回溯法的基本概念
无穷回溯法
无穷回溯法
1. 回溯法的基本概念
用回溯法求解问题时，应明确问题的解空间，问题的解空间至少应包含问题的一个最优解，确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点（根结点）出发，以深度优先方式搜索整个解空间，这个开始结点成为活结点，同时成为当前的扩展结点，在当前扩展结点处，如果在当前扩展结点处不能在向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点，此时应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并让这个活结点成为当前的扩展结点，回溯法以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直至找到所要求的的解或解空间中已无活结点时为止。
「回溯算法」强调了「深度优先遍历」思想的用途，用一个不断变化的变量，在尝试各种可能的过程中，搜索需要的结果。
强调了回退操作对于搜索的合理性。
而「深度优先遍历」强调一种遍历的思想，与之对应的遍历思想是「广度优先遍历」。
2. 回溯法搜索空间树时，通常采用两种策略来避免无效的搜索，提高回溯法的搜索效率。
是用约束函数在扩展结点剪去不满足约束的子树。
是用限界函数剪去得不到最优解的子树，这两类函数称之为剪枝函数。
3. 回溯法的基本算法框架
递归回溯
迭代回溯
子集树算法框架
排列树算法框架
采用回溯法解决的经典问题：转载问题
批处理作业二调度问题
符号三角形问题
n后问题
0-1背包问题
最大团问题
图的m着色问题
旅行售货员问题
圆排列问题
电路板排列问题
连续邮资问题。
第5章 回溯法
教学要求
回溯
了解回溯算法的概念与回溯设计要领 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、 数码串珠以及情侣拍照等典型案例
本章重点
理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Back track method）有“通用解题法”之美 称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
4. 4皇后问题的回溯举例
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后，使它们互不攻击:
4皇后问题回溯描述
i=1;a[i]=1; while
(1) { g=1;for(k=i-1;k>=1;k--) if(a[i]=a[k] || abs(a[i]-a[k])=i-k) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && i==4) printf(a[1：4]); // 输出一个解 if(i<4 && g) {i++;a[i]=1;continue;} while(a[i]==4 && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==4 && i==1) break; //退出循环结束探索 else a[i]=a[i]+1; }
（2） 回溯描述 对于一般含参量m,n的搜索问题,输入正整数n,m,(n≥m) i=1;a[i]=<元素初值>; while (1) {for(g=1,k=i-1;k>=1;k--) if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && <约束条件2>) printf(a[1：m]); // 输出解 if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;} while(a[i]=<回溯点> && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==n && i==1) break; // 退出循环，结束 else a[i]=a[i]+1; }
php 回溯法
php 回溯法一、回溯法的基本概念回溯法（Backtracking）是一种穷举搜索的算法思想，通过不断尝试可能的解决方案，直到找到符合要求的解决方案。
它通常用于解决组合优化问题、排列问题、子集问题等。
回溯法的核心思想是“试错”，即通过逐步尝试的方式来寻找解决方案。
二、回溯法的应用场景回溯法适用于那些具有多个决策阶段的问题，每个阶段可以有多个选择。
例如，八皇后问题、0-1背包问题、图的着色问题等都可以使用回溯法来解决。
这些问题常常需要枚举所有可能的解决方案，然后从中选取符合要求的解决方案。
