判别式法求函数值域
求函数值域的十种常用方法
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月下午 3时12 分20.12. 1215:1 2December 12, 2020
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月12日 星期六 3时12 分31秒1 5:12:31 12 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。下午 3时12 分31秒 下午3时 12分15 :12:312 0.12.12
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求函数值域的十 种常用方法
一：定义域法
二：函数单调性法
三：反函数法
四：换元法
五:分离常数法
六：判别式法
七：三角换元法
九：数形结合法
十导数法：
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, Dec者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 220.12. 1215:1 2:3115: 12:31D ecembe r 12, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月12 日星期 六下午 3时12 分31秒1 5:12:31 20.12.1 2
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。15:1 2:3115: 12:3115 :1212/ 12/2020 3:12:31 PM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 215:12: 3115:1 2Dec-20 12-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 15:12:3 115:12: 3115:1 2Saturday, December 12, 2020
函数值域求法(换元法,判别式法和万能K法)
四类换元法1、一般换元；2、双换元；2、三角换元； 4、整体换元。
一、一般换元例1、求函数1--=x x y 的值域。
二、三角换元两个重要公式 1cos sin 22=+x xx x 22cos 1tan 1=+（常出现在竞赛中） 例2、求函数22x x y -+=例3、（2011高中联赛）函数11)(2-+=x x x f 的值域为_____________三、双换元例4、求函数31++-=x x y 的值域例5、求函数x x y -+-=363的值域。
四、整体换元例6、求函数5)4)(3)(2)(1(+++++=x x x x y 的值域。
判别式法/万能K 法原理：方程有解：一、分式型的值域形如fex dx c bx ax y ++++=22（d a ,不同时为零）的二次分式函数，可转化成如0)()()(2=++y c x y B x y A 的形式，视为关于x 的一元二次方程，对y 使用判别式0≥∆，可得y 的取值范围。
例1、求函数12222++-=x x x y 的值域。
例2、求函数122+++=x x xx y 的值域例3、求函数xx x x y ++-=2222在)2,2(-上的值域/最大、最小值。
例4、若函数18log )(223+++=x n x mx x f 的定义域为R ，值域为]2,0[，求n m ,的值。
二、可化为分式型的值域 形如2222fyexy dx cy bxy ax M ++++=（d a ,不同时为零）的式子，分子分母同除2y 齐次化后得到f yx e y x d c y x b y x a M ++++=)()()()(22，令t y x =，则化为一元的二次型分式f et dt c bt at M ++++=22。
例5、设+∈R y x ,，则代数式y x y y x x 222+++的最大值为______________.例6、若对任意非零实数y x ,不等式xy x y x a 4)5(222+≤+恒成立，则a 的最大值为___________（两种方法）例7、若R y x ∈,，求561045),(22++-+-=y x y xy x y x f 最小值。
重难点2-1-函数值域的常见求法8大题型(原卷版)
重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
例析用判别式法求分式函数值域之困惑
百花园地新课程NEW CURRICULUM判别式法是求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f（a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域的常用方法。
但是很多学生在学习和运用判别式法的过程中，发现运用判别式法求值域时，有时候是对的，有时候又是错的，其中的原因究竟为何并不清楚，后来干脆不用判别式法而改用其他方法。
其实只要你掌握了判别式法的理论依据及易错点，一般来说，求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f（a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域还是比较方便的。
下面就本人对判别式法的一些理解，来分析一下为什么用判别式法有时是对的，有时候又是错的。
首先，让我们通过一道例题来看一下，判别式法求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f （a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域的一般步骤及其理论依据。
例1：求函数y =x 2+x -1x 2+x -6的值域。
解：由y =x 2+x -1x 2+x -6可得（y -1）x 2+（y -1）x -6y +1=0★10当y -1=0即y =1时，★式可化为-5=0显然不成立。
20当y -1≠0即y ≠1时，★式为关于x 的一元二次方程Δ=（y -1）2-4（y -1）（1-6y ）≥0得y ≥1或y ≤15由10、20可得y ∈（-∞，15）∪（1，+∞）即所求函数的值域为y ∈（-∞，15）∪（1，+∞）。
例2：求函数y =2x 2-x +1x 2+2x -3的值域。
解：由y =2x 2-x +1x 2+2x -3可得（y -2）x 2+（2y +1）x -3y -1=0★10当y -2=0即y =2时，★式可化为5x -7=0得x =75因为函数y =2x 2-x +1x 2+2x -3的定义域为（-∞，-3）∪（-3，1）（1，+∞）而x =75∈（-∞，-3）∪（-3，1）（1，+∞）所以，y =2符合题意。
20当y -2≠0即y ≠2时，★式为关于x 的一元二次方程Δ=（2y +1）2+4（y -2）（3y+1）≥0得y ≥2+11√4或y ≤2-11√4由10、20可得y ≥2+11√4或y ≤2-11√4即所求函数的值域为(-∞,2-11√4］∪［2+11√4，+∞）注：由上述例1和例2可以看出，用判别式法求值域大致可分为四步：1.将分式形如y =ax 2+bx +c dx 2+ex+f （a 2+d 2≠0）的分式型二次函数转化为关于x 的整式方程（dy-a ）x 2+（ye-b ）x +yf -c =0★。
抽象函数求定义域 判别式法求值域万能模板
一．抽象函数的定义域类型及求法 1、已知 f ( x) 的定义域，求 f g ( x) 的定义域 其解法为：若 f ( x) 的定义域为 a x b ，则 f g ( x) 中 a g ( x) b 从中解得 x 得 取值范围即为 f g ( x) 的定义域。 例 10：已知函数 f ( x) 的定义域为 - 1,5，求 f ( x 5) 的定义域
例 20：求函数 y
x 1 的值域 2x x 1
2
2 若函数的定义域不是实数域 R ，但是分子与分母没有公因式（即不同时为 0），
直接应用 0 例 21：求函数 y
x 1 的值域 x x6
2
3 若函数的定义域不是实数域 R ，且分子与分母有公因式 x x0 ，则先约分，最
2、已知 f g ( x) 的定义域，求 f ( x) 的定义域 其解法为：若 f g ( x) 的定义域为 m x n ，则由 m x n 确定 g ( x) 的值域即为
f ( x) 的定义域。
例 11：已知函数 f ( x 2 2 x 2) 定义域为 0， 3 ，求函数 f ( x) 的定义域
3、已知 f g ( x) 的定义域，求 f h( x) 的定义域 其解法是：可先由 f g ( x) 定义域求得 f ( x) 的定义域，再由 f ( x) 的定义域求得
f h( x) 的定义域。 1 例 12：若函数 f ( x 1) 的定义域为 - ,2 ，求 f ( x 2 ) 的定义域 2
变式训练：求下列函[1,2], 求函数y f ( x 2 2)的定义域； (2) 已知函数 y f (cos x)的定义域为（0， ），求函数 y f ( x)的定义域； 2 (3) 已知函数 y f (2 x 1)的定义域为(0,1], 求函数y f (lg x)的定义域 .
