高等数学II(电子)11-9 斯托克斯公式 环流量与旋度
[理学]第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
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曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. z
解
1
n
y
X z, Y x, Z y
S
z
平面方程为：
S
平面 S 的法向量
n (0,1, 1)
zy
因此
I
( z cos y cos ) d S
S
S
1 ( y z) d S 0 2
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) X ( x, y, z )i Y ( x, y, z ) j Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 A ds Xdx Ydy Zdz C C 称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.
第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 X ( x, y, z ) , Y ( x, y, z ) ,
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 ( x y z )dS 3
3 ( 在上x y z ) 2
8_2_4 斯托克斯公式 环流量与旋度 高等数学 微积分 考研数学
轴正向看为顺时针, 计算 I y2 d x xy d y xz d z .
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
cos 0 , cos
1, 2
cos
1 2
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
o x
2y
I
x y
y2 xy
z
dS 1 (y z)dS 0 2
内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
Page 10
2. 场论中的三个重要概念
设 u u (x, y, z),
A
(P,
Q,
R),
x
,
y
,
z
,
则
梯度:
grad u
u x
d ydz dzdx P d x Q d y R d z
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
Page 3
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
zdx xd y ydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于
柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式
斯托克斯公式与旋度
第七节 斯托克斯公式与旋度格林公式揭示了平面上的二重积分与第二类曲线积分之间的关系，下面我们再介绍一个公式，它揭示了空间中第二类曲面积分与第二类曲线积分的关系，是格林公式的推广．一、 斯托克斯（S.G.G.Stokes ）公式设∑是具有边界曲线的定向曲面，我们规定其边界曲线∑∂的正向与定向曲面的∑法向量符合右手法则．记作+∂∑．比如，若∑是上半球面221y x z --=的上侧，则+∂∑是xOy 面上逆时针走向的单位圆周．定理1（斯托克斯公式） 设∑是一张光滑或分片光滑的定向曲面，∑的正向边界+∂∑为光滑或分段光滑的闭曲线．如果函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在曲面∑上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q yR ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰+∂++=∑Rdz Qdy Pdx为便于记忆斯托克斯公式可以用如下形式表示⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂=++∑RQ P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 显然格林公式是斯托克斯公式的特殊情况．和平面上的曲线积分与路径无关的条件一样，有如下定理定理2 设G 是空间的一个一维单连通区域，z y x R z y x Q z y x P z y x ),,(),,(),,(),,(++=则),,(z y x F沿G 内定向曲线的积分与路径无关的充分且必要条件是yPx Q x R z P z Q y R ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂,, 则曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 与路径无关，只与起、终点有关．例1 计算⎰++++Lz y x ydzxdy zdx ，其中L 为平面1=++z y x 被坐标面所截下的三角形的整个边界，正向与三角形上侧的法向量之间符合右手规则．解 由曲面积分定义可知⎰⎰++=++++LL ydz xdy zdx z y x ydzxdy zdx利用斯托克斯公式2333===++=∂∂∂∂∂∂=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyD L dxdy dxdy dxdy dzdx dydz y x z z y x dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx ∑∑∑例2 计算dz y x dy x z dx z y I )()()(222222-+-+-=⎰Γ其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体]1,0[]1,0[]1,0[⨯⨯的表面所得的截痕，若从z 轴的正向看去，Γ取逆时针方向．