一类无理式函数值域的解法

数形结合在一类无理函数问题的应用
上海市青浦区教师进修学院 倪明
数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学．数形结合的思想方法是指概括数学问题的条件和结论之间的内在联系，分析它的代数意义（即数量关系），理解它的几何意义，使数量关系和空间图形巧妙和谐结合起来．充分利用这种结合可以恰当地改变问题或改变提问的角度，灵活地进行数与形关系的转化来解决问题．数形结合和转化可起到化抽象为直观的“以形辅数”作用和化直观为精细的“以数解形”作用．
在一维空间实现数形结合的桥梁是数轴，即实数与数轴上的点存在一一对应关系；在二维空间实现数形结合的桥梁是坐标系，即有序实数对（a ，b ）与坐标系中的点存在一一对应关系．本文试从“以形辅数”的角度解析一类无理函数问题． 一、理解形如)()(x g x f =（其中)(x g 是一次、二次函数）的函数图像
形如)()(x g x f =
（其中)(x g 是一次、二次函数）的函数是教学中经常碰到的函数类
型，在高一时我们习惯从对解析式的研究得到它们的系列性质，局限于用描点法得到它们的图像．在学习了解析几何后我们就可以了解它们具体的图像，同时也多了一条解决问题的途径．
（一）当)(x g 是一次函数时，可设)0()(≠+=a b ax x g 则将)()(x g x f =两边平方
可
得
)
0,0(2≥≠+=y a b
ax y 整
理
)0,0()
(2≥≠+=y a a
b
x a y 即函数图像是以)0,(a
b
-顶点的抛物线在y 轴上方（含顶点）的部分．以x y =例，具体图像如下．
（二）当)(x g 是二次函数时，可设)(2
++=c
bx ax x g 边平方可得)0,0(2
2
≥≠++=y a c
bx ax y 整理得a
b a
c a b x a y 44)2(2
22
-++=
)0,0(≥≠y a ，即函数图像是以)0,2(a
b
-
为顶点的圆、椭圆或双曲线在y 轴上方（含顶点）的部分．以函数322++=
x x y 、7422+-=x x y 、122++-=x x y 、
1422++-=x x y 为例，具体图像如下：
隐藏 g(x)的图象
（一）函数问题 例１（上海09高考理14）将函数2642--+=
x x y [])60(，
∈x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C .
θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为？
解
：由
2
642--+=x x y 得[])6,0(13)2()3(2
2
∈=++-x y x ，它的图像是以)2,3(-心，13为半径的一段圆弧，设过原点且与曲线C kx y =，当0=θ时，231=
-
=OC
k k ，此时直线的倾斜角为y 轴重合时，曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图像，再逆时针旋转时，曲线不
再是一个函数的图像，旋转角为β-
90，则23)90tan(=
-β
，即2
3arctan =θ． （二）方程问题
方程和不等式可以看成函数的特定状态，是情理中的事．
例2 若方程01)1(2
=+++x a x 有实数解，实数a 范围．
解一：用解无理方程的一般方法得（1）0=a 数解0=x ；（2）0≠a 时，两边平022)1(2222=++-a x a x a ，①012=-a 即=a 1-=x ，经检验其中1-=a 时无实数解；②012≠-a T'
根就比较困难．解二：整理方程得
a
x
x -
=++1)1(2将方程有实数解看成函数1)1(2++=x y 和函数a
x
y -
=
法一可得21≤<-a ．
（三）不等式问题
例3若不等式a x x +>-228恒成立，求实数a 解：将不等式两边分别构造为函数(282
≥-=y x y ,a x y +=（如图）当直线系位于半椭圆下方时，符合题意，例4若关于x 的不等式
0)lg()1lg(2
1
2>+--b ax x )2
1
,32(-，求实数a ，b 的值． 解析：将不等式0)l g ()1l g (2
1
2>+--b ax x 等价化012>+>-b ax x ，不等式两边分别构造)11(12
<<--=x x y 和0,>+=y b ax y 3
3和)2
3
,
21(，进而可求得直线方程中a ，b 的值． 三、构造几何意义的量，利用“以形助数”解一类无理函数值域问题 （一）形如)0()(<+++=
ac d cx b ax x f 其中
例5（1） 求函数x x y -++=54的值域．
解：令4+=
x s ，x t -=5
则9)5()4(2
222=-++=+x x t s ，0,0≥≥t s
t s y +=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标当直线t s y +=与圆弧92
2=+t s 0,0≥≥t s 取值范围．
在平面直角坐标sOt 中，0=-+y t s 表示斜率为1-
T'
)3,0()0,3(、，当23=y 时直线与圆弧相切，所以函数的值域是[]
23,3．
（2） 求函数x x y -++=642的值域．
解：令42+=
x s ，x t -=6
则16)6(2)42(22
222=-++=+x x t s ，
,0≥t s t s y +=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标sOt 直线t s y +=与椭圆弧
18
162
2=+t s 0,0≥≥t s 取值范围．
在平面直角坐标sOt 中，0=-+y t s 表示斜率为1-的直线系．当22=y 时直线过上顶点)22,0(，当62=y 时直线与椭圆弧相切，所以函数的值域是[]
62,22． （二）形如)0()(>+-+=
ac d cx b ax x f 其中 例6 （1）求函数54--+=x x y 的值域．
解：令4+=
x s ，5-=x t
则9)5()4(2
222=--+=-x x t s ，0,0≥≥t s
t s y -=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标sOt 中，当直线t s y -=与双曲线的
19
92
2=-t s 0,0≥≥t s 在第一象限图像有公共点时的取值范围． 在平面直角坐标sOt 中，0=--y t s 表示斜率为1系．当3-=y 时直线过右顶点)0,3(，当0=y 线的渐近线重合，所以函数的值域是[)0,3-． （2） 求函数112+--=
x x y 的值域（略）
说明：形如)0()(>+++=
ac d cx b ax x f 其中和形)0()(<+-+=ac d cx b ax x f 其中 以上利用有序实数对（a ，b ）与坐标系中的点存在的一一对应关系介绍了“以形辅数”
在一类无理函数问题中的应用，考虑到实数对的表示还有多种形式：用三角表示
)sin ,cos (θθr r 、向量的坐标表示),(y x 和复数的坐标表示（即用复数的实部与虚部作坐
标表示点），所以这些题的解法还有很多，在这里就不一一赘述了．值得一提的是，在教与学中要加强数和形的转化意识，常见的有函数式⇔函数图像、二元方程⇔曲线方程、向量模复数模⇔坐标平面上两点之间距离等．
数形结合是重要的数学思想和常用的数学方法，本文从“以形辅数”的角度解析一类无理函数问题，当然，在由“数”到“形”的转化中还要关注转化的精确性，这样才能更好地体现数学抽象化和形式化的魅力。

参考文献：
［2］ 林玉粦．用数形结合求函数的最值［Ｊ］．福建中学数学，2001，4：24－25． ［3］ 陈立强．一类无理式函数值域问题的统一解法［Ｊ］．数学教学，2012，10：36－37． ［4］ 朱恩九．“以形辅数”的解题途径［Ｊ］．数学通报，1994，4：33－35．。