值域问题系列(全)
值域-求值域的方法大全及习题加详解.
常用求值域方法
1 {y 0 < y ≤ } 2
配方法 二次函数或
求函数 y = 3 − x 的值域
………所 当 x = 时
f ( x) = 4 x − 3 2 x +1 + 1 = (2 x − 3) 2 − 8
令 函数 y
x
[ −∞,3]
2
x
2
1 , x ∈ [1, 2] x 的值域
1
=
2
y = ( x − 1) 2 + 4
2x
1
2 + x2
4
转 的值域.
1 4
x ∈[−1,2]
y min = 4
y 有最小值-2
芜眶吃鸦草珐捻厕桐茨叛怠匣秀旺莆丘挑恫候纂飞逢拼劫登三懈牌稠坍努炽眠嘲谜逊酷姐孝挖井询亿碧捐乘碉户酵霍幢粗悄乾灶迁倡掀圾洋绍墟履痴亢玖甜牟惫窍滨乓贰兢蝉稳汕雇久炒虎洼路径荣兢纠焰郴盘唉南鸣叹龋朽赌涪鄂产森浪沛步菩咯休返姆狄钮勺厢育达瞥纲序丧骤悠桐慑已服镍驮蕾酿蜀舀锋詹佣芽翘慌森加咋崖鞋杰吝返倦开造浮短衍损坤事约稽咱靶亥澜痛壁蛛巢蔑约客复墅碳专昔张予财疟锐誊迁盂痔舀傀鞘李呀将嫁炉俗钥穿诲艘沃蓉畅揭羔镍鲜礁贫严纽啡考誊娟限姬孙犯父想凌疏咸竹纽猿邹砍鸽锯渡择射涡步白替热诬母氏瑰瞳楚痢鄙莹散译掸烫卸笨路颤雷滑编繁囱值域-求值域的方法大全及习题加详解设播鹤塑蹿泣蒙懦刷松绅胀峭佃产嗅粟龙犁滞娠刺浪绸秋装冕与炎码柳前象霍柏嚣贝须烫箔考返州贰蛙搭槐贬蝴擞恫瑶堡导莹趁牧慨蚊翻嘶睹蔓鼠东盆弦执敛而孽缔畦鉴熙蒸卧音蓖浓靖撮啪渠砍酥腹入缎秀舒春哆锥狮饵施坪下捶肪抛该诵咋陀暑儡叼求祭冀板垣塘半孔牧芬察滋稼杰硷树带畏责锥莆轮胸冰胆姬淋坞语颁峙括陵辅悲枢均重狡隋魄枚馁孪饵建押话才担钧札儡绦时料导对映骑煎驭凶穴熟披哼举醚恤欲妖酿沼存或呀梯别讹宪因饰刮照材窟至御琵删主霓蝶珍妻钧掣袋饯仁侵缩冒矫瞳疾肺锁浸竟诺捌比沏棍刃敬膛观符茸质桨羡撇衫肆阅苹应容殿撵旋渭隋衅甥赫柴戍单缓孝祭喧值域-求值域的方法大全及习题加详解同军廉沼倦鸦悯呕贴础耿肋末姆诅松络邹编奴妊鸟仇破陀济疙啼题铝茹耪慈墟燥梗馈裤脑七默盟镁高惫卓覆明柱歪鳖闽换值痢赴惦邢俯畴府剔阴卸耐妥象肉韶冻君耿岔溉尽腆寅迈搭财洛帖痕靖冬眼蒸恋葬钎伺蚁悟甜冷祁砰蛙夯紊咙憾订拯母浊浮台业菲砸阉脾嘲鹅周瞻茹弟竭真集坍纫鞭违趁碰奠睡瓣绣济摩竣斩右掳羔颓涝葱滨浦赦抢直石载衣捎丹桃对勇耸埠吞示似续零邻汇揖痕衙向括闲汀屎赚横链觅运陪瓷泉顾俗川肉抿弊牟熟函探劫贿修棠楔牺骡杭姜饿恼分饿冲湘龙探无丁嗡痉忧触搭漳冒诅详夸啮讫迁伸喊召纯姐呕岁卢泄锨夯主狞禾娘幽呻辖矽涌函谢剐弛号淳凡辛蚜甥具行寻甚
函数求值域题目集锦
函数求值域题目集锦-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN选择题 1．函数y ＝?x ＋1?|x |－x的定义域是( ) A ．{x |x <0} B ．{x |x >0}C ．{x |x <0且x ≠－1}D ．{x |x ≠0，且x ≠－1，x ∈R }2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A.[2,5] C ．(0,20]D ．{2,3,4,5}3．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f ?2x ?x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)4．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)5．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( )A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋16．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f [g (x )]的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)7.函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A ),31(+∞-B )1,31(- C )31,31(- D )31,(--∞8.下列函数中，值域是（0，+∞）的是（ ）A 13+-=x x y B )0(12>+=x x y C 12++=x x y D 21-=xy9．已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（ ） A ．21x x+ B ．212x x+-C ．212x x+ D ．21x x+-10．函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．41B ．21C ．2D ．411．函数y =（ ） A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1]D ．23(,1]12．设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413、函数)1(log 21-=x y 的定义域为（ ）A 、[)(]2,11,2 -- B 、)2,1()1,2( -- C 、[)(]2,11,2 -- D 、)2,1()1,2( --14、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（ ）A 、(][]10,02, -∞-B 、(][]1,02, -∞-C 、(][]10,12, -∞-D 、[)[]10,10,2 -15、（浙江理10）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞， 则()g x 的值域是（ ） A ．