求无理函数最值的四个策略
求最值方法--高考数学复习
求最值方法 -- 高考数学复习一问一答 -------- 最值问题方法总论1高中数学求最值有哪些方法？答：有 9 种方法： 1）配方法 2）鉴别式法； 3）不等式法； 4）换元法； 5）函数单一性法； 6）三角函数性质法； 7）导数法； 8）数形联合发；9）向量法2如何将恒成立问题转变为最值问题？答：1) a f ( x)恒成立，则a f (x)max 2）a f ( x)恒成立，则 a f (x)min一元整式函数最值1、二次函数张口方向、对称轴、所给区间均确立,如何求最值 ?答：1）确立对称轴与x轴交点的横坐标能否在所给区间。
2）假如在所给区间，一个最值在极点处获得，另一个最值在与极点横坐标较远的端点处获得。
3）若不在所给区间，利用函数的单一性确立其最值。
2、二次函数所给区间确立，对称轴地点变化，如何求最值 ?答： 1）挪动对称轴，将对称轴平移到定区间的左边、右边及区间内议论， 2）在区间内，只考虑对称轴与区间端点的距离即可。
3、二次函数所给区间变化，对称轴地点确立，如何求最值 ?答：分类议论，分为四种状况： 1）对称轴在闭区间左边；2）对称轴在闭区间右边3）对称轴在闭区间内且在中点的左边； 4）对称轴在闭区间内且在中点的右边（或过中点）；4、二次函数所给区间、对称轴地点都不确立，如何求最值 ?答：将此中一个看作是“定”的，另一个看作是“动”的，而后如上分四种状况进行议论。
5、什么状况下运用基本不等式求最值？答：当两个变量的和或积为定值时运用，有时需要变形。
即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
6、对于多项式乘积的最值问题，如何求解答：能够考虑睁开后，利用基本不等式求解7、如何求复合型函数的最值答：若函数f ( x), g( x) 在 [ mn.] 上单调性相同，则h( x) f (x)g(x) 在 [m.n] 上与 f ( x), g( x) 有同样的单一性，可利用单一性求h( x) 在[ mn.] 上的最值。
高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析
高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。
本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。
难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。
一、高次不等式1．概念：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0（其中x1, x2, ……,x n是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。
2．解题思路：作出相应函数的图象草图。
具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。
然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。
3．例题：例1．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。
解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。
所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。
(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。
作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。
注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。
例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。
分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞)。
无理函数最值探求的几种策略
无理函数最值探求的几种策略无理函数的最值是中学数学教学的一个难点，其形式多样，解法繁杂，学生在解题中感到很困惑，本文就一类形如的无理函数最值的解法作一次探求，寻求解决问题求解的多种策略，以便熟练和灵活地运用一些方法去解决问题，以达到举一反三的效果。
例题：求函数的最值一、巧用三角代换求函数最值根据三角函数的特征和性质，在无理函数中巧妙的进行三角换元，使无理问题三角化，从而达到快速求解无理函数最值的目的，显然设元的技巧很关键。
1、解：的定义域，，故可设则。
二、熟用平方判别式求函数最值无理函数的最大特征是含有根号，而平方是去根号的重要手段之一，将无理函数转化为关于的二次方程的函数，利用判别式求函数的最值是常见的方法，但要注意函数定义域对函数最值的制约作用。
解：函数的定义域，显然两边平方得移项再平方整理可得由得又，另外由及，。
三、善用导数求函数最值导数是高中数学新教材中增加的内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题上成为高中数学解题一道靓丽的风景线，要重视导数在解决一些比较复杂函数最值上的作用，善于运用它，体念它独特的解题魅力，能使问题得到简洁、完美的解决。
解：对原函数求导可得：令得又由此可得，四、妙用构造向量求函数最值向量具有代数和几何的双重特性，用向量方法解决代数问题的关键是善于观察问题的外貌结构，挖掘代数结构的向量模型，巧妙构造向量，把原有的问题转化为向量问题求解。
