湖南师大附中高三数学月考试卷(九)文

高三月考试卷（九）文科数学某某师大附中高三数学备课组组稿命题人：曾克平 彭萍 审题人：曾克平 彭萍时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.1．若3∈{a 2-2a ，a }，则a 的值等于（ B ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-1或32．函数f (x )=sin(2x +3π)+sin(2x -3π)的最小正周期为（ C ） A ．4π B ．2πC ．πD ．2π3．直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线的方程为（ A ） A ．3x +4y +5=0 B ．3x +4y -5=0 C ．-3x +4y -5=0 D ．-3x +4y +5=0 4．设S =(x -1)4+4(x -1)3+6(x -1)2+4(x -1)-3，则S 等于（ B ） A ．x 4 B ．x 4-4 C ．(x -1)4-3 D ．x 4-35．已知|a |=2|b |≠0且关于x 的函数f (x )=21313+x |a |x 2+a ·b x 在R 上有极值，则a 与b的夹角X 围为（ C ）A ．［0，6π）B ．（6π，π］ C ．（3π，π］ D ．（3π，32π］6．对于使-x 2+2x ≤m 成立的所有常数m 中，我们把m 的最小值1叫做-x 2+2x 的上确界.若a ，b ∈R +，且a +b =1，则ba 221--的上确界为（ D ） A ．29 B ．41 C ．41-D ．29- 7．已知：F 1、F 2是椭圆1162522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，若△PF 1F 2的内切圆半径为1，则点P 到x 轴的距离为（ B ）A ．37 B ．38 C ．3 D ．3108．已知正四面体A -BCD ，动点P 在△ABC 内，且点P 到平面BCD 的距离与点P 到点A 的距离相等，则动点P 的轨迹为（ A ）A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．一条线段答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCABCDBA二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上.9．已知等差数列{a n }前2008项的和为S 2008=a 1，则S 2009= 0 .10．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m = 20 .11．已知函数y =f (x )的反函数是y =f -1(x )，f (x )的图象在点P 处的切线方程是：x +y -8=0，若点P 的横坐标是5，则f ′(5)+f -1(3)= 4 .12．给出四个命题：①两条异面直线m 、n ，若m ∥平面α，则n ∥平面α；②若平面α∥平面β，直线m ⊂α，则m ∥β；③平面α⊥平面β，α∩β=m ，若直线m ⊥直线n ，n ⊂β，则n ⊥α；④直线n ⊂平面α，直线m ⊂平面β，若n ∥β，m ∥α，则α∥β.其中正确的命题是②③.13．若函数f (x )=log 2(4x -2)，则方程f -1(x )=x 的解是x =1 .14．若x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≥+-0305k y x x y x ，且z =2x +4y 的最小值为-6，则k = 0 .15．如图所示的阴影部分由方格之上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形图案（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案的个数是 48 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠A =2∠B ，cos B =35. （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若角A 的内角平分线AD 的长为2，求b 的值.解：（Ⅰ）32sin ,35cos ,2π0=∴=<<B B B （2分）59435322cos sin 22sin sin =⨯⨯=•==∴B B B A911)35(21cos 22cos cos 22=-⨯=-==B B A （4分） ∴sin C =sin(A +B )=sin A ·cos B +cos A ·sin B =2722329135594=⨯+⨯（6分） （Ⅱ）在△ACD 中，∵∠A =2∠B ，∴∠ADC =∠A由正弦定理得：C ADADC b sin sin =∠，即：27222594=b （10分） ∴b =51112（12分） 17．（本小题满分12分）某先生居住在城市的A 处，开车到单位B 处上班，若该市各路段发生堵车事件是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，在每路段发生堵车的概率如图所示（如A →C →D 为两个路段，A →C 段发生堵车的概率为21，C →D 段发生堵车的概率为31）.