山东省枣庄市2017届高三数学4月阶段性自测试题
山东省枣庄市实验中学2017届高三4月份阶段性自测数学试题含答案
2017届山东省枣庄实验中学高三数学4月份阶段性自测题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知集合为实数集,则集合A∩（∁R B)=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（1，2） D．≤0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是（)A． B．(﹣∞，0］C．D．2.命题p：x∈R且满足sin2x=1．命题q：x∈R且满足tanx=1．则p 是q的( ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知i是虚数单位,若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i4.执行如图所示的程序框图,如果输入的a，b分别为56，140,则输出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．285.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A．B． C． D．6。
已知f(1+log a x)=．若f(4）=3,则a=( ）A．B．C．D．27。
为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象( ）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8.已知实数x，y满足约束条件，若函数z=ax+by（a＞0,b＞0)的最大值为1,则8a+16b的最小值为（）A．B．4 C．2 D．9。
已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，｜PF1｜=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为( ）A．B．C．D．10.甲、乙、丙、丁、戊5名学生各自在3门数学选修课：数学史、数学建模和几何画板中任选一门学习，则这三门课程都有同学选修且甲不选修几何画板的概率为（）A．B．C．D．二、填空题11.若函数f （x ）=（x ﹣a ）（x+3）为偶函数，则f （2)= ． 12.已知等差数列{}na 中，11a=，238a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S = .13.已知||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120°，则(2)()a b a b +⋅+=________。
山东2017届高三4月月考模拟数学试题(理)(word版含答案)
山东省2017届高三4月月考（模拟）数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}8,6,4,2{=A ，}0189|{2≤+-=x x x B ，则=B A （ ） A ．}4,2{ B ．}6,4{ C ．}8,6{ D ．}8,2{2.若复数iia 21++（R a ∈）为纯虚数，其中i 为虚数单位，则=a （ ） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3-3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）A ．41 B ．21 C ．31 D ．324.等比数列}{n a 的前n 项和为b a S n n +⋅=-13，则=ba（ ）A ．3-B ．1- C. 1 D ．35.直线l ：)(04R k y kx ∈=++是圆C ：064422=+-++y x y x 的一条对称轴，过点),0(k A 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为（ ）A ．22B ．2 C. 6 D ．62 6.祖冲之之子祖恒是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖恒原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个该几何体的下底面平行相距为h （20<<h ）的平面截几何体，则截面面积为（ ）A ．π4B ．2h π C. 2)2(h -π D ．2)4(h -π7.函数x x f xx cos 1212)(⋅-+=的图象大致是（ ）8.已知0>>b a ，0<c ，下列不等关系正确的是（ ）A ．bc ac >B ．cc b a > C. )(log )(log c b c a b a ->-D ．cb bc a a ->- 9.执行如图所示的程序框图，若输入2017=p ，则输出i 的值为（ ）A ．335B ．336 C. 337 D ．33810.已知F 是双曲线E ：12222=-by a x (0,0>>b a )的右焦点，过点F 作E 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，垂线PF 与E 相交于点Q ，记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为2d ，若d FP 2||=，则该双曲线的离心率（ ） A ．2 B ．2 C. 3 D ．4第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知向量)2,1(=p ，)3,(x q =，若q p ⊥，则=+||q p ．12.5)1(xx -的二项展开式中，含x 的一次项的系数为 ．（用数字作答）13.若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+1083204x y x y x ，目标函数y kx z -=的最大值为12，最小值为0，则实数=k ．14.已知数列}{n a 满足)2()2(22n n a n na n n +=+-+λ，其中2,121==a a ，若1+<n n a a 对*∈∀N n 恒成立，则实数λ的取值范围为 ．15.设函数2)2()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为019=-+y x ，则曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 满足下列条件：①周期π=T ；②图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称；③1)0(=f . （1）求函数)(x f 的解析式； （2）设)4,0(,πβα∈，1310)3(-=-παf ，56)6(=+πβf ，求)22cos(βα-的值. 17. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知C a A c a cos sin 32-=. （1）求C ；（2）若3=c ，求ABC ∆的面积的最大值.18.如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G ，2==BD AB ，3=AE ，EAB EAD ∠=∠.（1）证明：平面⊥ACEF 平面ABCD ；（2）若AE 与平面ABCD 所成角为60，求二面角D EF B --的余弦值.19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民的用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式； （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电量不超过260元的占80%，求b a ,的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户1月份是用电费用，求Y 的分布列和数学期望.20.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点21,A A ，上下顶点分别为21,B B ，左右焦点分别为21,F F ，其中长轴长为4，且圆O ：71222=+y x 为菱形2211B A B A 的内切圆. （1）求椭圆C 的方程；（2）点)0,(n N 为x 轴正半轴上一点，过点N 作椭圆C 的切线l ，记右焦点2F 在l 上的射影为H ，若HN F 1∆的面积不小于2163n ，求n 的取值范围. 21.已知函数x x x f ln )(=，e 为自然对数的底数. （1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的值； （3）关于x 的方程a x f =)(有两个实根21,x x ，求证：22112||-++<-e a x x .试卷答案一、选择题1-5: BCBAC 6-10: DCDCB二、填空题11.25 12. 5- 13. 3 14. ),0[+∞ 15.062=++y x三、解答题16.解：（1）∵)(x f 的周期为πωπ==2T ，∴2=ω，又函数)(x f 的图象向左平移6π个单位长度，变为])6(2sin[)(ϕπ++=x A x g ，由题意，)(x g 的图象关于y 轴对称，∴ππϕπk +=+⨯262，Z k ∈，又2||πϕ<，∴6πϕ=，∴函数)62sin()(π+=x A x f ，又1)0(=f ，∴16sin=πA ，解得2=A ，∴函数)62sin(2)(π+=x x f .（2）由1310)3(-=-παf ，56)6(=+πβf ，得1310)6322sin(2-=+-ππα，56)632sin(2=++ππβ，∴532cos ,1352cos ==βα，又)2,0(,πβα∈，∴13122sin =α，542sin =β，∴6563541312531352sin 2sin 22cos )22cos(=⨯+⨯=+=-βαβαβαos . 17.解：（1）由已知及正弦定理可得C a A C A cos sin sin 3sin 2-=，在ABC∆中，0sin >A ，∴C C cos sin 32-=，∴1cos 21sin 23=-C C ，从而1)6sin(=-πC ，∵π<<C 0，∴6566πππ<-<-C ，∴26ππ=-C ，∴32π=C . （2）解法1：由（1）知32π=C ，∴23sin =C ，∵C ab S sin 21=，∴ab S 43=，∵abc b a C 2cos 222-+=，∴ab b a -=+322，∵ab b a 222≥+，∴1≤ab （当且仅当1==b a时等号成立），∴4343≤=ab S ；解法2：由正弦定理可知2sin sin sin ===C c B b A a ，∵C ab S sin 21=，∴B A S sin sin 3=， ∴)3sin(sin 3A A S -=π，∴43)62sin(23-+=πA S ，∵30π<<A ，∴65626πππ<+<A ，当262ππ=+A ，即6π=A 时，S 取最大值43.18.解：（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，AB AD =，AC BD ⊥，GB DG =，在EAD ∆和EAB ∆中，AB AD =，AE AE =，EAB EAD ∠=∠，∴EAD ∆EAB ∆≅，∴EB ED =，∴EG BD ⊥，∵G EG AC = ，∴⊥BD 平面ACFE ，∵⊂BD 平面ABCD ，∴平面⊥ACFE 平面ABCD .（2）解法1：过G 作EF 垂线，垂足为M ，连接MB ，MG ，MD ，易得EAC ∠为AE 与面ABCD 所成的角，∴ 60=∠EAC ，∵GM EF ⊥，BD EF ⊥，∴⊥EF 平面BDM ，∴DMB ∠为二面角D EF B --的平面角， 可求得23=MG ，213==BM DM ，在DMB ∆中余弦定理可得135cos =∠BMD ，∴二面角D EF B --的余弦值为135.解法2：如图，在平面ABCD 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于点M ，由（1）可知，平面⊥ACFE 平面ABCD ，∴⊥MG 平面ABCD ，∴直线GB GA GM ,,两两垂直，分别以GM GB GA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系xyz G -，易得EAC ∠为AE 与平面ABCD 所成的角，∴ 60=∠EAC ，则)0,1,0(-D ，)0,1,0(B ，)23,0,23(E ，)23,0,233(-F ，)0,0,32(=FE ，)23,1,23(-=BE ，)23,1,23(=DE ，设平面BEF 的一个法向量为),,(z y x n =，则0=⋅且0=⋅，∴0=x ，且02323=+-z y x ，取2=z ，可得平面BEF 的一个法向量为)2,3,0(=n ，同理可求得平面DEF 的一个法向量为)2,3,0(-=，∴135,>=<m n cis ， ∴二面角D EF B --的余弦值为135. 19.解：（1）当2000≤≤x 时，x y 5.0=；当当400200≤<x 时，608.0)200(8.02005.0-=-⨯+⨯=x x y ；当当400>x 时，140)400(0.12008.02005.0-=-⨯+⨯+⨯=x x y ，所以y 与x 之间的函数解析式为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤≤=140,140400200,608.02000,5.0x x x x x x y .（2）由（1）可知，当260=y 时，400=x ，则80.0)400(=≤x P ，结合频率分布直方图可知⎩⎨⎧=+=+⨯+2.005.01008.03.010021.0a b ，∴0015.0=a ，0020.0=b （3）由题意可知X 可取50，150，250，350，450，550，当50=x 时，25505.0=⨯=y ，∴1.0)25(==y P ， 当150=x 时，751505.0=⨯=y ，∴2.0)75(==y P ，当250=x 时，140508.02005.0=⨯+⨯=y ，∴3.0)140(==y P ， 当350=x 时，2201508.02005.0=⨯+⨯=y ，∴2.0)220(==y P ，当450=x 时，310500.12008.02005.0=⨯+⨯+⨯=y ，∴15.0)310(==y P ， 当550=x 时，4101500.12008.02005.0=⨯+⨯+⨯=y ，∴05.0)410(==y P ， 故Y 的概率分布列为所以随机变量X 的数学期望5.17005.041015.03102.02203.01402.0751.025=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EY20.