它是一种重要的数学思维方法，是数形结合思想的一个有效载体。
解：原函数变形为可设则得令与的夹角为，，则，如图1，向量的终点在以原点为圆心，为半径的的圆周上，则两向量夹角，当，即，即时，当，即即时，，本文对一类形如的无理函数的最值作了一次多角度，多层次的分析和探求，如果对它加以深入探究当然有更多类型的无理函数的最值值得我们去思考和研究。
通过从特殊到一般的数学思维，寻求到解决问题的不同策略，对培养学生的创造性思维能力，完善学生的认知结构，提高学生的数学素养定有积极的作用。
浅析无理型函数值域的几种常规求法
浅析无理型函数值域的几种常规求法一、观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。
例1．求函数y ＝3＋42+x 值域。
解：∵42+x ≥2，∴函数值域为[5，+)∞。
二、单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。
例2．求函数y ＝x －x 21-的值域。
解：函数的定义域为]21,(-∞，函数y=x 和函数y ＝－x 21-在]21,(-∞上均为单调递增函数，故y ≤212121⨯--＝21， 因此，函数y ＝x －x 21-的值域是]21,(-∞。
三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。
例3．求函数y ＝x+x 21-的值域 。
解：定义域为x ∈]21,(-∞，令t ＝x 21- (t ≥0)，则x ＝212t -于是y ＝－21(t －1)2＋1，由t ≥0知函数的值域为]21,(-∞。
本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。
对于形如“y mx n ax b =++±”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令t ax b =+，将原函数转化为t 的二次函数，当然也适用于“y mx n ax b =++22±”的函数。
例4. 求函数y x x =-+-23134的值域。
解：令t x =-134，则t ≥0且x t =-14132()，则y t t =-++12722=--1212()t +4。
当t =1，即x =3时，y max =4，当t →+∞时，y →-∞。
故函数值域为(]-∞，4。
另外对于根号下的是2次的，我们同样可以处理：例5．求函数y ＝x+21x -的值域。
解：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，∴设x ＝cos θ，θ∈［0，π］ 则y ＝cos θ+sin θ＝2sin （θ+4π）， ∵θ∈［0，π］，∴θ+4π∈［4π，45π］，∴sin （θ+4π）∈［－22，1］，∴2sin （θ+4π）∈［－1，2］，∴函数y ＝x+21x -的值域为［－1，2］。
三角代换求函数最值问题
巧用三角代换求无理函数的最值上海市第五十四中学（邮编200030）裴华明求无理函数的最值问题，是中学数学中常见的问题之一，若用常规方法求解，对于有些题目来说就显得较为繁杂，计算量也较大，但若根据问题的特点巧妙的用三角代换来求解，则可把求无理函数的最值问题转化为求三角函数的最值问题，使问题得已简化，达到事半功倍的效果。
下面就介绍几类可用三角代换法来求无理函数最值的题型，仅供参考。
一、当函数的定义域为 x0, a a 0 时，可设x a sin2，0,2例 1、求函数y 1 x x 的最大值和最小值。
解：∵函数的定义域为则原函数可化为x 0,1 ，∴可设x sin 2，0,2 y sin cos 2 sin4又∵ 0则34424∴2sin1即 1y2 24故当0 或2时，ym i n1当时，ymax24例 2、求函数y3x x1的最值。
解：∵函数的定义域为x0,3，∴设 x3sin 2，0,2则原函数可化为y 3 cos 3 sin1 6 sin14∵ 02则444∴2sin2即31y 3 1 242故当4即0 时，y m a x 3 14当4即2时，ymin314二、 当 函 数 的 定 义 域 为 xa,a a 0 时 ， 则 可 设 x a sin ，2 ,2例 3、 求函数 yx 24 x 2 的最大值和最小值。
解：∵函数的定义域为 x2,2 ，∴可设 x 2 sin，2 ,2 则原函数可化为 y2 sin2 2 cos2 2 sin4 2∵则322444∴2 sin1 即4 y 22 224故当 42 即时，ymax2 224当4 即2 时，ymin44三、 当 函 数 的 定 义 域 为 xa, b ， 可 设 xa b a cos 2，0,或者设 xa b bacos ，0,222例 4、 求函数 yx 2 21 3x 的最值。
解：∵函数的定义域为 x 2,7 ，∴可设 x2 7 2 cos 22 5 cos 2，0,2则原函数可化为y5 cos15 sin2 5 sin6∵ 02 则3 66∴3sin1即15 y5226故当6 即0 时，ymax56当即 时，ymin15632例 5、 求函数 y8 2x x 23x 的最大值或最小值。
无理函数最值问题的求解策略
无理函数最值问题的求解策略首先，对于形如 $f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$ 的无理函数，其中$a,b,c$ 是已知常数，我们可以通过求导的方法来求解最值问题。
首先求导得到 $f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\cdot (2ax+b)$，然后令$f'(x)=0$，解得关于 $x$ 的方程为 $2ax+b=0$。
解得 $x=-\frac{b}{2a}$。
