高等数学极限习题500道汇总

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高等数学极限习题500道

．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（）答阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→_____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：，　．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx→+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（）．．．．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在．．．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于xx x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x x x x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是：不存在答（）limx xeA B C D →+015353054答（），则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（）不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设答（）不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中答（）π____________cos 13lim 20的值等于xx e e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x ．用无穷大定义证明：+∞=-+∞→)4(lim 3x x x ．其中用无穷大定义证明：)10( log lim <<-∞=+∞→a x a x[]若当时，、都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小答（）x x x x x x A x x B x x C x x D x x →→+++⋅002221αβαβαβαβαβ()().()()()()()()()ln ()()()()()＂当，是无穷小量＂是＂当时，是无穷小量＂的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x x x x x A B C D →→00αα()()()()()()＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n ．：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a ann ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→ []之值．求极限3sin 01)(cos lim xx x x -→[]求极限之值．lim(sin )x xx x x →+-0311____________1)sin (cos lim220=-+→x x x x x_____________1)21(lim 230=-+→xx x x __________1)sin 1(lim 0=-+→x x x x ______________1)(cos lim 3sin 20=-→xx x x 求极限之值．lim ()x x x x x →∞+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥21111．时　试证明：当．时，，且当的某去心邻域内设在)(~)()(~)()()()(0000x u x x x x x x x x x u x x α→βα→β≤≤α<[]．求证：存在．，，时，设当A x u x x A x u x x x x x o x x x x x x x x =β-α≠=β-αααα=β→α→→→)()()(lim )0()()()(lim)(~)()()(0)(11000求之值．lim ()()()x x x x →+-+--05721312211[][]设当，，，，均为无穷小，且；，如果试证明：．x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x →=+=+→→→011111110111ααββααββαβααββ()()()()()~()()~()lim ()()lim ()lim ()()()[]设当，，都是无穷小，且，试证明：．x x x x x x x x x x →≠≠+0001αβαβααββ()()()()()~()()()[][])()(1)(1lim)(1)(1lim)()(lim )(~)()()(11100是正常数式中．试证明：；如果均为无穷小，且与时，设当a x x x x A x x x x x x x x a x x a x x x x β-α+=β-α+=βααααα→→→→．用数列极限的定义证明0!1lim=∞→n n成立．时恒有　存在，使当试证必有正整数．，且设22lim CA x AB N n NC A B A x n n n +<<+><<=∞→{}{}设有两个数列，满足；为定数．试证明：．x y x y M M x y n n n n n n n n ()lim ()()lim()1020→∞→∞=≤⋅=设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00求极限lim sinsin x x x x →021[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞+-1 求极限．lim sin x x x →+011求极限．lim arctan x x x x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞⋅1 求极限．lim x x x→-+012122 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。

高等数学极限题500道

n
求数列的极限 lim n 2 4n 5 (n 1) ．
n

求数列的极限 lim
n
n 4 3n 3 6 (n 1)(n 1) ． n
求数列的极限 lim
n
an ． (其中 a 1)． 2 an
1 1 1 )(1 2 ) (1 2 )． 2 2 3 n
求 lim nln( 2n 1) ln( 2n 1)之值．
n
求极限 lim (1) n n sin( n 2 2 )．
n
x 2 1 1 lim e 1 x 的值 _____________ 求极限 lim (n ) ln(1 )． n 2 n x0 x 3 sin x
确定a，b之值，使 lim
x

3x 2 4 x 7 (ax b) 0，
x
并在确定好a，b后求极限 lim x

3x 2 4 x 7 (ax b)

求极限 lim( x
x
x 1 x) ． x 1
求极限 lim
2 x cos x ． x 3x sin x
1 1 1 求数列的极限 lim n 1 3 35 (2n 1)(2n 1) 1 1 1 1 求数列的极限 lim n 1 2 2 3 3 4 n ( n 1) ．
求数列的极限 lim
已知f ( x)
已知 lim
x 1
lim
x 0
1 cos(sin x) 的值等于 ___________ 2 ln(1 x 2 )
求极限 lim
x 0