解：（1）由题意知42=a ，所以2=a ，所以)0,2(1-A ,)0,2(2A ，),0(1b B -，),0(2b B ，则直线22B A 的方程为12=+b yx ，即022=-+b y bx ，所以7124|2|2=+-b b ，解得32=b ，故椭圆C 的方程为13422=+y x . （2）由题意，可设直线l 的方程为0,≠+=m n my x ，联立⎩⎨⎧=++=124322y x n my x 消去x 得0)4(36)43(222=-+++n mny y m （*），由直线l 与椭圆C 相切，得0)4)(43(34)6(222=-+⨯-=∆n m mn ，化简得04322=+-n m ，设点),(t n mt H +，由（1）知)0,1(),0,1(21F F -，则111)(0-=⋅-+-mn mt t ，解得21)1(m n m t +--=，所以HN F 1∆的面积2221|)1(|21|1)1(|)1(211m n m mn m n S HNF +-=+--+=∆，代入04322=+-n m 消去n 化简得||231m S HN F =∆，所以)43(163163||2322+=≥m n m ，解得2||32≤≤m ，即4942≤≤m ，从而434942≤-≤n ，又0>n ，所以4334≤≤n ，故n 的取值范围为]4,334[.21.解：（1）对函数)(x f 求导得1ln 1ln )('+=⋅+=x xx x x f ，∴11ln )('22-=+=--e e f ，又22222ln )(-----==e e e e f ，∴曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程为)()2(22----=--e x e y ，即2---=e x y .（2）记)1(ln )1()()(--=--=x x x x x f x g λλ，其中0>x ，由题意知0)(≥x g 在),0(+∞上恒成立，下求函数)(x g 的最小值，对)(x g 求导得λ-+=1ln )('x x g ，令0)('=x g ，得1-=λe x ，当x 变化时，)('x g ，)(x g 变化情况列表如下：∴1111min )1()1()()()(-----=---===λλλλλλλe e e e g x g x g 极小，∴01≥--λλe，记1)(--=λλλe G ，则11)('--=λλe G ，令0)('=λG ，得1=λ. 当λ变化时，)('λG ，)(λG 变化情况列表如下：∴0)1()()(max ===g G G 极大λλ 故01≤--λλe当且仅当1=λ时取等号，又01≥--λλe ，从而得到1=λ；（3）先证2)(---≥e x x f ，记22ln )()()(--++=---=e x x x e x x f x h ，则2ln )('+=x x h ，令0)('=x h ，当x 变化时，)('x h ，)(x h 变化情况列表如下：∴0ln )()()(22222min =++===-----e e e e e h x h x h 极小，0)(≥x h 恒成立，即2)(---≥e x x f ，记直线2---=e x y ，1-=x y 分别与a y =交于),'(),,'(21a x a x ，不妨设21x x <，则21121)('----≥=--=e x x f e x a ，从而11'x x ≤，当且仅当22--=e a 时取等号，由（2）知，1)(-≥x x f ，则1)(1'222-≥=-=x x f x a ，从而22'x x ≤，当且仅当0=a 时取等号，故2212122112)()1(''||--++=---+=-≤-=-e a e a a x x x x x x ，因等号成立的条件不能同时满足，故22112||-++<-e a x x .。
2017年山东省枣庄市高考数学一模试卷(理科) 有答案
2017年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．2．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B={x|log3（2﹣x）≤1}，则A∩（∁R B）=（）A．∅B．{x|x≤﹣1，x＞2}C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1，x≥2}3．函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数4．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）A．2 B．﹣1 C．D．5．若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（）A．24 B．28 C．25 D．266．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s2＞s1D．s3＞s1＞s27．在△ABC中，的值为（）A．B．C．D．8．不等式组表示的点集M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为（）A．B．C．D．9．已知a∈R，则“a＜0”是“函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要10．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，AB=3，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在的展开式中，x的系数为．（用数字作答）12．已知双曲线C的中心为坐标原点，它的焦点F（2，0）到它的一条渐近线的距离为，则C的离心率为．13．若“∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣1|≤m”是真命题，则实数m的最小值是．14．某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是．15．已知函数f（x）=|x•e x|，g（x）=f2（x）+λf（x），若方程g（x）=﹣1有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）将函数的图象上每点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象．（1）求函数f（x）的解析式及其图象的对称轴方程；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，求sinB 的值．17．（12分）在队内羽毛球选拔赛中，选手M与B1，B2，B3三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选下一轮，否则不予入选，问M是否会入选下一轮？（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a6=0，S4=14．（1）求a n；（2）将a2，a3，a4，a5去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{b n}的前三项，求数列{a n b n}的前n项和T n．19．（12分）在四边形ABCD中（如图①），AB∥CD，AB⊥BC，G为AD上一点，且AB=AG=1，GD=CD=2，M为GC的中点，点P为边BC上的点，且满足BP=2PC．现沿GC折叠使平面GCD ⊥平面ABCG（如图②）．（1）求证：平面BGD⊥平面GCD：（2）求直线PM与平面BGD所成角的正弦值．20．（13分）已知函数f（x）=x•e x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x轴，求a的值：（2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间；（3）若∀x＞0，f（x）≥f（m）恒成立，且f（m）≥0，求证：f（m）≥2（m2﹣m3）．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x2=4y的焦点F是椭圆（a ＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E 于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足．（1）求椭圆C的方程；（2）记△PDF的面积为S1，△QAB的面积为S2，设，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．2017年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由（1+i）z=2﹣i，得．∴|z|=．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B={x|log3（2﹣x）≤1}，则A∩（∁R B）=（）A．∅B．{x|x≤﹣1，x＞2}C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1，x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，再求出∁R B，由此能求出A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}={x|x≥2或x≤﹣1}，B={x|log3（2﹣x）≤1}={x|﹣1≤x＜2}，∁R B={x|x≥2，或x＜﹣1}，则A∩（∁R B）={x|x≥2，或x＜﹣1}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．3．函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式为y=﹣sin2x，从而得出结论．【解答】解：=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=﹣sin2x，故函数y是最小正周期为π的奇函数，故选：A．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，正弦函数的周期性和奇偶性，属于中档题．4．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）A．2 B．﹣1 C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能计算即可．【解答】解：S=2，k=1＜5，则S=1﹣=，k=2＜5，则S=1﹣2=﹣1，k=3＜5，则S=1﹣（﹣1）=2，k=4＜5则S=1﹣=，k=5，不小于5，输出S=，故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图得程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．5．若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（）A．24 B．28 C．25 D．26【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足，则3x+4y=（3x+4y）=13+≥13+3×=25，当且仅当x=2y=5时取等号．∴3x+4y的最小值是25．故选：C．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s2＞s1D．s3＞s1＞s2【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分析3个频率分布直方图：第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各个段内分布均匀，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端最分散，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，是集中，由此得到结果．【解答】解：根据三个频率分步直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差、标准差最大；第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差、标准差小，而第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差、标准差最小，总上可知s1＞s3＞s2，故选：B．【点评】本题考查频率直方图的应用，涉及标准差的意义，需要从频率直方图分析波动的大小．7．在△ABC中，的值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出运算结果．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，=，∴D为BC的中点，∴=（+）；又==（﹣），∴•=（+）•（﹣）=（﹣）=×（32﹣22）=．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题目．8．不等式组表示的点集M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出面积，利用几何概型的公式解答．【解答】解：不等式组表示的点集M，对应的区域面积为2×2=4，N对应的区域面积为（x+1﹣2x2）dx=（x2+x﹣x3）|=，由几何概型公式得，在M中任取一点P，则P∈N的概率为．故选：B．【点评】本题考查了几何概型的公式的运用，关键是求出区域面积，利用几何概型公式求值．9．已知a∈R，则“a＜0”是“函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用二次函数的单调性、绝对值函数的意义即可得出．【解答】解：a=0时，函数f（x）=|x（ax+1）|=|x|在（﹣∞，0）上是减函数．a≠0时，f（x）=|a﹣|，若函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数，则﹣≥0，解得a＜0．