将这个解代入原方程 $f(x)$ 中，求得最值。
其次，对于形如 $f(x)=\sqrt[n]{a(x-b)^m}$ 的无理函数，其中$a,b,m,n$ 是已知常数，同样可以通过求导的方法求解最值问题。
首先求导得到 $f'(x)= \frac{m}{n\cdot (x-b)} \cdot \sqrt[n]{a(x-b)^{m-n}}$，然后令 $f'(x)=0$，解得关于 $x$ 的方程为 $(x-b)^{m-n}=0$。
解得 $x=b$。
将这个解代入原方程 $f(x)$ 中，求得最值。
此外，对于无理函数最大值问题，我们还可以通过等式的性质来解决。
对于 $f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$，易知当 $ax^2+bx+c$ 达到最小值时，$f(x)$ 达到最大值。
因此，我们可以通过对 $ax^2+bx+c$ 进行求二次函数顶点的方法来求解最大值。
对于 $f(x)=\sqrt[n]{a(x-b)^m}$，同样可以通过 $a(x-b)^m$ 达到最小值时，$f(x)$ 达到最大值的方法来求解。
另外，如果无理函数的解析解较复杂或无法找到合适的方法求解最大值或最小值，我们可以尝试使用数值方法进行求解。
常用的数值方法有二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法通过迭代逼近的方式来求解函数的最值。
我们可以将无理函数转化为有理函数的形式，然后再利用数值方法求解最大值或最小值。
最后，对于特殊的无理函数，我们还可以采用其他方法来求解最值问题。
SXA224高考数学必修_例谈无理函数的值域求法
无理函数的值域求法求无理函数值域的方法较多，涉及化归转化、函数与方程、数形结合等数学思想方法,对培养学生思维的灵活性、创造性大有裨益. 主要方法有:配方法、换元法、利用函数的单调性、均值不等式、转化为方程有解、数形结合法、构造模型法等．一、应用配方法求值域例1.4y =求函数.解：240(1)44022442,4].y x =≤--+≤∴≤∴≤-≤∴原函数的值域为[评注:配方法适用于解析式中含有二次函数的求值域问题.二、应用换元法将无理函数转化为二次函数或三角函数例2.求函数x x y 21-+=的值域.分析:, 则x 相当于二次项.只需对 x 21-换元，即可将问题转化为二次函数的值域问题. 解：令t x =-21,则212t x -=（0≥t ） ,1)1(212122+--=+-=t t t y ,0≥t 1≤∴y ,即值域为(]1,∞-.评注:形如d cx b ax y +±+= 的函数均可用此法求值域.例3.求函数x x y -+=1的值域.解:函数的定义域为[]1,0，令θ2sin =x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ， 则θθcos cos 12==-x,sin cos )4y πθθθ∴=+=+ 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+43,44πππθsin()4πθ⎤∴+∈⎥⎣⎦,即函数的值域为.⎡⎣ 评注:三角换元时常需选择角的范围. 选择角的范围时不仅要确保换元前后的等价性,还要有利于后续的化简.例4.求y =[4,2]-在上的值域.解:令u =,v =则 226u v += （0u ≥,0v ≥）设u θ,v θ=02πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则()))3f πθϑθθθθ==+由02πθ≤≤,得5336πππθ≤+≤ 知1sin()123πθ≤+≤故所求值域为三、利用函数的单调性例5.[0,1],x y ∈=已知求函数.解:122y x y ==,调递减min max [0,1]1(0)202(1)1,2].y x y x y x ∴=∈∴===-==∴内单调递增,当时当时原函数的值域为 例6.求函数x x x f -=1)(（14x <≤）的值域. 解：函数x y xy -==和1都在区间(]4,1 上单调递减， ∴函数x xx f -=1)(在区间(]4,1上是减函数. 于是)1()()4(f x f f ≤<,即值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-,47. 四、应用均值不等式例7.|y x =求函数.解:22222max 11(12211.2x x y x x x x y +-==∴=-==当且仅当,即∵y ≥0 ]1,0[函数的值域是∴ 例8.求函数y =. 解:令t =则0,t ≥2.1t y t =+ 当t=0时,y=0;当t>0时,2110.112t y t t t<==≤++ ∴原函数的值域为10,.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦五、转化为方程有解例9.求函数y=x-122+x 的值域.解法一:原函数可化为x-y=122+x ,即x>y 且(x-y)2=2x 2+1,亦即x>y 且x 2+2xy+1-y 2=0,原题即求关于x 的方程x 2+2xy+1-y 2=0在(y,+∝)有解的条件.记f(x)=x 2+2xy+1-y 2=0，显然有f(y)=2y 2+1>0。
函数求极值的方法总结
函数求极值的方法总结一、利用二次方程的判别式求极值在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，依据x在实数范围内有解，由判别式求的。
例1、求函数y=求函数极值的若干方法的极值。
解：将原函变形为关于x的二次方程(y1)x 求函数极值的若干方法 2yx3y=0∵x∈R，且x≠3，x≠1，∴上方程在实数范围内肯定有解。
