高中函数值域的12种解法(含练习题)
重点高中数学求函数值域的7类题型和16种办法
精心整理求函数值域的 7 类题型和 16 种方法一、函数值域基本知识1．定义：在函数 yf (x) 中，与自变量 x 的值对应的因变量 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的会集） 。
2．确定函数的值域的原则①当函数yf ( x) 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的会集；②当函数yf ( x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；③当函数 y f ( x) 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法规唯一确定； ④当函数 yf ( x) 由实责问题给出时，函数的值域由问题的实质意义确定。
二、常有函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法规，不论采用什么方法球函数的值域均应试虑其定义域。
一般地，常有函数的值域：1.一次函数 y kx b k 0 的值域为 R.二次函数 y ax 2 bx c a 0 ，当 a 0 时的值域为 4ac b 2 , ，当 a 0 时的值域为 2.4a, 4acb 2 .，4a3.反比率函数 yk k 0 的值域为 yR y0 .x4.指数函数 y a x a 0且a 1 的值域为 y y 0 .5.对数函数 ylog a x a 0且a 1 的值域为 R.6.正，余弦函数的值域为 1,1 ，正，余切函数的值域为 R.三、求解函数值域的 7 种题型题型一：一次函数 y ax b a 0 的值域（最值）1、一次函数： yax b a0 当其定义域为 R ，其值域为 R ；2、一次函数 y ax b a 0 在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。
若区间的形式为, n 或 m, 等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二：二次函数 f (x)ax 2bx c(a 0) 的值域（最值）精心整理1、二次函数2、二次函数4ac b 2 0yaf (x)ax 2bx c(a0)，当其定义域为 R 时，其值域为 4a b 24ac 0y a4af (x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域 (最值 )第一判断其对称轴 xb与区间 m, n 的地址关系2a（1）若 bm, n ,则当 a 0 时， f (b ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；2a2a当 a 0时， f (b) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f ( n) 中较小者。
重难点2-1 函数值域的常见求法8大题型(解析版)
重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
高中数学复习专题-函数值域的求法
学习必备 欢迎下载专题四、函数及其性质（二）函数值域的求法1.求函数值域的数学思想：（ 1）利用函数单调性求函数值域：（ 2）利用函数图像求函数值域；注意： 求函数值域时要先关注函数定义域，时刻体现“定义域优先” 原则。
2.求函数值域的方法： 观察法、判别式法、双勾函数法、换元法、平方法、分离常数法、数形结合法、单调性法、构造法。
（ 1）观察法：适合于常见的基本函数。
例 1.已知函数 f (x)e x1，g( x)x 24x3 ，若 a 、bR ，且存在有f (a)g(b) ，则b 的取值范围为（）A. [22, 22]B. (22, 22)C.[1,3]D.(1,3)kx bdx 2exf的分式函数， 适用条件须函（ 2）判别式法：适合于形如y或 yax2bx cax 2 bx c数的定义域应为 R ，即 ax 2bx c0 ，所以b 2 4ac0 。
例 2. 求函数 y2x 2 x3x 2的值域。
x 1（ 3）双勾函数法：适合于高中阶段所有的分式函数，比判别式法具有更广泛的应用。
2例 3. 求函数 y2x11x7(0 x 1) 的值域。
x 3（ 4）换元法：适合于含有根式的函数。
例 4.求函数 y2x 4 1 x 的值域。
（ 5）平方法：适合于平方变形后具有简化效果的函数。
例 5.求函数 yx 3 5 x 的值域。
学习必备欢迎下载（ 6）数形结合法：利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域。
例 6.（2014 湖北 ）已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 1(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)，若对于任意 x ∈ R ， f( x －1)≤ f(x)恒成立，2则实数 a 的取值范围为（ ） A. －1，1 B.－ 6， 6 C. －1，1 D.－3， 36 6 6 6 3 3 3 3（ 7）单调性法：确定函数在定义域上的单调性，求出函数的值域。
函数值域的求法大全
函数值域的求法大全题型一求函数值：特别是分段函数求值1 2例 1 已知f (x) = -(x € R,且x 工一1) , g(x) = x + 2( x €R).1十—(1) 求f(2) , g(2)的值；(2) 求f [ g(3)]的值.” 1 1 1解(1) ••• f(x) = ,••• f(2)= =-.1 十x 1 +2 32又•/ g(x) = x 十 2,2•g(2) = 2 + 2= 6.2(2) ••• g(3) = 3 + 2= 11,1 1•-f[g(3)] = f(11) = 1—11 =悝.反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)] 的区别.—十1跟踪训练4已知函数f(x)= .—十2(1) 求f(2) ； (2)求f[f(1)].—十 1 2 + 1 3解(1)•••f(x)= X+2，•f(2)= 2十2 = 4.1十1 2(2) f(1)=乐=3, f[f(1)]5.已知函数f (x)=—十x— 1.1(1) 求f(2) , f(—)；z\.(2) 若f (—) = 5,求—的值.解(1) f (2) = 22十 2— 1 = 5,21 1 1 1 十———f ( ) = 2 十—1 = 2 -------.XXX —2f2 3十15=f(3)=厂=8.3十2⑵■/ f (x) = x2+ x— 1 = 5,「. x2+ x— 6= 0,•- —= 2，或—=—3.⑶4.函数f (x)对任意自然数—满足f (x十1) = f (x)十1, f (0) = 1,则f (5) = ______答案 6解析 f (1) = f (0) + 1 = 1 + 1 = 2, f (2) = f (1) + 1 = 3,f (3) = f (2) + 1 = 4, f (4) = f (3) + 1 = 5, f (5) = f (4) + 1 = 6.二、值域是函数y=f （x ）中y 的取值范围。