因此“a＜0”是“函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、二次函数的单调性、绝对值函数的意义、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，AB=3，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（）A．B．C． D．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别求出鳖膈的体积与其外接球的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，鳖膈的体积==10，其外接球的半径为=5，体积为=，∴鳖膈的体积与其外接球的体积之比为10：=3：50π，故选C．【点评】本题考查鳖膈的体积与其外接球的体积，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在的展开式中，x的系数为24．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中x的指数为1，即可求出x的系数．【解答】解：在的展开式中，=•x4﹣r•=••2r，通项公式为T r+1令4﹣r=1，解得r=2；∴展开式中x的系数为：22×=24．故答案为：24．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，着重考查了二项展开式的通项公式，是基础题．12．已知双曲线C的中心为坐标原点，它的焦点F（2，0）到它的一条渐近线的距离为，则C的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用点到直线的距离，结合已知条件列式，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵焦点F（2，0）到它的一条渐近线的距离为，∴=，∴b=c，∴a=c，∴e==2．故答案为2．【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与焦距的关系，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．13．若“∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣1|≤m”是真命题，则实数m的最小值是2．【考点】特称命题．【分析】写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围，即可得出结论．【解答】解：若“∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣1|≤m”是真命题，它的否定命题是“∀x∈R，有|x+1|+|x﹣1|＞m”，是假命题，∵|x+1|+|x﹣1|≥2恒成立，∴m的最小值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了函数的最值以及命题的真假的应用问题，是基础题．14．某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是正方体的内接正三棱锥，画出图形求出三棱锥的棱长，利用面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥；设正方体的棱长为a，则几何体的体积是V=a3﹣4××a2•a=a3=，∴a=1，∴三棱锥的棱长为，因此该三棱锥的表面积为S=4××=2．故答案为：2．【点评】本题考查了正方体的内接正三棱锥表面积的计算问题，关键是根据三视图得出几何体的结构特征．15．已知函数f（x）=|x•e x|，g（x）=f2（x）+λf（x），若方程g（x）=﹣1有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f（x）=t，研究f（x）的单调性和极值，得出f（x）=t的解的情况，从而确定关于t的方程t2+λt+1=0的解的分布情况，利用二次函数的性质得出λ的范围．【解答】解：f（x）=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x＞0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=（﹣1﹣x）e x，∴当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数．当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）=．令f（x）=t，又f（x）≥0，f（0）=0，则当t＜0时，方程f（x）=t无解；当t=0或t＞时，方程f（x）=t有一解；当t=时，方程f（x）=t有两解；当0时，方程f（x）=t有三解．∵g（x）=f2（x）+λf（x）=﹣1有四个不同的实数解，∴关于t的方程t2+λt+1=0在（0，）和（，+∞）上各有一解，∴，解得：λ＜﹣e﹣．故答案为（﹣∞，﹣e﹣）．【点评】本题考查了函数的零点个数与单调性和极值的关系，二次函数的性质，换元法解题思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2017•枣庄一模）将函数的图象上每点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象．（1）求函数f（x）的解析式及其图象的对称轴方程；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，求sinB 的值．【考点】三角形中的几何计算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由题意和图象平移变换法则求出f（x）的解析式，由整体思想和正弦函数的对称轴方程求出其图象的对称轴方程；（2）由（1）化简，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A，由条件和正弦定理求出sinB的值．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=，令得，，所以f（x）的图象的对称轴方程是；（2）由（1）得，，因0＜A＜π，所以，则或=，解得A=或A=，当A=时，因为，所以由正弦定理得，则==；当A=时，因为，所以由正弦定理得，则==．【点评】本题考查正弦定理，三角函数图象平移变换法则，以及正弦函数的对称轴方程的应用，考查整体思想，化简、计算能力．17．（12分）（2017•枣庄一模）在队内羽毛球选拔赛中，选手M与B1，B2，B3三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选下一轮，否则不予入选，问M是否会入选下一轮？（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．（2）利用相互独立事件与互斥事件的概率计算公式及其分布列与数学期望计算公式即可得出【解答】解：（1）M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则P（A）=，P（B）=，P（C）=由于事件A，B，C相互独立，所以P（D）=P（ABC）+P++P（）=××+（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，由于=，所以M会入选下一轮．（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（X=1）=（1﹣）×（1﹣）×+（1﹣）××（1﹣）+×（1﹣）×（1﹣）=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=．数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•枣庄一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a6=0，S4=14．（1）求a n；（2）将a2，a3，a4，a5去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{b n}的前三项，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式结合已知列式求得首项和公差，则a n可求；（2）由（1）知数列{a n}的前5项为5，4，3，2，1，可知：等比数列{b n}的前3项为4，2，1．首项为4，公比为，可得b n．利用“错位相减法”可得T n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a6=0，S4=14，得，解得a1=5，d=﹣1．∴a n=5﹣（n﹣1）=6﹣n；（2）由（1）知数列{a n}的前5项为5，4，3，2，1，∴等比数列{b n}的前3项为4，2，1，首项为4，公比为．∴，∴，数列{a n b n}的前n项和T n，则（6﹣n）•，=5+4+…+（7﹣n）•+（6﹣n）•，∴=5﹣[]﹣（6﹣n）•=5﹣=4+（n﹣4）．∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•枣庄一模）在四边形ABCD中（如图①），AB∥CD，AB⊥BC，G为AD上一点，且AB=AG=1，GD=CD=2，M为GC的中点，点P为边BC上的点，且满足BP=2PC．现沿GC折叠使平面GCD⊥平面ABCG（如图②）．（1）求证：平面BGD⊥平面GCD：（2）求直线PM与平面BGD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用勾股定理，证明BG⊥GC，根据平面与平面垂直的性质，证明BG⊥平面GCD，即可证明平面BGD⊥平面GCD：（2）取BP的中点H，连接GH，则GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，连接GQ，则∠HGQ为直线GH与平面BGD所成的角，即直线PM与平面BGD所成角．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，AB=AG=1，GD=CD=2，BC=2，cosD=，∴GC==，BG=，∴BG2+GC2=BC2，∴BG⊥GC，∵平面GCD⊥平面ABCG，平面GCD∩平面ABCG=GC，∴BG⊥平面GCD，∵BG⊂平面GCD，∴平面BGD⊥平面GCD：（2）解：取BP的中点H，连接GH，则GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，连接GQ，则∠HGQ 为直线GH与平面BGD所成的角，即直线PM与平面BGD所成角．由（1），作CN⊥GD，则CN⊥平面BGD，∵HQ⊥平面BGD，∴HQ∥GN，∴==，∴HQ=CN．△DGC中，GC=，DM=，由GD•CN=GC•DM，得CN=，∴HQ=，∵直角梯形ABCD中，GH=，∴sin∠HGQ==，∴直线PM与平面BGD所成角的正弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）（2017•枣庄一模）已知函数f（x）=x•e x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x轴，求a的值：（2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间；（3）若∀x＞0，f（x）≥f（m）恒成立，且f（m）≥0，求证：f（m）≥2（m2﹣m3）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数f（x）的对数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而证明不等式即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=e x﹣1+x•e x﹣1﹣a（1+），故f（1）=1﹣a，f′（1）=2﹣2a，故切线方程是：y﹣（1﹣a）=（2﹣2a）（x﹣1），即y=（2﹣2a）x+a﹣1；由2﹣2a=0，且a﹣1=0，解得：a=1；（2）由（1）得a=1，f′（x）=（x+1）（e x﹣1﹣），令g（x）=e x﹣1﹣，x∈（0，+∞），∵g′（x）=e x﹣1+＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（1）=0，x∈（0，1）时，g（x）＜g（1）=0，此时f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（3）f′（x）=（x+1）（e x﹣1﹣），令h（x）=e x﹣1﹣，x∈（0，+∞），①a≤0时，h（x）＞0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，无最小值，故a≤0不合题意；②a＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，取实数b，满足0＜b＜min{， }，则e b﹣1＜=，﹣＜﹣2，故h（b）=e b﹣1﹣＜﹣2＜0，又h（a+1）=e a﹣＞1﹣=＞0，∴存在唯一的x0∈（b，a+1），使得h（x0）=0，即a=x0，x∈（0，x0）时，h（x）＜h（x0）=0，此时f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞h（x0）=0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，故x=x0时，f（x）取最小值，由题设，x0=m，故a=m•e m﹣1，lna=lnm+m﹣1，f（m）=me m﹣1（1﹣m﹣lnm），由f（m）≥0，得1﹣m﹣lnm≥0，令ω（m）=1﹣m﹣lnm，显然ω（x）在（0，+∞）递减，∵ω（1）=0，∴，1﹣m﹣lnm≥0，故0＜m≤1，下面证明e m﹣1≥m，令n（x）=e m﹣1﹣m，则n′（m）=e m﹣1﹣1，m∈（0，1）时，n′（x）＜0，n（x）在（0，1）递减，故m∈（0，1]时，n（m）≥n（1）=0，即e m﹣1≥m，两边取对数，得lne m﹣1≥lnm，即m﹣1≥lnm，﹣lnm≥1﹣m，故1﹣m﹣lnm≥2（1﹣m）≥0，∵e m﹣1≥m＞0，∴f（m）=m•e m﹣1（1﹣m﹣lnm）≥m2，2（1﹣m）=2（m2﹣m3），综上，f（m）≥2（m2﹣m3）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．21．