（Ⅰ）在①A →C →D →B ；②A →E →F →B ；③A →C →F →B 三条路线中，要想一次堵车都不发生，此人应优先选择走哪条路线，计算并说明；（Ⅱ）求选择走线路A →E →F →B 中恰好遇到两次堵车的概率；（Ⅲ）若甲选择走路线①，乙选择走路线③，求甲乙两人至少有1人遇到堵车的概率.解：（Ⅰ）走线路①A →C →D →B ，一次堵车都不发生的概率为（1-21）×（1-31）×（1-41）=41走线路②A →E →F →B ，一次堵车都不发生的概率为（1-31）×（1-32）×（1-41）=61走线路③A →C →F →B ，一次堵车都不发生的概率为（1-21）×（1-21）×（1-41）=163 ∵41>163>61，∴应该选择走线路①A →C →D →B （错一个扣1分）（4分） （Ⅱ）∵A →E 堵车，E →F 堵车，F →B 不堵车的概率为61)411(3231=-⨯⨯A →E 不堵车，E →F ，F →B 发生堵车的概率为914132)311(=⨯⨯-A →E ，F →B 堵车，E →F 不堵车的概率为36141)321(31=⨯-⨯∴恰好发生两次堵车的概率为：36113619161=++（8分）（Ⅲ）∵甲不堵车的概率为41，乙不堵车的概率为163 ∴甲、乙两人至少有一人遇到堵车的概率为P =6461163411=⨯-（12分） 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P -ABC 中，P A =PB ，P A ⊥PB ，AB ⊥BC ，∠BAC =30°，平面P AB ⊥平面ABC .（Ⅰ）求证：P A ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角P -AC -B 的大小. 解：解法一：（Ⅰ）∵平面P AB ⊥平面ABC ，BC ⊥AB ， 平面P AB ∩平面ABC=AB ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥P A .又P A ⊥PB ，PB ∩BC =B ，∴P A ⊥平面PBC .（5分）（Ⅱ）取AB 的中点E ，连接PE ，∵P A =PB ，∴PE ⊥AB ， ∵平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC =AB ， ∴PE ⊥平面ABC ，过P 作PF ⊥AC 于F ，连接FE ，则EF ⊥AC ， ∴∠PFE 为二面角P -AC -B 的平面角，∵△AEF ∽△ACB ，∴,ABAFBC EF = 令BC =a ，则AB =,330tan a BC=︒又cos30°=,221AB AFAB AF AE AF == ∴43=AB AF , ∴43aEF =， 又PE =2321aAB =，在Rt △PEF 中，tan ∠PFE =,24323=aa∴二面角P -AC -B 的大小为arctan2.（12分） 解法二：作PO ⊥AB 于点O∵平面P AB ⊥平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC . 过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D .如图，以O 为原点，直线OD 、OB 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.设P A =PB =6.∵P A ⊥PB ，∴AB =32，PO=BO =AO =3. ∵AB ⊥BC ，∠BAC =30°，∴BC =AB ·tan30°=2. ∴O （0,0,0），A （0,3-,3-），B （0,3,0），C （2,3,0），P （0,0,3），D （1,0,0）. （Ⅰ）∵PA =(0,3-,3-)，BC =（2,0,0）， ∴PA ·BC =0，∴P A ⊥BC .又∵P A ⊥PB ，PB ∩BC =B ，∴P A ⊥平面PBC .（5分） （Ⅱ）作OM ⊥AC 于点M ，连接PM .∵PO ⊥平面ABC ，根据三垂线定理，得PM ⊥AC ， ∴∠PMO 是二面角P -AC -B 的平面角. 在Rt △AMO 中，OM =AO ·sin30°=，AO 232= ∴M （04343，，-），从而).3,43,43( ),0,43,43(-=-=MP MO∴cos 55|||| · ,==〉〈MP MO MP MO MP MO ， 即二面角P -AC -B 的大小是arccos55.（12分） （本题也可通过平面的法向量计算） 19．（本小题满分13分）设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6，a 2=b 2=4，a 3=b 3=3，且数列{a n +1-a n }（n ∈N *）是等差数列，数列{b n -2}（n ∈N *）是等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）是否存在k ∈N *，使a k -b k ∈（0，21）.若存在，求出k ；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）由已知a 2-a 1=-2，a 3-a 2=-1，-1-(-2)=1. ∴a n +1-a n =(a 2-a 1)+(n -1)·1=n -3，n ≥2时，a n =（a n -a n -1）+（a n -1-a n -2）+…+（a 3-a 2）+（a 2-a 1）+a 1=（n -4）+（n -5）+…+（-1）+（-2）+6=21872+-n n ，n =1也合适，∴a n =21872+-n n （n ∈N *）.