三、回溯法的实现方法在使用回溯法解决问题时，我们通常需要定义一个递归函数来进行搜索。
该函数包含一个或多个参数，用于记录当前的状态和已经做出的选择。
在每个决策阶段，我们根据当前的状态和选择，确定下一步要做出的决策，并更新状态。
如果当前的状态满足问题的要求，我们就找到了一个解决方案；否则，我们需要撤销之前的选择，回溯到上一个决策阶段，继续尝试其他的选择。
四、回溯法的注意事项在使用回溯法解决问题时，我们需要注意以下几点：1. 定义好递归函数的参数和返回值，确保能够正确记录状态和返回结果。
2. 在递归函数中，需要在每个决策阶段进行合法性剪枝，即排除一些明显不符合要求的选择，以减少搜索的空间。
3. 在递归函数中，需要在每个决策阶段进行重复性剪枝，即排除一些已经尝试过的选择，避免重复搜索。
4. 在递归函数中，需要设置好递归的终止条件，以避免无限递归。
五、回溯法的优化技巧在使用回溯法解决问题时，我们可以尝试一些优化技巧，以提高算法的效率。
以下是一些常用的优化技巧：1. 剪枝技巧：在每个决策阶段进行合法性剪枝和重复性剪枝，减少不必要的搜索空间。
2. 状态压缩技巧：将状态用一个整数或位向量来表示，减少空间复杂度。
3. 启发式搜索技巧：根据问题的特点，选择一个合适的启发式函数来指导搜索方向，减少搜索的时间复杂度。
六、回溯法的实例分析下面以八皇后问题为例，介绍如何使用回溯法来解决问题。
回溯法的实验报告
一、实验目的1. 理解回溯法的概念和原理；2. 掌握回溯法的基本算法设计思想；3. 通过实例验证回溯法的正确性和效率；4. 深入了解回溯法在实际问题中的应用。
二、实验内容1. 实验一：八皇后问题2. 实验二：0/1背包问题3. 实验三：数独游戏三、实验原理回溯法是一种在解空间树中搜索问题解的方法。
其基本思想是：从问题的起始状态开始，通过尝试增加约束条件，逐步增加问题的解的候选集，当候选集为空时，表示当前路径无解，则回溯到上一个状态，尝试其他的约束条件。
通过这种方法，可以找到问题的所有解，或者找到最优解。
四、实验步骤与过程1. 实验一：八皇后问题（1）问题描述：在一个8x8的国际象棋棋盘上，放置8个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列和同一斜线上。
（2）算法设计：- 定义一个数组，用于表示棋盘上皇后的位置；- 从第一行开始，尝试将皇后放置在第一行的每一列；- 检查当前放置的皇后是否与之前的皇后冲突；- 如果没有冲突，继续将皇后放置在下一行；- 如果冲突，回溯到上一行，尝试下一列；- 重复上述步骤，直到所有皇后都放置完毕。
（3）代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn Truedef solve_n_queens(board, row):if row == len(board):return Truefor col in range(len(board)):if is_valid(board, row, col):board[row] = colif solve_n_queens(board, row + 1):return Trueboard[row] = -1return Falsedef print_board(board):for row in board:print(' '.join(['Q' if col == row else '.' for col in range(len(board))]))board = [-1] 8if solve_n_queens(board, 0):print_board(board)2. 实验二：0/1背包问题（1）问题描述：给定一个背包容量为W，n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]，求在不超过背包容量的前提下，如何选取物品，使得总价值最大。
最大团问题-回溯法ppt课件
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
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2
3
4
5
01
问题描述
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03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
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07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