（14分）（2017•枣庄一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x2=4y的焦点F是椭圆（a＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足．（1）求椭圆C的方程；（2）记△PDF的面积为S1，△QAB的面积为S2，设，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求出D的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，得到OM的斜率结合已知求得a值，则椭圆方程可求；（2）由（1），知点D的坐标为（），又F（0，1），可得|DF|．由，利用弦长公式求得|AB|．求出直线OM的方程为y=﹣．由，求得P、Q的坐标，由点到直线的距离公式求得点P到直线kx﹣y+1=0的距离，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可设直线l的方程为y=kx+1，联立，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0．解得：，．∴M（，），则k′=，由，得．∴a2=4．则椭圆C的方程为；（2）由（1），知点D的坐标为（），又F（0，1），∴|DF|=．由，得x2﹣4kx﹣4=0．△=16k2+16＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4．因此=．由题意，直线OM的方程为y=﹣．由，得（1+4k2）x2﹣16k2=0．显然，△=﹣4（1+4k2）（﹣16k2）＞0恒成立，且x=．不妨设，则．∴点P的坐标为（），而点Q的坐标为（）．点P到直线kx﹣y+1=0的距离，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．∴=．==．∴S1S2==．∵，∴==．当且仅当3k2=k2+1，即k=时，等号成立．∴实数λ的最大值为，λ取最大值时的直线方程为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆、抛物线位置关系的应用，考查逻辑推理能力与运算能力，属压轴题．。
山东省枣庄市高新区17届高三数学4月阶段性自测试题理
山东省枣庄市高新区2017届高三数学4月阶段性自测试题理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知集合=,集合==,则集为A. B.C. D.2.△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.若复数z=（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数（i为虚数单位），则tan（θ﹣）的值为（）A．7 B．C．﹣7 D．﹣7或4.如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1205.等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d＞0，（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，则（）A．|a7|＞|a8| B．|a7|＜|a8| C．|a7|=|a8| D．|a7|=06.若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣27.已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣28.如图，在矩形ABCD中，，将△ACD沿折起，使得D折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与抛物线C相交于P，Q两点，则弦PQ的长为（）A．3 B．4 C．5 D．10.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3二、填空题11.函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f﹣1（x）的定义域是．12.若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα= ．13.向量，若，则λ= ．14.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线切于，且△AOB的面积为，则抛物线C的方程为．15.设221(32)=⎰-a x x dx,则二项式261()-axx展开式中的第4项为___________.三、解答题16.已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣+1 （1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．17.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c=0．（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．18.如图，四棱锥中，平面平面,，.(1)证明：；(2)若，求二面角的余弦值 .19．, 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点，当AB⊥x轴时，△ABF的周长最大值为8．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点M（﹣4，0），求当△ABF面积最大时直线AB的方程．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，把满足条件a n＋1≤S n(n∈N*)的所有数列{a n}构成的集合记为M．，求证：{a n}∈M；（1）若数列{a n}通项为a n＝12n（2）若数列{a n}是等差数列，且{a n＋n}∈M，求2a5－a1的取值范围；（3）若数列{a n}的各项均为正数，且{a n}∈M，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{a n}的通项；若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）= [tln（x+2）﹣ln（x﹣2）]，且f（x）≥f（4）恒成立．（1）求t的值；（2）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；（3）设F（x）=aln（x﹣1）﹣f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．试卷答案1.D2.A3.C4.B5.B6.A7.B8.B9.D 10.B 11.[3，+∞）12.﹣13.114.y 2=4x 15.31280 x16.【解答】解：（1）函数f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数， ∴f（﹣x ）=﹣f （x ）；又x ＞0时，f （x ）=﹣+1，∴x＜0时，﹣x ＞0，∴f（﹣x ）=﹣+1=+1；∴﹣f （x ）=+1，∴f（x ）=﹣﹣1；即x ＜0时，f （x ）=﹣﹣1； （2）证明：任取x 1、x 2∈（﹣∞，0），且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=（﹣﹣1）﹣（﹣﹣1）=﹣=，∵x 1＜x 2＜0，∴x 1x 2＞0，x 1﹣x 2＜0，∴f（x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），∴f（x）是（﹣∞，0）上的单调增函数．17.【解答】解：（1）由题意知，acosC+asin C﹣b﹣c=0，由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0，由sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）得，sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC=0，则sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC=0，又sinC≠0，则sinA﹣cosA=1，化简得，，即，又0＜A＜π，所以A=；（2）在△ABC中，cosB=得，sinB==…则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==…由正弦定理得， ==…设a=7x、c=5x，在△ABD中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2•AB•BD•cosB，，解得x=1，则a=7，c=5…所以△ABC的面积S==…18.(1) 如图，连接交于点，，即为等腰三角形，又平分，故，因为平面底面，平面底面平面，因平面，所以(2)作于点，则底面，以为坐标原点的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，而，得，又，故.由，得，故，所以，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，得，因此可取.由，得，因此可取,从而法向量的夹角的余弦值为.由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.19.【解答】解：（1）由题意可知：设椭圆的右焦点F2，由椭圆的定义可知：丨AF丨+丨AF2丨=2a，丨BF丨+丨BF2丨=2a，△ABF的周长丨AF丨+丨BF丨+丨AB丨≤丨AF丨+丨AF2丨+丨BF丨+丨BF2丨=4a，当且仅当AB过F2，等号成立，∴4a=8，a=2，离心率e==，则c=1，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆方程为：；（2）设直线AB的方程为：x=my﹣4，设A（x1，y1）B（x2，y2），∴，整理得：（4+3m2）y2﹣24my+36=0，则△=576m2﹣4×36×（4+3m2）=144（m2﹣4）＞0，由韦达定理可知：y1+y2=，y1•y2=，丨AB丨=•，F到AB的距离d==，∴S△ABF=•d•丨AB丨=•••，=，令t=（t＞0），S△ABF==≤=，当且仅当3t=，即m=±时，等号成立，∴直线AB的方程为：3x﹣2y+12=0或3x+2y+12=0．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形面积公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．20.所以a n＋1＜S n，即{a n}∈M．（2）设{a n}的公差为d，因为{a n＋n}∈M，所以a n＋1＋n＋1≤(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(a n＋n) （*）特别的当n＝1时，a2＋2≤a1＋1，即d≤－1，又d≤－1，所以d＝－1，于是(a1＋1)n－a1－1≥0，即(a1＋1)(n－1)≥0，所以a1＋1≥0，即a1≥－1，所以2a5－a1＝2(a5－a1)＋a1＝8d＋a1＝－8＋a1≥－9，因此2a5－a1的取值范围是[－9，＋∞)．从而有：当n≥3时da1n＋ba1＞n2，即n2－da1n－ba1＜0，于是当n≥3时，关于n的不等式n2－da1n－ba1＜0有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列．21.【解答】解：（1）f（4）是f（x）的最小值对f（x）求导，有f'（x）=（），∴x=4时，f'（x）=0，∴ =0，∴t=3；（2）f'（x）==∴在x∈（3，4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调减，在x∈（4，7）时，f'（x）＞0，函数f （x）单调增∴求f（x）在[3，7]的最大值只要去比f（3）和f（7）的大小就可以了∵f（3）=ln5，f（7）=∴f（3）＜f（7），∴x=7时，f（x）在[3，7]上取得最大值，为；（3）F′（x）=﹣f′（x）=≥0在（2，+∞）上恒成立∴≥0在（2，+∞）上恒成立∴（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．下面分情况讨论（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．当a﹣1＜0时，显然不可能有（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．当a﹣1=0时（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）=5x﹣8＞0在（2，+∞）上恒成立．当a﹣1＞0时，又有两种情况：①52+16（a﹣1）（a+1）≤0；②﹣≤2且（a﹣1）×22+5×2﹣4（a+1）≥0由①得16a2+9≤0，无解；由②得a≥﹣，a﹣1＞0，∴a＞1综上所述各种情况，当a≥1时（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．【点评】本题考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．11。
山东省枣庄市高三数学4月阶段性自测试题
