80有术有变则通——一类无理函数值域的求法探究
教育部参赛_一类无理函数值域的解法探究_于小莉
一类无理函数值域的解法探究赵韵 指导老师 嵇伟民 （淮阴师范学院数学系 江苏淮安 160501092）摘要：本文主要探索型如，其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域的新解法，主要有构造三角函数法、构造圆的方法、构造对偶函数法、构造向量法，并由此探索出求此类无理函数值域的一般性结论。
关键词：无理函数 值域 三角函数 圆 对偶函数 向量 一般性结论有这样一道例题：求的值域。
在一般情况下，求函数的值域，常用的方法有观察法、图像法、判别式法等等，但对于求型如其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域，就有很多的限制和不妥。
对此，我们来探索其他的一些新的方法和手段。
一、几种解法（1）构造三角函数法型如其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0的无理函数，其式子可化为 ⎛⎝，这时，可利用三角函数代换，设=sin θ，=cos θ，有y=m sin θ+n cos θ），θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，利用“合二为一”的思想，y= )θϕ⎤+⎦，其中tan ϕ=nm，可简记为y=A sin ()θϕ+,其中A=0<θ+ϕ<π，所以，当θ=0时，y m in =A sin θ，当θ=2π时，y m ax =A sin()2πϕ+，即y m ax =A cos ϕ。
从而，型如其中r (x) + s (x)= c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域为y ∈[]sin ,cos A A ϕϕ，其中，A=tan ϕ=n m。
（2）构造对偶函数法对于型如y=m r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数，在满足其定义域[],x a b ∈的前提下，构造对偶函数 y '=,则有2'239y y+=，判断其在定义域上的单调性，可知其在定义域上为单调递增函数，故可分别得到其最大值和最小值为y m ax ，y m in 。
一类无理函数值域问题的探讨
关键词 ：无理 函数 ； 值域 ； 定义域； 向量 ； 换元法
中图 分 类 号 ：０１４ ７ 文 献标 识 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１０ ４ ６ ２ １ ）３— １４— ２ ０７— ２０（０ ２ ０ ０ ３ ０
在教学过程 中， 同学问到这样一类求值域 的问题 ， ｙ ＝ ／ ４＋ ￣ ５—３ ， 有 如 ｘ一 ／ ／ １ ｘ ｙ＝
情况讨 论 。
（ ）当 ０ｃ １ ， 同号时 ， 函数在其定义域内为单调函数 ， 因此根据函数的单调性直接求值域 。
（ ）当 口 ｃ 号时 ， ２ ，异 下面用 两种 方法 进行探 究 ： 方法 一 ： 造 向量 。 构 利用 向量 的数量 积
例 １ 求 Ｙ＝ 。 ＋ｂ＋ ｖｃ ／ ＋ｄ 口・ （ ｃ＜０ ）的值域 。 解 Ｙ ＝ 口 ＋ｂ ＋ ｃ ＋ｄ 可 化 为 ｙ ＝ ， ￣ ＋Ｐ ＋ ／
ＶＯ ． ８ ＮＯ． Ｉ１ ３
一
类 无 理 函数 值 域 问题 的探 讨
施 利 国
（ 庆 市 第 二 中 学 ， 徽 安 庆 ２６ ０ ） 安 安 ４ ０ ０
摘