高等数学极限习题500道

．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（）答阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→_____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：，　．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx →+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（）．．．．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在．．．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于xx x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x x x x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是：不存在答（）limx xeA B C D →+015353054答（），则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（）不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（）不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设答（）不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中答（）π____________cos 13lim 20的值等于xx e e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x ．用无穷大定义证明：+∞=-+∞→)4(lim 3x x x ．其中用无穷大定义证明：)10( log lim <<-∞=+∞→a x a x[]若当时，、都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小答（）x x x x x x A x x B x x C x x D x x →→+++⋅002221αβαβαβαβαβ()().()()()()()()()ln ()()()()()＂当，是无穷小量＂是＂当时，是无穷小量＂的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x x x x x A B C D →→00αα()()()()()()＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n ．：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a ann ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→ []之值．求极限3sin 01)(cos lim x x x x -→[]求极限之值．lim(sin )x xx x x→+-0311____________1)sin (cos lim220=-+→x x x x x _____________1)21(lim 230=-+→x x x x __________1)sin 1(lim 0=-+→x x x x ______________1)(cos lim 3sin 20=-→xx x x 求极限之值．lim ()x xx x x →∞+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥21111．时　试证明：当．时，，且当的某去心邻域内设在)(~)()(~)()()()(0000x u x x x x x x x x x u x x α→βα→β≤≤α<[]．求证：存在．，，时，设当A x u x x A x u x x x x x o x x x x x x x x =β-α≠=β-αααα=β→α→→→)()()(lim )0()()()(lim)(~)()()(0)(11000求之值．lim ()()()x x x x →+-+--05721312211[][]设当，，，，均为无穷小，且；，如果试证明：．x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x →=+=+→→→011111110111ααββααββαβααββ()()()()()~()()~()lim ()()lim ()lim ()()()[]设当，，都是无穷小，且，试证明：．x x x x x x x x x x →≠≠+0001αβαβααββ()()()()()~()()()[][])()(1)(1lim)(1)(1lim)()(lim )(~)()()(11100是正常数式中．试证明：；如果均为无穷小，且与时，设当a x x x x A x x x x x x x x a x x a x x x x β-α+=β-α+=βααααα→→→→．用数列极限的定义证明0!1lim=∞→n n成立．时恒有　存在，使当试证必有正整数．，且设22lim CA x AB N n NC A B A x n n n +<<+><<=∞→{}{}设有两个数列，满足；为定数．试证明：．x y x y M M x y n n n n n n n n ()lim ()()lim()1020→∞→∞=≤⋅=设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sinsin x x x x →021[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞+-1 求极限．lim sin x x x→+011求极限．limarctan x xxx →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞⋅1 求极限．lim x x x →-+012122 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。

高等数学极限习题500道

答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n_____________sin 1lim3202=--→的值x x xex x求极限之值．lim ()cos sin x xx xx→+-0212[] 答（）．．．．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xxx =+→_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在．．．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x____________lim 0的值等于xx x e e x-→-．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x xx x →+--+03416125关于极限结论是：不存在答（）limx xeA B C D →+015353054 答（）不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（）不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设答（）不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xx____________cos 13lim 20的值等于xx e e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211求极限．lim ()()x x x →∞++32232332之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→___________)1ln(2)cos(sin 1lim2的值等于x x x +-→ ．求极限应用等阶无穷小性质，xx x x )1arctan()1arctan(lim--+→求极限．limx x xx x →+--+0215132limsin ()()()()x x xA B C D →∞=∞10 不存在但不是无穷大答（）lim sin ()()()()x x xA B C D →∞===∞110之值不存在但不是无穷大答（）已知　其中、、、是非常数则它们之间的关系为答（）limtan (cos )ln()()()()()()()x x A x B x C x D eA B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-011211022222计算极限lim x x x x x x →-+---23223322计算极限lim ln()cos x x x x e ex x →-⋅+021求．lim x x xx xe e e e →∞---+234．____________)31(lim sin 20=+→xx x计算极限limcos x x xe x →---02112_____________________4sin 3553lim 2=⋅++∞→xx x x　）答（穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B xx A x 1cotarc )(1arctan )(ln )(sin )(0+→答（）不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于 .)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 2D C B A x x x +→ 答（），　，，　，，则必有设. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x）答（不存在但不是无穷大为等于等于的极限时，当. )( ; )(;0)( ; 2)(11)(1112D C B A ex x x f x x ∞--=→-求，使a b x x ax b x lim()→∞++-+=32112之值。

高等数学极限习题500道

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【最新整理，下载后即可编辑】．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（）答阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：，　．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx→+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（）．．．．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xxx =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在．．．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x xx x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是：不存在答（）limx xeA B C D →+015353054答（），则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（）不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（）不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设答（）不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中答（）π____________cos 13lim 20的值等于xxe e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n nn n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值．求极限3sin 01)(cos limx x xx -→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。