山东省枣庄市2017届高三数学4月阶段性自测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．, 设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b ，a∈A，b∈B}，集合M 真子集的个数为（ ）A ．32 B ．31 C ．16 D ．15 2.下列说法中正确的是（ ）A ．“a＞b”是“log 2a ＞log 2b”的充要条件B ．若函数y=sin2x 的图象向左平移4π个单位得到的函数图象关于y 轴对称 C ．命题“在△ABC 中，3A π>，则23A sin >”的逆否命题为真命题D ．若数列{a n }的前n 项和为S n =2n，则数列{a n }是等比数列 3.若复数131iz i-=+（i 为虚数单位），则1z +=（ ）（A ）3 （B ）2 （C （D4.执行如图的程序框图，当输入25时，则该程序运行后输出的结果是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A ．34π B． C． D ．114π6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d ＞0，（S 8﹣S 5）（S 9﹣S 5）＜0，则（ ） A ．|a 7|＞|a 8|B ．|a 7|＜|a 8|C ．|a 7|=|a 8|D ．|a 7|=07.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知，，则S △ABC 的最大值为（ ） A．B．C．D．8.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且32 43AM AB AN AD ==，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）A ．35B ．37 C.613 D ．6179.若变量x ，y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤1y 1y x xy ，则目标函数 z=2x+y 的最小值为（ ）A ． -3B ．-2 C. -1 D ．1 10.已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF 2，O为坐标原点，若，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是（ ） A ．32 B ．16 C ．8D ．4二、填空题11.已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减，且f （1）=0，则不等式f （x ﹣2）≤0的解集是 ．12.定义在R 上的偶函数y=f （x ），当x≥0时，f （x ）=2x﹣4，则不等式f （x ）≤0的解集是 ．13.设曲线y=x n+1（n∈N +）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2015x 1+log 2015x 2+…+log 2015x 2014的值为 ．14.已知函数f （x ）=sin x+cos x ，f′（x ）是f （x ）的导函数．若f （x ）=2f′（x ），则= ．15.在[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆（x ﹣5）2+y 2=9相交”发生的概率为 ． 三、解答题16.已知函数（a ＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）判断函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n ，a ﹣2）时，函数f （x ）的值域是（1，+∞），求实数a 与n 的值． 17.已知函数()sin xf x e x =.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）如果对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设函数()()cos xF x f x e x =+，20152017,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，过点1,02M π-⎛⎫⎪⎝⎭作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和的值.18.在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a≠b，cos 2A ﹣cos 2B=sinAcosA﹣sinBcosB ．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若c=，siniA=，求△ABC 的面积．19.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．20.已知椭圆C： +=1（0＜b＜3）的左右焦点分别为E，F，过点F作直线交椭圆C于A，B两点，若且（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O为原点，圆D：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）与椭圆C交于M，N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM，PN与x轴分别交于点R，S，求证：|OR|•|OS|为常数．21.已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）令g（x）=f（x）+（x2﹣a2），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0且x＞0时，证明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1．22.为了调查每天人们使用手机的时间，我校某课外兴趣小组在天府广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”，否则称其为“非手机控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取5人中“手机控”和“非手机控”的人数；（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人，记这3人中“手机控”的人数为X，试求X 的分布列与数学期望．参考公式：．参考数据：试卷答案11.{x|x≥3或x≤1} 12.[﹣2，2] 13.﹣114.15.16.【解答】解：（1）∵函数（a ＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x ）+f （x ）=0解得m=﹣1．（2）由（1）及题设知：，设，∴当x 1＞x 2＞1时，∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n=1．17.⑴()()sin cos x f x e x x +'=sin 4x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()f x ∴的增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；减区间为()372,244k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. ⑵令()()g x f x kx =-sin x e x kx =- 要使()f x kx ≥恒成立，只需当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥ ()()sin cos x g x e x x k +'=-令()()sin cos xh x ex x =+，则()2cos 0x h x e x '=≥对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立()h x ∴在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，则()21,h x e π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，()g x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数 ()()min 00g x g ∴==，1k ∴≤满足题意；②当21k e π<<时，()0g x '=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有实根0x , ()h x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数 则当[)00,x x ∈时，()0g x '<，()()000g x g ∴<=不符合题意； ③当2k e π≥时，()0g x '≤恒成立，()g x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数， ()()00g x g ∴<=不符合题意 1k ∴≤，即(],1k ∈-∞.⑶()()cos x F x f x e x =+()sin cos x e x x +()2cos x F x e x ∴'设切点坐标为()()0000,sin cos x x e x x +，则切线斜率为()0002cos xF x e x '=从而切线方程为()000sin cos x y ex x -+()0002cos x e x x x =-()000sin cos x e x x ∴-+00012cos 2x e x x π-⎛⎫-⎪⎝⎭00tan 22x x π⎛⎫⇔=- ⎪⎝⎭ 令1tan y x =，222y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于2x π=对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于2x π=成对出现，又在20152017,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π. 1008S π∴=.18. 解：（Ⅰ）∵cos 2A ﹣cos 2B=sinAcosA ﹣sinBcosB ．∴﹣=sin2A ﹣sin2B ，…2分可得：cos2A ﹣cos2B=sin2A ﹣sin2B ，可得：sin （2A ﹣）=sin （2B ﹣）， (4)分∵△ABC 中，a≠b，可得A≠B， ∴2A﹣+2B ﹣=π，∴A+B=，可得：C=…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A+B=，∵sinA=，可得：A=，B=，…8分 ∴sin =sin （+）=，…10分 ∵c=，由正弦定理，可得：a=，…11分∴S △ABC =acsinB=…12分19.【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F 分别是PB ，PC 的中点，∴BC∥EF， 又EF ⊂平面EFA ，BC 不包含于平面EFA ， ∴BC∥面EFA ，又BC ⊂面ABC ，面EFA∩面ABC=l ， ∴BC∥l，又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC ， 面PAC⊥面ABC ，∴BC⊥面PAC ，∴l⊥面PAC．（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），E（），F（），，，设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，则，取z=，得，，|cos＜＞|==，|cos＜＞|==，依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|，∴y=±1．∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．20.【解答】解：（1）设|BF|=m，则|AF|=2m，|BE|=6﹣m，|AE|=6﹣2m，|AB|=3m．则有（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2，解得m=1，…3（分）∴|AF|=2，|BE|=5，|AE|=4，|AB|=3，∴|AB|2+|AE|2=|BE|2，∴AE⊥AF．于是，在Rt△AEF中，|EF|2=|AE|2+|AF|2=42+22=20，所以|EF|=2，所以b2=9﹣（）2=4，椭圆C的方程为．…6（分）证明：（2）由条件可知M、N两点关于x轴对称，设M（x1，y1），P（x0，y0），则N（x1，﹣y1），=1，，所以，．直线PM的方程为，…9（分）令y=0得点R的横坐标，同理可得点S的横坐标．于是=，所以，|OR|•|OS|为常数9．…12（分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两线段乘积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、韦达定理、直线性质的合理运用．21.【解答】解：（1）∵f′（x）=e x﹣2x﹣a，∴f′（0）=1﹣a=1，∴a=0，∴f′（x）=e x﹣2x，记h（x）=e x﹣2x，∴h′（x）=e x﹣2，令h′（x）=0得x=ln2．当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0，h（x）单减；当ln2＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增，∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2＞0，故f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=e﹣1．（2）∵g（x）=e x﹣（x+a）2，∴g′（x）=e x﹣x﹣a．令m（x）=e x﹣x﹣a，∴m′（x）=e x﹣1，当x≥0时，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上单增，∴m（x）min=m（0）=1﹣a．（i）当1﹣a≥0即a≤1时，m（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增，∴g（x）min=g（0）=1﹣≥0，解得﹣≤a≤，所以﹣≤a≤1．（ii）当1﹣a＜0即a＞1时，∵m（x）在[0，+∞）上单增，且m（0）=1﹣a＜0，当1＜a＜e2﹣2时，m（ln（a+2））=2﹣ln（2+a）＞0，∴∃x0∈（0，ln（a+2）），使m（x0）=0，即e=x0+a．当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单减；当x∈（x0，ln（a+2））时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单增．∴g（x）min=g（x0）=e﹣（x0+a）2=e﹣e=e（1﹣e）≥0，∴e≤2可得0＜x0≤ln2，由e=x0+a，∴a=e﹣x0．记t（x）=e x﹣x，x∈（0，ln2]，∴t′（x）=e x﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，∴t（x）≤t（ln2）=2﹣2ln2，∴1＜a≤2﹣2ln2，综上，a∈[﹣，2﹣ln2]．（3）证明：f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于e x﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1，即e x﹣ex≥xlnx﹣x+1．∵x＞0，∴等价于﹣lnx﹣﹣e+1≥0．令h（x）=﹣lnx﹣﹣e+1，则h′（x）=．∵x＞0，∴e x﹣1＞0．当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，∴h（x）≥h（1）=e﹣1﹣e+1=0，∴a=0且x＞0时，不等式f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1成立．22.【解答】解：∴没有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，所抽取的5人中“手机”有3人，“非手机控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则．X的分布列为：X的数学期望为E（X）=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．。
