2018-2019学年天津市南开区九年级(上)期中数学试卷
天津市南开区2019届九年级上期中数学试卷含答案解析
2018-2019学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共36分）1．方程x（x+）=0的根是( )A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=﹣ C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=22．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠04．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）5．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=( )A．80°B．90°C．100°D．无法确定6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=( )A．30°B．35°C．45°D．60°7．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣28．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2；④使y≤3成立的x的取值范围是﹣3≤x≤1．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为( )A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）10．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是( )A．B．C．D．11．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为( )A．B．C．D．12．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为( )A．3 B．4﹣C．4 D．6﹣2二.填空题：共18分.13．坐标平面内的点P（m，2）与点Q（3，﹣2）关于原点对称，则m=__________．14．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为__________15．请写出一个二次函数，使其满足以下条件：①图象过点（2，﹣2）；②当x＜0时，y 随x增大而增大；它的解析式可以是__________16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为__________cm．17．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程：__________．18．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m ＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A （﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是__________．（只填写序号）三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19．（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（适当方法）（2）2x2+1=3x（配方法）20．二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …（1）求该二次函数的解析式；（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．21．如图，在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60°．（1）求∠COB的度数；（2）求CD的长．22．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=2．求证：CD是⊙O的切线．23．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，求建成的饲养室总面积的最大值（墙体厚度忽略不计）．24．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE 绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于__________，线段CE1的长等于__________；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）25．如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐标，不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S的最大（小）值．2018-2019学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共36分）1．方程x（x+）=0的根是( )A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=﹣ C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程利用两数之积等于0，两数至少有一个为0求出解即可．【解答】解：方程x（x+）=0，可得x=0或x+=0，解得：x1=0，x2=﹣．故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0【解答】解：依题意列方程组，解得k＜1且k≠0．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．4．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上则点M的横坐标一定为3，从而选出答案．【解答】解：∵二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x=3，∴直线l上所有点的横坐标都是3，∵点M在直线l上，∴点M的横坐标为3，故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴是x=h．5．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=( )A．80°B．90°C．100°D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=( )A．30°B．35°C．45°D．60°【考点】切线的性质；正多边形和圆．【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．【解答】解：连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．7．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先利用顶点式得到抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），再利用点平移的规律得到点（0，1）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），所以所得抛物线的函数关系式y=（x+2）2﹣2．故选B．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2；④使y≤3成立的x的取值范围是﹣3≤x≤1．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．【分析】直接根据二次函数的图象与x轴的交点及顶点坐标即可得出结论．【解答】解：①∵二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确；②∵当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正确；③∵抛物线与x轴的交点分别是（﹣3，0），（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之和=﹣3+1=﹣2，故③正确；④由函数图象可知，当y≤3时，x≥0或x≤2，故④错误．故选C．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为( )A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．【解答】解：如图所示：结合图形可得点B′的坐标为（2，1）．故选A．【点评】本题考查了坐标与图形的变化，解答本题的关键是找到旋转的三要素，找到点B'的位置．10．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是( )A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象．【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．【解答】解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∵a＞0，开口向上，∴A符合条件，故选A．【点评】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为( )A．B．C．D．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】由于△ABC、△A1B1C1都是正三角形，因此它们的外心与内心重合；可过O分别作AB、A1B1的垂线，连接OA、OA1；在构建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半径分别表示出AB、A1B1的长，进而可求出它们的比例关系，进而得出△A1B1C1与△ABC的面积的比值．【解答】解：设圆心为O，AB与圆相切于点D，连接AO，DO，∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它们的内心与外心重合；如图：设圆的半径为R；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；AO=OD•=R，即AB=2R；同理可求得：A1B1=R，∴==，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为：（）2=．故选：C．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质以及正多边形的内外心重合等知识，得出=是解题关键．12．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为( )A．3 B．4﹣C．4 D．6﹣2【考点】正多边形和圆；坐标与图形性质；等边三角形的性质．【分析】首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．【解答】解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC∵AB=BC=2∴AD=AB•sin∠B=，∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2∵点A的坐标为（0，6）∴OA=6∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=4﹣故选B．【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．二.填空题：共18分.13．坐标平面内的点P（m，2）与点Q（3，﹣2）关于原点对称，则m=﹣3．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），所以m=﹣3．【点评】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，是需要识记的基本问题．14．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为m＞0【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式组解答即可．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣m）2+（m+1），∴顶点坐标为（m，m+1），∵顶点在第一象限，∴m＞0，m+1＞0，∴m的取值范围为m＞0．故答案为：m＞0．【点评】此题考查二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征．15．请写出一个二次函数，使其满足以下条件：①图象过点（2，﹣2）；②当x＜0时，y 随x增大而增大；它的解析式可以是y=﹣2x2+6【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】根据该函数的增减性确定其比例系数的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大，∴设解析式为：y=﹣2x2+b，∵图象经过点（2，﹣2），∴﹣2=﹣2×22+b，解得：b=6．∴解析式为：y=﹣2x2+6（答案不唯一）．故答案为：y=﹣2x2+6（答案不唯一）．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握性质，设出二次函数的顶点式是解决问题的关键．16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为14.5cm．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】应用题．【分析】根据题意，把实际问题抽象成几何问题，即圆中与弦有关的问题，根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．【解答】解：根据题意，画出图形如图所示，由题意知，AB=10，CD=2，OD是半径，且OC⊥AB，∴AC=CB=5，设铅球的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，根据勾股定理，OC2+AC2=OA2，即（r﹣2）2+52=r2，解得：r=7.25，所以铅球的直径为：2×7.25=14.5 cm．【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．17．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程：2（1+x）+2（1+x）2=8．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】关键描述语是：“预计今明两年的投资总额为8万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总额=8，把相关数值代入即可．【解答】解：∵去年对实验器材的投资为2万元，该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，∴今年的投资总额为2（1+x）；明年的投资总额为2（1+x）2；∵预计今明两年的投资总额为8万元，∴2（1+x）+2（1+x）2=8．【点评】解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的．18．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m ＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A （﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是③⑤．（只填写序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣＜，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（﹣3，y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断．【解答】解：如图，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＜0，∴abc＞0，所以①的结论正确；∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴0＜﹣＜，∴+=＞0，∴a+b＞0，所以②的结论正确；∵点A（﹣3，y1）到对称轴的距离比点B（3，y2）到对称轴的距离远，∴y1＞y2，所以③的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，∴am2﹣a+bm+b=0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0，∴a（m﹣1）+b=0，所以④的结论正确；∵＜c，而c≤﹣1，∴＜﹣1，∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的结论错误．故答案为③⑤．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19．（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（适当方法）（2）2x2+1=3x（配方法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣2）（x+1）=0，可得x﹣2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=﹣1；（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=1，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …（1）求该二次函数的解析式；（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，再取三组对应值代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣1，0），（0，﹣3），（1，﹣4）代入得，解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．21．如图，在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60°．（1）求∠COB的度数；（2）求CD的长．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）连接OD，由垂径定理可得∠COB=∠DOB=∠COD，进而可求出∠COB的度数；（2）若∠CFD=60°，则∠COB=60°，通过解直角三角形即可求得CD的长．【解答】解：（1）连接OD，∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，∴，∴∠COB=∠DOB=∠COD，∴∠CFD=∠COB=60°；（2）Rt△COE中，OC=6cm，∠COE=∠CFD=60°；∴CE=OC•sin60°=3cm；∴CD=2CE=6cm．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及特殊角的锐角三角函数值得运用，连接OD，得到△COD是解直角三角形是解题的关键．22．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=2．求证：CD是⊙O的切线．【考点】切线的判定．【专题】证明题．【分析】连接OD，先通过计算得到OD2+CD2=OC2，则根据勾股定理的逆定理得∠ODC=90°，然后根据切线的判定定理得CD是⊙O的切线．