1
i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
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i=2 cn=0 bestn=3
2
2
i=3 cn=1 bestn=3
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4
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3
3
i=5 cn=2 bestn=0
4
4
回溯算法的基本思想
回溯算法的基本思想回顾法也叫启发式。
回溯的基本方法是深度优先搜索，这是一种组织良好的穷举搜索算法，可以避免不必要的重复搜索。
回溯算法的基本思想是:往前走一条路，可以就往前走，不行就往回走，换一条路再试。
当我们遇到某一类问题时，它的问题是可以分解的，但是我们无法得到一个清晰的动态规划或者递归的解。
这时候可以考虑用回溯法来解决这类问题。
回溯法的优点是程序结构清晰，可读性强，易于理解，通过分析问题可以大大提高运行效率。
但对于可以迭代得到明显递推公式的问题，不宜采用回溯法求解，因为它耗时较长。
对于用回溯法求解的问题，要对问题进行适当的转化，得到状态空间树。
这棵树的每一条完整路径都代表了一个解决方案的可能性。
先用深度搜索这棵树，枚举每一个可能的解；从而得到结果。
但通过构造回溯法中的约束函数，可以大大提高程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，每一个解(不一定是完整的，其实这就是构造约束函数的意义)都在不断地与约束函数进行比较，删除一些不可能的解，这样就不必列出其余的解，节省了一些时间。
回溯法中，首先需要明确下面三个概念：（一）约束函数：约束函数是根据题意定出的。
通过描述合法解的一般特征用于去除不合法的解，从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余部分。
因此，约束函数是对于任何状态空间树上的节点都有效、等价的。
（二）状态空间树：刚刚已经提到，状态空间树是一个对所有解的图形描述。
树上的每个子节点的解都只有一个部分与父节点不同。
（三）扩展节点、活结点、死结点：所谓扩展节点，就是当前正在求出它的子节点的节点，在深度优先搜索中，只允许有一个扩展节点。
活结点就是通过与约束函数的对照，节点本身和其父节点均满足约束函数要求的节点；死结点反之。
由此很容易知道死结点是不必求出其子节点的（没有意义）。
利用回溯法解题的具体步骤首先，要通过读题完成下面三个步骤：(1)描述解的形式，定义一个解空间，它包含问题的所有解。
(2)构造状态空间树。
python简述回溯法求解旅行商问题的步骤
Python简述回溯法求解旅行商问题的步骤一、回溯法的概念回溯法是一种通过不断地试探解空间来求解问题的方法，它通常用于求解组合优化问题，如旅行商问题。
在回溯法中，我们会尝试所有可能的解，并通过一定的条件进行剪枝，以达到找到最优解的目的。
二、旅行商问题的定义旅行商问题（TSP）是一个经典的组合优化问题，它的目标是找到一条最短的路径，使得旅行商可以经过每个城市一次，最后回到起点城市。
三、回溯法求解TSP的步骤1. 确定解空间在回溯法中，我们首先需要确定问题的解空间。
对于TSP问题而言，解空间就是所有可能的路径。
我们可以用一个数组来表示路径，数组的每个元素代表一个城市的编号，数组中的顺序代表旅行商经过城市的顺序。
[1, 2, 3, 4, 1]表示旅行商依次经过城市1、2、3、4，最后回到城市1。
2. 确定约束条件在TSP问题中，约束条件包括每个城市只能经过一次，以及最后回到起点城市。
在回溯法中，我们需要通过约束条件来剪枝，避免无效的搜索。
3. 确定目标函数TSP问题的目标函数是路径长度，我们需要找到最短的路径。
在回溯法中，我们会在尝试新的解时不断更新当前的最短路径，以找到最优解。
4. 编写回溯算法基于以上步骤，我们可以编写回溯算法来求解TSP问题。