山东省枣庄市薛城区高三数学4月阶段性自测试题
山东省枣庄市薛城区2017届高三数学4月阶段性自测试题一、选择题1.已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x（x﹣2）≤0}，则M∩N=（）A．A{﹣1，2} B．[﹣1，2] C．{0，1} D．[0，1]2.“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要3.若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
5.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数），若输出的结果为527，则由此可估计π的近似值为（）A．3.126 B．3.132 C．3.151 D．3.1626.在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7=（ ） A ．10 B ．18 C ．20 D ．287.已知函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）A ．21，6π B ．1，6π C ．1，3π D ．21，3π8.已知变量x ，y 满足，若目标函数z=ax+y （a ＞0）取到最大值6，则a 的值为（ ）A ．2B ．C ．或2D ．﹣29.抛物线C 1：x 2=2py （p ＞0）的焦点与双曲线C 2：的右焦点的连线在第一象限内与C 1交于点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）A ．B ．C ．D ．10.设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)(x f '，且有0)()(3>'+x f x x f ，则不等式0)3(27)2015()2015(3>-+++f x f x 的解集（ ）（A ）)2015,2018(-- （B ）)2016,(--∞ （C ）)2015,2016(-- （D ）)2012,(--∞二、填空题 11.已知函数，若方程f （x ）+f （2﹣x ）=t 恰有4个不同的实数根，则实数t 的取值范围是 ．12.已知函数f （x ）=asinx﹣（a ∈R ），若函数f （x ）在（0，π）的零点个数为2个，则当x ∈[0，]，f （x ）的最大值为 ．13.椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点F （c ，0）关于直线y=x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．14.若函数()()10cos 02x x f x x x π+<⎧⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则()f x 与x 轴围成封闭图形的面积为 . 15.从甲、乙、丙3名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率为 ． 三、解答题16.已知f （x ）=x 2﹣2ax+5（a ＞1）（Ⅰ）若f （x ）的定义域和值域均为[1，a]，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4，求a 的取值范围． 17.已知函数()sin 4463f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()y f x =的图象向左平移48π个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象,求函数()y g x =在[],0π-上的值域.18.数列{a n }的前n 项和记为S n 且满足S n =2a n ﹣1，n ∈N *； （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设T n =a 1a 2﹣a 2a 3+a 3a 4﹣a 4a 5+…+（﹣1）n+1a n a n+1，求{T n }的通项公式； （3）设有m 项的数列{b n }是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg （1+）+lg（1+）+…+lg （1+）=lg （log 2a m ）．问数列{b n }最多有几项？并求出这些项的和．19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．20.已知椭圆的离心率是，过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆截得的线段长为．（F1，F2分别为左，右焦点）（1）求椭圆的标准方程；（2）过F2的直线l′交椭圆于不同的两点M，N，则△F1MN内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线l′方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣e2x﹣1．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求f（x）的单调区间；（2）当a≤1时，f（x）＜0，求x的取值范围．试卷答案1.C2.A3. A4.D5.D6.C7.A8.C9.D 10.A11.（，2）12.a ﹣13.14.3215.16.【解答】解：f （x ）=（x ﹣a ）2+5﹣a 2（I ）．由f （x ）的对称轴是x=a 知函数在[1，a]递减，故，解可得a=2（II ）由f （x ）在区间（﹣∞，2]上是减函数得a ≥2，当f （x 1）、f （x 2）分别是函数f （x ）的最小值与最大值时不等式恒成立． 故函数在区间[1，a+1]上的最小值是f （a ）=5﹣a 2，又因为a ﹣1≥（a+1）﹣a ，所以函数的最大值是f （1）=6﹣2a ， 由|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4知（6﹣2a ）﹣（5﹣a 2）≤4，解得2≤a ≤3． 17.（1） ,,21223k k k ππππ⎡⎤++∈Z ⎢⎥⎣⎦；（2）]2,2[-.（1()114cos 4sin 4422f x x x x x ⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos 42sin 46x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 由3242,262k x k k z πππππ+≤+≤+∈,得,21223k k x k z ππππ+≤≤+∈. ()f x ∴ 的单调递减区间为,,21223k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()[]2sin ,,04g x x x ππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭时，()3,,sin 1,,44442x x g x ππππ⎡⎡⎤⎛⎫⎡+∈-∴+∈-∴∈-⎢ ⎪⎢⎥⎣⎣⎦⎝⎭⎣⎦. 考点：三角变换公式及正弦函数的图象和性质的综合运用.18.【解答】解：（1）∵S n =2a n ﹣1，n ∈N *；∴n=1时，a 1=S 1=2a 1﹣1，解得a 1=1； n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为a n =2a n ﹣1，∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为1．∴a n =2n ﹣1．（2）a n a n+1=2n ﹣1•2n =．∴T n =a 1a 2﹣a 2a 3+a 3a 4﹣a 4a 5+…+（﹣1）n+1a n a n+1 =+…+（﹣1）n+1×4n ]==[1﹣（﹣4）n ]．（3）由lg2+lg （1+）+lg （1+）+…+lg （1+）=lg （log 2a m ）．∴××…×=log 2a m =m ﹣1．又数列{b n }是连续的正整数数列，∴b n =b n ﹣1+1． ∴=m ﹣1，又b m =b 1+（m ﹣1），∴mb 1﹣3b 1﹣2m=0， ∴m==3+，由m ∈N *，∴b 1＞2，∴b 1=3时，m 的最大值为9．∴这些项的和=3+4+…+11=63．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.【解答】证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又∵PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC所以BD⊥平面PAC．…4分解：（Ⅱ）设AC∩BD=O．因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=．如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）．所以=（1，，﹣2），=（0，2，0）．设PB与AC所成角为θ，则 cosθ===．…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知=（﹣1，，0）．设P（0，﹣，t）（t＞0），则=（﹣1，﹣，t）．设平面PBC的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．所以令y=，则x=3，z=，所以m==（3，，）．同理，可求得平面PDC的法向量=（3，﹣，）．因为平面PBC⊥平面PDC，所以•=0，即﹣6+=0．解得t=．所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA=．…12分【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系将直线与平面的位置关系问题，转化为向量问题是解答的关键．20.【解答】解：（1）由题知椭圆过点．由题可得：，解得：．所以，椭圆方程为：．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a=8，，因此最大，R就最大，．由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为x=my+1，由得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0，解得，则，令，则t≥1，=，设，f（t）在[1，+∞）上单调递增，所以，f（t）≥f（1）=4，，因为，所以，此时所求内切圆的面积最大值是，故直线方程为x=1时，△F1MN内切圆面积最大值是．21.【解答】解：（1）f′（x）=﹣2e2x﹣1，由已知得f′（）=0，即：﹣1=0，所以a=0，…（1分）所以f（x）=ln2x﹣e2x﹣1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣2e2x﹣1，…（2分）由于f′（x）在（0，+∞）上为减函数，而f′（）=0，所以当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）﹣e2x﹣1，…（6分）令g（x）=ln（2x+1）﹣2x（x＞﹣），则g′（x）=，所以，当﹣＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，所以g（x）≤g（0）=0，即：ln（2x+1）≤2x …（8分）令h（x）=e2x﹣1﹣2x，则h′（x）=2（ e2x﹣1﹣1），所以，当x时，h′（x）＞0，当﹣时，h′（x）＜0，所以h（x）≥h（），即：e2x﹣1≥2x．…（10分）所以，对任意x，ln（2x+1）﹣e2x﹣1＜0，因此，当a≤1时，对任意x＞﹣，ln（2x+1）﹣e2x﹣1＜0，所以x的取值范围为（﹣，+∞）…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，考查导数知识的综合运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．。
2017届山东省高三4月模拟考试文科数学试题及答案 精品