【解答】证明：连接OD，如图，CD=OD=OA=AB=2，OC=2，∵22+22=（2）2，∴OD2+CD2=OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，∴OD⊥CD，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理的逆定理．23．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，求建成的饲养室总面积的最大值（墙体厚度忽略不计）．【考点】二次函数的应用．【分析】设中间隔开的墙EF的长为x米，建成的饲养室总面积为S平方米，根据题意可知AD的长度等于BC的长度，列出式子AD﹣2+3x=28，得出用x的代数式表示AD的长，再根据矩形的面积=AD•AB得出S关于x的解析式，再利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：设中间隔开的墙EF的长为x米，建成的饲养室总面积为S平方米，根据题意得AD﹣2+3x=28，解得AD=30﹣3x，则S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，故当中间隔开的墙长为5米时，饲养室有最大面积75平方米．【点评】本题考查二次函数的应用，配方法，矩形的面积，有一定难度，解答本题的关键是得到建成的饲养室总面积的解析式．24．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE 绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于2，线段CE1的长等于2；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；（3）首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．【解答】（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，∴AE=AD=2，∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，∴BD1==2，E1C==2；故答案为：2，2；（2）证明：当α=135°时，如图2，∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，在△D1AB和△E1AC中∵，∴△D1AB≌△E1AC（SAS），∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，∴∠BFA=∠CFP，∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD1⊥CE1；（3）解：如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2，故∠ABP=30°，则PB=2+2，故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．【点评】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．25．如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐标，不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S的最大（小）值．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．【解答】解：（1）如答图1，连接CB．∵BC=2，OC=1∴OB===∴B（0，）将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式得：，解得：，∴y=﹣x2+x+；（2）存在．如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P1，P2．∵B（0，），O（0，0），∴直线l的表达式为y=，代入抛物线的表达式，得﹣x2+x+=，解得x1=1+或x2=1﹣，∴P1（1﹣，）或P2（1+，）；（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，设M（x m，y m），+S△MHA﹣S△OAB则S△MAB=S梯形MBOH=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB=（y m+）x m+（3﹣x m）y m﹣×3×=x m+y m﹣，∵y m=﹣x m2+x m+，∴S△MAB=x m+（﹣x m2+x m+）﹣=﹣x m2+x m=﹣（x m﹣）2+，∴当x m=时，S△MAB取得最大值，最大值为．【点评】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数相关性质、圆的性质、垂直平分线、勾股定理、面积求法等知识点．其中第（2）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（3）问中，重点关注图形面积的求法以及求极值的方法．。
2018-2019学年天津市南开区九年级上期中数学模拟试卷含答案
D．22°
6．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的
弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形
对角互补．其中正确的结论是（
A．①
B．②
） C．③
D．④
7．如图，函数 y=a2x▱2x+1 和 y=ax▱a（a 是常数，且 a≠0）在同一平面直角坐
标系的图象可能是（ ）
2018-2019 学年天津市南开区九年级（上）期中数学模拟试卷
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）
1．方程 x2▱4x▱12=0 的解为（ ）
A．x1 =2，2x =6
B．x1 =2，2x =▱6
C．x1 =▱2，x2 =6
D．x =▱2，x =由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上
D．（
）
12．二次函数 y=▱x2+bx+c 的图象如图所示，下列几个结论： ①对称轴为直线 x=2； ②当 y≤0 时，x＜0 或 x＞4； ③函数解析式为 y=▱x2+4x； ④当 x≤0 时，y 随 x 的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
取定一点 O 称为极点；从点 O 出发引一条射线 Ox 称为极轴；线段 OP 的长
度称为极径．点 P 的极坐标就可以用线段 OP 的长度以及从 Ox 转动到 OP 的
角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即 P（3，60°）或 P（3，
▱300°）或 P（3，420°）等，则点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q 的极坐标表
B．5
C．
D．3
11．如图，⊙O 的半径为 1，动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45°圆心角的速度逆 时针匀速运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示位置，第 2 秒 B 点 P 位于点 C 的 位置，……，则第 2017 秒点 P 所在位置的坐标为（ ）
2018-2019学年天津市五校联考九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年天津市五校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题；共36分）1．已知点(,1)A a 与点(5,)B b 是关于原点O 的对称点，则( )A ．5a =-，1b =-B ．5a =-，1b =C ．5a =，1b =-D ．5a =，1b =2．一元二次方程2230x x +-=的两个根中，较小一个根为( )A ．3B ．3-C ．2-D ．1-3．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．若函数2(3)y a x x a =-++是二次函数，那么a 不可以取( )A ．0B ．1C ．2D ．35．已知一元二次方程260x x c -+=有一个根为2，则另一根为( )A ．2B ．3C ．4D ．86．函数21y x =-+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．二次函数2(2)5y x =-+的对称轴是( )A ．2x =-B ．2x =C ．5x =-D ．5x = 8．若方程21(1)20mm x x m +---=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( ) A ．1- B ．1 C ．5 D ．1-或19．若关于x 的一元二次方程210ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是( )A ．14a -且0a ≠B ．14a -C ．14a -D ．14a -且0a ≠ 10．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是( )A ．5B ．7C ．5或7D ．1011．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x ，列出方程正确的是( )A ．2580(1)1185x +=B ．21185(1)580x +=C ．2580(1)1185x -=D ．21185(1)580x -=12．（3分）如图，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠经过点(1,0)A 和点(0,2)B -，且顶点在第三象限，记m a b c =-+，则m 的取值范围是( )A ．10m -<<B ．20m -<<C ．42m -<<-D ．40m -<<二、填空题（共6小题；共18分）13．将抛物线221y x =-+向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为．16．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请 支球队参加比赛．17．已知抛物线2y ax bx c =++过(2,3)-，(4,3)两点， 那么抛物线的对称轴为直线 ．18．二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，若关于x 的方程2ax bx m +=有实根，则m 的取值范围是 ．三、解答题（共7小题；19、20每小题8分，21、22、23、24、25每小题10，共，66分）19．（8分）解方程：（1）2237x x +=；（公式法） （2）2410x x -+=．（配方法）14．如图，把ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转35︒，得到△A B C ''，A B ''交AC于点D ．若90A DC ∠'=︒，则A ∠= ．15．若抛物线24y x x c =-+的顶点在x 轴上，则c 的值是 ．20．（8分）如图，在正方形网格中，ABC ∆各顶点都在格点上，点A ，C 的坐标分别为(5,1)-、(1,4)-，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C ；（2）画出ABC ∆关于原点O 对称的△222A B C ；（3）点1C 的坐标是 ；点2C 的坐标是 ；（4）试判断：△111A B C 与△222A B C 是否关于x 轴对称？（只需写出判断结果） ．21．（10分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(1,4)A -，且过点(3,0)B ．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．22．（10分）由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）完成下列表格，并直接写出月销售量y （台)与售价x （元/台）之间的函数关系式及售价x 的取值范围； 售价（元/台）月销售量（台) 400200250 x（2）当售价x （元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w （元)最大？最大利润是多少？23．（10分）如图，抛物线234y x x =-++交x 轴于A 、B 两点（点A 在B 左边），交y 轴于点C ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求直线BC 的函数关系式；（3）点P 在抛物线的对称轴上，连接PB ，PC ，若PBC ∆的面积为4，求点P 的坐标．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，把矩形COAB绕点C顺时针旋转，得到矩形CFED，记旋转角为α，设FC与AB交于点H，且点(0,4)C．A，(6,0)α=︒时，求BD、HC的长；（Ⅰ）如图1，当60（Ⅱ）当AH HC=时，求直线FC的解析式；α=︒时，经过点D，且以点B为顶点的抛物线是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明（Ⅲ）如图2，当90理由．25．（10分）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 的坐标为(1,0)-，与y 轴交于点(0,3)C ，作直线BC ．动点P 在x 轴上运动，过点P 作PM x ⊥轴，交抛物线于点M ，交直线BC 于点N ，设点P 的横坐标为m ．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式； （Ⅱ）当点P 在线段OB 上运动时，求线段MN 的最大值； （Ⅲ）当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m 的值．。
2019-2020学年天津市南开区九年级(上)期中数学试卷解析版
2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题，本大鹏共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）在平面直角坐标系中，与点(4,5)-关于原点对称的点的坐标是( ) A ．(4,5)--B ．(4,5)-C ．(4,5)-D ．(4,5)2．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）已知关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，下列说法正确的是( ) A ．当0k =时，方程无解B ．当1k =时，方程有一个实数解C ．当1k =-时，方程有两个相等的实数解D ．当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解 4．（3分）抛物线(1)(2)y x x =---的顶点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．3(2-，1)4D ．31(,)245．（3分）若二次函数241y ax x a =++-的最小值是2，则a 的值是( ) A ．4B ．3C ．1-D ．4或1-6．（3分）如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒7．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数2(2)1y x =-+，下列说法中错误的是()A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x …时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 8．（3分）如图，ABC ∆的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且5AB =，13BC =，12CA =，则阴影部分（即四边形)AEOF 的面积是( )A ．4B ．6.25C ．7.5D ．99．（3分）已知点1(2,)A y -，2(2,)B y ，3(5,)C y 在二次函数23y x k =-+图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．123y y y <<C ．123y y y =>D ．123y y y =<10．（3分）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是( )A ．AC AD =B ．AB EB ⊥C ．BC DE =D ．A EBC ∠=∠11．（3分）如图，O 的弦BC 长为8，点A 是O 上一动点，且45BAC ∠=︒，点D ，E 分别是BC ，AB 的中点，则DE 长的最大值是( )A ．4B．C ．8D．12．（3分）二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y>．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③2003m n <+<． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.13．（3分）关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是 ． 14．（3分）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，135B ∠=︒，则A O C ∠的度数为 ．15．（3分）已知ABC ∆的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则这个三角形的外接圆的面积为 2cm ．（结果用含π的代数式表示）16．（3分）有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与x 轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线3x =；丙：与y 轴的交点到原点的距离为3．满足上述全部特点的二次函数的解析式为 ．17．（3分）有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程 ．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC ∆的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上． （Ⅰ）弦AB 的长等于 ；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过出点A ，B 的圆的圆心O ，并简要说明点O 的位置是如何找到的（不要求证明） ．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）关于x 的一元二次方程220x mx n -+=． （1）当4m n -=时，请判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，当2n =时，求此时方程的根．20．（8分）已知二次函数2y x bx c =-++，函数值y 与自变量x 之间的部分对应数值如下表：（Ⅰ）直接写出二次函数的对称轴是：直线 ，此函数图象与x 轴交点有 个； （Ⅱ）求二次函数的函数表达式；（Ⅲ）当51x -<<-时，请直接写出函数值y 的取值范围： ．21．（10分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB 为12m ，拱高CD 为4m ． （1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽5m 的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m ，求此货船是否能顺利通过拱桥？22．（10分）已知PA，PB分别与O相切于点A，B，76∠=︒，C为O上一点．APB（Ⅰ）如图①，求ACB∠的大小；（Ⅱ）如图②，AE为O的直径，AE与BC相交于点D，若A B A D=．