线性代数重要公式定理大全
线性代数公式总结大全
线性代数公式 1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式;2. 代数余子式的性质:①、ij A 与ij a 的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式与余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21(1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o,所得行列式为2D ,则(1)22(1)n n D D -=-;将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤与 ◢:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;⑤、拉普拉斯展开式:A O A C ABC B O B ==、(1)m n C A O AA B B O B C==-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;7. 证明0A =的方法:①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0就是其特征值;2、矩阵8.A 就是n 阶可逆矩阵:⇔0A ≠(就是非奇异矩阵);⇔()r A n =(就是满秩矩阵) ⇔A 的行(列)向量组线性无关;⇔齐次方程组0Ax =有非零解; ⇔n b R ∀∈,Ax b =总有唯一解; ⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;⇔A 的特征值全不为0; ⇔T A A 就是正定矩阵;⇔A 的行(列)向量组就是n R 的一组基; ⇔A 就是n R 中某两组基的过渡矩阵;9. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立; 10. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===11. 矩阵就是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式就是数值,可求代数与; 12. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆:若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O,则: Ⅰ、12s A A A A =L ;Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O; ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(主对角分块) ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组13. 一个m n ⨯矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形就是唯一确定的:rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ⇔ :; 14. 行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其她元素必须为0;15. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(,)(,)rA E E X :,则A 可逆,且1X A -=;②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)cA B E A B - ~ ;③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)rA b E x :,则A 可逆,且1x A b -=; 16. 初等矩阵与对角矩阵的概念:①、初等矩阵就是行变换还就是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭O λλλ,左乘矩阵A ,i λ乘A 的各行元素;右乘,iλ乘A 的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=,例如:1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11(())(())E i k E i k -=,例如:1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如:11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;17. 矩阵秩的基本性质:①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤;②、()()T r A r A =;③、若A B :,则()()r A r B =;④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+;(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;(※)⑧、如果A 就是m n ⨯矩阵,B 就是n s ⨯矩阵,且0AB =,则:(※) Ⅰ、B 的列向量全部就是齐次方程组0AX =解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;18. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C a b Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑L L ;注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-L L g g g L g m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质:111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ;③、利用特征值与相似对角化: 19. 伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩;②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =;③、*1A A A -=、1*n A A -=20. 关于A 矩阵秩的描述:①、()r A n =,A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话)②、()r A n <,A 中有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 中有n 阶子式不全为0;21. 线性方程组:Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵,则:①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax b =有m 个方程;②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程; 22. 线性方程组Ax b =的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;23. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L ;②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M L(向量方程,A 为m n ⨯矩阵,m 个方程,n 个未知数)③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭LM (全部按列分块,其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ); ④、1122n n a x a x a x β+++=L (线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性24. m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,,m αααL 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =L ααα;m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T T Tm βββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;25. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出 Ax b ⇔=就是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=就是否有解;(矩阵方程)26. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件就是:齐次方程组0Ax =与0Bx =同解;(101P 例14) 27. ()()T r A A r A =;(101P 例15) 28. n 维向量线性相关的几何意义:①、α线性相关⇔0α=; ②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线(平行);③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面;29. 线性相关与无关的两套定理:若12,,,s αααL 线性相关,则121,,,,s s αααα+L 必线性相关;若12,,,s αααL 线性无关,则121,,,s ααα-L 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B :若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;30. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r s ≤(二版74P 定理7);向量组A 能由向量组B 线性表示,则()()r A r B ≤;(86P 定理3) 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解; ()(,)r A r A B ⇔=(85P 定理2)向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==(85P 定理2推论) 31. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P L ,使12l A P P P =L ;①、矩阵行等价:~rA B PA B ⇔=(左乘,P 可逆)0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价:~c A B AQ B ⇔=(右乘,Q 可逆); ③、矩阵等价:~A B PAQ B ⇔=(P 、Q 可逆); 32.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩; 33.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=,则:①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵;②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵;(转置)34.齐次方程组0Bx =的解一定就是0ABx =的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明; ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解;②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解;35. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯L 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯L 线性表示为:(110P 题19结论)1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L (B AK =)其中K 为s r ⨯,且A 线性无关,则B 组线性无关()r K r ⇔=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ;充分性:反证法)注:当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用;36. ①、对矩阵m n A ⨯,存在n m Q ⨯,m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关;(87P ) ②、对矩阵m n A ⨯,存在n m P ⨯,n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关; 37. 12,,,s αααL 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k L ,使得11220s s k k k ααα+++=L 成立;(定义)⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M 有非零解,即0Ax =有非零解;⇔12(,,,)s r s ααα<L ,系数矩阵的秩小于未知数的个数;38. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-;39. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ-L 为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ-L 线性无关;(111P 题33结论)5、相似矩阵与二次型40. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=(定义),性质:①、A 的列向量都就是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩L ;②、若A 为正交矩阵,则1T A A -=也为正交阵,且1A =±; ③、若A 、B 正交阵,则AB 也就是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化与单位化; 41. 施密特正交化:12(,,,)r a a a L11b a =;1222111[,][,]b a b a b b b =-g L L L121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----g g L g ; 42. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 43. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ;⇔=PAQ B ,P 、Q 可逆; ()()⇔=r A r B ,A 、B 同型;②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ,其中可逆; ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数; ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ; 44. 相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则T C AC B =⇒A B :,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 45. A 为对称阵,则A 为二次型矩阵; 46. n 元二次型T x Ax 为正定:A ⇔的正惯性指数为n ;A ⇔与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ⇔的所有特征值均为正数; A ⇔的各阶顺序主子式均大于0;0,0ii a A ⇒>>;(必要条件)。