解 取∑为平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分，∑的单位向量)31,31,31(=n e ，由斯托克斯公式及第二类曲面积分的定义得dS y x x z z y z y x y x x z z y z y x dxdy dzdx dydz I ⎰⎰⎰⎰---∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂=∑∑222222222222313131 29)(63322334)(34-=-=-=-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑的面积xy D D d dS dS z y x xyσ例3 求⎰-+-+-Ldz xy z dy zx y dx yz x )()()(222，L 为螺旋线)20( ,sin ,cos πθθθθ≤≤===b z a y a x ，θ增大的方向为正向．解 由于在3R 中，有x z Q y R -=∂∂=∂∂，y xRz P -=∂∂=∂∂，z y P x Q -=∂∂=∂∂ 该积分与路径无关，可取积分路径为直线AB ，其中)0,0,(a A ，)2,0,(b a B π，所以AB ：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒==-tz y ax t z y a x 000 38)()()(33202222b dt t dz xy z dy zx y dx yz xb Lππ==-+-+-⎰⎰ 二、 旋度 对于)1(C向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(++=称下述向量y P x Q x R z P z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂Q y ∂∂= 为向量场F 的旋度（rotation ）记为rot ，即Q y rot ∂∂=有了旋度的概念，斯托克斯公式可以写为⎰⎰⎰⋅=⋅Ld d rot ∑当=rot 时，⎰⋅Ld 与路径无关．下面解释一下旋度的物理意义．第二类曲线积分⎰⋅=Ld Γ称为向量场)(M F 沿L 正向的环流量．为了说明环流量的意义，我们以河流中的旋涡这样一个特殊的流速场)(M F 为例，⎰⋅Ld M ∆)(表示沿曲线L ∆正向的速度的环流量．为形象起见，不妨设L ∆是一个圆，我们设想作一个与该圆同样大小的小圆叶轮，叶轮的轴的方向与小圆正向符合右手规则，若将此叶轮放至旋涡中某点M 处，叶轮开始转动，根据经验，转动的快慢与轴的方向和叶轮大小有关，即与转动的快慢取决于曲线积分⎰⎰⋅=⋅=LLds r d ∆τ∆∆Γ的大小，当轴垂直于旋涡表面（此时e 的方向与V 一致）时，转动较快，当轴与旋涡表面有倾角时，叶轮转动较慢，可见环流量⎰⋅=Ld ∆∆Γ表示叶轮沿周界L ∆正向转动趋势的大小．这个量表示了速度场)(M F 相对于有向闭曲线L ∆的一种总体形态，但是不能反映出场内某点处的转动趋势的大小．为此，作∆Γ与小圆叶轮面积S ∆（也表示叶轮面）之比，称为环流量平均面密度⎰⋅=Ld S S ∆∆∆∆Γ1当S ∆缩向点M 时，若极限⎰⋅=→→LM S M S d S S ∆∆∆∆∆∆Γ1lim lim存在，该极限值表示位于点M 处的小水滴沿叶轮轴的方向转动趋势的大小，这就是环流量面密度的概念根据积分中值定理，存在S M ∆∈*，使得nM n MS M S M S rot rot dS e rot S d rot S dS d =⋅=⋅=⋅=→→→⎰⎰⎰⎰*][lim 1lim 1lim ∆∆∑∆∆∑∆∆∆Γ． 一个旋度处处为零的向量场称为无旋场，无旋无源场称为调和场，调和场是物理学中一类重要的场，这种场和调和函数间有着密切的联系．本章的几个主要公式都是微积分学基本公式在二维和三维空间中的推广．微积分基本公式⎰-=ba a Fb F dx x F )()()('曲线积分基本公式))(())((a r f b r f d f -=⋅∇⎰Γ格林公式⎰⎰⎰+∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D DQdy Pdx dxdy y P x Q 斯托克斯公式⎰⎰⎰+∂⋅=⋅∑∑r d F S d F rot高斯公式S d F dV F div ⎰⎰⎰⎰⎰+∂⋅=ΩΩ三、 向量微分算子为方便记，在场论中经常运用一个运算符号，它称为∇（Nabla ）算子，其定义为k zj x i y ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 这个算子可以作用到数量值函数上，也可以像通常的向量一样，与向量值函数作数量积和向量积，从而得出新的函数，其规定如下：1）设),,(z y x u u =，则u zux u y u u grad =∂∂+∂∂+∂∂=∇ 2）设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(++=，则。
环流量与旋度
i
解:
j
y
k
z 2
rot A x
(0 , 0 , 1)
2y
3x
z
I cos d S
8
机动
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结束
*四、向量微分算子
定义向量微分算子:
x i y j z k 它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s
①
定义:
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
A
P Q R x y z
div A
k
i x A P
j
y
z
rot A
Q
R
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
A d v An d S ( A ) n d S A d s
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曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
(cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
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令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
9.5 斯托克斯公式 环流量 旋度
i jk
解
rot A
x
y
z
(0, 0 , 1)
2y 3x z2
n 为
I cos d S
8
18
*三、汉密尔顿算子
定义向量微分算子:
x
i
y
j
z
k
它又称为▽(Nabla)算子, 或汉密尔顿(Hamilton)算子.