求EAC∠的大小．23．（10分）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的边AD长为x米，AB 长为y米，矩形的面积为S平方米，且x y<．（Ⅰ）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出是否能使矩形场地的面积为260平方米？24．（10分）如图，在矩形ABCD中，8AD=，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转AB=，6得到矩形AEFG．（1）如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N．①求证：MA MC =； ②求MN 的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE 经过线段BG 的中点P ，连接BE ，GE ，求BEG ∆的面积25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2252(1)(2y x k x k k k=--+-为常数）．（1）若抛物线经过点2(1,)k ，求k 的值；（2）若抛物线经过点1(2,)k y 和点2(2,)y ，且12y y >，求k 的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当12x 剟时，新抛物线对应的函数有最小值32-，求k 的值．2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，本大鹏共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）在平面直角坐标系中，与点(4,5)-关于原点对称的点的坐标是() A．(4,5)-D．(4,5) --B．(4,5)-C．(4,5)【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点(,)P x y关于原点O的对称点是(,)'--，进而得出答案．P x y【解答】解：点(4,5)-关于原点对称的点的坐标为：(4,5)-．故选：B．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．2．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）已知关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，下列说法正确的是( ) A ．当0k =时，方程无解B ．当1k =时，方程有一个实数解C ．当1k =-时，方程有两个相等的实数解D ．当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解【分析】利用k 的值，分别代入求出方程的根的情况即可． 【解答】解：关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，A 、当0k =时，10x -=，则1x =，故此选项错误；B 、当1k =时，210x -=方程有两个实数解，故此选项错误；C 、当1k =-时，2210x x -+-=，则2(1)0x -=，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D 、由C 得此选项错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，代入k 的值判断方程根的情况是解题关键． 4．（3分）抛物线(1)(2)y x x =---的顶点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．3(2-，1)4D ．31(,)24【分析】把二次函数化为顶点式得出顶点坐标可． 【解答】解：231(1)(2)()24y x x x =---=--+，∴顶点坐标是3(2，1)4．故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠是解题的关键．5．（3分）若二次函数241y ax x a =++-的最小值是2，则a 的值是( ) A ．4B ．3C ．1-D ．4或1-【分析】根据题意：二次函数241y ax x a =++-的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y 最小值244ac b a-=列出关于a 的一元二次方程，解得a 的值即可．【解答】解：二次函数241y ax x a =++-有最小值2，0a ∴>，y 最小值2244(1)444ac b a a a a---==， 整理，得2340a a --=， 解得1a =-或4，0a >， 4a ∴=． 故选：A ．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如225y x x =--+，2361y x x =-+等用配方法求解比较简单．6．（3分）如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【分析】由圆周角定理得到260AOC ADC ∠=∠=︒，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得BOC ∠的度数．【解答】解：如图，30ADC ∠=︒， 260AOC ADC ∴∠=∠=︒．AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，∴AC BC =．60AOC BOC ∴∠=∠=︒．故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．7．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数2(2)1y x =-+，下列说法中错误的是()A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x …时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：二次函数2(2)1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小； 故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误；根据平移的规律，2y x =的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到2(2)1y x =-+； 故选项D 的说法正确， 故选：C ．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．（3分）如图，ABC ∆的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且5AB =，13BC =，12CA =，则阴影部分（即四边形)AEOF 的面积是( )A ．4B ．6.25C ．7.5D ．9【分析】利用勾股定理的逆定理得到ABC ∆为直角三角形，90A ∠=︒，再利用切线的性质得到OF AB ⊥，OE AC ⊥，所以四边形OFAE 为正方形，设OE AE AF x ===，利用切线长定理得到5BD BF r ==-，12CD CE r ==-，所以51213r r -+-=，然后求出r 后可计算出阴影部分（即四边形)AEOF 的面积． 【解答】解：5AB =，13BC =，12CA =，222AB CA BC ∴+=，ABC ∴∆为直角三角形，90A ∠=︒，AB 、AC 与O 分别相切于点E 、FOF AB ∴⊥，OE AC ⊥，∴四边形OFAE 为正方形，设OE r =， 则AE AF x ==，ABC ∆的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ， 5BD BF r ∴==-，12CD CE r ==-， 51213r r ∴-+-=， 5121322r +-∴==， ∴阴影部分（即四边形)AEOF 的面积是224⨯=．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．9．（3分）已知点1(2,)A y -，2(2,)B y ，3(5,)C y 在二次函数23y x k =-+图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．123y y y <<C ．123y y y =>D ．123y y y =<【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y 轴，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．【解答】解：二次函数23y x k =-+图象的对称轴为y 轴，点1(2,)A y -，2(2,)B y 到y 轴的距离相同，3(5,)C y 到y 轴的距离最远， 123y y y ∴=>．故选：C ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10．（3分）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是( )A ．AC AD =B ．AB EB ⊥C ．BC DE =D ．A EBC ∠=∠【分析】根据旋转的性质得到AC CD =，BC CE =，AB DE =，故A 错误，C 错误； 得到A C D B C E ∠=∠，根据三角形的内角和得到1802ACDA ADC ︒-∠∠=∠=，1802BCECBE ︒-∠∠=，求得A EBC ∠=∠，故D 正确；由于A ABC ∠+∠不一定等于90︒，于是得到ABC CBE ∠+∠不一定等于90︒，故B 错误． 【解答】解：将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆， AC CD ∴=，BC CE =，AB DE =，故A 错误，C 错误； ACD BCE ∴∠=∠，1802ACD A ADC ︒-∠∴∠=∠=，1802BCECBE ︒-∠∠=，A EBC ∴∠=∠，故D 正确； A ABC ∠+∠不一定等于90︒，ABC CBE ∴∠+∠不一定等于90︒，故B 错误故选：D ．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 11．（3分）如图，O 的弦BC 长为8，点A 是O 上一动点，且45BAC ∠=︒，点D ，E 分别是BC ，AB 的中点，则DE 长的最大值是( )A ．4B ．C ．8D ．【分析】当AC 是直径时，DE 最长，求出直径即可解决问题． 【解答】解：当AC 是直径时，45BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒， 45BAC BCA ∴∠=∠=︒， 8AB BC ∴==，AC ∴=，AE EB =，BD DC =，12DE AC ∴== 故选：B ．【点评】本题考查三角形中位线性质、圆的有关性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型．12．（3分）二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③2003m n <+<． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】①当0x =时，2c =-，当1x =时，0a b +=，0abc >，①正确； ②12x =是对称轴，2x =-时y t =，则3x =时，y t =，②正确； ③44m n a +=-；当12x =-时，0y >，803a <<，203m n +<，③错误；【解答】解：当0x =时，2c =-， 当1x =时，22a b +-=-， 0a b ∴+=，22y ax ax ∴=--， 0abc ∴>，①正确； 12x =是对称轴， 2x =-时y t =，则3x =时，y t =，2∴-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；②正确；2m a a =+-，422n a a =--， 22m n a ∴==-， 44m n a ∴+=-，当12x =-时，0y >，803a ∴<<，203m n ∴+<， ③错误； 故选：C ．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.13．（3分）关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是 1a …且0a ≠ ．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到0a ≠且△2(2)40a =--…，然后求出a 的取值范围．【解答】解：一元二次方程2210ax x -+=有实数根，∴△2(2)40a =--…，且0a ≠， 解得：1a …且0a ≠， 故答案为：1a …且0a ≠．【点评】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式△24b ac =-：当△0>，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0<，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14．（3分）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，135B ∠=︒，则A O C∠的度数为 90︒ ．【分析】根据圆内接四边形的性质求出D ∠的度数，根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形， 18045D B ∴∠=︒-∠=︒，由圆周角定理得，290AOC D ∠=∠=︒， 故答案为：90︒．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（3分）已知ABC ∆的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则这个三角形的外接圆的面积为 25π 2cm ．（结果用含π的代数式表示）【分析】三边长分别为6cm 、8cm 、10cm 正好一组勾股数，因而ABC ∆是直角三角形，直角三角形斜边是外接圆的直径，即可求解．【解答】解：根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形， 那么直角三角形的外心是斜边的中点，所以半径5=， 面积25π=．【点评】准确判断三角形是直角三角形是解决本题的关键，在审题是要多思考，多与有关知识相联系．16．（3分）有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与x 轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线3x =；丙：与y 轴的交点到原点的距离为3．满足上述全部特点的二次函数的解析式为 21(3)3y x =-或21(3)3y x =-- ．【分析】分两种情形利用二次函数的顶点式解决问题即可．【解答】解：由题意抛物线的顶点坐标为(3,0)与y 轴的交点坐标为(0,3)或(0,3)-， 设抛物线的解析式为2(3)y a x =-， 把(0,3)代入得到13a =，把(0,3)-代入得到13a =-，∴抛物线的解析式为21(3)3y x =-或21(3)3y x =--．故答案为21(3)3y x =-或21(3)3y x =--．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（3分）有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程1(1)452x x -= ． 【分析】先列出x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛1(1)2x x -场，再根据题意列出方程为1(1)452x x-=．【解答】解：有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为1(1)2x x-，∴共比赛了45场，∴1(1)452x x-=，故答案为：1(1)452x x-=．【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC∆的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．（Ⅰ）弦AB的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过出点A，B的圆的圆心O，并简要说明点O的位置是如何找到的（不要求证明）．【分析】（Ⅰ）由勾股定理即可得出答案；（Ⅱ）取圆与网格线的交点D、E，连接DE交AC于O，点O即为经过出点A，B的圆的圆心；由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由勾股定理得：AB；；（Ⅱ）如图试所示：取圆与网格线的交点D、E，连接DE交AC于O，点O即为经过出点A，B的圆的圆心；理由如下：90EAD∠=︒，DE∴为圆O的直径，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上，DE ∴与AC 的交点即为点O ；故答案为：90︒的圆周角所对的弦是直径．【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）关于x 的一元二次方程220x mx n -+=． （1）当4m n -=时，请判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，当2n =时，求此时方程的根．【分析】（1）先计算判别式得到△2()42m n =--⨯⨯，再把4n m =-代入得到△2(4)16m =-+，从而得到△0>，然后判断方程根的情况；（2）根据判别式的意义得△2()420m n =--⨯⨯=，加上2n =时，于是可求出4m =或4m =-，当4m =时，方程变形为22420x x -+=，当4m =-时，方程变形为22420x x ++=，然后分别解方程即可．【解答】解：（1）△2()42m n =--⨯⨯， 4m n -=， 4n m ∴=-，∴△28(4)m m =--2832m m =-+2(4)16m =-+， 2(4)0m -…，∴△0>，∴方程有两个不相等的实数根；（2）根据题意得△2()420m n =--⨯⨯=， 当2n =时，2160m -=，解得4m =或4m =-，当4m =时，方程变形为22420x x -+=，解得121x x ==； 当4m =-时，方程变形为22420x x ++=，解得121x x ==-．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．20．（8分）已知二次函数2y x bx c =-++，函数值y 与自变量x 之间的部分对应数值如下表：（Ⅰ）直接写出二次函数的对称轴是：直线 1x =- ，此函数图象与x 轴交点有 个； （Ⅱ）求二次函数的函数表达式；（Ⅲ）当51x -<<-时，请直接写出函数值y 的取值范围： ．【分析】（1）从表格看，根据抛物线的对称性，4x =-、0x =时的函数值相等，然后列式计算即可求得函数的对称轴为：2x =-，此函数图象与x 轴有2个交点即可求解； （2）函数对称轴为：22bx =-=--，解得：4b =-，0x =，2y c =-=，即可求解； （3）求得函数的顶点坐标为：(2,2)-，由5x =-时，7y =-，1x =-时，1y =，根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）从表格看，函数的对称轴为：4022x -+==-， 此函数图象与x 轴交点个数为2个， 故答案为：2x =-，2；（2）函数对称轴为：22(1)bx =-=-⨯-，解得：4b =-，0x =，2y c =-=，故函数的表达式为：242y x x =---；（3）把2x =-代入242y x x =---得，2y =，∴函数的顶点坐标为：(2,2)-，5x =-时，7y =-，1x =-时，1y =，故y 的取值范围为：72y -<<， 故答案为：72y -<<．【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等． 21．