要 ：双根号类无理函数的值域 问题是教学过程中学生比较棘手 的问题 ， 在界定该 函数 的定义域的基础上 ， 用 采
向量的数量 积或三角 函数换元法解题 ， 既可减少运算量、 便于学生理解与掌握 ， 同时也是促进换 位思维、 提高学生数学 素
， 一
解 不 妨设 口＞０ ｃ＜０ 函数 定义 域 为 ［ ， ， 一ｂ
ｄ］设 ＝一 ｂ＋（ ＋ ）ｉ 一 ｓ ｎ
， ，
∈０ ］ ［芋 ， ，
－ ，
＋
＝
ｓ＋ ｉ ｎ Ｏ
ｃ ｏ ｓ
一类无理函数的值域定理及应用
象 （ 图 ２ ，由 图 如 ）
可见 ， 当 ≤ ７ ” 一
时 ， Ｙｌ — Ｙ２ Ｅ
：
“卅． ｒ
图 １
［ ＋ 。 ） 即 Ｙ—Ｙ 一 Ｙ ＋ ｋ Ｅ ［ ７ 一志 。， １ ２ ｍ 志（ 一 ” ， Ｏ ） 当 ≥ ７ ）＋ ＜ ； Ｄ ＋ 时 ， ｌ Ｙ Ｅ ［ ｎ ＋ Ｙ— ２ ｋ ， ｏ ， ｏ） 即 — １ ， ７ ［ （ 一 ２ Ｅ 志 ７ ＋志 ＋ ） ＋ ∞ ） ， ． 因此 该 函数 的值 域 为 ［（ 志， 一 ） ＋ Ｏ ） ， ＜ Ｄ
维普资讯
２０ ０ ２年 第 ８期
中 学 数 学 月 刊
・ ７・ １
一
类 无 理 函 数 的 值 域 定 理 及 应 用 ‘
金 兔 （ 江省 诸 暨市 天 马 实验 学校 浙 ３１０ ） １ ８ ０
文 ［ ］ ２ １ ，［ ］介 绍 了 形 如 ｙ — ａ
Ｊ（ ｘ－ｍ）＋ ＋ ｂ 的 函 数 的 最 值 的 求 法 ， 。 。 ｘ
角 坐 标 系 中 分 别 作
出 函 数 Ｙ 一
＼
并 总 结 出该 类 函 数 的最 值 定 理 ， ［ ］ 绍 了 文 ３介
一
（ 一７ 。 ） 一 。 和
个 ２０ ０ １年 全 国 高 中 数 学 联 赛 题 （ 例 １ 见 ）
Ｙ 一ｋ ７ ２ （ 一 ） 图 的
Ｄ
的 几 何 解 法 ， 者 深 受 启 发 ． 文 旨在 总 结 一 笔 本 类 在 各 级 数 学 竞 赛 中 经 常 涉 及 的 函 数 Ｙ—ａ Ｊ（ ｚ－ｍ）一 。 。 ＋ 的 值 域 定 理 ， 举 例 说 并
明其应用．
１ 函 数 值 域 定 义
一类无理函数值域求法探究
ｓｎ量 ； ＋） ｎ （ ３ ｍ ＼ａ 号 ＋ ， ｌ十 ） 号 ａ［号 ｕ ，） ∈０ ）［ ， ， 当 ≥２时 ， Ｙ ＞０ 则 ‘ ， 函数 Ｙ在 ［ ， 。 上 是增 函数 ． 是 ≥ ２ ＋。 ） 于 号 ４ ［，）［ ， ＋ ｅ－号 ｕ ） ？ ， ｆ ２ ＝２ 而当 一 ＋ｏ 时 ， 十Ｏ ， （） ， 。 一 ０ １ａ号 号 或 １ （ 十 ）０ ≤ｎ ＋ ）一 专 专 ＜， ｔ （ ≤ ∈［ ， 。 ． ２ ＋ｏ ） 当 ≤１时 ， Ｙ ＜０ 则 ， 可 ２ １ 号故 求 域 得 ／ 或 ≤ ＜ ，所 值 为 ＞
一
２ １
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｛ ≥ ， ｊ ，
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ｒ
一
号— 导 ｆ＋， ｒ
当 １ ｊ ｛一 ， ≤ 时，＝ ｆ ，
・
目
ｊ ２２ ． ， Ｔｙ ＝＿ ２
【≥ ｊ ， ， ②
（ 一ｎ ｂ，１ ） （ 一 ｎ中至少有 一个 不 大于 １ ） （ 一ｂ １ ）
４。
丽
＋ 、
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证 厂 明ｖ
同 理
＝ ｎ号 号 √（ ） ６ ＋ ＋ ≥＋ ， ｎ号 丽 ≥十 ， ｃ号
证明
１
，
假设 （ 一“） ，１ ） ，１ ） １ ６ （ —６ ｃ （ 一ｃ “均大于