高中数学：求函数值域的方法十三种(一)
2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)
也
增
大
所
以
f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ，n 的取值范围，
避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a
1 2
即a
1 时， 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ；
当 a 1 2
即 a1 2
时，
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2
。
f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令：
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意：在本题中应排
除
f
(x)
0 ，因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4
故
y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min
函数定义域值域求法(全十一种)
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实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
(完整版)二次函数值域习题
完整版)二次函数值域习题完整版) 二次函数值域习题引言二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
在学习二次函数时，我们不仅需要了解其基本知识和性质，还需要掌握如何求解二次函数的值域。
为了帮助大家更好地掌握二次函数值域的求解方法，本文将提供一些习题，并给出详细解答。
希望通过这些习题的练习，大家能够加深对二次函数值域的理解，提高解题能力。
习题部分1.求解函数 $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$ 的值域。
2.求解函数 $g(x) = -x^2 + 4x - 3$ 的值域。
3.求解函数 $h(x) = x^2 + x + 1$ 的值域。
解答部分习题1给定函数 $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$，我们需要求解其值域。
首先，我们可以通过求导的方法来确定函数的开口方向。
求导得到 $f'(x) = 4x - 5$，令 $f'(x) = 0$ 可得 $x = \frac{5}{4}$。
由于二次函数的开口方向由二次项的系数决定，当二次项系数大于0时，开口方向向上；反之，开口方向向下。
因此，由于 $a = 2$，二次函数 $f(x)$ 的开口方向为向上。
接下来，我们需要找出二次函数 $f(x)$ 的顶点坐标。
通过求导可得知，顶点的横坐标为 $x = \frac{5}{4}$。
将其代入原函数$f(x)$ 可得 $f(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4})^2 - 5(\frac{5}{4}) + 3 = \frac{1}{8}$。
因此，二次函数 $f(x)$ 的顶点坐标为 $(\frac{5}{4}。
\frac{1}{8})$。
由于二次函数的值域与其顶点的纵坐标有关，因此我们可以得出二次函数 $f(x)$ 的值域为 $[\frac{1}{8}。
+\infty)$。
习题2给定函数 $g(x) = -x^2 + 4x - 3$，我们需要求解其值域。
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高中函数值域的12种求法一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3＋√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为[3，＋∞]。
点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二、反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝）三、配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。
例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]，∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。
（答案:值域为{y∣y≤3}）四、判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊）当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3当y＝2时,方程(＊)无解。
∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。
常适应于形如y＝(ax2＋bx＋c)/(dx2＋ex＋f)及y＝ax＋b±√(cx2＋dx＋e)的函数。
练习：求函数y＝1/(2x2－3x＋1)的值域。
（答案：值域为y≤－8或y＞0）五、最值法对于闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x),可求出y＝f(x)在区间[a，b]内的极值,并与边界值f(a)，f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域。