（10分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB 为12m ，拱高CD 为4m ． （1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽5m 的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m ，求此货船是否能顺利通过拱桥？【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON ，OB ，通过求距离水面2米高处即ED 长为2时，桥有多宽即MN 的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过(MN 大于3则能通过，MN 小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt OEN ∆中勾股定理求出EN 的长，从而求得MN 的长． 【解答】解：（1）如图，连接ON ，OB ． OC AB ⊥，D ∴为AB 中点，12AB m =， 162BD AB m ∴==． 又4CD m =，设OB OC ON r ===，则(4)OD r m =-．在Rt BOD ∆中，根据勾股定理得：222(4)6r r =-+， 解得 6.5r =．（2）4CD m =，船舱顶部为长方形并高出水面2AB m =，4 3.60.4()CE m ∴=-=，6.50.4 6.1()OE r CE m ∴=-=-=，在Rt OEN ∆中，2222226.5 6.1 5.04()EN ON OE m =-=-=，)EN m ∴=．22 4.485MN EN m m ∴==<．∴此货船能不顺利通过这座拱桥．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．22．（10分）已知PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，76APB ∠=︒，C 为O 上一点． （Ⅰ）如图①，求ACB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若A B A D =．求EAC ∠的大小．【分析】（Ⅰ）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，根据四边形内角和等于360︒计算；（Ⅱ）连接CE ，根据圆周角定理得到90ACE ∠=︒，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．【解答】解：（Ⅰ）连接OA 、OB ， PA ，PB 是O 的切线，90OAP OBP ∴∠=∠=︒，360909076104AOB ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，由圆周角定理得，1522ACB AOB ∠=∠=︒； （Ⅱ）连接CE ， AE 为O 的直径，90ACE ∴∠=︒，52ACB ∠=︒，905238BCE ∴∠=︒-︒=︒，38BAE BCE ∴∠=∠=︒，AB AD =，71ABD ADB ∴∠=∠=︒，29EAC ADB ACB ∴∠=∠-∠=︒．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23．（10分）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD ，在AB 和BC 边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD 的边AD 长为x 米，AB 长为y 米，矩形的面积为S 平方米，且x y <．（Ⅰ）若所用铁栅栏的长为40米，求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求S 与x 的函数关系式，并求出是否能使矩形场地的面积为260平方米？【分析】()I 根据题意，可知40AD BC AB ++=且有AD BC =，进而写出y 关于x 的函数关系式，并写出面积公式；()II 根据矩形场地面积为260平方米列出方程，解出此时x 的值即可．【解答】解：()2240I AD BC AB +-+-=，AD BC x ==，244AB x ∴=-+ 即44244(5)3y x x =-+<…； ()II 由()I 可知2(244)244s xy x x x x ==-+=-+，由题意得，(244)260x x -+=，即2221300x x -+=，△484520360=-=-<，∴此方程无解，∴不能使矩形场地的面积为260平方米．【点评】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．24．（10分）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ．（1）如图1，若在旋转过程中，点E 落在对角线AC 上，AF ，EF 分别交DC 于点M ，N ． ①求证：MA MC =；②求MN 的长；（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE 经过线段BG 的中点P ，连接BE ，GE ，求BEG ∆的面积【分析】（1）①由矩形的性质得出//AB CD ，得出DCA BAC ∠=∠，由旋转的性质得：FAE BAC ∠=∠，证出DCA FAE ∠=∠，即可得出MA MC =；②设MA MC x ==，则8D M x =-，在R t A D M ∆中，由勾股定理得出方程2226(8)x x +-=，解得：254x =，在R t A E F ∆中，由勾股定理得出10AF =，得出154MF AF AM =-=，证出AFE CNE MNF ∠=∠=∠，得出154MN MF ==即可； （2）分情况讨论：①过点B 作BH AE ⊥于H ，证明HBP AGP ∆≅∆，得出AP HP =，6BH AG ==，在R t A B H∆中，由勾股定理得出AH ，得出12AP AH ==，得出8PE AE AP =-=，得出BEG ∆的面积2G P E =∆的面积48=-②同①得：AH =AP =8PE =，得出BEG ∆的面积2GPE =∆的面积48=+【解答】（1）①证明：四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，DCA BAC ∴∠=∠，由旋转的性质得：FAE BAC ∠=∠，DCA FAE ∴∠=∠，MA MC ∴=；②解：设MA MC x ==，则8DM x =-，在Rt ADM ∆中，2226(8)x x +-=， 解得：254x =，在Rt AEF ∆中，10AF ===，154MF AF AM ∴=-=， 90AEF CEN ∠=∠=︒，90MCA CNE MAC AEF ∴∠+∠=∠+∠=︒，又MCA MAC ∠=∠，AFE CNE MNF ∴∠=∠=∠，154MN MF ∴==； （2）解：分情况讨论：①如图2所示：过点B 作BH AE ⊥于H ，则90GAP BHP ∠=∠=︒，在HBP ∆和AGP ∆中，GAP BHP APG HPAGP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HBP AGP AAS ∴∆≅∆，AP HP ∴=，6BH AG ==，在Rt ABH ∆中，AH ==12AP AH ∴==，8PE AE AP ∴=-=BEG ∴∆的面积2GPE =∆的面积126(8482=⨯⨯⨯=-； ②如图3所示：同①得：AH =AP =8PE ∴=BEG ∴∆的面积2GPE =∆的面积126(8482=⨯⨯⨯+=+ 综上所述，BEG ∆的面积为48-48+．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形面积、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2252(1)(2y x k x k k k =--+-为常数）．（1）若抛物线经过点2(1,)k ，求k 的值；（2）若抛物线经过点1(2,)k y 和点2(2,)y ，且12y y >，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当12x 剟时，新抛物线对应的函数有最小值32-，求k 的值． 【分析】（1）把点坐标代入解析式即可；（2）分别把点1(2,)k y 和点2(2,)y 代入函数解析式，表示1y 、2y 利用条件构造关于k 的不等式；（3）根据平移得到新顶点，用k 表示顶点坐标，找到最小值求k ．【解答】解：（1）把点2(1,)k 代入抛物线2252(1)2y x k x k k =--+-，得 222512(1)2k k k k =--+- 解得23k = （2）把点1(2,)k y 代入抛物线2252(1)2y x k x k k =--+-，得 222153(2)2(1)222y k k k k k k k =--+-=+ 把点2(2,)y 代入抛物线2252(1)2y x k x k k =--+-，得 222251322(1)2822y k k k k k =--⨯+-=-+ 12y y >22313822k k k k +∴>-+ 解得1k >（3）抛物线2252(1)2y x k x k k =--+-解析式配方得 21(1)(1)2y x k k =-++-- 将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为21()(1)2y x k k =-+-- 当1k <时，12x 剟对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，1x ∴=时，2215(1)122y k k k k =---=-最小， 25322k k ∴-=-，解得11k =，232k = 都不合题意，舍去；当12k 剟时，112y k =--最小， 13122k ∴--=- 解得1k =；当2k >时，12x 剟对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，2x ∴=时，2219(2)1322y k k k k =---=-+最小， 293322k k ∴-+=- 解得13k =，232k =（舍去） 综上，1k =或3．【点评】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象性质及二次函数图象平移．解答时注意用k 表示顶点．。
天津南开区2018-2019年初三上册数学度中试卷及解析
天津南开区2018-2019年初三上册数学度中试卷及解析选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分，在每题给出旳四个选项中，只有一项为哪一项符合题目旳要求旳。
1.一元二次方程x(x+5)=0旳根是()A.x 1=0,x 2=5B.x 1=0,x 2=-5C.x 1=0,x 2=51D.x 1=0,x 2=-512.以下四个图形中属于中心对称图形旳是()3.二次函数y=3x2+c 与正比例函数y=4x 旳图象只有一个交点，那么c 旳值为()A.34B.43C.3D.44.抛物线y=-3x2+12x-7旳顶点坐标为()A.(2,5)B.(2,-19)C.(-2,5)D.(-2,-43) 5.由二次函数y=2(x-3)2+1可知〔〕A.其图象旳开口向下B.其图象旳对称轴为x=-3C.其最大值为1D.当x<3时，y 随x 旳增大而减小 6.如图中∠BOD 旳度数是()A.1500B.1250C.1100D.5507.如图，点E 在y 轴上，圆E 与x 轴交于点A ，B,与y 轴交于点C ，D,假设C(0,9),D(0，-1),那么线段AB 旳长度为()A.3B.4C.6D.88.如图，AB 是圆O 旳直径，C 、D 是圆O 上旳点,且OC//BD,AD 分别与BC 、OC 相交于点E 、F.那么以下结论： ①AD ⊥BD;②∠AOC=∠ABC;③CB 平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF.其中一定成立旳是()A.①③⑤B.②③④C.②④⑤D.①③④⑤ 9.《九章算术》中有以下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳旳圆形(内切圆)直径是多少步”() A.3步B.5步C.6步D.8步10.如图，在△ABC 中，∠CAB=650.将△ABC 在平面内绕点A 逆时针旋转到△AB /C /旳位置，使CC ///AB,那么旋转角度数为()A.350B.400C.500D.65011.以半径为2旳圆旳内接正三角形、正方形、正六边形旳边心距为三边作三角形，那么该三角形旳面积是() A.43B.23C.42D.22 12.如图，正方形ABCD 中，AB=8cm ，对角线AC 、BD 相交于点O,点E 、F 分别从B 、C 两点同时动身，以1cm/s 旳速度沿BC 、CD 运动，到点C 、D 时停止运动，设运动时刻为t(s)，△OEF 旳面积为S(cm2),那么S(cm2)与t(s)旳函数关系可用图象表示为()二填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分，请将【答案】直截了当天灾答题纸中对应横线上.13.点P(2，-1)关于原点旳对称点坐标为P /(m,1),那么m=.14.如图，在平面直角坐标系中，点A(3，4),将OA 绕坐标原点O 逆时针转900至OA /,那么点A /旳坐标是.15.关于x 旳二次函数y=x 2-kx+k-2旳图象与y 轴旳交点在x 轴旳上方，请写出一个满足条件旳二次函数【解析】式： 。
2018-2019年南开区初三期中数学考试试卷分析
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故选：B． 【点评】 本题主要考查二次函数的图象与系数的关系， 以及二次函数与一元二次方程的关系， 解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．两种方法本质相同，任选其一即可。 以上两道题目在选择题中位置靠后，属于相对较难题目，但是整体难度不大，仍然是以 基础为主，在此基础上稍加改变，基础知识要做到灵活运用。 题型 题号 13 14 填空题 15 16 17 18 分值 3 3 3 3 3 3 考点 直线与圆的位置关系 中心对称 图形旋转-旋转 90° 一元二次方程应用-面积问题 圆与一次函数综合 扇形面积的计算 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★
2 2 ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC= AB +AC =4，
把△AEC 绕 A 点旋转到△AFB，使 AB 和 AC 重合，连接 DF． 则 AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°，
∴△EAF≌△GAF（SAS） ， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； ②解：∠B+∠D=180°， 理由是： 把△ABE 绕 A 点旋转到△ADG，使 AB 和 AD 重合， 则 AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°，
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B． （0，1）
资料来源：天津新东方培训学校
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C． （0，﹣1） D． （
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初中数学天津市南开区九年级上册数学期中考模拟试卷及答案.docx
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:一元二次方程x(x+5)=0的根是( )A.x1=0,x2=5B.x1=0,x2=-5C.x1=0,x2=D.x1=0,x2=-试题2:下列四个图形中属于中心对称图形的是( )试题3:已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为( )A. B.C.3D.4 试题4:抛物线y=-3x2+12x-7的顶点坐标为( )评卷人得分A.(2,5)B.(2,-19)C.(-2,5)D.(-2,-43)试题5:由二次函数y=2(x-3)2+1可知（）A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为x=-3C.其最大值为1D.当x<3时，y随x的增大而减小试题6:如图中∠BOD的度数是( )A.1500B.1250C.1100D.550试题7:如图，点E在y轴上，圆E与x轴交于点A，B,与y轴交于点C，D,若C(0,9),D(0，-1),则线段AB的长度为( )A.3B.4C.6D.8试题8:如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点,且OC//BD,AD分别与BC、OC相交于点E、F.则下列结论：①AD⊥BD;②∠AOC=∠ABC;③CB平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF.其中一定成立的是( )A.①③⑤B.②③④C.②④⑤ D.①③④⑤试题9:《九章算术》中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少步”( )A.3步B.5步C.6步 D.8步试题10:如图，在△ABC中，∠CAB=650.将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB/C/的位置，使CC///AB,则旋转角度数为( )A.350B.400C.500D.650试题11:以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )A. B. C.D.试题12:如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别从B、C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC、CD运动，到点C、D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2),则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )试题13:点P(2，-1)关于原点的对称点坐标为P/(m,1),则m= .试题14:如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，4),将OA绕坐标原点O逆时针转900至OA/,则点A/的坐标是 .试题15:关于x的二次函数y=x2-kx+k-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数解析式：。
天津南开区2019年初三上年中数学试卷含解析解析