结合 图形可 以看 出 ：
１ 进行代换 ．
当线 的截 寻 足 一 １一 直 Ｌ 纵 距一 满 或 ３ 号 寻 ０， Ｌ 曲 ｃ 公 点 时 ≤一 ＜时 线 与 线 有 共 ． 直 此
无理函数不定积分求解技巧的探究
无理函数不定积分求解技巧的探究无理函数不定积分求解是微积分中的重要内容，也是学习者较为困难的部分之一。
无理函数的不定积分求解需要掌握一定的技巧和方法，才能较为轻松地解决问题。
本文将从无理函数不定积分概念入手，探究求解技巧，并给出一些解题方法和实际例题，帮助读者更好地理解和掌握无理函数不定积分的求解方法。
一、无理函数不定积分的概念所谓无理函数不定积分，就是指含有无理函数的函数的不定积分。
无理函数是指分子或分母含有开方、平方根、立方根等形式的函数。
y = √(x + 1)、y = 1/(x^2 + 1)等就是无理函数。
在求解这类函数的不定积分时，需要注意一些技巧和方法。
1. 恰当的代换在求解无理函数不定积分时，恰当的代换是非常重要的一步。
通常可以根据被积式的形式选择合适的代换方法。
常用的代换包括：倒代换、三角代换、根号下代换等。
对于形如∫(x√(x^2 + 2))dx的不定积分，可以进行代换u = x^2 + 2，从而化简被积式，然后进行求解。
2. 分部积分法在求解无理函数不定积分时，有时候可以采用分部积分法。
分部积分法是求不定积分的一种方法，其基本原理是将被积式进行分解，然后利用分部积分的公式求解。
通过多次分部积分，可以将复杂的被积式化为简单的形式进行求解。
3. 有理化有理化是指将无理函数通过一定的运算，化为有理函数的形式。
在求解无理函数不定积分时，可以通过有理化的方法，将无理函数的被积式化为有理函数的形式，进而采用常规的积分方法求解。
4. 注意积分限在进行无理函数不定积分的求解时，需要注意积分限的改变。
有时候可以通过对积分限的调整，使得被积式的形式更加简单，进而容易求解。
三、实际例题解析1. 求解∫(2x/(x^2 + 4))dx对于这个无理函数不定积分，我们可以采用简单的有理化方法。
首先对分母进行化简：x^2 + 4 = (x + 2i)(x - 2i)，然后引入i^2 = -1，得到x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i) = (x - 2i)(x + 2i)。
一类无理函数最大值求法-最新教育文档
一类无理函数最大值求法提出问题 求()f x =方法1.求导法.通性通法,求函数最值大多可以通过求导研究函数单调性,极值来研究。
'()f x =+'()0f x =时1x =[0,1],()[1,4],()x f x x f x ∈∈递增；递减,所以()f x 的最大值在1x =时取得,最大值为(1)f =4。
这是解决函数最值问题最常见的方法,但求导过程以及求极值点时计算量大。
方法2.三角换元把代数问题转化为三角函数最值问题,利用辅助角公式。
令24cos ,[0,]2x πθθ=∈,则函数可化为y =2cos θθ=+,因为[0,]2πθ∈所以2cos 4sin()6y πθθθ=+=+,当3πθ=时取最大值,值为4,即1x =时取得。
方法3.数形结合+换元(1) 令μ=，ν=,μν的关系22312μν+=，即()2210,0124μνμν+=≥≥所以点（,μν）的轨迹为第一象限的椭圆。
问题转化为z u ν=+，z νμ=-+与椭圆相关的线性规划问题，斜率为-1的直线与椭圆在第一象限相切时截距最大，即z 最大，联立直线与椭圆可得2242120z z νν-+-=，222416(12)1612120z z z ∆=--=⨯-=，所以4z =即最大值为4。