△= (2y) 求函数极值的若干方法4 (3y)(y1)= 4y(4y3)≥0解之得y≤0 或y≥ 求函数极值的若干方法这里虽然y无最大〔小〕值，但对应于y=0和y= 求函数极值的若干方法的x分别为x=0和x=3，所以当x=0时，y有极大值0，当x=3时，y有微小值求函数极值的若干方法。
例2、求函数y= 求函数极值的若干方法的值域。
解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x∵x∈R，∴△= 44y 求函数极值的若干方法≥0，解之得：1≤y≤1∴函数y= 求函数极值的若干方法值域为[1，1]由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，事实上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。
但要留意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值肯定在不等式的解集内，此时，要留意检验，即招2出y取极值时的x是否有意义，若无意义必需舍去，再重新考虑其极值。
二、利用倒数关系求极值对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。
例3、求函数y=2 求函数极值的若干方法的最小值。
解：∵x 求函数极值的若干方法 2x+6 = (x1) 求函数极值的若干方法 +5＞0∴函数的定义域为一切实数，又由 x 求函数极值的若干方法2x+6=(x1) 求函数极值的若干方法 +5 知当x=1时，求函数极值的若干方法取最小值求函数极值的若干方法 ,∴ 求函数极值的若干方法取最大值求函数极值的若干方法 ,此时 y=2 求函数极值的若干方法取最小值 2 求函数极值的若干方法 ,即当x=1时，有y的最小值是 2 求函数极值的若干方法。
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无理函数最值探求的四个策略
函数是中学阶段的一个核心内容，值域在函数的应用中具有重要地位，它贯穿于整个高中数学的始终。
而无理函数是一类特殊的函数，通常是自变量包含在根式（通常是最简根式）中的函数。
无理函数的最值问题中学数学中常见的问题之一，那么如何快速准确地求出此类问题呢？是什么让同学们感到棘手的呢？本文给出以下四个策略来处理无理函数的最值问题.
1 有理化策略处理
无理函数的特殊之处在于含有根号，如果能够进行等价变形，把根号去掉，问题便会迎刃而解.对无理函数进行去根号化处理是一个基本的策略.
例1 已知函数232+-+
=x x x y ，求该函数的最小值. 解：由232+-+
=x x x y 得：0232≥+-=-x x x y ，两边同时平方得：23)(22+-=-x x x y ，即2)32(2-=-y x y ，从而3222--=y y x ，又x y ≥，所以3222--≥y y y ，得：2
31<≤y 或y ≤2，故232+-+=x x x y 的最小值为1 评析：两边平方是对无理函数进行有理化处理最常见的手段，但要注意等价性.注意本题中x y ≥的隐含条件的使用.
2 换元法策略处理
例2 求函数1412--+=x x y 的最小值. 解：令01≥-=x t ，则12+=t x ，从而3422+-=t t y )0(≥t ,所以1)1(22+-=t y ，故1=t 时，y 的最小值为1
例3 求函数x x y 312+-=的最大值.
解：因为11≤≤-x ，令],0[,cos πθθ∈=x ，从而θsin 12=-x ，故θθcos 3sin +=y ，即)3sin(2π
θ+=y ],0[πθ∈，所以y 的最大值为2.
评析：对无理函数进行适当的换元，可以转化为常见函数的最值问题，其中三角换元尤其重要，如含有21x -、21x +、12-x 可分别令θsin =x 、θtan =x 、θsec =x ，从而能够快速解决问题.
3 柯西不等式策略处理
例4 求函数x x y -+-=521的最大值.
解：因为51≤≤x ，由柯西不等式得5251215212
2=-+-+≤-+-x x x x （当且仅当5
9=x 时取等号）
评注：利用柯西不等式：2222y x b a by ax +⋅+≤
+能够快速求得这类无理函数的最大值 4 数形结合的策略处理
例5 求函数12--
=x x y 的最大值. 解：令01,2≥-==x v x u ，则122=-v u ，这样：点),(v u
在双曲线122=-v u 的上半部分上，如图：而v u y -=，从而当直线v u y -=过点)0,1(时，y 有最大值1，即原函数的最大值为1.
例6 求函数842222+-++-=
x x x x y 的最小值. 解：842222+-++-=x x x x y 22222)2(1)1(+-++-=x x ，
故几何意义为：在直角坐标系下，函数值为x 轴上的点)0,(x 与)2,2(),1,1(-B A 的 距离之和，如图所示，从而可知10||=≥AB y ，即三点共线时，函数最小值为10.
评析：根据函数的特征，对其适当变形，寻求其几何意义，运用图形的直观性或利用线性规划来处理，这也是一种快速而重要的策略.
根据无理函数解析式的特征，选择合适的策略，可以迅速地解决问题，达到事半功倍的效果. 链接训练题：
（1）. 求函数x x y ++-=11的最大值和最小值。
（2）. 求函数242x x y -+-=的最大值和最小值。
（3）. 求函数y x x =-+-23134的值域
(4)．求函数261013422+-++-=x x x x y 的最小值
答案：(1)最大值为2，最小值为2；（2）222max -=y ，4min -=y ；
（3）函数值域为(]-∞，4； （4）最小值为5。