文科数学（根据2017年山东省最新考试说明命制）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持答题卡上面清洁，不折叠，不破损.第I卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合{}{}23,5A B A x N x B x Z x =∈<=∈<⋂=，则A. {}2,1,1,2--B. {}2,1,0,1,2--C. {}0,1,2D. {}1,22.复数1iz i=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图1所示，则该样本的方差为A.25B.24C.18D.16 4.执行如图2所示的程序框图，输出的Z值为A.3B.4C.5D.65.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 已知cos cos sin ,a B b A c C +=222b c a B +-==，则A. 6πB. 3πC. 2πD.23π 6.设命题:p 平面=l m l m αββ⋂⊥⊥平面，若，则；命题:q 函数cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是A.p 为真B. q ⌝为假C. ∨p q 为假D. p q ∧为真 7.函数()cos x f x e x =的部分图象是8.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图3所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为 A.163πB.283πC.643πD. 24π9.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()4,3，则此双曲线的方程为A. 22134x y -=B. 22143x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=10.已知函数()2,01,0kx x f x nx x +≤⎧=⎨>⎩()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是A. 2k ≤-B. 21k -≤<-C. 10k -<<D. 2k ≤第II 卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是 .12.数列{}n a 的前n 项和为()11,1,21n n n S a a S n N *+==+∈，则n a = . 13.矩形ABCD 中，若()()3,1,2,,AD AB AC k =-=-则= . 14.观察下列不等式：1<<<⋅⋅⋅ 15.设变量x ，y 满足约束条件220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若目标函数y z x =的最大值为a ，最小值为b ，则a —b 的值为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本题满分12分）如图4，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,32a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.将角α的始边按逆时针方向旋转6π，交单位圆于点B ，记()()1122,,,A x y B x y .（1）若1214x x =求；（2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C 、D ，记.1122,BOD S AOC S S ∆∆=的面积为的面积为若S ，求角α的值.17.（本题满分12分）四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，平面1ABCD PA=PB=AB=AD BAD=602PAB ︒⊥∠平面，，，E ，F 分别为AD ，PC 的中点. （1）求证：PBD EF ⊥平面；（2）若AB=2，求四棱锥P —ABCD 的体积..18.（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5（单位：3/g m μ）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示某市2013年11月（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.19.（本题满分13分）已知在等比数列{}213121,1n a a a a a =+-=中，.（1）若数列{}n b 满足()32123n n b b b b a n N n*+++⋅⋅⋅+=∈，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S .20.（本题满分13分）已知12,F F 分别为椭圆()2212210y x C a b a b+=>>：的上下焦点，其1F 是抛物线22:4C x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15.3MF = （1）试求椭圆1C 的方程；（2）与圆()2211x y ++=相切的直线()():0l y k x t t =+≠交椭圆于A ，B两点，若椭圆上一点P 满足,OA OB OP λλ+=求实数的取值范围.21.（本题满分13分）已知函数()()(),.ln xg x f x g x ax x==- （1）求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()1+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（3）若()()22121,,x x e e f x f x a '⎡⎤∃∈≤+⎣⎦，使成立，求实数a 的取值范围.。
山东省枣庄市2017届高三下学期第一次模拟考试数学理试
二O 一七届高三模拟考试数学(理科)2017．3本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共50分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．3．考试结束后，监考人员将答题卡和第Ⅱ卷的答题纸一并收回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(1+i)z=2－i(i 为虚数单位)，则=zA ．21 B ．210 C ．2 D ．223 2．已知集合()(){}(){}12log ,0213≤-=≥-+=x x B x x x A ，则()=⋂B C A R A ．∅B ．{}2,1＞x x x -≤C ．{}1-＜x xD ．{}2,1≥-≤x x x3．函数⎪⎭⎫⎝⎛--=4sin 212πx y 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 A ．2B ．1-C ．21 D ．21- 5．若正数x,y 满足131=+xy ，则3x+4y 的最小值是 A ．24B ．28C ．25D.266．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为321,,x x x ，则它们的大小关系为A ．321s s s ＞＞B ．231s s s ＞＞C ．123s s s ＞＞D ．213s s s ＞＞7．在ABC ∆中，DB AD BC BD AC AB ⋅===，则21,2,3的值为 A ．25 B ．25- C ．45 D ．45-8.不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤-2011y x 表示的点集M ，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-2201x y y x 表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则N P ∈的概率为 A ．325 B ．329 C ．169D ．1659．已知R a ∈，则“0＜a ”是“函数()()()01，在∞-+=ax x x f 上是减函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要10．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱3,111=⊥-AB BC AB ABCC B A 中，，3541==AA BC ，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为 A ．π15:3 B ．π5:33 C ．π52:33D ．π50:33第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：第II 卷所有题目的答案须用0.5mm 黑色签字笔答在“答题纸”的指定位置上 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在42⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为 ．(用数字作答)12．已知双曲线C 的中心为坐标原点，它的焦点F(2，0)到它的一条渐近线的距离为3，则C 的离心率为___________．13．若“m x x R x ≤-++∈∃11,000”是真命题，则实数m 的最小值是___________．14．某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是31，则它的表面积是___________． 15．已知函数()()()()2xf x x eg x fx f x λ=⋅=+，，若方程()1g x =-有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)将函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上每点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y f x =的图象．(1)求函数()f x 的解析式及其图象的对称轴方程；(2)在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ．若()2,f A a b ===，求sinB 的值．17．(本题满分12分)在队内羽毛球选拔赛中，选手M 与123,,B B B 三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概率分别为421,,532，且各场比赛互不影响． (1)若M 至少获胜两场的概率大于710，则M 入选下一轮，否则不予入选，问M 是否会入选下一轮?(2)求M 获胜场数X 的分布列和数学期望．18．(本题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且640,14a S ==． (1)求n a ；(2)将2345,,,a a a a 去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．19．(本题满分12分)在四边形ABCD 中(如图①)，AB//CD ， AB ⊥BC ，G 为AD 上一点，且AB=AG=1，GD=CD=2，M 为GC 的中点，点P 为边BC 上的点，且满足BP=2PC ．现沿GC 折叠使平面GCD ⊥平面ABCG(如图②)．(1)求证：平面BGD ⊥平面GCD ： (2)求直线PM 与平面BGD 所成角的正弦值．20．(本题满分13分)已知函数()()1ln ,x f x x e a x x a R -=⋅-+∈．(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为x 轴，求a 的值： (2)在(1)的条件下，求()f x 的单调区间；(3)若()()0,x f x f m ∀>≥恒成立，且()0f m ≥，求证：()()232f m m m ≥-．21．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4E x y =的焦点F 是椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的一个顶点．过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于另一点D ，交抛物线E 于A 、B 两点，线段DF 的中点为M ，直线OM 交椭圆C 于P 、Q 两点，记直线OM 的斜率为k '，满足14k k '⋅=-． (1)求椭圆C 的方程；(2)记PDF ∆的面积为1,S QAB ∆的面积为S 2，设212S S k λ⋅=，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l 的方程．。
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山东省枣庄市2017届高三数学4月阶段性自测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．, 设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b ，a∈A，b∈B}，集合M 真子集的个数为（ ）A ．32 B ．31 C ．16 D ．15 2.下列说法中正确的是（ ）A ．“a＞b”是“log 2a ＞log 2b”的充要条件B ．若函数y=sin2x 的图象向左平移4π个单位得到的函数图象关于y 轴对称 C ．命题“在△ABC 中，3A π>，则23A sin >”的逆否命题为真命题D ．若数列{a n }的前n 项和为S n =2n，则数列{a n }是等比数列 3.若复数131iz i-=+（i 为虚数单位），则1z +=（ ）（A ）3 （B ）2 （C （D4.执行如图的程序框图，当输入25时，则该程序运行后输出的结果是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A ．34π B． C． D ．114π6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d ＞0，（S 8﹣S 5）（S 9﹣S 5）＜0，则（ ） A ．|a 7|＞|a 8|B ．|a 7|＜|a 8|C ．|a 7|=|a 8|D ．|a 7|=07.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知，，则S △ABC 的最大值为（ ） A．B．C．D．8.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且32 43AM AB AN AD ==，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）A ．35B ．37 C.613 D ．6179.若变量x ，y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤1y 1y x xy ，则目标函数 z=2x+y 的最小值为（ ）A ． -3B ．-2 C. -1 D ．1 10.已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF 2，O为坐标原点，若，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是（ ） A ．