(2) 在（1）的基础上三角换元，即利用参数方程,([0,]22sin πμθθθνθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩为参数，），2sin z μνθθ=+=+=4sin()6πθ+所以最大值为4。
(3)令μ=，ν=()2240,0μνμν+=≥≥此时（,μν）的轨迹为第一象限的圆，令z ν=+，z ν=+，与圆相关的线性规划问题，斜率为象限相切时截距最大，即z最大，即2=,所以最大值为4。
方法4.向量法（1） 函数可看作是向量a =（）与向量b =（1,1）的数量积，即a b ⋅最大，因为2b =所以只需a 在b 的正摄影数量最大时a b ⋅最大，将向量a 的始点平移到原点，终点的轨迹方程为()2210,0124μνμν+=≥≥，做一个斜率为-1的直线与椭圆在第一象限相切，切点即为a 的终点， 设直线方程为z νμ=-+，联立椭圆可得2242120z z νν-+-=，222416(12)1612120z z z ∆=--=⨯-=，所以4z =，此时a b ⋅=442⋅=。
一类无理式函数值域的解法
数形结合在一类无理函数问题的应用上海市青浦区教师进修学院 倪明数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学．数形结合的思想方法是指概括数学问题的条件和结论之间的内在联系，分析它的代数意义（即数量关系），理解它的几何意义，使数量关系和空间图形巧妙和谐结合起来．充分利用这种结合可以恰当地改变问题或改变提问的角度，灵活地进行数与形关系的转化来解决问题．数形结合和转化可起到化抽象为直观的“以形辅数”作用和化直观为精细的“以数解形”作用．在一维空间实现数形结合的桥梁是数轴，即实数与数轴上的点存在一一对应关系；在二维空间实现数形结合的桥梁是坐标系，即有序实数对（a ，b ）与坐标系中的点存在一一对应关系．本文试从“以形辅数”的角度解析一类无理函数问题． 一、理解形如)()(x g x f =（其中)(x g 是一次、二次函数）的函数图像形如)()(x g x f =（其中)(x g 是一次、二次函数）的函数是教学中经常碰到的函数类型，在高一时我们习惯从对解析式的研究得到它们的系列性质，局限于用描点法得到它们的图像．在学习了解析几何后我们就可以了解它们具体的图像，同时也多了一条解决问题的途径．（一）当)(x g 是一次函数时，可设)0()(≠+=a b ax x g 则将)()(x g x f =两边平方可得)0,0(2≥≠+=y a bax y 整理)0,0()(2≥≠+=y a abx a y 即函数图像是以)0,(ab-顶点的抛物线在y 轴上方（含顶点）的部分．以x y =例，具体图像如下．（二）当)(x g 是二次函数时，可设)(2++=cbx ax x g 边平方可得)0,0(22≥≠++=y a cbx ax y 整理得ab ac a b x a y 44)2(222-++=)0,0(≥≠y a ，即函数图像是以)0,2(ab-为顶点的圆、椭圆或双曲线在y 轴上方（含顶点）的部分．以函数322++=x x y 、7422+-=x x y 、122++-=x x y 、1422++-=x x y 为例，具体图像如下：隐藏 g(x)的图象（一）函数问题 例１（上海09高考理14）将函数2642--+=x x y [])60(，∈x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C .θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为？