四、当堂训练：1. 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：(1) —兀~ + 3x + 5 = 0；(2) 2x(x — 2) = —3 ；(3) x2 = 4x —4；(4) 5X2+2X =3X2+5・2. 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间:(1) / (x)=—无‘ 一3x + 5 ；(2) /(x) = 2xln(x-2)-3 ；(3) f(x) = e x~{(4) /(x) = 3(x+ 2)(x-3)(x + 4) + 兀五•、布置作业：教材P92 (A组)第1、2题；。
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y ax2 bx c (a 0) 的图象有什么关系？
2．函数的零点的概念： 对于函数 y＝f(x)，把 叫做函数 y＝f(x)的零点。 注: 函数的零点是一个实数，而不是一个点。 3．方程、函数、图象之间的关系： 方程 f(x)＝0 ⇔函数 y＝f(x)的图象 ⇔函数 y＝f(x) 。 练习： Al．函数 y＝x－1 的零点是 ( ) A．(1,0) B．(0,1) C．0 D．1 A2．函数 f(x)＝x2－3x－4 的零点是________ B3．若函数 f(x)＝x2＋2x＋a 没有零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥1 C4．已知函数 f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于 ( ) A．0 B．1 C．－1 D．不能确定 （二） 、认真阅读教材 P87---P88 页内容，探究：函数 y＝f(x)在某个区间上是否一定有零 点？怎样的条件下，函数 y＝f(x)一定有零点？ 2 2 1 观察二次函数 y x 2x 3 的图象 我们发现函数 y x 2x 3 在区间 [2,1] 上 有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 [2,4] 上是否 也具有这种特点呢？
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A 例 1、求证:函数 f(x)=2x -3x-2 有两个零点。
２
A 例 2 、求函数 f ( x) ln x 2 x 6 的零点个数。
五、达标检测： 练习：教材 88 页第 1 题（1） （2）第 2 题（1） （ 2） （3） 2 A1．函数 f(x)＝lnx－ 的零点所在的大致区间是( )
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2 猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数在 区间(a,b)上有零点。 3．函数零点存在定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是 的 一条曲线,并且有 , 那么, 函数 y=f(x) 在区间 内有零点, 即 存在 c∈(a, b),使 , 这个 也就是方程 f(x) = 0 的根。 思考：若函数 y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出 f(a)·f(b)<0 的结论吗？
x
A．(1,2)
B．(2,3)
1 C．(1， )和(3,4)
e
D．(e，＋∞)
B2．函数 f(x)＝x2－ax－b 的两个零点是 2 和 3，求函数 g(x)＝bx2－ax－1 的零点。
六、学习小结： 1．函数零点的定义。 2．等价关系。 3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断。 七、布置作业： 八、课后反思：
3.1.1 方程的根与函数的零点导学案
一、学习目标： 结合二次函数的图象，理解函数的零点概念，领会函数零点与相应方程根的关系 二、学习重、难点： 函数的零点的概念以及零点存在的判定方法。 三、学法指导：认真阅读教材，在熟练掌握二次函数的有关知识的基础上，结合二次函数 图象，由特殊到一般逐渐理解零点的概念，并会判断零点的存在。 四、学习过程： （一） 、认真阅读教材 P86---P87 页内容，思考： 1．通过书中三个具体一元二次方程的根与相应的二次函数的图像与 x 轴的交点的关 系 归 纳 一 元 二 次 方 ax bx c 0 (a 0) 的 根 与 相 应 的 二 次 函 数