《线性代数》公式大全
《线性代数》公式大全1.向量1.1向量的加法和减法v1=(x1,y1,z1)v2=(x2,y2,z2)v1+v2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)v1-v2=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)1.2向量的数量乘法v=(x,y,z),k是一个实数kv = (kx, ky, kz)1.3向量的点积v1·v2=x1x2+y1y2+z1z21.4向量的模长v，=√(x^2+y^2+z^2)2.矩阵2.1矩阵的加法和减法A = (aij),B = (bij)是两个m x n矩阵A +B = (aij + bij)A -B = (aij - bij)2.2矩阵的数量乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，k是一个实数kA = (kaij)2.3矩阵的乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，B = (bij)是一个n x p矩阵AB = (cij)是一个m x p矩阵，其中cij = a1j*b1i + a2j*b2i+ ... + anj*bni2.4矩阵的转置A = (aij)是一个m x n矩阵A的转置为A^T = (aij)^T = (aji)2.5矩阵的逆A为可逆矩阵，A^-1为其逆矩阵，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵3.行列式3.1二阶行列式D=，abc d， = ad - b3.2三阶行列式D=，abcdeg h i， = aeI + bfG + cdH - ceG - afH - bd3.3n阶行列式D=，a11a12 (1)a21a22...a2...........an1 an2 ... ann， = (-1)^(i+j)*Mij，其中Mij为aij的代数余子4.线性方程组4.1齐次线性方程组Ax=0，其中A为一个mxn矩阵4.2非齐次线性方程组Ax=b，其中A为一个mxn矩阵，x为一个n维列向量，b为一个m维列向量4.3线性方程组的解法4.3.1矩阵消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为行阶梯形或最简形4.3.2克拉默法则Ax = b的解可以表示为x = (Dx1/D, Dx2/D, ..., Dxn/D)，其中D 为系数矩阵A的行列式，Di为将第i列的系数替换为b后的行列式4.3.3矩阵求逆法若A为可逆矩阵，则Ax=b的解可以表示为x=A^(-1)b以上是线性代数的一些重要公式，通过理解和掌握这些公式，可以帮助我们解决线性代数相关的问题和应用。
线性代数公式定理大全
线性代数公式大全第一章 行列式1．逆序数 1.1 定义n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ⋅⋅⋅，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ⋅⋅⋅表示，()12n i i i τ⋅⋅⋅等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。
1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。
证明如下：设排列为111l m n a a ab b bc c ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c ，再作1m +次相邻对换后，变成111l m n a a bb b ac c ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()2121111m τττ+=-=-，故原命题成立。
2．n 阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。
性质2：互换任意两行（列）其值变号。
性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。
性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。
性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。
行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。
对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵，()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==⇒+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当是2n个行列式之和，即A B A B+≠+。
韦达定理的一般形式为：()121201201110; ; 1n nnn n n n n n n n n i i j i i i j i n n n a a aa x a xa xa x x x x a a a ------=≠==++++=⇒=-==-∑∑∏一、行列式定义 1．定义111212122212n n n n nna a a a a a a a a n n nj j j j j j a a a 221211)()1(τ∑-=其中逆序数 ()121n j j j j τ=后面的1j 小的数的个数 2j +后面比2j 小的数的个数+1n j -+后面比1n j -小的数的个数.2．三角形行列式1112122200n n nna a a a aa 11212212000n n nna a a a a a =1122nn a a a=1211000n n n nn nna a a a a -111212122100n n a a a a a a =()()12112111n n n n n a a a τ-⋅⎡⎤⎣⎦-=-()()1212111n n n n n a a a --=-二、行列式性质和展开定理1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理1122i k i k in kn ik a A a A a A A δ+++=A A a A a A a jk nk nj k j k j δ=+++2211三、重要公式 设A 是n 阶方阵，则 1．T A A =2．11A A--=3．1*n A A-=4．n kA k A =5．AB A B =，其中B 也是n 阶方阵6．设B 为m 阶方阵，则00A C A A B B CB ==()10mnAC A A BB CB==-7．