解：由2642--+=x x y 得[])6,0(13)2()3(22∈=++-x y x ，它的图像是以)2,3(-心，13为半径的一段圆弧，设过原点且与曲线C kx y =，当0=θ时，231=-=OCk k ，此时直线的倾斜角为y 轴重合时，曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图像，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图像，旋转角为β-90，则23)90tan(=-β，即23arctan =θ． （二）方程问题方程和不等式可以看成函数的特定状态，是情理中的事．例2 若方程01)1(2=+++x a x 有实数解，实数a 范围．解一：用解无理方程的一般方法得（1）0=a 数解0=x ；（2）0≠a 时，两边平022)1(2222=++-a x a x a ，①012=-a 即=a 1-=x ，经检验其中1-=a 时无实数解；②012≠-a T'根就比较困难．解二：整理方程得axx -=++1)1(2将方程有实数解看成函数1)1(2++=x y 和函数axy -=法一可得21≤<-a ．（三）不等式问题例3若不等式a x x +>-228恒成立，求实数a 解：将不等式两边分别构造为函数(282≥-=y x y ,a x y +=（如图）当直线系位于半椭圆下方时，符合题意，例4若关于x 的不等式0)lg()1lg(212>+--b ax x )21,32(-，求实数a ，b 的值． 解析：将不等式0)l g ()1l g (212>+--b ax x 等价化012>+>-b ax x ，不等式两边分别构造)11(12<<--=x x y 和0,>+=y b ax y 33和)23,21(，进而可求得直线方程中a ，b 的值． 三、构造几何意义的量，利用“以形助数”解一类无理函数值域问题 （一）形如)0()(<+++=ac d cx b ax x f 其中例5（1） 求函数x x y -++=54的值域．解：令4+=x s ，x t -=5则9)5()4(2222=-++=+x x t s ，0,0≥≥t st s y +=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标当直线t s y +=与圆弧922=+t s 0,0≥≥t s 取值范围．在平面直角坐标sOt 中，0=-+y t s 表示斜率为1-T')3,0()0,3(、，当23=y 时直线与圆弧相切，所以函数的值域是[]23,3．（2） 求函数x x y -++=642的值域．解：令42+=x s ，x t -=6则16)6(2)42(22222=-++=+x x t s ，,0≥t s t s y +=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标sOt 直线t s y +=与椭圆弧181622=+t s 0,0≥≥t s 取值范围．在平面直角坐标sOt 中，0=-+y t s 表示斜率为1-的直线系．当22=y 时直线过上顶点)22,0(，当62=y 时直线与椭圆弧相切，所以函数的值域是[]62,22． （二）形如)0()(>+-+=ac d cx b ax x f 其中 例6 （1）求函数54--+=x x y 的值域．解：令4+=x s ，5-=x t则9)5()4(2222=--+=-x x t s ，0,0≥≥t st s y -=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标sOt 中，当直线t s y -=与双曲线的19922=-t s 0,0≥≥t s 在第一象限图像有公共点时的取值范围． 