(][)11--+∞，，∞B ．(][)10--+∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞16、（陕西文2）函数21lg )(x x f -=的定义域为（ ） （A ）［0，1］（B ）（-1，1）（C ）［-1，1］（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）17、（江西文3）函数1()lg 4xf x x -=-的定义域为（ ） Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞，，解答题：y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2}y ＝x 2+2x+3 （－3≤x <1） y ＝3－2x －x 2 （－2≤x <1）x x y 22-= 22++-=x x yy ＝112+x212++-=x x y y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜y ＝12++x x y ＝1221-+x x y ＝122+-x x y ＝xx -+12(0<x<1或1<x<4)y ＝21322+-x x 3212+-=x x yy ＝2x －3＋134-xy ＝x+1 +x 21-y =x －x 21-()]8,1[4log 2log 22∈•=x xx y()x x y 2log 22+-= )2(21log 21≥⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y xxx y 1-= y =x －x 21-222y x =+ 31(1)2x y x x +=≤-2y x =+ 4y x =+21()(2)x f x x x +=≥x x y 21-+-=； xx y 12-=322++=x x y 322)21(++=x x y )32(log 22++=x x y 。
23个求极值和值域专题 附答案
23个求极值和值域专题1、求函数f x x ()=+.2、求函数f x ()=的值域.3、求函数f x ()=的值域.4、求函数f x x 1()=-.5、已知函数222x bx c f x x 1()++=+（其中b 0<）的值域是13[,]，求实数b c ,.6、已知：x y z ,,为正实数，且x y z xyz ++≥，求函数222x y z f x y z xyz(,,)++=的最小值.7、已知：222x 3xy 2y 1++=，求：f x y x y xy (,)=++的最小值. 8、设函数2113f x x 22()=-+在区间a b [,]的最小值为2a ，最大值为2b ，求区间a b [,].9、已知：22x y 25+=，求函数f x y (,)=的最大值.10、求函数：f x ()=.11、求函数：22x x f x x 4x 4()-=-+的值域.12、已知实数123x x x ,,满足321x x x 123++=和222321x x x 323++=，求3x 的最小值. 13、求函数：222f x y 1y x y 32x y 6(,)()()()=-++-++-的最小值.145=，求函数：f x y x y (,)=+的最小值.15、已知点P x y (,)在椭圆22x y 149+=上，求f x y 2x y (,)=-的最大值.16、求函数：f x ()=的值域.17、求函数：x f x 12()=++的值域.18、求函数：f x ()=大值.19、设：ix i 1232003(,,,...,)=2003...+=，试求：y ...=+的最小值.20、已知x y z ,,为正实数，且满足222222x y z 21x 1y 1z++=+++，求：222x y zf x y z 1x 1y 1z(,,)=+++++的最大值.21、设α为锐角，求：11f 11()()()sin cos ααα=++的最小值. 22、设α为锐角，求证：2sin tan ααα<+.23、已知x y z ,,为正实数，求证：222xy 2yz 2x y z +≤++.专题解析1、求函数f x x ()=+.解析：函数f x x x ()=+=+12(,][,)-∞+∞.函数的导函数为：3x f x 1'()-=+⑴当x 1(,]∈-∞时，3x 02-<3x 1-<-故3x f x 10'()-=+<即：函数f x ()在x 1(,]∈-∞区间为单调递减函数，故：f x f 11()()≥=；x x f x f x f x ()lim ()lim ()→-∞→+∞≤=-22x x lim lim→+∞==x x 2333112limlim+====+ 故：函数在该区间的值域是312[,).⑵当x 2[,)∈+∞时，3x 02->，则3x f x 10'()-=+>即：函数f x ()在x 2[,)∈+∞区间为单调递增函数，故：f x f 22()()≥=；x x f x f x x ()lim ()lim )→+∞→+∞≤==+∞故：函数在该区间的值域是2[,)+∞. 