范德蒙行列式()1222212111112111n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏四．有关结论 1．对于,n n n n A B ⨯⨯(1)00A A ⇒==⇐ (2) A B A B⇒==⇐2.A 为n 阶可逆矩阵A E A E ⇔→⇔→行变列变（A 与E 等价）0AX ⇔=只有惟一零解AX b ⇔=有惟一解（克莱姆法则） A ⇔的行（列）向量组线性无关 A ⇔的n 个特征值0,1,2,,i i n λ≠=⇔A 可写成若干个初等矩阵的乘积 ⇔)()(B r AB r = ⇔A A T 是正定矩阵⇔A 是n R 中某两组基之间的过渡矩阵3.A 为n 阶不可逆矩阵0=A 0AX ⇔=有非零解 ⇔n A r <)( ⇔0是A 的特征值 ⇔A A -=4.若A 为n 阶矩阵，)2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值，则∏==ni i A 1λ5.若B A ~，则B A =行列式的基本计算方法：1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。
线性代数公式总结大全
线性代数公式1、行列式1.n 行列式共有n 2个元素，展开后有n !项，可分解为2n 行列式；2.代数余子式的性质：①、A ij和a ij的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3.代数余子式和余子式的关系：M ij=(-1)i +j Aij4.设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D 1，则D 1=(-1)n (n -1)2A ij=(-1)i +j MijD ；D ；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D 2，则D 2=(-1)将D 主副角线翻转后，所得行列式为D 4，则D 4=D ；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积⨯(-1)n (n -1)2n (n -1)2将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为D 3，则D 3=D ；；③、上、下三角行列式（◥=◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积⨯(-1)⑤、拉普拉斯展开式：n (n -1)2；A O A C C A O A==A B 、==(-1)m n A BC B O B B O B C⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于n 阶行列式A ，恒有：λE -A =λn +∑(-1)k S kλn -k ，其中S k为k 阶主子式；k =1n7.证明A =0的方法：①、A =-A ；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax =0，证明其有非零解；④、利用秩，证明r (A )<n ；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵8.A 是n 阶可逆矩阵：⇔A ≠0（是非奇异矩阵）；⇔r (A )=n （是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组Ax =0有非零解；⇔∀b ∈R n ，Ax =b 总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0；⇔A T A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是R n 的一组基；⇔A 是R n 中某两组基的过渡矩阵；9.对于n 阶矩阵A ：AA *=A *A =A E 无条件恒成立；10.(A -1)*=(A *)-1(AB )T =B T A T(A -1)T =(A T )-1(AB )*=B *A *(A *)T =(A T )*(AB )-1=B -1A -111.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；12.关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：⎛A 1若A =⎝A2⎫⎪⎪，则：⎪⎪A s⎭A s；-1A 2Ⅰ、A =A 1A2⎛A 1-1 -1Ⅱ、A =⎝-1⎫⎪⎪；⎪⎪A s-1⎪⎭O ⎫⎪；（主对角分块）B -1⎭B -1⎫⎪；（副对角分块）O ⎭⎛A -1⎛A O ⎫②、 ⎪=O B ⎝⎭⎝O ⎛O ⎛O A ⎫③、 ⎪= -1⎝B O ⎭⎝A-1⎛A -1⎛A C ⎫④、 ⎪=O B ⎝⎭⎝O -1-1-A -1CB -1⎫⎪；（拉普拉斯）B -1⎭O ⎫；（拉普拉斯）-1⎪B ⎭⎛A -1⎛A O ⎫⑤、 ⎪= -1-1C B ⎝⎭⎝-B CA3、矩阵的初等变换与线性方程组13.一个m ⨯n 矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F = r⎝O 对于同型矩阵A 、B ，若r (A )=r (B )⇔A B ；14.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；15.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(A ,E )(E ,X )，则A 可逆，且X =A -1；②、对矩阵(A ,B )做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成A B ，即：(A ,B )~(E ,A -1B )；-1c r⎛E O ⎫⎪；O ⎭m ⨯n等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax =b ，如果(A ,b )(E ,x )，则A 可逆，且x =A -1b ；16.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；⎛λ1λ2②、Λ=⎝⎫⎪⎪，左乘矩阵A ，λ乘A 的各行元素；右乘，λ乘A 的各列元素；i i ⎪⎪λn⎭-1r⎛1⎫⎛1⎫⎪ ⎪③、对调两行或两列，符号E (i ,j )，且E (i ,j )-1=E (i ,j )，例如： 1⎪= 1⎪； 1⎪1⎪⎝⎭⎝⎭-1⎛1⎛1⎫11 ⎪-1④、倍乘某行或某列，符号E (i (k ))，且E (i (k ))=E (i ())，例如： k ⎪= k k ⎪1 ⎝⎭⎝-1⎫⎪⎪(k ≠0)；⎪1⎪⎭k ⎫-k ⎫⎛1⎛1 ⎪ ⎪=1⑤、倍加某行或某列，符号E (ij (k )),且E (ij (k ))-1=E (ij (-k ))，如： 1⎪ ⎪(k ≠0)；1⎪1⎪⎝⎭⎝⎭17.矩阵秩的基本性质：①、0≤r (A m ⨯n)≤min(m ,n )；②、r (A T )=r (A )；③、若AB ，则r (A )=r (B )；④、若P 、Q 可逆，则r (A )=r (PA )=r (AQ )=r (PAQ )；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r (A ),r (B ))≤r (A ,B )≤r (A )+r (B )；（※）⑥、r (A +B )≤r (A )+r (B )；（※）⑦、r (AB )≤min(r (A ),r (B ))；（※）⑧、如果A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯s 矩阵，且AB =0，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组AX =0解（转置运算后的结论）；Ⅱ、r (A )+r (B )≤n⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则r (AB )≥r (A )+r (B )-n ；18.