天津南开区2019年初三上年中数学试卷含解析解析一、选择题〔共36分〕1、方程x〔x+〕=0旳根是()A、x1=0，x2=B、x1=0，x2=﹣C、x1=0，x2=﹣2 D、x1=0，x2=22、以下四个图形分别是四届国际数学家大会旳会标，其中属于中心对称图形旳有()A、1个B、2个C、3个D、4个3、关于x旳一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等旳实数根，那么k旳取值范围是()A、k＞﹣1B、k≥﹣1C、k≠0D、k＜1且k≠04、设二次函数y=〔x﹣3〕2﹣4图象旳对称轴为直线l，假设点M在直线l上，那么点M旳坐标可能是()A、〔1，0〕B、〔3，0〕C、〔﹣3，0〕D、〔0，﹣4〕5、如图，通过原点旳⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，那么∠ACB=()A、80°B、90°C、100°D、无法确定6、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，假设直线PA与⊙O相切于点A，那么∠PAB=()A、30°B、35°C、45°D、60°7、将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线旳函数关系式是()A、y=〔x+2〕2+2B、y=〔x+2〕2﹣2C、y=〔x﹣2〕2+2D、y=〔x﹣2〕2﹣28、如图是二次函数y=ax2+bx+c旳图象，以下结论：①二次三项式ax2+bx+c旳最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1旳两根之和为﹣2；④使y≤3成立旳x旳取值范围是﹣3≤x≤1、其中正确旳有()A、1个B、2个C、3个D、4个9、如图，在平面直角坐标系中，△ABC旳三个顶点旳坐标分别为A〔﹣1，0〕，B〔﹣2，3〕，C〔﹣3，1〕，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，那么点B′旳坐标为()A、〔2，1〕B、〔2，3〕C、〔4，1〕D、〔0，2〕10、如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，那么函数y=ax2+〔b﹣1〕x+c旳图象可能是()A、B、C、D、11、如图，假设正△A1B1C1内接于正△ABC旳内切圆，那么△A1B1C1与△ABC旳面积旳比值为()A、B、C、D、12、如图，边长为2旳正三角形ABC顶点A旳坐标为〔0，6〕，BC旳中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点旳正六边形旳一个顶点，把那个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE旳最小值为()A、3B、4﹣C、4D、6﹣2二.填空题：共18分.13、坐标平面内旳点P〔m，2〕与点Q〔3，﹣2〕关于原点对称，那么m=﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏、14、假设抛物线y=〔x﹣m〕2+〔m+1〕旳顶点在第一象限，那么m旳取值范围为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏15、请写出一个二次函数，使其满足以下条件：①图象过点〔2，﹣2〕；②当x＜0时，y随x增大而增大；它旳【解析】式能够是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏16、假设小唐同学掷出旳铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm旳小坑，那么该铅球旳直径约为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏cm、17、某校去年对实验器材旳投资为2万元，可能今明两年旳投资总额为8万元，假设设该校这两年在实验器材投资上旳平均增长率为x，那么可列方程：﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏、18、抛物线y=ax2+bx+c〔a，b，c为常数，且a≠0〕通过点〔﹣1，0〕和〔m，0〕，且1＜m ＜2，当x＜﹣1时，y随着x旳增大而减小、以下结论：①abc＞0；②a+b＞0；③假设点A〔﹣3，y1〕，点B〔3，y2〕都在抛物线上，那么y1＜y2；④a〔m﹣1〕+b=0；⑤假设c≤﹣1，那么b2﹣4ac≤4A、其中结论错误旳选项是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏、〔只填写序号〕三、解答题：本大题共7小题，共66分，解承诺写出文字说明、演算步骤或证明过程.19、〔1〕x〔x﹣2〕+x﹣2=0〔适当方法〕〔2〕2x2+1=3x〔配方法〕20、二次函数中y=ax2+bx﹣3旳x、y满足表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …〔1〕求该二次函数旳【解析】式；〔2〕求m旳值并直截了当写出对称轴及顶点坐标、21、如图，在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60°、〔1〕求∠COB旳度数；〔2〕求CD旳长、22、如图，AB是⊙O旳直径，AB=4，点C在线段AB旳延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=2、求证：CD是⊙O旳切线、23、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙〔墙足够长〕，中间用一道墙隔开，并在如下图旳两处各留1m宽旳门，打算中旳材料可建墙体〔不包括门〕总长为28m，求建成旳饲养室总面积旳最大值〔墙体厚度忽略不计〕、24、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC旳中点，假设等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α〔0＜α≤180°〕，记直线BD1与CE1旳交点为P、〔1〕如图1，当α=90°时，线段BD1旳长等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏，线段CE1旳长等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏；〔直截了当填写结果〕〔2〕如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；〔3〕求点P到AB所在直线旳距离旳最大值、〔直截了当写出结果〕25、如图，半径为2旳⊙C与x轴旳正半轴交于点A，与y轴旳正半轴交于点B，点C旳坐标为〔1，0〕、假设抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点、〔1〕求抛物线旳【解析】式；〔2〕在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？假设存在求出P旳坐标，不存在说明理由；〔3〕假设点M是抛物线〔在第一象限内旳部分〕上一点，△MAB面积为S，求S旳最大〔小〕值、2018-2016学年天津市南开区九年级〔上〕期中数学试卷一、选择题〔共36分〕1、方程x〔x+〕=0旳根是()A、x1=0，x2=B、x1=0，x2=﹣C、x1=0，x2=﹣2 D、x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法、【专题】计算题；一次方程〔组〕及应用、【分析】方程利用两数之积等于0，两数至少有一个为0求出解即可、【解答】解：方程x〔x+〕=0，可得x=0或x+=0，解得：x1=0，x2=﹣、应选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解旳方法是解此题旳关键、2、以下四个图形分别是四届国际数学家大会旳会标，其中属于中心对称图形旳有()A、1个B、2个C、3个D、4个【考点】中心对称图形、【分析】依照中心对称旳概念对各图形分析推断即可得解、【解答】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，因此，中心对称图有2个、应选：B、【点评】此题考查了中心对称图形旳概念，中心对称图形是要查找对称中心，旋转180度后两部分重合、3、关于x旳一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等旳实数根，那么k旳取值范围是()A、k＞﹣1B、k≥﹣1C、k≠0D、k＜1且k≠0【考点】根旳判别式；一元二次方程旳定义、【分析】在推断一元二次方程根旳情况旳问题中，必须满足以下条件：〔1〕二次项系数不为零；〔2〕在有不相等旳实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0【解答】解：依题意列方程组，解得k＜1且k≠0、应选D、【点评】此题考查了一元二次方程根旳判别式旳应用、切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件、4、设二次函数y=〔x﹣3〕2﹣4图象旳对称轴为直线l，假设点M在直线l上，那么点M旳坐标可能是()A、〔1，0〕B、〔3，0〕C、〔﹣3，0〕D、〔0，﹣4〕【考点】二次函数旳性质、【分析】依照二次函数旳【解析】式可得出直线l旳方程为x=3，点M在直线l上那么点M 旳横坐标一定为3，从而选出【答案】、【解答】解：∵二次函数y=〔x﹣3〕2﹣4图象旳对称轴为直线x=3，∴直线l上所有点旳横坐标差不多上3，∵点M在直线l上，∴点M旳横坐标为3，应选B、【点评】此题考查了二次函数旳性质，解答此题旳关键是掌握二次函数y=a〔x﹣h〕2+k旳顶点坐标为〔h，k〕，对称轴是x=h、5、如图，通过原点旳⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，那么∠ACB=()A、80°B、90°C、100°D、无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质、【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对旳圆周角，依照圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°、【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对旳圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°、应选B、【点评】此题考查了圆周角定理、此题比较简单，解题旳关键是观看图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对旳圆周角、6、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，假设直线PA与⊙O相切于点A，那么∠PAB=()A、30°B、35°C、45°D、60°【考点】切线旳性质；正多边形和圆、【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB旳度数，再依照圆周角定理即可求出∠ADB旳度数，利用弦切角定理∠PAB、【解答】解：连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆旳直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°、∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，应选A、【点评】此题要紧考查了正多边形和圆，切线旳性质，作出适当旳辅助线，利用弦切角定理是解答此题旳关键、7、将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线旳函数关系式是()A、y=〔x+2〕2+2B、y=〔x+2〕2﹣2C、y=〔x﹣2〕2+2D、y=〔x﹣2〕2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换、【专题】几何变换、【分析】先利用顶点式得到抛物线y=x2+1旳顶点坐标为〔0，1〕，再利用点平移旳规律得到点〔0，1〕平移后旳对应点旳坐标为〔﹣2，﹣2〕，然后依照顶点式写出平移后旳抛物线【解析】式、【解答】解：抛物线y=x2+1旳顶点坐标为〔0，1〕，把点〔0，1〕先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到旳对应点旳坐标为〔﹣2，﹣2〕，因此所得抛物线旳函数关系式y=〔x+2〕2﹣2、应选B、【点评】此题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后旳形状不变，故a不变，因此求平移后旳抛物线【解析】式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后旳坐标，利用待定系数法求出【解析】式；二是只考虑平移后旳顶点坐标，即可求出【解析】式、8、如图是二次函数y=ax2+bx+c旳图象，以下结论：①二次三项式ax2+bx+c旳最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1旳两根之和为﹣2；④使y≤3成立旳x旳取值范围是﹣3≤x≤1、其中正确旳有()A、1个B、2个C、3个D、4个【考点】二次函数与不等式〔组〕；二次函数图象与系数旳关系；二次函数旳最值；抛物线与x轴旳交点、【分析】直截了当依照二次函数旳图象与x轴旳交点及顶点坐标即可得出结论、【解答】解：①∵二次函数旳顶点坐标为〔﹣1，4〕，∴二次三项式ax2+bx+c旳最大值为4，故①正确；②∵当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正确；③∵抛物线与x轴旳交点分别是〔﹣3，0〕，〔1，0〕，∴一元二次方程ax2+bx+c=0旳两根之和=﹣3+1=﹣2，故③正确；④由函数图象可知，当y≤3时，x≥0或x≤2，故④错误、应选C、【点评】此题考查旳是二次函数与不等式组，能利用函数图象求出不等式旳解集是解答此题旳关键、9、如图，在平面直角坐标系中，△ABC旳三个顶点旳坐标分别为A〔﹣1，0〕，B〔﹣2，3〕，C〔﹣3，1〕，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，那么点B′旳坐标为()A、〔2，1〕B、〔2，3〕C、〔4，1〕D、〔0，2〕【考点】坐标与图形变化-旋转、【分析】依照旋转方向、旋转中心及旋转角，找到B'，结合直角坐标系可得出点B ′旳坐标、【解答】解：如下图：结合图形可得点B ′旳坐标为〔2，1〕、应选A 、【点评】此题考查了坐标与图形旳变化，解答此题旳关键是找到旋转旳三要素，找到点B'旳位置、10、如图，一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，那么函数y=ax 2+〔b ﹣1〕x+c 旳图象可能是()A 、B 、C 、D 、【考点】二次函数旳图象；正比例函数旳图象、【分析】由一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，得出方程ax 2+〔b ﹣1〕x+c=0有两个不相等旳根，进而得出函数y=ax 2+〔b ﹣1〕x+c 与x 轴有两个交点，依照方程根与系数旳关系得出函数y=ax 2+〔b ﹣1〕x+c 旳对称轴x=﹣＞0，即可进行推断、【解答】解：∵一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，∴方程ax 2+〔b ﹣1〕x+c=0有两个不相等旳根，∴函数y=ax 2+〔b ﹣1〕x+c 与x 轴有两个交点， ∵﹣＞0，a ＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax 2+〔b ﹣1〕x+c 旳对称轴x=﹣＞0， ∵a ＞0，开口向上，∴A 符合条件，应选A、【点评】此题考查了二次函数旳图象，直线和抛物线旳交点，交点坐标和方程旳关系以及方程和二次函数旳关系等，熟练掌握二次函数旳性质是解题旳关键、11、如图，假设正△A1B1C1内接于正△ABC旳内切圆，那么△A1B1C1与△ABC旳面积旳比值为()A、B、C、D、【考点】三角形旳内切圆与内心、【分析】由于△ABC、△A1B1C1差不多上正三角形，因此它们旳外心与内心重合；可过O分别作AB、A1B1旳垂线，连接OA、OA1；在构建旳含专门角旳直角三角形中，用⊙O旳半径分别表示出AB、A1B1旳长，进而可求出它们旳比例关系，进而得出△A1B1C1与△ABC旳面积旳比值、【解答】解：设圆心为O，AB与圆相切于点D，连接AO，DO，∵△A1B1C1和△ABC差不多上正三角形，∴它们旳内心与外心重合；如图：设圆旳半径为R；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；AO=OD•=R，即AB=2R；同理可求得：A1B1=R，∴==，那么△A1B1C1与△ABC旳面积旳比值为：〔〕2=、应选：C、【点评】此题要紧考查了等边三角形旳性质、相似三角形旳性质以及正多边形旳内外心重合等知识，得出=是解题关键、12、如图，边长为2旳正三角形ABC顶点A旳坐标为〔0，6〕，BC旳中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点旳正六边形旳一个顶点，把那个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE旳最小值为()A、3B、4﹣C、4D、6﹣2【考点】正多边形和圆；坐标与图形性质；等边三角形旳性质、【分析】首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′旳长，最后求得DE′旳长即可、【解答】解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；∵△ABC是等边三角形，D为BC旳中点，∴AD⊥BC∵AB=BC=2∴AD=AB•sin∠B=，∵正六边形旳边长等于其半径，正六边形旳边长为2，∴OE=OE′=2∵点A旳坐标为〔0，6〕∴OA=6∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=4﹣应选B、【点评】此题考查了正多边形旳计算及等边三角形旳性质，解题旳关键是从图形中整理出直角三角形、二.填空题：共18分.13、坐标平面内旳点P〔m，2〕与点Q〔3，﹣2〕关于原点对称，那么m=﹣3、【考点】关于原点对称旳点旳坐标、【分析】平面直角坐标系中任意一点P〔x，y〕，关于原点旳对称点是〔﹣x，﹣y〕，经历方法是结合平面直角坐标系旳图形经历、【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P〔x，y〕，关于原点旳对称点是〔﹣x，﹣y〕，因此m=﹣3、【点评】关于原点对称旳点，横坐标与纵坐标都互为相反数，是需要识记旳差不多问题、14、假设抛物线y=〔x﹣m〕2+〔m+1〕旳顶点在第一象限，那么m旳取值范围为m＞0【考点】二次函数旳性质、【分析】直截了当利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点旳特点列出不等式组解答即可、【解答】解：∵抛物线y=〔x﹣m〕2+〔m+1〕，∴顶点坐标为〔m，m+1〕，∵顶点在第一象限，∴m＞0，m+1＞0，∴m旳取值范围为m＞0、故【答案】为：m＞0、【点评】此题考查二次函数旳性质，二次函数y=a〔x﹣h〕2+k旳顶点坐标为〔h，k〕，以及各个象限点旳坐标特征、15、请写出一个二次函数，使其满足以下条件：①图象过点〔2，﹣2〕；②当x＜0时，y随x增大而增大；它旳【解析】式能够是y=﹣2x2+6【考点】二次函数旳性质、【专题】开放型、【分析】依照该函数旳增减性确定其比例系数旳取值，然后代入点后即可求得其【解析】式、【解答】解：∵当x＜0时，y随x旳增大而增大，∴设【解析】式为：y=﹣2x2+b，∵图象通过点〔2，﹣2〕，∴﹣2=﹣2×22+b，解得：b=6、∴【解析】式为：y=﹣2x2+6〔【答案】不唯一〕、故【答案】为：y=﹣2x2+6〔【答案】不唯一〕、【点评】此题考查二次函数旳性质，掌握性质，设出二次函数旳顶点式是解决问题旳关键、16、假设小唐同学掷出旳铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm旳小坑，那么该铅球旳直径约为14.5cm、【考点】垂径定理旳应用；勾股定理、【专题】应用题、【分析】依照题意，把实际问题抽象成几何问题，即圆中与弦有关旳问题，依照垂径定理，构造直角三角形，小坑旳直径确实是圆中旳弦长，小坑旳深确实是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球旳直径、【解答】解：依照题意，画出图形如下图，由题意知，AB=10，CD=2，OD是半径，且OC⊥AB，∴AC=CB=5，设铅球旳半径为r，那么OC=r﹣2，在Rt△AOC中，依照勾股定理，OC2+AC2=OA2，即〔r﹣2〕2+52=r2，解得：r=7.25，因此铅球旳直径为：2×7.25=14.5cm、【点评】解决与弦有关旳问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长旳一半为三边旳直角三角形，假设设圆旳半径为r，弦长为a，这条弦旳弦心距为d，那么有等式r2=d2+〔〕2成立，明白这三个量中旳任意两个，就能够求出另外一个、17、某校去年对实验器材旳投资为2万元，可能今明两年旳投资总额为8万元，假设设该校这两年在实验器材投资上旳平均增长率为x，那么可列方程：2〔1+x〕+2〔1+x〕2=8、【考点】由实际问题抽象出一元二次方程、【专题】增长率问题、【分析】关键描述语是：“可能今明两年旳投资总额为8万元”，等量关系为：今年旳投资旳总额+明年旳投资总额=8，把相关数值代入即可、【解答】解：∵去年对实验器材旳投资为2万元，该校这两年在实验器材投资上旳平均增长率为x，∴今年旳投资总额为2〔1+x〕；明年旳投资总额为2〔1+x〕2；∵可能今明两年旳投资总额为8万元，∴2〔1+x〕+2〔1+x〕2=8、【点评】解决此题旳关键是找到相关量旳等量关系，注意可能明年旳投资总额是在今年旳投资总额旳基础上增加旳、18、抛物线y=ax2+bx+c〔a，b，c为常数，且a≠0〕通过点〔﹣1，0〕和〔m，0〕，且1＜m ＜2，当x＜﹣1时，y随着x旳增大而减小、以下结论：①abc＞0；②a+b＞0；③假设点A〔﹣3，y1〕，点B〔3，y2〕都在抛物线上，那么y1＜y2；④a〔m﹣1〕+b=0；⑤假设c≤﹣1，那么b2﹣4ac≤4A、其中结论错误旳选项是③⑤、〔只填写序号〕【考点】二次函数图象与系数旳关系、【专题】压轴题；数形结合、【分析】依照题意画出抛物线旳大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线旳对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴旳交点位置得c＜0，因此可对①进行推断；由于抛物线过点〔﹣1，0〕和〔m，0〕，且1＜m＜2，依照抛物线旳对称性和对称轴方程得到0＜﹣＜，变形可得a+b＞0，那么可对②进行推断；利用点A〔﹣3，y1〕和点B〔3，y2〕到对称轴旳距离旳大小可对③进行推断；依照抛物线上点旳坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a〔m﹣1〕+b=0，那么可对④进行推断；依照顶点旳纵坐标公式和抛物线对称轴旳位置得到＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，那么可对⑤进行推断、【解答】解：如图，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线旳对称轴在y轴旳右侧，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴旳交点在x 轴上方，∴c ＜0，∴abc ＞0，因此①旳结论正确；∵抛物线过点〔﹣1，0〕和〔m ，0〕，且1＜m ＜2，∴0＜﹣＜，∴+=＞0，∴a+b ＞0，因此②旳结论正确；∵点A 〔﹣3，y 1〕到对称轴旳距离比点B 〔3，y 2〕到对称轴旳距离远，∴y 1＞y 2，因此③旳结论错误；∵抛物线过点〔﹣1，0〕，〔m ，0〕，∴a ﹣b+c=0，am 2+bm+c=0，∴am 2﹣a+bm+b=0，a 〔m+1〕〔m ﹣1〕+b 〔m+1〕=0，∴a 〔m ﹣1〕+b=0，因此④旳结论正确； ∵＜c ，而c ≤﹣1， ∴＜﹣1，∴b 2﹣4ac ＞4a ，因此⑤旳结论错误、故【答案】为③⑤、【点评】此题考查了二次函数图象与系数旳关系：关于二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕，二次项系数a 决定抛物线旳开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴旳位置：当a 与b 同号时〔即ab ＞0〕，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时〔即ab ＜0〕，对称轴在y 轴右、〔简称：左同右异〕；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于〔0，c 〕、抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点、三、解答题：本大题共7小题，共66分，解承诺写出文字说明、演算步骤或证明过程.19、〔1〕x 〔x ﹣2〕+x ﹣2=0〔适当方法〕〔2〕2x 2+1=3x 〔配方法〕【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法、【专题】计算题；一次方程〔组〕及应用、【分析】〔1〕方程利用因式分解法求出解即可；〔2〕方程利用配方法求出解即可、【解答】解：〔1〕分解因式得：〔x﹣2〕〔x+1〕=0，可得x﹣2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=﹣1；〔2〕方程整理得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即〔x﹣〕2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=1，x2=、【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握因式分解旳方法是解此题旳关键、20、二次函数中y=ax2+bx﹣3旳x、y满足表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …〔1〕求该二次函数旳【解析】式；〔2〕求m旳值并直截了当写出对称轴及顶点坐标、【考点】待定系数法求二次函数【解析】式；二次函数旳性质、【专题】计算题、【分析】〔1〕设一般式y=ax2+bx+c，再取三组对应值代入得到关于a、b、c旳方程组，然后解方程组即可；〔2〕先把一般式化为顶点式，然后依照二次函数旳性质求解、【解答】解：〔1〕设抛物线【解析】式为y=ax2+bx+c，把〔﹣1，0〕，〔0，﹣3〕，〔1，﹣4〕代入得，解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，因此抛物线【解析】式为y=x2﹣2x﹣3；〔2〕y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4，因此抛物线旳对称轴为直线x=1，顶点坐标为〔1，﹣4〕、【点评】此题考查了待定系数法求二次函数旳【解析】式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要依照题目给定旳条件，选择恰当旳方法设出关系式，从而代入数值求解、一般地，当抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当抛物线旳顶点或对称轴时，常设其【解析】式为顶点式来求解；当抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其【解析】式为交点式来求解、也考查了二次函数旳性质、21、如图，在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60°、〔1〕求∠COB旳度数；〔2〕求CD旳长、【考点】圆周角定理；解直角三角形、【分析】〔1〕连接OD，由垂径定理可得∠COB=∠DOB=∠COD，进而可求出∠COB旳度数；〔2〕假设∠CFD=60°，那么∠COB=60°，通过解直角三角形即可求得CD旳长、【解答】解：〔1〕连接OD，∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，∴，∴∠COB=∠DOB=∠COD，∴∠CFD=∠COB=60°；〔2〕Rt△COE中，OC=6cm，∠COE=∠CFD=60°；∴CE=OC•sin60°=3cm；∴CD=2CE=6cm、【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及专门角旳锐角三角函数值得运用，连接OD，得到△COD是解直角三角形是解题旳关键、22、如图，AB是⊙O旳直径，AB=4，点C在线段AB旳延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=2、求证：CD是⊙O旳切线、【考点】切线旳判定、【专题】证明题、【分析】连接OD，先通过计算得到OD2+CD2=OC2，那么依照勾股定理旳逆定理得∠ODC=90°，然后依照切线旳判定定理得CD是⊙O旳切线、【解答】证明：连接OD，如图，CD=OD=OA=AB=2，OC=2，∵22+22=〔2〕2，∴OD2+CD2=OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，∴OD⊥CD，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O旳切线、【点评】此题考查了切线旳判定：通过半径旳外端且垂直于这条半径旳直线是圆旳切线、要证某线是圆旳切线，此线过圆上某点，连接圆心与这点〔即为半径〕，再证垂直即可、也考查了勾股定理旳逆定理、23、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙〔墙足够长〕，中间用一道墙隔开，并在如下图旳两处各留1m宽旳门，打算中旳材料可建墙体〔不包括门〕总长为28m，求建成旳饲养室总面积旳最大值〔墙体厚度忽略不计〕、【考点】二次函数旳应用、【分析】设中间隔开旳墙EF旳长为x米，建成旳饲养室总面积为S平方米，依照题意可知AD旳长度等于BC旳长度，列出式子AD﹣2+3x=28，得出用x旳代数式表示AD旳长，再依照矩形旳面积=AD•AB得出S关于x旳【解析】式，再利用二次函数旳性质即可求解、【解答】解：设中间隔开旳墙EF旳长为x米，建成旳饲养室总面积为S平方米，依照题意得AD﹣2+3x=28，解得AD=30﹣3x，那么S=x〔30﹣3x〕=﹣3x2+30x=﹣3〔x﹣5〕2+75，故当中间隔开旳墙长为5米时，饲养室有最大面积75平方米、【点评】此题考查二次函数旳应用，配方法，矩形旳面积，有一定难度，解答此题旳关键是得到建成旳饲养室总面积旳【解析】式、24、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC旳中点，假设等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α〔0＜α≤180°〕，记直线BD1与CE1旳交点为P、〔1〕如图1，当α=90°时，线段BD1旳长等于2，线段CE1旳长等于2；〔直截了当填写结果〕〔2〕如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1；〔3〕求点P 到AB 所在直线旳距离旳最大值、〔直截了当写出结果〕【考点】几何变换综合题、【专题】压轴题、【分析】〔1〕利用等腰直角三角形旳性质结合勾股定理分别得出BD 1旳长和CE 1旳长； 〔2〕依照旋转旳性质得出，∠D 1AB=∠E 1AC=135°，进而求出△D 1AB ≌△E 1AC 〔SAS 〕，即可得出【答案】；〔3〕首先作PG ⊥AB ，交AB 所在直线于点G ，那么D 1，E 1在以A 为圆心，AD 为半径旳圆上，当BD 1所在直线与⊙A 相切时，直线BD 1与CE 1旳交点P 到直线AB 旳距离最大，现在四边形AD 1PE 1是正方形，进而求出PG 旳长、【解答】〔1〕解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D ，E 分别是边AB ，AC 旳中点，∴AE=AD=2，∵等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α〔0＜α≤180°〕， ∴当α=90°时，AE 1=2，∠E 1AE=90°，∴BD 1==2，E 1C==2；故【答案】为：2，2；〔2〕证明：当α=135°时，如图2，∵Rt △AD 1E 是由Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转135°得到，∴AD 1=AE 1，∠D 1AB=∠E 1AC=135°，在△D 1AB 和△E 1AC 中 ∵，∴△D 1AB ≌△E 1AC 〔SAS 〕，∴BD 1=CE 1，且∠D 1BA=∠E 1CA ，记直线BD 1与AC 交于点F ，∴∠BFA=∠CFP ，∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD 1⊥CE 1；〔3〕解：如图3，作PG ⊥AB ，交AB 所在直线于点G ，∵D 1，E 1在以A 为圆心，AD 为半径旳圆上，当BD 1所在直线与⊙A 相切时，直线BD 1与CE 1旳交点P 到直线AB 旳距离最大，现在四边形AD 1PE 1是正方形，PD 1=2，那么BD 1==2，故∠ABP=30°，那么PB=2+2，故点P到AB所在直线旳距离旳最大值为：PG=1+、【点评】此题要紧考查了几何变换以及等腰腰直角三角形旳性质和勾股定理以及切线旳性质等知识，依照题意得出PG旳最长时P点旳位置是解题关键、25、如图，半径为2旳⊙C与x轴旳正半轴交于点A，与y轴旳正半轴交于点B，点C旳坐标为〔1，0〕、假设抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点、〔1〕求抛物线旳【解析】式；〔2〕在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？假设存在求出P旳坐标，不存在说明理由；〔3〕假设点M是抛物线〔在第一象限内旳部分〕上一点，△MAB面积为S，求S旳最大〔小〕值、【考点】二次函数综合题、【专题】综合题、【分析】〔1〕利用待定系数法求抛物线旳【解析】式、因为A〔3，0〕，因此需要求得B点坐标、如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；〔2〕由∠PBO=∠POB ，可知符合条件旳点在线段OB 旳垂直平分线上、如答图2，OB 旳垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求旳P 点有两个，注意不要漏解；〔3〕如答图3，作MH ⊥x 轴于点H ，构造梯形MBOH 与三角形MHA ，求得△MAB 面积旳表达式，那个表达式是关于M 点横坐标旳二次函数，利用二次函数旳极值求得△MAB 面积旳最大值、【解答】解：〔1〕如答图1，连接CB 、∵BC=2，OC=1∴OB=== ∴B 〔0，〕将A 〔3，0〕，B 〔0，〕代入二次函数旳表达式得：， 解得：，∴y=﹣x 2+x+；〔2〕存在、如答图2，作线段OB 旳垂直平分线l ，与抛物线旳交点即为点P 1，P 2、∵B 〔0，〕，O 〔0，0〕，∴直线l 旳表达式为y=， 代入抛物线旳表达式，得﹣x 2+x+=，解得x 1=1+或x 2=1﹣，∴P 1〔1﹣，〕或P 2〔1+，〕； 〔3〕如答图3，作MH ⊥x 轴于点H ，设M 〔x m ，y m 〕，那么S △MAB =S 梯形MBOH +S △MHA ﹣S △OAB =〔MH+OB 〕•OH+HA •MH ﹣OA •OB =〔y m +〕x m +〔3﹣x m 〕y m ﹣×3× =x m +y m ﹣，∵y m =﹣x m 2+x m +，∴S △MAB =x m +〔﹣x m 2+x m +〕﹣=﹣x m 2+x m=﹣〔x m ﹣〕2+，∴当x m =时，S △MAB 取得最大值，最大值为、【点评】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数相关性质、圆旳性质、垂直平分线、勾股定理、面积求法等知识点、其中第〔2〕问中注意垂直平分线与抛物线旳交点有两个，不要漏解；第〔3〕问中，重点关注图形面积旳求法以及求极值旳方法、。
2018-2019学年天津市南开区九年级上学期期末数学试卷与答案
2018-2019学年天津市南开区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（每小题3分共36分）1．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．任意三条线段可以组成一个三角形C．投掷一枚质的均匀的骰子，掷得的点数是奇数D．抛出的篮球会下落2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）若函数是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，则m的值为（）A．2B．﹣2C．D．4．（3分）分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示，将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是（）A．45°B．90°C．135°D．180°5．（3分）圆锥的底面直径为30cm，母线长为50cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为（）A．108°B．120°C．135°D．216°6．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2，则下列结论中正确的是（）A．x1＞x2B．x1＜x2C．y随x的增大而减小D．两点有可能在同一象限7．（3分）已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定8．（3分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD 的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB＝30°，CD＝6，则阴影部分面积为（）A．πB．3πC．6πD．12π10．（3分）如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线y＝过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF＝4，则k的值为（）A．6B．8C．12D．1611．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A．6B．2+1C．9D．12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c ＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为4+c，其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分共18分）13．（3分）在比例尺为1：1000000的的图上，量得甲、乙两的的距离是2.6cm，则甲、乙两的的实际距离为千米．14．（3分）如图，在一个正方形围栏中均匀散布着许多米粒，正方形内画有一个圆．一只小鸡在围栏内啄食，则“小鸡正在圆圈内”啄食的概率为．15．（3分）有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：甲：图象与x轴只有一个交点；乙：图象的对称轴是直线x＝3；丙：图象有最高点，请你写出一个满足上述全部特点的二次函数的解析式．16．（3分）如图，过原点O的直线与反比例函数的图象相交于点A、B，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为．17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y ＝ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC 长为．18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中有一格点三角形，该三角形的三个顶点为：A （1，1）、B（﹣3，1）、C（﹣3．﹣1）（1）若△ABC的外接圆的圆心为P，则点P的坐标为．（2）如图所示，在11×8的网格图内，以坐标原点O点为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′，得到△A′B′C′，在图中画出△A′B′C′；若将△A′B′C′沿x轴方向平移，需平移单位长度，能使得B′C′所在的直线与⊙P相切．三、解答题19．（8分）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．20．（8分）已知双曲线y ＝（m＞0）与直线y＝kx交于A、B两点，点A的坐标为（3，2）．（1）由题意可得m的值为，k的值为，点B的坐标为；（2）直接写出当＜kx时，x的取值范围；（3）若点P（n﹣2，n+3）在第一象限的双曲线上，试求出n的值及点P的坐标．21．（10分）现有一块直角三角形木板，它的两条直角边分别为3米和4米．要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分别如图1和图2所示．请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求．22．（10分）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，（I）如图①，若D 为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD 的大小．23．