例5已知(2x2－x－3)/(3x2＋x＋1)≤0,且满足x＋y＝1,求函数z＝xy＋3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2＋x＋1＞0，上述分式不等式与不等式2x2－x－3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x＋y＝1，将y＝1－x代入z＝xy＋3x中，得z＝－x2＋4x(－1≤x≤3/2)，∴z＝－(x－2)2＋4且x∈[－1，3/2],函数z在区间[－1，3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x＝－1时，z＝－5；当x＝3/2时，z＝15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。
对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y＝x2＋3x－5的值域为（）（答案：D）。
A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）六、图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y＝∣x＋1∣＋√(x－2)2的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
－2x＋1 (x≤－1)解：原函数化为y＝ 3 (－1＜x≤2)2x－1 (x＞2)它的图象如图所示。
x显然函数值y≥3，所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。
利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。
是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七、单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y＝4x－√(1－3x)，(x≤/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)＝－√(1－3x)，y＝f(x)＋g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)＝4x，g(x)＝－√(1－3x )，(x≤1/3)，易知它们在定义域内为增函数，从而y＝f(x)＋g(x)＝4x－√(1－3x)在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)＋g(1/3)＝4/3，因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y＝3＋√(4－x) 的值域。
（答案：｛y|y≥3｝）八、换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y＝x－3＋√(2x＋1) 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t＝√(2x＋1)，(t≥0)则x＝1/2(t2－1)。
于是y＝1/2(t2－1)－3＋t＝1/2(t＋1)2－4≥1/2－4＝－7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习：求函数y＝√(x－1)－x的值域。
（答案：｛y|y≤－3/4｝）九、构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y ＝√(x 2＋4x ＋5)＋√(x 2－4x ＋8)的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)＝√[(x ＋2)2＋1]＋√[(2－x)2＋22] 如图，作一个AD ＝4，AB ＝3的矩形ABCD ，EF ∥AD 且BE ＝1，H 为EF 中点，K 为EF 上任意一点。
设HK ＝x ，则EK ＝2－x ，KF ＝2＋x ，AK ＝√[(2－x)2＋22]，KC ＝√[(x ＋2)2＋1]。
由三角形三边关系知，AK ＋KC ≥AC ＝5。
当A 、K 、C 三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y ≥5｝。
点评：对于形如函数y ＝√(x 2＋a)±√[(c －x)2＋b]（a ，b ，c 均为正数），均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。
这是数形结合思想的体现。
练习：求函数y ＝√(x 2＋9)＋√[(5－x)2＋4]的值域。
（答案：｛y|y ≥5√2｝）十、比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
C BDAF EK例4已知x，y∈R，且3x－4y－5＝0,求函数z＝x2＋y2的值域。
点拨：将条件方程3x－4y－5＝0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x－4y－5＝0变形得，(x－3)/4＝(y－1)/3＝k(k为参数)∴x＝3＋4k，y＝1＋3k，∴z＝x2＋y2＝(3＋4k)2＋(14＋3k)2＝(5k＋3)2＋1。
当k＝－3/5时，x＝3/5，y＝－4/5时，z min＝1。
函数的值域为｛z|z≥1｝。
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x，y∈R，且满足4x－y＝0，求函数f(x，y)＝2x2－y的值域。
（答案：｛f(x，y)|f(x，y)≥1｝）十一、利用多项式的除法例5求函数y＝(3x＋2)/(x＋1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y＝(3x＋2)/(x＋1)＝3－1/(x＋1)。
∵1/(x＋1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y＝(ax＋b)/(cx＋d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y＝(x2－1)/(x－1)(x≠1)的值域。
（答案：y≠2）十二、不等式法例6求函数y＝3x/(3x＋1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y＝l/3[x/(1－x)]，由对数函数的定义知x/(1－x)＞01－x≠0解得，0＜x＜1。
∴函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。
不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。
是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：求下列函数的值域1．y＝√(15－4x)＋2x－5；（｛y|y≤3｝）2．y＝2x/(2x－1)。
（y≠1）。