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；⎛1a c ⎫⎪②、型如 01b ⎪的矩阵：利用二项展开式； 001⎪⎝⎭二项展开式：(a +b )=C a +C a b +注：Ⅰ、(a +b )n 展开后有n +1项；n (n -1)(n -m +1)n !=123m m !(n -m )!m nn -mnnnn1nn -11+C am nn -mb +m +Cn -11n -1na b m m n -m ；+C b=∑Cna b n nnm =0n Ⅱ、C nm=0n C n=C n=1Ⅲ、组合的性质：C =C Cm n +1=C +Cm nm -1n∑Cr =0n r n=2nr r -1rC n=nC n -1；③、利用特征值和相似对角化：19.伴随矩阵：⎧n⎪①、伴随矩阵的秩：r (A *)=⎨1⎪0⎩r (A )=n r (A )=n -1；r (A )<n -1②、伴随矩阵的特征值：③、A *=A A -1、A *=A Aλ(AX =λX ,A *=A A -1⇒A *X =AλX )；n -120.关于A 矩阵秩的描述：①、r (A )=n ，A 中有n 阶子式不为0，n +1阶子式全部为0；（两句话）②、r (A )<n ，A 中有n 阶子式全部为0；③、r (A )≥n ，A 中有n 阶子式不全为0；21.线性方程组：Ax =b ，其中A 为m ⨯n 矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax =b 有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax =b 为n 元方程；22.线性方程组Ax =b 的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；23.由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：⎧a 11x 1+a 12x 2++a 1n x n =b 1⎪a x +a x ++a x =b ⎪2n n 2①、⎨211222；⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2++a nm x n =b n⎛a 11a 12 a a 22②、 21 ⎝a m 1am 2a 1n⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫⎪⎪ ⎪a 2n ⎪x 2⎪ b 2⎪=⇔Ax =b （向量方程，A 为m ⨯n 矩阵，m 个方程，n 个未知数）⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪a mn ⎭⎝x m ⎭⎝b m ⎭⎛x 1⎫⎛b 1⎫ ⎪ ⎪x b 2a n ) ⎪=β（全部按列分块，其中β= 2⎪）； ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝x n ⎭⎝b n ⎭③、(a1a2④、a 1x 1+a 2x 2++a nx n=β（线性表出）⑤、有解的充要条件：r (A )=r (A ,β)≤n （n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性24.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：α1,α2,,αm构成n ⨯m 矩阵A =(α1,α2,,αm)；T m 个n 维行向量所组成的向量组B ：β1T ,β2,⎛β1T ⎫T ⎪βT ,βm构成m ⨯n 矩阵B = 2⎪； ⎪ βT ⎪⎪⎝m ⎭含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；25.①、向量组的线性相关、无关⇔Ax =0有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出（线性方程组）⇔Ax =b 是否有解；③、向量组的相互线性表示（矩阵方程）⇔AX =B 是否有解；26.矩阵A m ⨯n与B l ⨯n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax =0和Bx =0同解；(P101例14)27.r (A T A )=r (A )；(P 101例15)28.n 维向量线性相关的几何意义：⇔α=0；①、α线性相关②、α,β线性相关⇔α,β坐标成比例或共线（平行）；③、α,β,γ线性相关⇔α,β,γ共面；29.线性相关与无关的两套定理：若α1,α2,,αs 线性相关，则α1,α2,,αs,αs +1必线性相关；若α1,α2,,αs线性无关，则α1,α2,,αs -1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n -r 个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；30.向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r ≤s (二版P 74定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则r (A )≤r (B )；（P 86定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示⇔AX =B 有解；⇔r (A )=r (A ,B )（P 85定理2）向量组A 能由向量组B 等价⇔r (A )=r (B )=r (A ,B )（P 85定理2推论）,P l，使A =P 1P2P l；31.方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵P 1,P 2,r①、矩阵行等价：A ~B ⇔PA =B （左乘，P 可逆）⇔Ax =0与Bx =0同解②、矩阵列等价：A ~B ⇔AQ =B （右乘，Q 可逆）；③、矩阵等价：A ~B ⇔PAQ =B （P 、Q 可逆）；对于矩阵A m ⨯n 与B l ⨯n：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则Ax =0与Bx =0同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A 的行秩等于列秩；若A m ⨯s B s ⨯n =C m ⨯n，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，A T 为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx =0的解一定是ABx =0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、ABx =0只有零解⇒Bx =0只有零解；②、Bx =0有非零解⇒ABx =0一定存在非零解；设向量组B n ⨯r:b 1,b 2,,b r可由向量组A n ⨯s :a 1,a 2,,a s线性表示为：（P 110题19结论）(b 1,b 2,,b r)=(a 1,a 2,,a s)K （B =AK ）c 32.33.34.35.其中K 为s ⨯r ，且A 线性无关，则B 组线性无关⇔r (K )=r ；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：r =r (B )=r (AK )≤r (K ),r (K )≤r ,∴r (K )=r ；充分性：反证法）注：当r =s 时，K 为方阵，可当作定理使用；36.