(1) 设 u u( x, y, z), 则
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
4
例1 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整
个 边界, 方向如图所示.
z
解 记三角形域为, 取上侧, 则
xyz
rrr
23
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
i jk
x
y
z
PQR
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s ①
定义 P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量。向量 rotA称为向量场A的
,
u y
,
u z
u
散度:
div A
P x
Q y
R z
A
i jk
旋度:
高数之斯托克斯公式、环流量、旋度
= − ∫∫
∂ {P[ x, y, f ( x, y )]}dxdy y ∂ Dxy
C
Γ
Green v ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx = v ∫ P( x, y, z )dx ．
其余部分证明，自己看书．
5
v ∫
或
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z P Q R cos α ∂ ∂x P cos β ∂ ∂y Q cos γ ∂ dS ∂z R
（ 1′ ）
v ∫
G
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
（ 1′′ ）
其中 n = (cos α , cos β , cos γ ) 为有向曲面 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的单位法向量． 2、若 Σ 是 xOy 面上的一块平面闭区域，则 Stokes 公式就变为 Green 公式，即 Green 公式为 Stokes 公式的特例．
§11.7 斯托克斯(Stokes)公式
*
环流量与旋度
教学目的：理解和掌握斯托克斯公式，了解环流量和旋度的概念及其求法 教学重点：斯托克斯公式 教学难点：斯托克斯公式的应用 教学内容：
一、Stokes 公式
斯托克斯(Stokes)公式是 Green 公式的推广．Green 公式表达了平 面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系， 而 Stokes 公式则把曲面 Σ 上的曲面积分与沿着 Σ 的边界曲线的曲线积分联系起 来．这个联系可陈述如下：
1 1 ． , cos γ = − 2 2
O x
1
11-9 斯托克斯公式 环流量与旋度
➢对弧长的空间曲线积分
空间曲线弧的质量 M f ( x, y, z)ds
n
f (x,
y, z)ds
lim
0
i 1
f (i ,i , i )si
Γ：x (t), y (t), z (t), ( t )
f (x, y, z)ds f (t), (t),(t) 2(t) 2(t) 2(t)dt
r
r
r
A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
z
r
P,Q,R均连续,Γ是一分段光滑有向闭曲线,
r
是Γ在点(x,y,z)处的单位切向量,
A
o
y
积分
Ads
A
d
r
Pdx
Qdy
Rdz
x
称为向量场 A沿有向闭曲线Γ的环流量.
➢物理意义
Ads
A
1y
所得的截痕,若从ox轴的正向看去,
x
取逆时针方向.