用判别式法求函数值域的方法
用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解:∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R,将原函数等价变形为(2y-1)x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上:关于．．x ．的方程．．．(2．．y ．-．1．)．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．根不为．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正,本人认为,这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．,同时也暴露出作者的思维过程,不能略去。
思考之二:对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法就是要验证△=0时对应的y 值,该文中就是这样的说明的:由于函数变形为方程时不就是等价转化,故在考虑判别式的同时,还需对△=0进行检验,若对应的自变量在函数的定义域内,则y 值在值域内,否则舍去。
但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验,得出正确结果,这就使读者很困惑,究竟什么情况要检验,什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法,这已经不就是判别式法的范围之内,不在讨论之列,第二种处理方法仍然用判别式法,只不过在例1的解法基础上稍加改动即可,例3求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．根不为．．．2．且不为．．．-．3．(1)当y=1时,代入方程求得x= -3,而x ≠-3,因此y ≠1(2)当y ≠1时关于x 的方程(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3为该方程的根,x=2不就是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余都符合题意,因此只需△≠0,即可得出即可得出y ≠52 由上可知:原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况,例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解:由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3与-1(1)当y=1时,x= -4,∴y 可以取1(2)当y ≠1时,关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程,显然可以验证x=3与x= -1不就是该方程的解因此只需△≥0即可,以下过程略思考之三:该方法的适用范围不仅适用于分式形式,对于二次函数．．．．同样适用, 如:求函数y=x 2-3x+5的值域解:由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即(-3)2-4(5-y)≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习: 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
用判别式法求函数值域的方法
用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解：∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R ，将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．2．y ．-．1．）．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。
思考之二：对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法是要验证△=0时对应的y 值，该文中是这样的说明的：由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则y 值在值域内，否则舍去。
但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可，例3 求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．（1）当y=1时，代入方程求得x= -3,而x ≠-3，因此y ≠1（2）当y ≠1时关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验证x=-3为该方程的根，x=2不是该方程的根，因此只有两个根都为-3时不满足题意，其余都符合题意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y ≠52 由上可知：原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况，例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解：由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3和-1（1）当y=1时，x= -4，∴y 可以取1（2）当y ≠1时，关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程， 显然可以验证x=3和x= -1不是该方程的解因此只需△≥0即可，以下过程略思考之三：该方法的适用范围不仅适用于分式形式，对于二次函数．．．．同样适用， 如：求函数y=x 2-3x+5的值域解：由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即（-3）2-4（5-y ）≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习： 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
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判别式法求函数值域 [6]
把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =，通过方程有实根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，这种方法叫做判别法。
形如
2111122222
(,0)a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为的函数常用此法。
此类问题分为两大类：一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式0∆≥解得，但要注意判别式∆中二次项系数为零和不为零两种情况；另一类为分子和分母中有公因式，约去因式回到上述方法解决。
但值得注意的是函数的定义域问题。
例1、求函数22y=3
x x +的值域。
分析：函数22y=3x x +形如2111122222
(,0)a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为，且定义域为全休实数，因此可用判别式法求解。
解：由22y=3
x x + 得 2320yx y x +-= 当y = 0 时， x = 0
当0y ≠时，由0∆≥ 得24120y -≥
∴33
y -≤≤
∴函数22y=3x x +的值域为|33y y ⎧⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩
⎭。
例2、求函数22(1)(2)(1)
x y x x +=--的值域。
分析：察看函数22(1)(2)(1)x y x x +=
--可知，分子和分母存在公因式1x +，因为分母不为0，则有10x +≠，因此可以分子和分母同时约去公因式1x +。
从而原函数就等价为2(2)(1)
y x x =--，再用判别式法去解。
解：由22(1)(2)(1)x y x x +=--=2(2)(1)x x --=2232
x x -+ 得
23220yx yx y -+-= ∵当0y =时，-2 = 0 ，不成立 当0y ≠时，由0∆≥，得2(3)4(22)y y y ---=280y y +≥ ∴8y ≤-或0y ≥ 由于0y ≠ ∴函数22(1)(2)(1)x y x x +=--的值域为{}|80y y y ≤->或。