①、对矩阵A m ⨯n，存在Q n ⨯m，AQ =E m⇔r (A )=m 、Q 的列向量线性无关；（P 87）②、对矩阵A m ⨯n ，存在P n ⨯m ，PA =E n⇔r (A )=n 、P 的行向量线性无关；37.α1,α2,,αs线性相关⇔存在一组不全为0的数k 1,k 2,,k s，使得k 1α1+k 2α2++k s αs=0成立；（定义）⎛x 1⎫ ⎪x ,αs ) 2⎪=0有非零解，即Ax =0有非零解； ⎪ ⎪⎝x s ⎭⇔(α1,α2,⇔r (α1,α2,,αs)<s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；38.设m ⨯n 的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组Ax =0的解集S 的秩为：r (S )=n -r ；39.若η*为Ax =b 的一个解，ξ1,ξ2,,ξn -r为Ax =0的一个基础解系，则η*,ξ1,ξ2,,ξn -r线性无关；（P111题33结论）5、相似矩阵和二次型40.正交矩阵⇔A T A =E 或A -1=A T （定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即a i T a j=⎨⎧1⎩0i =j i ≠j(i ,j =1,2,n )；②、若A 为正交矩阵，则A -1=A T 也为正交阵，且A =±1；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；41.施密特正交化：(a 1,a 2,,a r)b 1=a 1；b 2=a 2-[b 1,a 2]b 1[b 1,b 1]b r =a r -[b 1,a r ][b ,a ]b 1-2r b 2-[b 1,b 1][b 2,b 2]-[b r -1,a r ]b r -1;[b r -1,b r -1]42.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；43.①、A 与B 等价⇔A 经过初等变换得到B ；⇔PAQ =B ，P 、Q 可逆；⇔r (A )=r (B )，A 、B 同型；②、A 与B 合同⇔C T AC =B ，其中可逆；⇔x T Ax 与x T Bx 有相同的正、负惯性指数；③、A 与B 相似⇔P -1AP =B ；44.相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则C T AC =B ⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；45.A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；46.n 元二次型x T Ax 为正定：⇔A 的正惯性指数为n ；⇔A 与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使C T AC =E ；⇔A 的所有特征值均为正数；⇔A 的各阶顺序主子式均大于0；⇒a ii>0,A >0；(必要条件)。
考研数学线代定理公式汇总
考研数学线代定理公式汇总1.行列式定理:(1) 行列式的值不变性: 对于可逆矩阵A，有det(AB) =det(A)det(B)。
(2)若存在行(列)线性相关，则行列式为0。
(3)拉普拉斯定理:对于n阶行列式，可以通过余子式展开得到。
2.线性方程组定理:(1)线性方程组存在唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数，并且扩展矩阵的秩等于系数矩阵的秩。
(2)齐次线性方程组存在非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于方程组的未知数个数。
(3)利用矩阵的逆可以求解非齐次线性方程组。
3.矩阵定理:(1)矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
(2)若矩阵A可对角化，则A与其相似矩阵具有相同的特征值。
(3)奇异值分解定理:对于任意矩阵A，都可以分解成奇异值分解形式:A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
4.向量空间定理:(1)向量组的线性相关性可以通过列向量组的秩判断，如果秩小于向量个数，则线性相关。
(2)向量组的秩等于向量组的极大线性无关组的向量个数。
(3) rank(A^T) = rank(A)，其中A是矩阵。
(4)若A和B是可逆矩阵，则(A^T)^-1=(A^-1)^T。
5.特征值与特征向量定理:(1)特征值方程的根为矩阵的特征值。
(2)若特征值λ是矩阵A的特征值，对应的特征向量组成的集合是由矩阵A-λI的零空间生成的。
(3)矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
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当然，线性代数的内容还是比较广泛的，还有很多其他的定理和公式，如矩阵行列式的性质、特征值与特征向量的性质、矩阵的幂等性等。
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考研数学线性代数常用公式
考研数学线性代数常用公式数学考研考前必背常考公式集锦。
希望对考生在暑期的复习中有所帮助。
本文内容为线性代数的常考公式汇总。
1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即A= a i1 A i1+ a i2 A i2+...+ a in A in( i =1, 2,..., n)= a1j A1j+ a 2j A2j+...+ a nj A nj( j =1, 2,..., n)推论：行列式的一行（或列）所有元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即n∑a ij A kj= a i1 A k1+ a i2 A k2+...+ a in A kn=0,(i≠k )j=1n∑a ji A jk= a1i A1k+ a2i A2k+...+ a ni A nk=0(i≠k )j=12、设 A =(a ij)m⨯n，B =(b ij)n⨯k（注意 A 的列数和 B 的行数相等），定义矩阵nC =(c ij)m⨯k，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+...+a in b nj=∑a ik b kj，称为矩阵 A 与矩阵 B 的k =1的乘积，记作 C = AB .如果矩阵A为方阵，则定义An=A⋅A...A为矩阵 A 的 n 次幂.n个A不成立的运算法则AB≠BAAB=O≠>A =O或B=O3、设 A 为n阶方阵，A*为它的伴随矩阵则有 AA *= A * A = A E .设 A 为n阶方阵，那么当 AB = E 或 BA = E 时，有 B -1 = A4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：第一种：交换单位矩阵的第 i 行和第 j 行得到的初等矩阵记作E ij，该矩阵也⎛ 0 0 1 ⎫ 可以看做交换单位矩阵的第 i 列和第 j 列得到的.如 E 1,3 0 1 0 ⎪= ⎪ .1 0 0 ⎪⎝ ⎭第二种：将一个非零数 k 乘到单位矩阵的第 i 行得到的初等矩阵记作 E i ( k ) ；该矩 阵 也 可 以 看 做 将 单 位 矩 阵 第 i 列 乘 以 非 零 数 k 得 到 的 . 如⎛ 1 0 0 ⎫E 2 (-5) 0 -5 0 ⎪ = ⎪ .0 0 1 ⎪⎝ ⎭第三种：将单位矩阵的第 i 行的 k 倍加到第 j 行上得到的初等矩阵记作 E ij ( k ) ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第 j 列的 k 倍加到第 i 列上得到的.