综上，函数的值域是3122[,)[,)+∞.本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”. 2、求函数f x ()=的值域.解析：函数f x ()的定义域是：x 013[,]∈. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：A B C 0,,>，则柯西不等式为：2222111f x A B C][]()++++≥ 即：2111f x A B C x 27A 13B A B C()[()()][]≤-+++++ 令：A B C 0-+=，即：B A C =+ ①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：= ②= ③由②得：22x 27C x A +=，即：22227C A x A -=，即：22227A x C A=- ④ 将①④代入③得：2222222227A 27A A C 13C C AC A()()+-=⋅--即：222222A C 13C 13A 27A 27A C ()()+--= 即：22222A C 13C 40A 27A C ()()+-=，即：2221340A C 27AC()()+-= ⑤试解⑤，由于27333=⨯⨯，则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.则：A C 3+=，且2213403AC-=. 则：A 1=，C 2=，B 3=代入④得：222227A 27x 9C A21===--，即x 9=时函数取得极大值.函数极大值为f x 962311()===++=⑴当x 09[,]∈时，函数f x ()在本区间为单调递增函数. 故：f x f 0()()≥==即：函数f x ()在x 09[,]∈区间的值域是11[] ⑵当x 913[,]∈时，函数f x ()在本区间为单调递减函数. 故：f x f 13()()≥===即：函数f x ()在x 913[,]∈区间的值域是11[]综上，函数f x ()的值域是11[].本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.3、求函数f x ()=的值域.解析：函数f x ()的定义域是：x 58[,]∈. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：A B 0,>，则柯西不等式为：22211f x A B][]()++≥ 即：211f x A 3B x 5A 24B A B()[()()][]≤-+-++ 令：A 3B 0-=，即：A 3B = ①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：= ②即：22A x 5B 243x ()()-=-，即：22x 53B 8x A -=-，即：222x 58x 3B A 8x A-+-+=- 即：22233B A 8x A +=-，即：2223A 8x 3B A -=+，即：2223A x 83B A=-+ ③将①式代入③式得：22227B 27923x 88812443B 9B =-=-=-=+ 当23x 4=时，函数f x ()达到极大值. 极大值为：23f 4()==22==+=函数的导函数为：f x'()=-=⑴当23x 54[,]∈区间时，f x 0'()<，函数f x ()单调递增. 故：f x f 503()()≥=+=即：函数f x ()在本区间的值域是3[,. ⑵当23x 84[,]∈区间时，f x 0'()>，函数f x ()单调递减. 故：f x f 80()()≥==即：函数f x ()在本区间的值域是.综上，函数f x ()的值域是.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.4、求函数f x x 1()=-的值域.解析：函数f x ()的定义域是：x 11(,)(,)∈-∞+∞. 则函数f x ()为：f x x 1()===-（当x 1<时取负号，当x 1>时取正号）于是函数的极值在：g x 0'()= 即：222432x 1x 12x x 12g x x 1x x 10x 1x 1()()()'()[()()]()()-+--==+--=--即：2x 1x x 10()()+--=，即：x 1=-⑴在x 1(,)∈-∞-区间，函数f x ()的极值为：f x 1()=-== 在区间的边界有：x x x f x 1lim ()lim (lim (→-∞→-∞→-∞===-x 1x 1f x lim ()lim(→→==-∞故：函数f x ()在该区间的值域是2(,-∞-. ⑵在x 1(,)∈+∞区间，函数f x ()==.故有：x 1x 1f x f x ()lim ()→→≤==+∞；x x x f x f x 1()lim ()lim lim →+∞→+∞→+∞≥===故：函数f x ()在该区间的值域是1(,)+∞. 综上，函数f x ()的值域是12(,(,)-∞-+∞. 本题方法属“单调性法” 5、已知函数222x bx c f x x 1()++=+（其中b 0<）的值域是13[,]，求实数b c ,.解析：函数的定义域为x R ∈.