32 B ．16 C ．8D ．4二、填空题11.已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减，且f （1）=0，则不等式f （x ﹣2）≤0的解集是 ．12.定义在R 上的偶函数y=f （x ），当x≥0时，f （x ）=2x﹣4，则不等式f （x ）≤0的解集是 ．13.设曲线y=x n+1（n∈N +）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2015x 1+log 2015x 2+…+log 2015x 2014的值为 ．14.已知函数f （x ）=sin x+cos x ，f′（x ）是f （x ）的导函数．若f （x ）=2f′（x ），则= ．15.在[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆（x ﹣5）2+y 2=9相交”发生的概率为 ． 三、解答题16.已知函数（a ＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）判断函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n ，a ﹣2）时，函数f （x ）的值域是（1，+∞），求实数a 与n 的值． 17.已知函数()sin xf x e x =.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）如果对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设函数()()cos xF x f x e x =+，20152017,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，过点1,02M π-⎛⎫⎪⎝⎭作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和的值.18.在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a≠b，cos 2A ﹣cos 2B=sinAcosA﹣sinBcosB ．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若c=，siniA=，求△ABC 的面积．19.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．20.已知椭圆C： +=1（0＜b＜3）的左右焦点分别为E，F，过点F作直线交椭圆C于A，B两点，若且（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O为原点，圆D：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）与椭圆C交于M，N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM，PN与x轴分别交于点R，S，求证：|OR|•|OS|为常数．21.已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）令g（x）=f（x）+（x2﹣a2），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0且x＞0时，证明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1．22.为了调查每天人们使用手机的时间，我校某课外兴趣小组在天府广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”，否则称其为“非手机控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取5人中“手机控”和“非手机控”的人数；（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人，记这3人中“手机控”的人数为X，试求X 的分布列与数学期望．参考公式：．参考数据：试卷答案11.{x|x≥3或x≤1} 12.[﹣2，2] 13.﹣114.15.16.【解答】解：（1）∵函数（a ＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x ）+f （x ）=0解得m=﹣1．（2）由（1）及题设知：，设，∴当x 1＞x 2＞1时，∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n=1．17.⑴()()sin cos xf x e x x +'= sin 4x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ∴的增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；减区间为()372,244k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. ⑵令()()g x f x kx =-sin x e x kx =- 要使()f x kx ≥恒成立，只需当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥ ()()sin cos x g x e x x k +'=-令()()sin cos xh x ex x =+，则()2cos 0x h x e x '=≥对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ()h x ∴在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，则()21,h x e π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，()g x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数 ()()min 00g x g ∴==，1k ∴≤满足题意；②当21k e π<<时，()0g x '=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有实根0x , ()h x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数 则当[)00,x x ∈时，()0g x '<，()()000g x g ∴<=不符合题意； ③当2k e π≥时，()0g x '≤恒成立，()g x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数， ()()00g x g ∴<=不符合题意1k ∴≤，即(],1k ∈-∞.⑶()()cos xF x f x e x =+ ()sin cos xe x x +()2cos x F x e x ∴'设切点坐标为()()0000,sin cos x x ex x +，则切线斜率为()0002cos x F x e x '=从而切线方程为()000sin cos x y ex x -+()0002cos x e x x x =-()000sin cos x e x x ∴-+00012cos 2x e x x π-⎛⎫- ⎪⎝⎭00tan 22x x π⎛⎫⇔=- ⎪⎝⎭令1tan y x =，222y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于2x π=对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于2x π=成对出现，又在20152017,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π. 1008S π∴=.18. 解：（Ⅰ）∵cos 2A ﹣cos 2B=sinAcosA ﹣sinBcosB ．∴﹣=sin2A ﹣sin2B ，…2分可得：cos2A ﹣cos2B=sin2A ﹣sin2B ，可得：sin （2A ﹣）=sin （2B ﹣）， (4)分∵△ABC 中，a≠b，可得A≠B， ∴2A﹣+2B ﹣=π，∴A+B=，可得：C=…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A+B=，∵sinA=，可得：A=，B=，…8分 ∴sin =sin （+）=，…10分 ∵c=，由正弦定理，可得：a=，…11分∴S △ABC =acsinB=…12分19.【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F 分别是PB ，PC 的中点，∴BC∥EF， 又EF ⊂平面EFA ，BC 不包含于平面EFA ， ∴BC∥面EFA ，又BC ⊂面ABC ，面EFA∩面ABC=l ， ∴BC∥l，又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC ， 面PAC⊥面ABC ，∴BC⊥面PAC ，∴l⊥面PAC．（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），E（），F（），，，设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，则，取z=，得，，|cos＜＞|==，|cos＜＞|==，依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|，∴y=±1．∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．20.【解答】解：（1）设|BF|=m，则|AF|=2m，|BE|=6﹣m，|AE|=6﹣2m，|AB|=3m．则有（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2，解得m=1，…3（分）∴|AF|=2，|BE|=5，|AE|=4，|AB|=3，∴|AB|2+|AE|2=|BE|2，∴AE⊥AF．于是，在Rt△AEF中，|EF|2=|AE|2+|AF|2=42+22=20，所以|EF|=2，所以b2=9﹣（）2=4，椭圆C的方程为．…6（分）证明：（2）由条件可知M、N两点关于x轴对称，设M（x1，y1），P（x0，y0），则N（x1，﹣y1），=1，，所以，．直线PM的方程为，…9（分）令y=0得点R的横坐标，同理可得点S的横坐标．于是=，所以，|OR|•|OS|为常数9．…12（分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两线段乘积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、韦达定理、直线性质的合理运用．21.【解答】解：（1）∵f′（x）=e x﹣2x﹣a，∴f′（0）=1﹣a=1，∴a=0，∴f′（x）=e x﹣2x，记h（x）=e x﹣2x，∴h′（x）=e x﹣2，令h′（x）=0得x=ln2．当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0，h（x）单减；当ln2＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增，∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2＞0，故f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=e﹣1．（2）∵g（x）=e x﹣（x+a）2，∴g′（x）=e x﹣x﹣a．令m（x）=e x﹣x﹣a，∴m′（x）=e x﹣1，当x≥0时，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上单增，∴m（x）min=m（0）=1﹣a．（i）当1﹣a≥0即a≤1时，m（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增，∴g（x）min=g（0）=1﹣≥0，解得﹣≤a≤，所以﹣≤a≤1．（ii）当1﹣a＜0即a＞1时，∵m（x）在[0，+∞）上单增，且m（0）=1﹣a＜0，当1＜a＜e2﹣2时，m（ln（a+2））=2﹣ln（2+a）＞0，∴∃x0∈（0，ln（a+2）），使m（x0）=0，即e=x0+a．当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单减；当x∈（x0，ln（a+2））时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单增．∴g（x）min=g（x0）=e﹣（x0+a）2=e﹣e=e（1﹣e）≥0，∴e≤2可得0＜x0≤ln2，由e=x0+a，∴a=e﹣x0．记t（x）=e x﹣x，x∈（0，ln2]，∴t′（x）=e x﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，∴t（x）≤t（ln2）=2﹣2ln2，∴1＜a≤2﹣2ln2，综上，a∈[﹣，2﹣ln2]．（3）证明：f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于e x﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1，即e x﹣ex≥xlnx﹣x+1．∵x＞0，∴等价于﹣lnx﹣﹣e+1≥0．令h（x）=﹣lnx﹣﹣e+1，则h′（x）=．∵x＞0，∴e x﹣1＞0．当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，∴h（x）≥h（1）=e﹣1﹣e+1=0，∴a=0且x＞0时，不等式f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1成立．22.【解答】解：∴没有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，所抽取的5人中“手机”有3人，“非手机控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则．X的分布列为：X的数学期望为E（X）=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．。