如⎛ 1 0 0 ⎫ E 3,2 (-2) 0 1 -2 ⎪= ⎪ .0 0 1 ⎪⎝ ⎭注：1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的.2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵 E ij ( k ) 看做列变换是将单位矩阵第 j 列的k 倍加到第 i 列，这一点考生比较容易犯错.5、矩阵 A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵 A 的秩，记为 r ( A ) .1） r ( A ) = r ( A T ) = r ( k A ), k ≠ 0 ；2） A ≠ O ⇔ r (A ) ≥ 1；3） r ( A ) = 1 ⇔ A ≠ O 且 A 各行元素成比例；4）设 A 为 n 阶矩阵，则 r ( A ) = n ⇔ A ≠ 0 . 6、线性表出设 α1 , α 2 ,...,αm 是 m 个 n 维 向 量 ， k 1 , k 2 ,...k m 是 m 个 常 数 ， 则 称k 1α1 + k 2α 2 + ... + k m αm 为向量组α1 , α 2 ,...,αm 的一个线性组合.设 α1,α2 ,...,αm 是 m 个 n 维向量， β 是一个 n 维向量，如果 β 为向量组α1 , α2 ,...,αm的一个线性组合，则称向量β可以由向量组α1 , α2 ,...,αm线性表出.线性相关设α1 , α2 ,...,αm是m个n维向量，如果存在不全为零的实数k1 , k2 ,..., k m，使得k1α1+ k 2α2+...+ k mαm=0，则称向量组α1,α2,...,αm线性相关.如果向量组α1 , α2 ,...,αm不是线性相关的，则称该向量组线性无关.与线性表出与线性相关性有关的基本定理定理1：向量组α1 , α2 ,...αm线性相关当且仅当α1 , α2 ,...αm中至少有一个是其余m-1 个向量的线性组合.定理2：若向量组α1 , α2 ,...αm线性相关，则向量组α1 , α2 ,..., αm ,αm+1也线性相关.注：本定理也可以概括为“部分相关⇒整体相关”或等价地“整体无关⇒部分无关”.定理3：若向量组α1 , α2 ,...αm线性无关，则向量组α1 , α2 ,...αm的延伸组⎛α⎫ ⎛α⎫⎛α⎫也线性无关.1⎪ , 2⎪,..., m⎪⎝β1⎭ ⎝β2 ⎭⎝βm ⎭定理4：已知向量组α1 , α2 ,...αm线性无关，则向量组α1 , α2 ,...αm , β线性相关当且仅当β可以由向量组α1,α2 ,...αm线性表出.定理 5：阶梯型向量组线性无关.定理6：若向量组α1 , α2 ,...,αs可以由向量组β1 , β2 ,..., βt线性表出，且α1 , α2 ,...,αs线性无关，则有s≤t.注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组α1 ,α2 ,...,αs可以由向量组β1 , β2 ,..., βt线性表出，且 s > t ，则α1,α2,...,αs线性相关.对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.”定理7：n +1个n维向量必然线性相关.7、线性方程组解的存在性设 A =(α1,α2,...,αn)，其中α1,α2,...,αn为 A 的列向量，则线性方程组 Ax = b 有解⇔向量 b 能由向量组α1,α2,...,αn线性表出；⇔r (α1,α2,...,αn)= r (α1,α2,...,αn,b )；⇔r ( A )= r ( A, b)线性方程组解的唯一性当线性方程组 Ax = b 有解时， Ax = b 的解不唯一（有无穷多解）⇔线性方程组的导出组 Ax =0有非零解；⇔向量组α1 , α2 ,...,αn线性相关；⇔r (α1,α2,...,αn)< n ；⇔r ( A )< n .注：1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知r (A )< n 是不能得到 Ax = b 有无穷多解的，也有可能无解.2）定理 2是按照 Ax = b 有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出 Ax = b 有唯一解的条件.8、特征值和特征向量：设 A 为 n 阶矩阵，λ是一个数，若存在一个 n 维的非零列向量α使得关系式 Aα = λα成立.则称λ是矩阵 A 的特征值，α是属于特征值λ的特征向量.称为矩阵 A 的特征多项式.设 E 为 n 阶单位矩阵，则行列式λE - A注：1）要注意：特征向量必须是非零向量；2）等式 Aα = λα也可以写成(A - λE)α =0，因此α是齐次线性方程组( A - λE ) x =0的解，由于α ≠0，可知( A - λE ) x =0是有非零解的，故A - λE =0；反之，若 A - λE =0，那么齐次线性方程组( A - λE ) x =0有非零解，可知存在α ≠ 0 使得(A-λE)α = 0，也即Aα = λα.由上述讨论过程可知：λ是矩阵 A 的特征值的充要条件是 A - λE =0（或λE- A =0），而特征值λ的特征向量都是齐次线性方程组( A - λE ) x =0的非零 解.3）由于λE - A 是 n 次多项式，可知 A - λE =0有 n 个根（包括虚根），也即 n 阶矩阵有 n 个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量9、矩阵的相似对角化定理1： n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是矩阵 A 存在 n 个线性无关的特征向量.同时，在等式 A = P ΛP-1中，对角矩阵Λ的元素为 A 的 n 个特征值，可逆矩阵 P 的列向量为矩阵 A 的 n 个线性无关的特征向量，并且 P 中特征向量的排列顺序与Λ中特征值的排列顺序一致.推论：设矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则矩阵 A 可相似对角化.定理2： n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是对任意特征值λ，λ线性无关的特征向量个数都等于λ的重数.推论： n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是对任意特征值λ，n - r (λE - A)=λ的重数.10、设 A 为实对称矩阵（ A T= A ），则关于 A 的特征值与特征向量，我们有如下的结论：定理1： A 的所有特征值均为实数，且 A 的的所有特征向量均为实数.定理2： A 属于不同特征值的特征向量必正交.定理3：A 一定有 n 个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化.且存在正交矩阵 Q ，使得 Q -1 AQ = Q T AQ = diag (λ1,λ2,...,λn)，其中λ1,λ2,...,λn为矩阵 A 的特征值.我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵.n n11、如果二次型∑∑a i j x i x j中，只含有平方项，所有混合项 x i x j(i ≠ j)的系i=1j =1数全为零，也即形如 d1 x12+ d 2 x22+...+ d n x n2，则称该二次型为标准形。
线性代数性质定理公式全总结