高等数学极限习题500道

．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答（）．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（）答阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→_____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：，　．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx →+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（）．．．．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（）．．．．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在．．．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于xx x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x x x x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是：不存在答（）limx xeA B C D →+015353054答（），则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（）不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设答（）不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中答（）π____________cos 13lim 20的值等于xx e e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；、各取何值时，；、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x ．用无穷大定义证明：+∞=-+∞→)4(lim 3x x x ．其中用无穷大定义证明：)10( log lim <<-∞=+∞→a x a x[]若当时，、都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小答（）x x x x x x A x x B x x C x x D x x →→+++⋅002221αβαβαβαβαβ()().()()()()()()()ln ()()()()()＂当，是无穷小量＂是＂当时，是无穷小量＂的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x x x x x A B C D →→00αα()()()()()()＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答（）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n ．：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a ann ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→ []之值．求极限3sin 01)(cos lim xx x x -→[]求极限之值．lim(sin )x xx x x→+-0311____________1)sin (cos lim220=-+→x x x x x _____________1)21(lim 230=-+→x x x x __________1)sin 1(lim 0=-+→x x x x ______________1)(cos lim 3sin 20=-→xx x x 求极限之值．lim ()x xx x x →∞+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥21111．时　试证明：当．时，，且当的某去心邻域内设在)(~)()(~)()()()(0000x u x x x x x x x x x u x x α→βα→β≤≤α<[]．求证：存在．，，时，设当A x u x x A x u x x x x x o x x x x x x x x =β-α≠=β-αααα=β→α→→→)()()(lim )0()()()(lim)(~)()()(0)(11000求之值．lim ()()()x x x x →+-+--05721312211[][]设当，，，，均为无穷小，且；，如果试证明：．x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x →=+=+→→→011111110111ααββααββαβααββ()()()()()~()()~()lim ()()lim ()lim ()()()[]设当，，都是无穷小，且，试证明：．x x x x x x x x x x →≠≠+0001αβαβααββ()()()()()~()()()[][])()(1)(1lim)(1)(1lim)()(lim )(~)()()(11100是正常数式中．试证明：；如果均为无穷小，且与时，设当a x x x x A x x x x x x x x a x x a x x x x β-α+=β-α+=βααααα→→→→．用数列极限的定义证明0!1lim=∞→n n成立．时恒有　存在，使当试证必有正整数．，且设22lim CA x AB N n NC A B A x n n n +<<+><<=∞→{}{}设有两个数列，满足；为定数．试证明：．x y x y M M x y n n n n n n n n ()lim ()()lim()1020→∞→∞=≤⋅=设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sinsin x x x x →021[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞+-1 求极限．lim sin x x x→+011求极限．limarctan x xx x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x→∞⋅1 求极限．lim x x x →-+012122 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。

高数极限基础练习题

高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

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lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 求的表达式f x x xx n n n ()lim =-+→∞+2121设　其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()limsincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ．求极限应用等阶无穷小性质，x x x x )1arctan()1arctan(lim--+→ 求极限．lim x x x x x→+--+0215132 求极限．lim()()x x x x →--+012131416 求极限　为自然数．．lim ()()x nax xn a →+-≠0111求极限．lim()x x x x →-+--3135223设当时，与是等价无穷小，且，，证明：．x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()()lim ()()()设当时，，是无穷小且证明：．x x x x x x e e x x x x →-≠--00αβαβαβαβ()()()()~()()()()若当时，与是等价无穷小，是比高阶的无穷小．则当时，与是否也是等价无穷小？为什么？x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()[][]设当时，、是无穷小，且证明：与是等价无穷小．x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().ln ()ln ()()()设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()吗？为什么？也是等价无穷小与无穷小。

试判定：等价是同阶无穷小，但不是与是等价无穷小，与时，若)()()()()()()()(110x x x x x x x x x x β-αβ-αβααα→limsin ()()()()x xxA B C D →∞=∞10 不存在但不是无穷大答（）lim sin ()()()()x x xA B C D →∞===∞110之值不存在但不是无穷大答（）已知　其中、、、是非常数则它们之间的关系为答（）limtan (cos )ln()()()()()()()x x A x B x C x D eA B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-011211022222)1()1)(1)(1(lim 1242nx x x x x n ++++<∞→ 计算极限设设及存在，试证明：．lim lim n n n n nx x x a a →∞→∞+==≤011求lim(sin cos )x x x x→∞+2212计算极限　lim ()()x a x a x a x a a →-++-≠322210 计算极限lim x x x x x x →-+---23223322 计算极限lim ln()cos x x x x e e x x →-⋅+021 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→)2cos 2cos 2(cos lim lim 20n n x x x x 计算极限 {}．，试证明及满足设有数列0lim )10( lim01=<≤=>∞→+∞→n n nn n n n a r r a a a a{}，试按极限定义证明：，且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞→r r a a a n n n n n ．0lim =∞→n n a．语言证明，试用　设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim"")0()(lim 0试问：当时，，是不是无穷小？x x x x→=012α()sin的某去心邻域，使得试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f >设，试研究极限f x x x f x x ()sin lim ()=→110 计算极限．lim ln()arcsin()x x x x →+---232312344[]　答（）大无界变量，但不是无穷小有界变量，但不是无穷无穷小量无穷大量是时，则当，设数列的通项为)()()()()1(12D C B A x n nn n x n n n ∞→--+=以下极限式正确的是答（）()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B xe C x e D xx x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=001111111111设，　，，，求．x x x n x n n n n 1110612==+=+→∞()limab A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a Ax f x b x x e x f x ax ======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且，当，当设)()()(1)()(lim 001)(0答：( )aA A b a D Ab a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x xax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)1ln()(0======⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当，　，当设答：（）答（）可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当，，当设2)(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(222a Ab a D aA b a C a A b aB aA b a A A b a A x f x b x x ax x f x =======⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→[][]设有，，且在的某去心邻域内复合函数有意义。