算法的基本框架如下：```pythondef tsp_backtrack(graph, start, path, length, n):if len(path) == n:return (path, length + graph[path[-1]][start])else:min_path = Nonemin_length = float('inf')for city in range(n):if city not in path:new_path = path + [city]new_length = length + graph[path[-1]][city]if new_length < min_length:candidate_path, candidate_length =tsp_backtrack(graph, start, new_path, new_length, n)if candidate_length < min_length:min_path = candidate_pathmin_length = candidate_lengthreturn (min_path, min_length)```在这个算法中，我们使用递归的方式来尝试所有可能的路径，并通过剪枝条件来减少搜索空间，以求解TSP问题。
哈密尔顿回路 回溯法时间复杂度
哈密尔顿回路回溯法时间复杂度哈密尔顿回路与回溯法时间复杂度深度及广度分析一、哈密尔顿回路的定义及特点1.1 哈密尔顿回路的概念哈密尔顿回路是指经过图中每个顶点恰好一次，并且最后能回到起点的路径。
这样的路径称为哈密尔顿回路。
1.2 哈密尔顿回路的特点哈密尔顿回路是图论中的经典问题。
在图中，如果存在哈密尔顿回路，则称该图为哈密尔顿图。
哈密尔顿回路问题是一个NP完全问题，其难度不亚于著名的旅行商问题。
二、回溯法时间复杂度的分析2.1 回溯法的基本思想回溯法是一种通过不断尝试并放弃某种选择来求解问题的方法。
它通过深度优先搜索的思想，逐步地尝试所有的可能性，当发现当前的选择不能得到正确的解时，则回溯到上一步进行其他选择。
2.2 回溯法时间复杂度的计算回溯法的时间复杂度取决于问题规模和解空间的大小。
在最坏情况下，回溯法需要尝试所有的可能性，因此时间复杂度往往较高。
在哈密尔顿回路问题中，由于需要逐步尝试每个顶点的可能路径，时间复杂度通常较高。
三、深入探讨哈密尔顿回路与回溯法3.1 哈密尔顿回路与回溯法的关系哈密尔顿回路问题可以通过回溯法进行求解。
回溯法通过穷举所有可能的路径，找到满足条件的哈密尔顿回路。
3.2 哈密尔顿回路问题的回溯法实现在实际求解哈密尔顿回路问题时，可以采用回溯法，逐步尝试每个顶点的可能路径，直至找到满足条件的哈密尔顿回路。
但是，由于回溯法时间复杂度高，对于大规模的图可能不太适用。
3.3 改进回溯法的方法为了改进回溯法的效率，在求解哈密尔顿回路问题时，可以采用一些优化的方法，如剪枝、启发式搜索等，以减少搜索空间，提高求解效率。
四、总结与展望4.1 总结哈密尔顿回路是图论中的重要问题，其求解常常可以通过回溯法实现。
回溯法时间复杂度高的特点对求解哈密尔顿回路问题提出了挑战，但也激发了对算法优化的需求。
4.2 展望未来，随着算法研究的不断深入，我们有理由相信能够找到更高效的算法来解决哈密尔顿回路问题，使其在实际应用中得到更好的运用。
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回溯法的基本概念
回溯法，也叫试探法，是一种基于深度优先搜索的算法。
它是一
种非常实用的解决问题的方法，通常用来解决那些需要尝试许多可能
性的问题。
在回溯法中，我们需要枚举所有的可能性，并根据条件进
行深度搜索，直到找到所有的解或达到终止条件。
回溯法的基本思想是：将问题分成多个小问题来解决，每个小问
题都需要尝试不同的解决方案，直到找到最优解或达到终止条件。
当
我们尝试的方案不符合要求时，我们需要“回溯”（撤销上一步的操作），尝试其他解决方案。
回溯法的应用非常广泛，比如在图形学、人工智能、网络协议设
计等领域都有广泛的应用。
在算法竞赛中，回溯法是一个非常重要的
算法，也是我们必须要掌握的算法之一。
使用回溯法的关键在于如何组织搜索空间。
我们需要确定搜索树
的遍历顺序和搜索深度，以及如何剪枝搜索空间。
通常情况下，我们
可以使用递归函数来实现回溯算法。
这个递归函数需要接收状态参数，在每一次递归调用中，我们需要将状态参数进行更新，并考虑是否达
到了终止条件。
在回溯算法的实现中，通常要注意以下几点：
1. 前缀和预处理：如果我们需要快速传递状态信息，可以使用前
缀和预处理技术。
2. 剪枝：剪枝是一种优化手段，可以在搜索中减少不必要的计算。
比如我们可以根据当前状态进行剪枝，减少搜索量。
3. 记忆化搜索：如果我们需要多次查询相同的状态，可以使用记
忆化搜索来优化。
这样可以避免重复计算，提高算法效率。
4. 双向搜索：双向搜索可以从起点和终点同时进行搜索，这样可
以减少搜索时间和空间复杂度。
总之，回溯法是一种非常实用的算法，在实际问题求解中具有广
泛的应用。
要想掌握回溯法，需要多做题、多思考，掌握其基本原理
和常见技巧，逐步提高自己的解题能力。