北师大数学八下课件1.2第1课时直角三角形的性质与判定
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第一章 1.2.1 直角三角形的性质与判定课件北师版八年级数学下册
2
2
b)(a 2
b)
′ 比较可得:c2 = a2+b2 .
伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话, a
c
后来，人们为了纪念他对勾股定理直观.
b
简捷.易懂.明了的证明，就把这一证法称
为“总统”证法. ．
cb a
勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！ 返回
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方。
北师大版教材数学八年级下册第一章
•1.2.1直角三角形（1）
本节课的任务
了解勾股定理及其逆定理的证明方法． 结合具体例子了解逆命题的概念，识别两
个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题 不一定成立． 学以致用 自我评价
温故知新
1、直角三角形的两个锐角有什么关 系？为什么？
定理1：直角三角形的两个锐角互余。 2、如果一个三角形有两个角互余，那么这个 三角形是直角三角形吗？为什么？
如果将条件和结论反过来，命题还成立吗？
命题: 如果一个三角形两边的平方和等于第三边 的平方,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这 个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.
B
定理2：有两个角互余的三角形是 直角三角形。
想一想
一般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢? 你会证明吗?
勾股定理 直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方.
勾股定理的证明
方法一: 数方格 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图
这些证法你还能记得多少? 你最喜欢哪种证法?
1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′， 则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程． 在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)． 由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520， 则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三 角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.
北师大版八年级数学下册1.2《直角三角形》课件(共14张PPT)
观察上面两组定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考：上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗？
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
4， 在△ABC中，BC=6,AC=5,BC边上中线长为4，则S△ABC=____ 5，已知：在△ABC中，AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
角时，那么这两个三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′B′，BC=B′C′。 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示．
如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
想一想
思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两 个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角 呢？
两个三角形中，如果有两边及其中一边的对角相等，这两个三 角形是不一定全等的．如图所示：
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考：上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗？
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
4， 在△ABC中，BC=6,AC=5,BC边上中线长为4，则S△ABC=____ 5，已知：在△ABC中，AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
角时，那么这两个三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′B′，BC=B′C′。 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示．
如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
想一想
思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两 个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角 呢？
两个三角形中，如果有两边及其中一边的对角相等，这两个三 角形是不一定全等的．如图所示：
直角三角形(第1课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
勾股定理的证明—总统证明法
美国第二十任总统伽菲尔德,在 1876年利用了梯形面积公式证明勾股定
理.
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
b)
1 2
(a2
2ab
b2 )
a
1 2
a2
1 2
b2
ab，
b
s2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c2
伽菲尔德的证法在数学史上 被传为佳话,后来，人们为了 纪念他对勾股定理直观.简捷 .易懂.明了的证明，就把这 一证法称为“总统”证法 ．
在△ABC中，因为 ∠A +∠B+∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形
(二)直角三角形-边的性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
在Rt△BCD中，由勾股定理得
四、课堂练习
8. 如图，在△ABC中，已知AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线
AD=12c=CD，BC=10cm，∴ BD=5cm. ∴ 在△ABD中,
AD2+BD2=122+52＝144+25=169,
AB2=132=169 ∴AD2+BD2=AB2. ∴△ABD是直角三角形 在Rt△ADC中 ∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169, ∴AC2=AB2 ∴AB=AC
四、课堂练习
3．△ABC的三边分别为a，b，c，则无法判断△ABC为直角三角形的
八年级 下册 数学 PPT课件 精品课件 第一章 三角形的证明 直角三角形(一)
范例讲解 例2、写出命题“如果两个有理数相等，那么它 们的平方相等”的逆命题，这两个命题都是真命 题吗？ 解：其逆命题为“如果两个有理数的平方相等，
那么这两个有理数也相等” 原命题是真命题，而逆命题是假命题 训练题:写出下列命题的逆命题，并判断它们是真 命题还是假命题。 （1）两直线平行，同旁内角相等。 （2）如果a是偶数，b是偶数，那么a+b是偶数。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30˚，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）等腰三角形的两腰相等。
∴这个三角形不是直角三角形
∴没有与60m长的南北边线垂直的边线
∴没有一条边线为东西向
ⅳ、观察下面两个命题：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方。
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形。
它们的条件和结论之间有什么关系？
合作交流 ⅴ、观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等， 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧， 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题， 而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行． 原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0． 原命题是假命题，而逆命题
是真命题．
1.（钦州·中考）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） （A）4 cm （B）5 cm
北师大版八年级下册数学1.2直角三角形的性质和判定(1)课件(共16张PPT)
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件． ∴∠C=∠E=90°,
为 (a+b)2 ；
c c 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.
求证:△ABC是直角三角形． DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
也可以表示为
c2+
4 1 ab 2
；
1．经历探索勾股定理及其逆定理验证的过程，发展学生合情推理能力，体会数形结合思想．
c2
a2 b2 c2
第二节 直角三2角．形的性利质和用判定正（1）方形面积拼图证明：
你会利用公理及由其推导出的定理证明吗?
∴△ABC≌△DFE．
a ∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC≌△DFE．
b
一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.
大正方形的面积可以表示
2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立．
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立．
的平方． 2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图),
∴AB2=DF2，
∴AB=DF，
D
∴△ABC≌△DFE．
┏
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
E
F
第二节下直角面三角两形的个性质和命判定题（1）的条件和结论有什么样的关系？
北师大版数学八年级下册第1课时直角三角形的性质与判定课件(共21张)
1 直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
北师大版八年级数学下册--1.2.1 直角三角形的性质与判定 系列课件
新课教学
知识点1：直角三角形中角的关系
【归纳】 三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另 外两个角差的绝对值的一半．
新课教学
知识点1：直角三角形中角的关系
1. 小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中
∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°， 则∠α＋∠β等于( )B
【归纳】 应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简 化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
1. 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.
解：
因为∠A＝∠B＝45°， 所以△ABC为等腰直角三角形． 所以AC＝BC＝3.
所以 AB＝ AC2＋BC2＝3 2.
直角三角形 —有一个角是直角
钝角三角形 —有一个角是钝角
新课教学
生活中用到直角三角形的 例子很多
知识点1：直角三角形中角的关系
想一想 (1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ (2) 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角
形吗？为 什么？
【定理】直角三角形的两个锐角互余. 【定理】有两个角互余的三角形是直角三角形.
证明：
如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使 ∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC, 则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ，∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
知识点1：直角三角形中角的关系
【归纳】 三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另 外两个角差的绝对值的一半．
新课教学
知识点1：直角三角形中角的关系
1. 小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中
∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°， 则∠α＋∠β等于( )B
【归纳】 应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简 化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
1. 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.
解：
因为∠A＝∠B＝45°， 所以△ABC为等腰直角三角形． 所以AC＝BC＝3.
所以 AB＝ AC2＋BC2＝3 2.
直角三角形 —有一个角是直角
钝角三角形 —有一个角是钝角
新课教学
生活中用到直角三角形的 例子很多
知识点1：直角三角形中角的关系
想一想 (1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ (2) 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角
形吗？为 什么？
【定理】直角三角形的两个锐角互余. 【定理】有两个角互余的三角形是直角三角形.
证明：
如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使 ∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC, 则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ，∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系