（4分）又b 1-2=4，b 2-2=2，而2142=，∴b n -2=（b 1-2）·1)21(-n ，即b n =2+8·n )21(.（7分）∴数列{a n }、{b n }的通项公式分别为a n =21872+-n n （n ∈N *），b n =2+8·n )21(（n ∈N *）.（Ⅱ）设f (k )=a k -b k =8727212-+-k k ·887)27(21)21(2-+-=k k ·.)21(k当k ≥4时，87)27(212+-k 随k 的增加而增大，k )21(8-也随k 的增加而增大.（10分）∴当k ≥4时，f (k )=a k -b k ≥f (4)=21，又f (1)=f (2)=f (3)=0，（12分） ∴不存在k ，使a k -b k ∈（0，21）.（13分） 20．（本小题满分13分）已知函数f (x )=421x +bx 3+cx 2+dx +e （x ∈R ）在x =0和x =1处取得极值. （Ⅰ）求d 的值及b ，c 的关系式（用c 表示b ），并指出c 的取值X 围；（Ⅱ）若函数f (x )在x =0处取得极大值.①判断c 的取值X 围；②若此时函数f (x )在x =1时取得最小值，求c 的取值X 围.解：（Ⅰ）∵f ′(x )=2x 3+3bx 2+2cx +d ，又∵f ′(0)= f ′(1)=0，∴⎩⎨⎧=+++=02320d c b d ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+-==3220c b d （4分）∵f ′(x )=2x 3-2(c +1)x 2+2cx ，即：f ′(x )=2x (x -1)(x -c )∴c ≠0且c ≠1 即：c 的取值X 围是{c |c ≠0且c ≠1}（6分）∴c <0符合题意，而当0<c <1或c >1时，不符合题意. 即：c 的取值X 围是{c |c <0}（10分） ②由题意得f (c )≥f (1)，（12分） ∴,32221322213344e c c e c c c c +++-≥+++- ∴c 4-2c 3+2c -1≤0.即：(c -1)3(c +1)≤0，∴-1≤c <0，即c 的取值X 围是{c |-1≤c <0}（13分） 21．（本小题满分13分）已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（0,2-）、（0,2），点A 、N =32，ON =)(21OF OA +，过点N 且垂直于AF 的直线交线段AE 于点M .（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若轨迹C 上存在两点P 和Q 关于直线l ：y =k (x +1)(k ≠0)对称，求k 的取值X 围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设直线l 与轨迹C 交于不同的两点R 、S ，对点B （1，0）和向量a =（3-，3k ），求BR ·BS -|a |2取最大值时直线l 的方程.解：（Ⅰ）∵ON =)(21OF OA +，∴N 为AF 的中点，∴MN 垂直平分AF . ∴.||||MF MA =∴.||32||||||||||EF AE ME MA MF ME >==+=+ ∴点M 的轨迹C 是以点E 、F 为焦点的椭圆. ∴长半轴a =3，半焦距c =2，∴b 2=a 2-c 2=1.∴点M 的轨迹方程为.1322=+y x （4分）（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），PQ 的中点T （x 0，y 0）.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+131322222121y x y x ⇒312121-=--x x y y ·2121y y x x ++⇒311-=-k ·00y x ，∴y 0=.30kx 又y 0=k (x 0+1)，∴x 0=23-，y 0=2k-. ∵中点T （x 0，y 0）在椭圆内部， ∴1144313222020<⇒<+⇒<+k k y x ，又k ≠0，∴k ∈(-1，0)∪(0，1).（8分）（Ⅲ）将y =k (x +1)(k ≠0)代入椭圆C ：1322=+y x 中，整理得（1+3k 2）x 2+6k 2x +3k 2-3=0.设R （x 3，y 3），S （x 4，y 4），则x 3+x 4=22316kk +-，x 3x 4=223133kk +-.∴y 3y 4=k 2(x 3+1)(x 4+1)=k 2(x 3+x 4+x 3x 4+1)=.31222k k +-∴BR ·BS -|a |2=(x 3-1)(x 4-1)+y 3y 4-3-9k 2 = x 3x 4-( x 3+x 4)+1+ y 3y 4-3-9k 2=223133k k +-+22222933121316k k k k k --+-++=2231310k k +--3-9k 2=310-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++)31(33131622k k ≤.314162310-=- 当且仅当231316k+=3（1+3k 2），即k 2=91∈(0，1)时等号成立.此时，直线l ：y =±).1(31+x （13分）。