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
➢定义 设有向量场
r
➢对坐标的空间曲线积分
变力沿空间曲线弧作功
W
r F
drr
Pdx
Qdy
Rdz
Γ：x (t), y (t), z (t), (t : )
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
斯托克斯公式
z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
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同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
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令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y
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旋度定义
i jk
rotA
R y
Q z
,
P z
R , Q x x
P y
x
y
z
注 旋度是一个向量
PQR 向量场的旋度
方向: 使环量面密度取得最大值的方向 大小: 环量面密度的最大值
旋度名称的由来
(0, 0,)
r (x, y, z)
z
v
r M (x, y, z)
i jk
v r 0 0 ( y, x, 0)
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
注 (3) 积分学中的四个基本公式
原函数增量
牛 莱 公 式
计算公式 定积分
第一类(平面)
曲 第二类(平面)
线 积
推特 广例
分 第一类(空间)
格林公式二重积分 计算公式
推 特 三重积分 高斯公式
广例
第一类 第二类
曲 面 积 分
斯托克斯公式
对坐标的空间曲线积分
变力沿空间曲线弧作功 W F dr Pdx Qdy Rdz
Γ：x (t), y (t), z (t), (t : )
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
P
(t
),
(t
),(t
)
(t
)
Q
(t
),
(t
),
(t
)
(t
)
R
(t
),
(t
),
(t
)
(t
)
dt
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
定理
设Γ为分片光滑的空间有向闭曲线,Σ是以Γ为边界 的分片光滑的有向曲面,Γ的正向与Σ的侧符合右手
规则,若函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)与R(x,y,z)在曲面Σ
S
S 0
cos
y Q
S
cos
dS z R
cos cos cos
lim
S 0 x
y
z
P
Q
R M
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
n
rotA
R y
Q z
,
P z
R x
,
Q x
P y
M
rotA n rotA cos(rotA, n)
当 n为rotA时,环量面密度取得最大值
所得的截痕,若从ox轴的正向看去,
x
取逆时针方向.
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
定义 设有向量场
A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k , z
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
注 (2) 在斯托克斯公式中,若Σ为xoy面上的闭区域D,
: z 0 dz 0 dydz 0 dzdx 0
斯托克斯公式
特推 例广
Q x
P y
dxdy
Pdx
Qdy
格林公式
R y
Q z
dydz
P z
第二类(空间)
注 (4) 斯托克斯公式沟通了曲面积分与曲线积分的联系.
cos cos cos
Σ
x
y
z
dS Pdx Qdy Rdz
Γ
PQR
曲面积分
曲线积分
(5)当Σ为平面时, n 为常向量,使用斯托克斯公式尤为方便.
例1 计算 zdx xdy ydz, 其中Γ为平面 x y z 1 被三个坐标面所截成的三角形
o
y
xyz
xHale Waihona Puke i jkrotv (0, 0, 2) 2
x y z
y x 0
线速度的旋度是旋转角速度的2倍
P,Q,R均连续,Γ是一分段光滑有向闭曲线,
A
是Γ在点(x,y,z)处的单位切向量,
o
y
积分
x
A ds Ad r Pdx Qdy Rdz
称为向量场 A沿有向闭曲线Γ的环流量.
物理意义
A ds Ad r
力场: 力场沿有向闭曲线Γ作的功 流速场: 沿有向闭曲线Γ流动的环流
磁场: 安培环路定律
第九讲 斯托克斯公式 环流量与旋度
对弧长的空间曲线积分
空间曲线弧的质量 M f ( x, y, z)ds
n
f (x,
y, z)ds
lim 0
i 1
f (i ,i , i )si
Γ：x (t), y (t), z (t), ( t )
f ( x, y, z)ds f (t), (t),(t) 2(t) 2(t) 2(t)dt
上(连同边界Γ)具有一阶连续偏导数,则有
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
注 (1) 为便于记忆,斯托克斯公式可记为:
dydz dzdx dxdy cos cos cos
x
y
z
Σ
x
y
dS z
PQ R
PQR
Pdx Qdy Rdz
的整个边界,它的正向与这个
z
1
n
o
1
1y
x
三角形上侧的法向量之间符合右手规则
例2 计算 ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz, z
其中Γ是用平面
x y z 3 截立方体
1
2
(x, y, z) | 0 x 1,0 y 1,0 z 1的表面 1
1y
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
环量面密度
lim Q S0 S
n
S M
环量面密度
n
lim Q S0 S
环量面密度
M
环量对面积的变化率
环量面密度的计算公式
cos
Pdx Qdy Rdz
S
lim Q lim
lim
x P
S0 S S0