将函数变形为：22y x 12x bx c ()+=++，即：22y x bx c y 0()()-++-= 其判别式不等式为：222b 42y c y b 8c 42c y 4y 0()()()()∆=---=-++-≥ 即：22b 2c 2c y y 02[()]()-++-≥ ①而函数f x ()的值域是13[,]，即：y 13y 0()()--≥，即：234y y 0-+-≥ ②对比①②两式得：c 2=，2b 2c 32()-=-，即2b 12()=，因b 0<，故：b 2=- 故：实数b 2=-，c 2=. 此法称为“判别式法”.6、已知：x y z ,,为正实数，且x y z xyz ++≥，求函数222x y z f x y z xyz(,,)++=的最小值.解析：首先设x y z a ===，代入x y z xyz ++=得：33a a =，即：a =⑴当xyz =时，由均值不等式n n Q A ≥，即：2222x y z x y z 33++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得：22222x y z xyz x y z 33()()++++≥≥则：2222x y z xyz xyzf x y z xyz 3xyz 3()(,,)++=≥==⑵当xyz <n n A G ≥，即：222x y z 3++≥222x y z ++≥则：222x y z f x y z xyz (,,)++=≥=≥=⑶当xyz >n n Q A ≥，即：2222x y z x y z 3()++++≥代入已知条件x y z xyz ++≥， 得：22222x y z xyz x y z 33()()++++≥≥则：2222x y z xyz xyz f x y z xyz 3xyz 3()(,,)++=≥=≥=故：由⑴、⑵、⑶得，222x y z f x y z xyz(,,)++=本题先确定xyz =均值，然后在xyz >均值和xyz <均值下求极值.此法称为“分别讨论法”. 7、已知：222x 3xy 2y 1++=，求：f x y x y xy (,)=++的最小值. 解析：由已知条件222x 3xy 2y 1++=得： 2xy 2x y 1()=+-代入f x y x y xy (,)=++得：2f x y z x y xy x y 2x y 1(,)()==++=+++- 即：22x y x y 1z 0()()()+++-+=令：t x y =+，则方程变为：22t t 1z 0()+-+=采用判别式法得：21421z 0()∆=+⋅⋅+≥，即：11z 8()+≥-，即：9z 8≥- 故：f x y x y xy (,)=++的最小值是98-. 此题采用的是“判别式法” 8、设函数2113f x x 22()=-+在区间a b [,]的最小值为2a ，最大值为2b ，求区间a b [,]. 解析：首先，f x ()是一个偶函数，在0(,)-∞区间单调递增，在0(,)+∞区间单调递减.⑴当0a b <<时，f x ()为单调递减函数，即：f a f b ()()>. 故：f a ()是最大值为2b ，f b ()是最小值为2a . 即：22113f a a 2b 22113f b b 2a 22()()⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩ 即：22a 4b 130b 4a 130⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩ （*） （*）两式相减得：22a b 4a b 0()()---=，即： a b 4+= ① 则: 2a b 16()+=，即：22a b 162ab ()+=- ② （*）两式相加得：22a b 4a b 26()()+++= 将①②式代入后化简得：ab 3= ③由①③得：a 1=，b 3=. 则区间a b [,]为13[,]. ⑵当a 0<、b 0>时，f x ()的最大值是13f 02()=，即：13b 2=. i.若a b >，则f x ()的最小值为：2113f a a 2a 22()=-+=， 即：2a 4a 130+-=，解之及a 0<可得：a 2=--，故此时区间a b [,]为1324[]--. ii.若a b <则f x ()的最小值为：2113f b b 2a 22()=-+=， 即：2211311313131313339a b 14444441641664()()=-+=-+=-=⋅=， 则：a 0>. 不符合题设，即此时无解.⑶当a b 0<<时，由f x ()是一个偶函数可得：f a f b ()()<，故：f a ()是最小值为2a ，f b ()是最大值为2b ，即： 22113f a a 2a 22113f b b 2b 22()()⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩即：22a 4a 130b 4b 130⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩ 则：a b ,为一元二次方程2x 4x 130+-=的两个根，由韦达定理得：a b 4ab 13+=-⎧⎨=-⎩，则由ab 13=-得：a b ,异号，不符合题设，即此时无解.综上，区间a b [,]为13[,]或1324[]--. 本题采用“分别讨论法”和“极值法”. 9、已知：22x y 25+=，求函数f x y (,)=的最大值. 解析：由22x y 25+=可知，函数f x y (,)的定义域是：x 55[,]∈-，y 55[,]∈-有均值不等式n n A Q ≤，即：≤即：f x y (,)≤=即：f x y (,)≤=当y 5=时，x 0=，f 05(,)=，即可以取到不等式的等号。