（10分）某商家独家销售具有的方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：（1）直接写出y与x的函数关系式：（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安的震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的货款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？24．（10分）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（1）探究1，如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D做BC边上的高DE，则DE与BC 的数量关系是，△BCD的面积为；（2）探究2，如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由；（3）探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．25．（10分）点P为拋物线y＝x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任意一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90℃后得到的图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q 为点P旋转后的对应点．（1）抛物线y＝x2﹣2mx+m2的对称轴是直线，当m＝2，点P的横坐标为4时，点Q的坐标为；（2）设点Q（a，b），请你用含b的代数式表示a，则a＝；（3）如图，点Q在第一象限，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，当AQ＝2QC，QD＝m时，求m的值．2018-2019学年天津市南开区九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分共36分）1．【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A错误；B、在同一条直线上的三条线段不能组成三角形，故B错误；C、投掷一枚质的均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故C错误；D、抛出的篮球会下落是必然事件．故选：D．2．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．3．【解答】解：∵函数y＝mx是反比例函数，∴m2﹣5＝﹣1，解得，m＝±2，∵它的图象在第一、三象限，∴m＞0，∴m＝2，故选：A．4．【解答】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°．故选：B．5．【解答】解：根据题意得30π＝，解得n＝108°．故选：A．6．【解答】解：∵点（x1，y1）、（x2，y2）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2，∴图象分布在第二、四象限，每个象限内y随x的增大而减小，第二象限内所有点对应y 值都是正值，第四象限内所有点对应y值都是负值，∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）在第二象限，∴x1＞x2．故选：A．7．【解答】解：∵当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，∴k＞0，∵x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0，∴△＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＝8k+8＞0，∴关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选：C．8．【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，∴，A错误；∴，C错误；∴，D正确；不能得出，B错误；故选：D．9．【解答】解：连接BC，∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，又∵CO＝BO，∴△COB是等边三角形，∵E为OB的中点，∴CD⊥AB，∵CD＝6，∴EC＝3，∴sin60°×CO＝3，解得：CO＝6，故阴影部分的面积为：＝12π．故选：D．10．【解答】解：如图，过F作FC⊥OA于C，∵，∴OA＝3OC，BF＝2OC∴若设F（m，n）则OA＝3m，BF＝2m∵S△BEF＝4∴BE＝则E（3m，n﹣）∵E在双曲线y＝上∴mn＝3m（n﹣）∴mn＝6即k＝6．故选：A．11．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O 于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝90°，∵∠OP1B＝90°，∴OP1∥AC∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP1＝AC＝4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值＝5+3＝8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选：C．12．【解答】解：由抛物线的开口可知：a＜0，由抛物线与y轴的交点可知：c＜0，由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；令x＝3，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②错误；∵OA＝OC＜1，∴c＞﹣1，故③正确；观察图象可知关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）＝0的两根：一个根在0与1之间，一个根在3与4之间，由OC＝OA，则OB＝4+c，即关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为4+c，故④正确；故选：C．二、填空题（每小题3分共18分）13．【解答】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：A，B两的的实际距离为2.6×1000000＝2600000（cm）＝26（千米）．故答案为：26．14．【解答】解：设正方形的边长为a，则S正方形＝a2，因为圆的半径为，所以S圆＝π＝，所以“小鸡正在圆圈内”啄食的概率为：＝．15．【解答】解：由题意可得，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，故答案为：y＝（x﹣3）2．16．【解答】解：因为A、B是反比例函数和正比例函数的交点，所以A、B关于原点对称，由图可知，A点坐标为（1，3），设反比例函数解析式为y＝，将（1，3）代入解析式得：k＝1×3＝3，可得函数解析式为y＝．故答案为y＝．17．【解答】解：抛物线的对称轴x＝﹣＝2，点B坐标（0，3），∵四边形ABCD是正方形，点A是抛物线顶点，∴B、D关于对称轴对称，AC＝BD，∴点D坐标（4，3）∴AC＝BD＝4．故答案为4．18．【解答】解：（1）观察图象可知，△ABC是直角三角形，∴斜边AC的中点P，是△ABC的外接圆的圆心，∵A（1，1），C（﹣3．﹣1），∴P（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）．（2）如图，△A′B′C′即为所求；∵AC＝＝2，∴△ABC的外接圆的半径为，∵点P到直线B′C′的距离为5，∴将△A′B′C′沿x轴方向平移5﹣或5+个单位能使得B′C′所在的直线与⊙P相切．故答案为5±．三、解答题19．【解答】解：（1）画树状图得：∴有6种选择方案：AD、AE、BD、BE、CD、CE；（2）∵（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，且A型号电脑被选中的有2种情况，∴A型号电脑被选中的概率＝＝．20．【解答】解：（1）∵双曲线y＝（m＞0）与直线y＝kx交于A、B两点，点A的坐标为（3，2），∴m＝3×2＝6，k＝，∵双曲线和正比例函数的交点关于原点对称，∴B（﹣3，﹣2），故答案为6，，（﹣3，﹣2）；（2）﹣3＜x＜0或x＞3；（3）∵点P（n﹣2，n+3）在第一象限的双曲线上，∴（n﹣2）（n+3）＝6，解得n＝3或n＝﹣4，∵点P（n﹣2，n+3）在第一象限，∴n﹣2＞0，n+3＞0，∴只取n＝3，∴P（1，6）．21．【解答】解：图1加工的方法合理．设图1加工桌面长xm，∵FD∥BC，∴Rt△AFD∽Rt△ACB，∴AF：AC＝FD：BC，即（4﹣x）：4＝x：3，解得x＝，设图2加工桌面长ym，过点C作CM⊥AB，垂足是M，与GF相交于点N，∵GF∥DE，∴△CGF∽△CAB，∴CN：CM＝GF：AB，∴（CM﹣y）：CM＝y：AB．∴AB＝．由面积相等可求得CM＝2.4，故此可求得y＝；很明显x＞y，故x2＞y2，∴图1加工的方法合理．22．【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣38°＝52°，∵D为的中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠ABD＝45°；（Ⅱ）连接OD，∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，由DP∥AC，又∠BAC＝38°，∴∠P＝∠BAC＝38°，∵∠AOD是△ODP的一个外角，∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝128°，∴∠ACD＝64°，∵OC＝OA，∠BAC＝38°，∴∠OCA＝∠BAC＝38°，∴∠OCD＝∠ACD﹣∠OCA＝64°﹣38°＝26°．23．【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意得，，解得：，则函数关系式为：y＝﹣10x+1000，（x≥50）（2）由题意得，S＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当50＜x＜70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）∵由40（﹣10x+1000）≤10000解得x≥75又由于最大进货量为：y＝10000÷40＝250由题意可知，当x＝75时，可以销售250件商品，结合图形，故此时利润最大．S＝250×（75﹣40）＝8750（元）故该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款为8750元．24．【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴CA＝CB，∠A＝∠ABC＝45°，由旋转的性质可知，BA＝BD，∠ABD＝90°，∴∠DBE＝45°，在△ACB和△DEB中，，∴△ACB≌△DEB（AAS）∴DE＝AC＝BC＝3，∴△BCD的面积＝×3×3＝，故答案为：DE＝BC；；（2）作DG⊥CB交CB的延长线于G，∵∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBG＝90°，又∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DBG，在△ACB和△BGD中，，∴△ACB≌△BGD（AAS），∴DG＝BC＝a，∴△BCD的面积＝×BC•DG＝a2；（3）作AN⊥BC于N，DM⊥BC交CB的延长线于M，∵AB＝AC，AN⊥BC，∴BN＝BC＝a，由（2）得，△ANB≌△BMD，∴DM＝BN＝a，∴△BCD的面积＝×BC•DM＝a2．25．【解答】解：（1）对称轴x＝﹣＝m，当m＝2时，点P坐标（4，4），逆时针向旋转90度，坐标为（﹣2，2），即：点Q坐标为（﹣2，2），故：答案是：x＝m，（﹣2，2）；（2）如图所示，设图象旋转前Q点的位置在点P处，过点P、Q分别作x轴的垂线，因为图象旋转角为90度，则：PF＝GE，QE＝GF，则：EG＝m﹣a，GF＝QE＝b，则：点P坐标为（m+b，m﹣a），将点P坐标代入二次函数表达式，解得：a＝m﹣b2，故：答案是m﹣b2；（3）延长QC到E，使QC＝CE，则：QE＝2QC＝2m＝AQ，∵OC＝CD，QC＝CE，∠QCE＝∠QCD，∴△DCQ≌△OCE（SAS），∴OE＝QD＝m，∵QE＝AQ，QO＝QO，QO平分∠AQC，∴△AQO≌△EQO（SAS），∴OE＝OA＝m，由（2）知，a＝m﹣b2，即：0＝m﹣m2，解得：m＝1（m＝0舍去），答：m的值为1．第页（共21页）21。
2020-2021学年天津市南开区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选中只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）方程（x﹣1）（x+3）＝0的解是（）A．x＝1B．x＝﹣3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1 2．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm4．（3分）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16）B．（﹣1，﹣16）C．（﹣3，﹣8）D．（3，24）5．（3分）如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC 交圆O于点D，则CD的最大值为（）A．2B．2C．D．6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（）A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C．D．OD＝DE 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．（3分）如图，若△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后与△AB1C1重合，则∠AB1B＝（）A．50°B．55°C．60°D．65°9．（3分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝11010．（3分）关于二次函数y＝2x2+x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣11．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），c（5，y3）在二次函数y＝﹣3x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.13．（3分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．14．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣6x+11化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果为．15．（3分）如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转°．16．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是．17．（3分）已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为．18．（3分）当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，则m的值为．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2+2x﹣1＝0．20．（8分）已知，关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0．（Ⅰ）若x＝1是方程的一个根，求k的值及方程的另一根；（Ⅱ）若k为任意实数，判断此时方程的根情况．21．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是．（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是．22．（10分）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元（x为非负整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？这时每件商品的利润率是多少？23．（10分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，求EC的长．24．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，点B，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若在x轴上方有一点P（m，n），连接P A后满足∠P AB＝∠CAB，记△PBC的面积为S，求S与m的函数关系．25．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．（Ⅰ）如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G，求证：AG＝GF；（Ⅱ）如图2，点E是线段CB上一点（CE＜CB），连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G，若AC＝BC＝7，CE＝2，求DG的长．2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选中只有一项是符合题目要求的。