在平面直角坐标sOt 中，0=--y t s 表示斜率为1系．当3-=y 时直线过右顶点)0,3(，当0=y 线的渐近线重合，所以函数的值域是[)0,3-． （2） 求函数112+--=x x y 的值域（略）说明：形如)0()(>+++=ac d cx b ax x f 其中和形)0()(<+-+=ac d cx b ax x f 其中 以上利用有序实数对（a ，b ）与坐标系中的点存在的一一对应关系介绍了“以形辅数”在一类无理函数问题中的应用，考虑到实数对的表示还有多种形式：用三角表示)sin ,cos (θθr r 、向量的坐标表示),(y x 和复数的坐标表示（即用复数的实部与虚部作坐标表示点），所以这些题的解法还有很多，在这里就不一一赘述了．值得一提的是，在教与学中要加强数和形的转化意识，常见的有函数式⇔函数图像、二元方程⇔曲线方程、向量模复数模⇔坐标平面上两点之间距离等．数形结合是重要的数学思想和常用的数学方法，本文从“以形辅数”的角度解析一类无理函数问题，当然，在由“数”到“形”的转化中还要关注转化的精确性，这样才能更好地体现数学抽象化和形式化的魅力。
一道无理函数问题的解法探究
一道无理函数问题的解法探究341400江西省南康中学 黄邦活问题:已知函数y =M ,最小值m ,则m M的值为( ) A ．14 B ．12C．2 D．2 解法探究：（1）从整体结构上来看易知0y >，且是无理式，所以可以考虑先将两边平方，转化为求二次函数在给定区间上的最值。
即：2(1)(3)y x x =-+++4431)x =+=+-≤≤ 所以当1x =-时，2max 8y=，所以max y =； 当3x =-或1时，2min 4y =，所以min 2y =。
（2）考虑将分式有理化，利用函数的单调性来求解，即：y ==(31)x -≤≤，因为函数1y =[3,1]-上是减函数且10y ≥，函数1y =在[3,1]-上也是减函数且20y ≥，但1y 与2y 不同时为0。
所以3y =[3,1]-上是减函数，且30y >。
所以y =即y =[3,1]-上是增函数。
故当1x =-时，2max8y =，所以max y =； 当3x =-或1时，2min 4y =，所以min 2y =。
（3）再整体联系上来看，注意到224+=，因此，可以考虑运用三角2cos 2sin θθ==，且[0,]2πθ∈所以2cos 2sin )4y πθθθ=+=+，因为[0,]2πθ∈，所以3[,]444πππθ+∈sin()14πθ≤+≤所以)14πθ≤+≤所以2y ≤≤。
变式引伸1：求函数y =?变式引伸2：如何求函数y = 等等.。
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设｛皇淼，∑＆＿ 则｛蛊刍，原题转化习雨
，解．——
一十， 例４求ｙ一√再忑一鲁的值域．
例３求ｙ＝√≯－－２ｘ一／，一红一３的值域。
为在坐标系ｍＯｒｔ中求直线ｊ，＝ ｌ＼＼＼ ｌ 研＋行与双曲线ｍ２一玎２—３在 飞、 第四象限弧（包括轴）有公共点 啊３ 时，直线在刀轴上的截距Ｙ的 取值范嗣（如图３）。当直线与双曲线弧相交于点Ａ
｛荔军事竺１，原题转化为在坐 低 标系ｒｒ，Ｏｎ中求直线ｙ＝ｍ＋ｎ与—ｒ—研—带
啊
锹设巴ｍｆｆｉ历何，吲漂
丫
圆ｍ ２＋玎２—１在第一象限弧（包 ＼、Ｉ／… 括轴）有公共点时，直线在行轴 圈１ 上的截距ｙ的取值范嗣（如图 １）．当直线与圆弧ＡＢ相切时，Ｙ取得最大值。