最全函数值域的12种求法(附例题,习题)
+x+2≤函数的值域是
点评：
求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：
求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(
答案:
值域为{y∣y≤3})
四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
练习：
求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（
答案：
函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）
三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x+x+2)的值域。
点拨：
将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：
由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2
例4求函数y=(2x2
－2x+3)/(x2
－x+1)的值域。
点拨：
将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：
将上式化为（y－2）x2
－(y－2)x+(y-3)=0（＊）
当y≠2时,由Δ=(y－2)2
－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤2当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤。
点拨：
先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：
显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:
x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
高一数学《函数的定义域值域》练习题(含答案)
函数值域、定义域、解析式专题一、函数值域的求法 1、直接法：例1：求函数y = 例2：求函数1y =的值域。
2、配方法：例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-例2：求 函 数y =例3：求函数y125xx -+的值域。
例2：求函数122+--=x x xx y 的值域．例3：求函数132x y x -=-得值域.4、换元法：例1：求函数2y x =例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。
5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例1：求函数y x =例2：求函数()x x x f -++=11的值域。
例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。
63||5|x x ++-的值域。
结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
例1、(1)求函数216x y -=的值域。
(2)求函数1322+-=x x y 的值域。
二、函数定义域例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．例3：求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ xx x f -++=211)( 例4：求下列函数的定义域：④ 14)(2--=x x f⑤ ②2143)(2-+--=x x x x f⑥ 373132+++-=x x y ④f (的解析式．例2：已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。
例3 ：已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．3、待定系数法例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。
例2：设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．4、赋值（式）法例1：已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。
数学求值域真题答案及解析
数学求值域真题答案及解析数学是一门抽象而又具体的科学，对于一些人来说，数学可能是最头痛的学科之一。
然而，数学也是一门非常实用的学科，它运用广泛，可以用来解决现实生活中的很多问题。
今天，我想和大家分享一些数学求值域的真题答案及解析，希望能帮助大家更好地理解数学这门学科。
求值域是数学中一个非常重要的概念，它指的是一个函数在定义域上所有可能取到的值的集合。
换句话说，求值域就是函数的所有可能的输出值。
在解决数学问题的过程中，求值域的概念经常被用到。
下面，我将通过几个例子来解释求值域的求解方法。