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2018-2019学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.方程x2-x=0的解为（）A. B.C. ，D. ，2.下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（）A. B.C. D.3.用配方法解方程3x2-6x+1=0，则方程可变形为（）A. B. C. D.4.在下列二次函数中，其图象对称轴为直线x=2的是（）A. B. C. D.5.如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（）A. B. C. D.6.下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A. B.C. D.8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则∠A的度数为（）A.B.C.D.9.已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A. 当时，函数图象经过点B. 当时，函数图象与x轴没有交点C. 若，函数图象的顶点始终在x轴的下方D. 若，则当时，y随x的增大而增大10.如图，AB是圆O的弦，AB=20，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是（）A. 10B.C.D. 2011.如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示的位置，第2秒中P点位于点C的位置，……，则第2018秒点P所在位置的坐标为（）A. B. C. D.12.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx-8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A.B.C. 1D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知圆的直径是13cm，圆心到某条直线的距离是6cm，那么这条直线与该圆的位置关系是______．14.已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是______．15.已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为______．16.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m），设AB的长为xm，所围的花圃面积为ym2，则当x=______时，y的值最大．17.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是______．18.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.已知，关于x的方程（m-1）x2-（m-2）x m=0（1）当m取何值时方程有一个实数根？（2）当m取何值时方程有两个实数根？（3）请你在（2）的条件下，取m的一个适当数值代入方程，并求出方程的解．20.2（1）求该二次函数的解析式；（2）m的值为______；（3）若A（p，y1）、B（p+1，y2）两点都在该函数的图象上，且p＜0，试比较y1与y2的大小．21.数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面的问题：已知：平面内一点A，求作：∠A，使得∠A=30°．小明同学的作法如下：如图①作射线AB；②在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB交于点C；③以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD，∠DAB即为所求作的角．老师说小明的作法是正确的．（1）请你按照小明提示的作法完成作图；（2）请你对小明的作图方法的正确性进行证明．22.如图，AB=AC=8，∠BAC=90，直线l与以AB为直径的⊙O相切于点B，点D是直线l上任意一动点，连结DA交⊙O点E．（1）当点D在AB上方且BD=6时，求AE的长；（2）当CE恰好与⊙O相切时，求BD的长为多少？23.我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元（x＞0）时，平均每天可盈利y元．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？（3）该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．24.探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足______关系时，线段BE、DF和EF之间依然有①中的结论存在，请你写出该结论的证明过程；（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，求DE的长．25.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：x2-x=0，x（x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x1=0，x2=1，故选：C．通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．故选：A．根据中心对称，轴对称，平移变换的性质对各选项分析判断即可得解．本题考查中心对称的性质，关键是根据中心对称，轴对称，平移变换的性质解答．3.【答案】D【解析】解：原方程为3x2-6x+1=0，二次项系数化为1，得x2-2x=-，即x2-2x+1=-+1，所以（x-1）2=．故选D．本题考查分配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．4.【答案】D【解析】解：A、y=（x+2）2-3的对称轴为x=-2，所以选项A错误；B、y=2x2-2的对称轴为x=0，所以选项B错误；C、y=-2x2-2的对称轴为x=0，所以选项C错误；D、y=2（x-2）2对称轴为x=2，所以选项D正确；故选：D．根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．本题考查了二次函数的对称轴，形如y=a（x-h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x=h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x=-求出对称轴．5.【答案】C【解析】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°．∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，∴OA=OA′．∴△OAA′是等边三角形．∴∠AOA′=60°，即旋转角α的大小可以是60°．故选：C．根据旋转的性质：旋转变化前后，图形的大小、形状都不改变，进行分析．本题考查图形旋转的性质及等边三角形的知识．难度中等．6.【答案】C【解析】解：：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；④圆内接四边形对角互补；正确；故选：C．根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可；本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：在函数y=ax2+ax+a（a≠0）中，当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C．根据函数y=ax2+ax+a（a≠0），对a的正负进行分类讨论，只要把选项中一定错误的说出原因即可解答本题．本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．8.【答案】A【解析】解：由圆周角定理得，∠A=∠BOD，由圆内接四边形的性质得，∠A+∠BCD=180°，∴3∠A=180°，解的，∠A=60°，故选：A．根据圆周角定理得到，∠A=∠BOD，根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BCD=180°，计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：A、当a=1时，函数解析式为y=x2-2x-1，当x=-1时，y=1+2-1=2，∴当a=1时，函数图象经过点（-1，2），∴A选项不符合题意；B、当a=-2时，函数解析式为y=-2x2+4x-1，令y=-2x2+4x-1=0，则△=42-4×（-2）×（-1）=8＞0，∴当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，∴B选项不符合题意；C、∵y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，-1-a），当-1-a＜0时，有a＞-1，∴C选项不符合题意；D、∵y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a，∴二次函数图象的对称轴为x=1．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，∴D选项符合题意．故选：D．A、将a=1代入原函数解析式，令x=-1求出y值，由此得出A选项不符合题意；B、将a=2代入原函数解析式，令y=0，根据根的判别式△=8＞0，可得出当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；C、利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；D、利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．此题得解．本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：连接OA、OB，如图，∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA=AB=×20=20，∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN=AC，当AC为直径时，AC的值最大，∴MN的最大值为20．故选：D．连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，则OA=AB=20，再根据三角形中位线性质得到MN=AC，然后利用AC为直径时，AC的值最大可确定MN的最大值．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．11.【答案】B【解析】解：作PE⊥OA于E，∵OP=1，∠POE=45°，∴OE=PE=，即点P的坐标为（，），则第2秒P点为（0，1），根据题意可知，第3秒P点为（-，），第4秒P点为（-1，0），第5秒P点为（-，-），第6秒P点为（0，-1），第7秒P点为（，-），第8秒P点为（1，0），2018÷8=252……2，∴第2018秒点P所在位置的坐标为（0，1），故选：B．作PE⊥OA于E，根据等腰直角三角形的性质得到点P的坐标为（，），根据题意分别求出第3秒、第4秒、第5秒、第6秒、第7秒、第8秒点P的坐标，根据规律解答．本题考查的是考查的是点的坐标规律，圆心角、弧、弦的关系定理，正确找出各个时间点的坐标规律是解题的关键．12.【答案】B【解析】解∵关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），∴方程的另一个根为x=-2．故选：B．根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．13.【答案】相交【解析】解：∵圆的直径为13 cm，∴圆的半径为6.5 cm，∵圆心到直线的距离6cm，∴圆的半径＞圆心到直线的距离，∴直线与圆相交，故答案为：相交．欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．14.【答案】a＜-1【解析】解：∵P（a+1，1）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴a+1＜0，解得：a＜-1，故答案为：a＜-1．首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（-，+），可得到不等式a+1＜0，然后解出a的范围即可．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标符号，关键是判断出P点所在象限．15.【答案】（-b，a）【解析】解：不妨设A在第一象限，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，如图所示．∵A（a，b），∴OB=a，AB=b，∴A1B1=AB=b，OB1=OB=a，因为A1在第二象限，所以A1（-b，a），A在其它象限结论也成立．画出草图分析．不妨设A在第一象限，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，如图所示．根据旋转的性质，A1B1=AB，OB1=OB．综合A1所在象限确定其坐标，其它象限解法完全相同．不失一般性，可设点A在某一象限，以点带面求解．16.【答案】【解析】解：由题意得：y=x（24-3x），即y=-3x2+24x，∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴≤x＜8；故y与x的函数关系为y=-3x2+24x，（≤x＜8）；∵y=-3x2+24x=-3（x-4）2+48（≤x＜8）；∵开口向下，对称轴为4，∴当x=时，花圃有最大面积，答：当x为时，面积最大，故答案为：．设AB长为x米，则BC长为：（24-3x）米，该花圃的面积为：（24-3x）x；进而得出函数关系即可；根据x的取值范围，判断出最大面积时x的取值，代入解析式便可得到最大面积．本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解答本类题目的关键．17.【答案】【解析】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+．故答案为：2+．过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．18.【答案】4【解析】解：连接OP、OB，∵图形BAP的面积=△AOB的面积+△BOP的面积+扇形OAP的面积，图形BCP的面积=△BOC的面积+扇形OCP的面积-△BOP的面积，又∵点P是半圆弧AC的中点，OA=OC，∴扇形OAP的面积=扇形OCP的面积，△AOB的面积=△BOC的面积，∴两部分面积之差的绝对值是2S△BOP=OP•OC=4．连接OP、OB，把两部分的面积均可转化为规则图形的面积，不难发现两部分面积之差的绝对值即为三角形BOP的面积的2倍．此题要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．注意根据已知条件发现面积相等的图形．19.【答案】解：（1）当m-1=0，即m=1时，该方程为一元一次方程，方程有一个实数根：x=-；（2）当m-1≠0，即m≠1时，该方程为一元二次方程；当△=[-（m-2）]2-4（m-1）×m≥0时，方程有两个实数根．解得：m≤，且m≠1，∴当m≤，且m≠1时方程有两个实数根；（3）当m=0时，方程可化为-x2+2x=0，解得：x1=0，x2=2．【解析】（1）m-1=0即m=1时，方程是一元一次方程，据此可得；（2）由m-1≠0即m≠1时，该方程为一元二次方程，利用判别式求解可得；（3）把m=0代入方程，解方程即可得到结论．本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的定义和解法．20.【答案】0【解析】解：（1）把点（-1，0），（2，-3），（0，-3）分别代入y=ax2+bx+c中，得，解得，∴这个二次函数的关系式为：y=x2-2x-3；（2）由已知表格可得函数的对称轴为x=1，∴m=0．故答案是：0；（3）∵p＜0，∴p＜p+1＜1，∵对称轴为x=1，A、B两点位于对称轴的左侧，又因为抛物开口向上，∴y1＞y2，故答案为0，y1＞y2．（1）从表格中选取3组解利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）观察表格知x=1是二次函数的对称轴，x=3关于x=-1对称，可得m=0；（3）根据函数的增减性来判断较y1与y2的大小．此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，此题从表格中找函数的对称轴，从而来运用函数的增减性来解题．21.【答案】解：（1）如图，∠A即为所求．（2）连接OD、OC，由作图知，OB=OC=CD，∴△OCD为等边三角形，则∠COD=60°，∴∠DAC=∠COD=30°．【解析】先根据作图得出OB=OC=CD，即△OCD为等边三角形，据此可得∠COD=60°，再根据圆周角定理知∠DAC=∠COD=30°，从而得出答案．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆周角定理．22.【答案】解：（1）∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵BD为切线，∴AB⊥BD，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，AD===10，∵BE•AD=AB•BD，∴BE==，在Rt△ABE中，AE==；（2）连接OC，如图，∵∠BAC=90°，∴CA为⊙O的切线，∵CE为⊙O的切线，∴CA=CE，而OA=OE，∴OC垂直平分AE，∴∠1+∠3=90°，而∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，而AB=CA，∠CAO=∠ABD，∴△ABD≌△CAO，∴BD=AO=4．【解析】（1）利用圆周角定理得∠AEB=90°，利用切线的性质得∠ABD=90°，则利用勾股定理可计算出AD=10，再利用面积法计算出BE=，然后利用勾股定理可计算出AE的长；（2）连接OC，如图，利用切线长定理得到CA=CE，则快乐判断OC垂直平分AE，根据等角的余角相等得到∠2=∠3，则可判断△ABD≌△CAO，从而得到BD=AO=4．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了勾股定理和圆周角定理．23.【答案】解：（1）根据题意得，y与x的函数关系式为y=（20+2x）（60-40-x）=-2x2+20x+400；（2）当y=400时，400=-2x2+20x+400，解得x1=10，x2=0（不合题意舍去）．故当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；（3）该专卖店不可能平均每天盈利600元．当y=600时，600=-2x2+20x+400，整理得x2-10x+100=0，∵△=（-10）2-4×1×100=-300＜0，∴方程没有实数根，即该专卖店不可能平均每天盈利600元．【解析】（1）根据总利润=每件利润×销售数量，可得y与x的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系列方程，解方程即可求解；（3）根据（1）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．24.【答案】∠B+∠D=180°【解析】解：（1）①如图1，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ADG=90°∴F、D、G共线，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中，∵∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=DF+DG=BE+DF；②解：∠B+∠D=180°，理由是：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴C、D、G在一条直线上，与①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；故答案为：∠B+∠D=180°；（2）解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC==4，如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF=DE，设DE=x，则DF=x，∵BC=4，∴BF=CE=4-1-x=3-x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，x2=（3-x）2+12，解得：x=，即DE=．（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；②根据旋转的性质作辅助线，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3-x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．25.【答案】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x-1）（x-5）=x2-x+4=（x-3）2-，∴抛物线的对称轴是：直线x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x-，∵点P的横坐标为3，∴y=×3-=，∴P（3，）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2-t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=-x+4，把x=t代入得：y=-t+4，则G（t，-t+4），此时：NG=-t+4-（t2-t+4）=-t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG•OC=×（-t2+4t）×5=-2t2+10t=-2（t-）2+，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2-t+4=-3，∴N（，-3）．【解析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2-t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．。