ｍＩ圈 竿雾善茁易象中：童皇豢旱麓 ＋行与抛物线２＝一２＂＋２在
得ｙ一昔Ｉ又直线ｙ＝ｍ＋玎与抛物线仇２＝一２ｎ＋２
在第四象限弧有公共点时．直线在行轴上的截距点 Ｂ可以沿九轴无限向下降落，所以Ｙ不存在最小值。
饲２：求ｙ＝／五亡可＋．Ｉ压＝７的值域．
解：设｛：篙一沁
则｛苏？２：怨３。原题转化为
在坐标系ｍＯｎ中求直线ｙ＝ ｍ＋ｎ与椭圆ｍ２＋２ｎ２＝３在 第一象限弧ＡＢ（包括轴）有公 共点时．直线在行轴上的截距
（矗，ｏ）时，ｙ取得最大值压；又因直线ｙ＝ｍ＋打平
行于已知双曲线的一条渐近线ｍ＋ＴＩ－＝－０。所以ｙ＞ ０．７．ｙＥ‘０。０３】。 ２．４转换坐标系，用抛物线求解
之为二元替换法（又称坐标转换法）。
２．实施二元替换，转换坐标系，求解无理函数 值域 ２．１转换坐标系，用圆求解 饲１ 求ｙ一，／７－－７＋√８一≯的值域。
．．．Ｙ∈（一∞，昔）．
３．注意点 从以Ｅ几例可以看出．利用坐标系转换求一类
无理甬数的值域，关键是在新坐标系“如巾，找出
直线Ｙ＝ｍ＋ｎ与已知曲线弧有公共点时直线在九 轴上的两个（或一个）交点．再根据交点的纵坐标就 可以直接写ｎｊ所求值域．同时尤ｊｔ委注意二元替换 后新元的取值范围。此种方法思路明朗。操作简便， 耐人回味。 （作者单位ｔ江苏省邳州市运河中学北校医）
由方程组整理得３ｍ２—４ｙｍ＋２，一３＝ｏ。
令△＝ｏ。得ｙ＝警，，一警（舍），
伍
方法求其值域，并且过程直观快捷，便于学生掌握。 １．二元替换原理
当直线与椭圆弧ＡＢ相交于点Ｂ（ｏ，等）时，Ｙ
足∥ｚ）一Ａｇ（ｚ）＋产（口。ｂ，Ａ，户为常数）（＊＊）．令
取得最小值等。．．．ｙ∈呜，警Ｉ。
２．３转换坐标系，用双曲线求解
难点剖析
试．研 题．究
ｏ
变通有术
求无理甬数ｙ；ｎ／芦万＋６“两（＊）的
设无理函数ｙ＝ａ以而＋６“两（＊）满
ｆｙ＝ｍ＋打，
有变则通
Ｙ的取值范围（如图２）。 当直线与椭阋弧ＡＢ相切时。Ｙ取得最大值。
பைடு நூலகம்
——一类无理函数值域的求法探究
■秦小安
值域问题是教师教学和学生学习的难点。这是因为 求ｆ｛：的“值域”有时会产生增值，有时会产生漏解，甚 至读题后感觉无从下手。本文指｝｛｛的是：只要函数 （＊）满足一定条件，就可以转换坐标系，找到统一的
｛富留’～，则氍三ｊ㈣将
（１）代入（＊）、（２）代入（＊＊），得｛辇一缮；。在 严。 ∥ 【ａ２
坐标系ｍＯｒｔ中，ｙ＝ｍ＋ｎ表示直线，万ｍＬ一警＝Ｐ
表示二次曲线，因此求（＊）函数的值域就转化为求 直线与曲线有公共点时．直线在ｎ轴上的截距ｙ的 取值范围。 这种通过将二元（ｚ，ｙ）替换为（ｍ，ｎ），实现坐标 系的变换，将问题转化为直线与圆锥曲线处于某种 相关位置时直线纵截距的最值问题的求解方法，称
圈２
万方数据
变通有术有变则通——一类无理函数值域的求法探究
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 秦小安 江苏省邳州市运河中学北校区 试题与研究(教学论坛) SHITI YU YANJIU 2010(21)
本文链接：/Periodical_styyj-jx201021041.aspx
｛怨＋２．原题转化为在＿７‘＿麻
田４ ｔ。
解设１订一专，则汰
ｆｍ＝．Ｉ俩，
、ｆ＿
由｛荔嚣当１。２ｍｚ一２妒＋，一ｌ＝０．令
ｎ轴右侧（包括轴）有公共点时，直线在行轴上的截 距ｊ，的取值范闻（如图４）。 当Ａ线与抛物线弧相切时，ｙ取得最大值。由 上面方程组整理得ｍｚ一２ｍ＋２ｙ一２＝０，令△＝０，
△＝０，得ｙ＝√２．ｙ＝一√２（舍） 当直线与网弧ＡＢ交于端点Ｂ（０。１）时，２．２转 变换坐标系．用椭圆求解。