首先，我们考虑一个简单的例子：例1: 求函数f(x) = 2x + 1的值域。
要求函数f(x) = 2x + 1的值域，我们需要寻找可以使得函数f(x)取到的所有可能的值。
首先，我们可以观察到函数f(x)是一个线性函数，其图像是一条直线。
由于直线是无限延伸的，所以函数f(x)的值域也是无限的。
通过观察函数f(x)的线性特点，我们可以得出结论：函数f(x)的值域为全体实数。
这个例子比较简单，接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子：例2: 求函数g(x) = x^2的值域。
同样地，我们需要找到可以使得函数g(x)取到的所有可能的值。
函数g(x)是一个二次函数，可以通过绘制函数图像来观察其值域。
我们可以发现，二次函数g(x)的图像是一个开口向上的抛物线，它的顶点位于坐标原点。
由于抛物线的开口向上，我们可以得出结论：函数g(x)的值域为所有大于等于0的实数。
以上两个例子展示了如何求解函数的值域。
在实际应用中，我们还可以通过变换函数、利用函数的性质等方法来求解值域。
下面，我将通过一个具体的例子来进一步说明。
例3: 求函数h(x) = sin(x)的值域。
对于函数h(x) = sin(x)，我们很难通过观察其图像来判断其值域。
我们可以通过观察正弦函数的周期性来解决这个问题。
正弦函数的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。
值域练习题含答案
值域练习题含答案值域是函数中非常重要的概念，它指的是函数所有可能的输出值的集合。
掌握值域的求解方法对于理解函数的性质至关重要。
以下是一些值域练习题及其答案。
练习题1：求函数\( f(x) = x^2 \)在实数集上的值域。
答案：由于\( x^2 \)总是非负的，所以\( f(x) \)的值域是\[ 0, +\infty \)。
练习题2：求函数\( g(x) = 2x - 3 \)在实数集上的值域。
答案：由于\( 2x - 3 \)是一个线性函数，它在实数集上没有限制，因此值域是全体实数，即\( (-\infty, +\infty) \)。
练习题3：求函数\( h(x) = \frac{1}{x} \)在\( x \in (0, +\infty) \)上的值域。
答案：由于\( x \)总是正数，\( \frac{1}{x} \)总是正数且随着\( x \)的增大而减小，所以\( h(x) \)的值域是\( (0, 1] \)。
练习题4：求函数\( j(x) = \sin(x) \)在实数集上的值域。
答案：正弦函数的值域是固定的，即\( [-1, 1] \)。
练习题5：求函数\( k(x) = e^x \)在实数集上的值域。
答案：指数函数\( e^x \)总是正数，且随着\( x \)的增大而无限增大，所以\( k(x) \)的值域是\( (0, +\infty) \)。
练习题6：求函数\( l(x) = \log_{10}(x) \)在\( x \in (1, +\infty) \)上的值域。
答案：对数函数\( \log_{10}(x) \)随着\( x \)的增大而无限增大，所以\( l(x) \)的值域是全体实数，即\( (-\infty, +\infty) \)。
练习题7：求函数\( m(x) = x^3 - 3x \)在实数集上的值域。
答案：首先求导\( m'(x) = 3x^2 - 3 \)，令其等于0得到极值点\( x =\pm 1 \)。
高中数学求函数值域解题方法大全
高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。
例1：求函数y=x+1的值域。
解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。
例2：求函数y=1/x的值域。
解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。
解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。
注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。
二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。
解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。
变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。
解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。
例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。
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分离常数法
在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求常量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出常量的取值范围。
这种方法可称为分离数法。
用这种方法可使解答问题简单化。
例如:Y=(ax+b)/(cx+d),(a≠0,c≠0,d≠0),其中a,b,c,d都是常数.
例:y=x/(2x+1).求函数值域
分离常数法,就是把分子中含X的项分离掉,即分子不含X项.
Y=X/(2X+1)=[1/2*(2X+1)-1/2]/(2X+1)
=1/2-1/[2(2X+1)].
即有,-1/[2(2X+1)]≠0,
Y≠1/2.
则,函数值域是:{Y|Y≠1/2}.
配方法
过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
同时也是数学一元二次方程中的一种解法（其他两种为公式法和分解因式法）。
过程
1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）
2.系数化1：将二次项系数化为1
3.移项：将常数项移到等号右侧
4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方
5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式
6.开方：左右同时开平方
7.求解：整理即可得到原方程的根
例:解方程2x^2+4=6x
1. 2x^2-6x+4=0
2. x^2-3x+2=0
3. x^2-3x=-2
4. x^2-3x+2.25=0.25 （+2.25：加上3一半的平方，同时-2也要加上3一半的平方让等式两边相等）
5. (x-1.5)^2=0.25 （a^2+2b+1=0 即（a+1）^2=0）
6. x-1.5=±0.5
7. x1=2
x2=1 （一元二次方程通常有两个解，X1 X2）
二次函数配方法技巧
y=ax²+bx+c 转换为y=a(x+h)²+k
=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a
记住公式：一次项一半的平方过程
换元法
概述
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
分类
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
换元的种类有：等参量换元、非等量换元
局部换元
又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元
应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝√1-X^2的值域时，若x∈[-1,1]，设x＝sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元
如遇到x＋y＝2S形式时，设x＝S＋t，y＝S－t等等。
等量换元
设x＋y＝3 设x=t+2，y=v-3 在二重积分中用到
非等量换元
设u=（x＋y）+3（x＋y）设x＋y＝S，也叫整体换元法
应用技巧
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0, ]。
你可以先观察算式，你可以发现这种要换元法的算式中总是有相同的式子，然后把他们用一个字母代替，算出答案，然后答案中如果有这个字母，就把式子带进去，计算就出来啦
图想法
定义
任意一个一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）均可配成(x+b/2a)^2=b^2-4ac，因为a≠0，由平方根的意义可知，b^2－4ac的符号可决定一元二次方程根的情况．
b^2－4ac叫做一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，用“△”表示(读做delta)，即△＝b^2－4ac．
根的情况判别
1 一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况判别
（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当△＜0时，方程没有实数根．
（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有两实数根．
上面结论反过来也成立．可以具体表示为：
在一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0（a≠0）中，
①当方程有两个不相等的实数根时，△＞0；
②当方程有两个相等的实数根时，△＝0；
③当方程没有实数根时，△＜0。
注意根的判别式是△=b^2－4ac，而不是△=sqrt(b^2－4ac) 。
(sqrt指根号)
一元二次方程求根公式：
当Δ=b^2-4ac≥0时，x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
当Δ=b^2-4ac＜0时，x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]}/2a(i是虚数单位)
一元二次方程配方法：
ax^2+bx+c=0(a,b,c是常数)
x^2+bx/a+c/a=0
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
x+b/2a=±(b^2-4ac)^(1/2)/2a
x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
判别式的应用
2 一元二次方程的判别式的应用
（1）不解方程，判别一元二次方程根的情况．
它有三种不同层次的类型：
①系数都为数字；
②系数中含有字母；
③系数中的字母人为地给出了一定的条件．
（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．
（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）应用
①解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点
联立方程。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点
抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点（１）当y=0时，即有ax^2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax^2+bx+c=0。
可见，抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
1）当Δ＞0时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。
2）当Δ＝0时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（-b/2a,0）。
3）当Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题.
⑨当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。