概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r(A) nA的列（行）向量线性无关的特征值全不为0AA 0 A x x Ax只有零解，nR, Ax总有唯一解TA A是正定矩阵A EA p p p p 是初等阵1 2 s i存在n阶矩阵B,使得AB E 或AB E○注：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.A不可逆r(A) n0 的列（行）向量线性相关AA0是的特征值A有非零解, 其基础解系即为关于0的特征向量AxAr (aE bA) n○注aE bA (aE bA) x 有非零解=- ab1向量组等价矩阵等价( )矩阵相似( )具有反身性、对称性、传递性矩阵合同( )√关于e e e ：1, 2, , n①称为n 的标准基，n 中的自然基，单位坐标向量p教材87 ；②e1,e2, ,e n 线性无关；③e1,e2, ,e n 1；④tr E=n ；⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2 , ,e n 线性表示.a a a11 12 1n行列式的定义a a a21 22 2n ( j j j )1D ( ) a a an 1j 2 j nj1 2 n1 2 nj j j1 2 na a an1 n2 nn√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.2②若A与B 都是方阵（不必同阶）, 则A O A A O=O B O B BO A A= ( 1)B O B OmnABA B（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.a O a1n1n④关于副对角线：a a2n 1 2n 1n(n1)( 1) 2 （即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）a a a1n 2n n1a O a On1 n11 1 1x x x1 2 n⑤范德蒙德行列式： 2 2 2x x x1 2 nx xi j1 j i nn 1 n 1 n 1x x x1 2 na a a11 12 1n矩阵的定义由m n个数排成的m 行n列的表 A a a a21 22 2n 称为m n矩阵. 记作：A a 或A m nij m na a am1 m2 mnA A A11 21 n1伴随矩阵*A AijA A AT n12 22 2，A为 A 中各个元素的代数余子式.ijA A A1n 2n nn√逆矩阵的求法:3① A 1AA○注：1a b 1 d b 主换位c d ad bc c a 副变号②初等行变换1( A E) (E A )a11 1a1a11 1a3③ a21a2a21a2 a31a3a31a1√方阵的幂的性质：m n m n m n mnA A A (A ) (A)√设A m n ,B n s, A 的列向量为1, 2, , n , B 的列向量为1, 2 , , s ，b b b11 12 1s则AB C m sb b b21 22 2 s, , , c ,c , ,c1 2 n 1 2 sA c ，(i 1,2 , ,s)i ii 为Ax c i 的解b b bn1 n2nsA 1, 2 , s , A 1 A, 2 s , A , c1 s cc1,2,c2, ,, c c s 可由, 1, 2 , , n 线性表示. 即：C 的列向量能由A的列向量线性表示，B 为系数矩阵.同理：C 的行向量能由 B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵.a a a c11 12 1n 1 1 a a a c11 1 12 2 1n 2 1即：a a a c21 22 2n 2 2a a a c21 1 22 2 2n 2 2a a a cn1 n2 mn n ma a a cm1 1 m 2 2 mn 2 m√用对角矩阵○左乘一个矩阵, 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；4用对角矩阵○右乘一个矩阵, 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵：T T T A B A CT T C D B D分块矩阵的逆矩阵：1 1A AB B 11 1A B1B A1 1 1 1A C A A CB1 1A O A OO B O B 1 1C B B CA B分块对角阵相乘：A B11 11A ,BA B22 22ABA B11 11A B22 22, nAnA11nA22分块对角阵的伴随矩阵：* *A BA*B AB*mnA ( 1) A BmnB ( 1) B A√矩阵方程的解法( A 0) ：设法化成(I) AX B 或(II) XA B初等行变换(I) 的解法：构造( A B) ( E X )T T T (II) 的解法：将等式两边转置化为 AX B ，T用(I) 的方法求出X ，再转置得X①零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.5③部分相关, 整体必相关；整体无关, 部分必无关. （向量个数变动）④原向量组无关, 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关. （向量维数变动）⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关教材.p114⑥向量组1, 2, , n 中任一向量i (1≤i ≤n) 都是此向量组的线性组合.⑦向量组1, 2, , n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示.向量组1, 2 , , n 线性无关向量组中每一个向量i 都不能由其余n 1个向量线性表示.⑧m维列向量组1, 2 , , n 线性相关r(A) n；m 维列向量组1, 2 , , n 线性无关r (A) n .⑨若1, 2 , , n 线性无关，而1, 2, , n , 线性相关,则可由1, 2, , n 线性表示, 且表示法唯一.⑩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.6√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A；对A施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .矩阵的秩如果矩阵 A 存在不为零的r 阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r . 记作r ( A) r向量组的秩向量组1, 2 , , n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩. 记作r( 1 , 2 , , n)矩阵等价A经过有限次初等变换化为 B . 记作： A B向量组等价1, 2, , n 和1, 2 , , n 可以相互线性表示.记作：1, 2, , n 1, 2, , n? 矩阵A与B 等价PAQ B ，P,Q 可逆r (A) r (B), A, B为同型矩阵A, B作为向量组等价, 即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B 作为向量组等价r( , , , n) r( , , , n) r ( 1, 2, n, 1 , 2 , , n )1 2 1 2矩阵A与B 等价.? 向量组1, 2, , s 可由向量组1, 2, , n 线性表示A X B 有解r ( 1, 2, , n )= r ( 1, 2, n, 1, 2 , , s ) r( 1, 2 , , s ) ≤r( 1, 2 , , n) . ? 向量组1, 2, , s 可由向量组1, 2, , n 线性表示,且s n，则1, 2 , , s 线性相关.向量组1, 2, , s 线性无关, 且可由1, 2, , n 线性表示,则s≤n .? 向量组1, 2, , s 可由向量组1, 2, , n 线性表示,且r ( 1 , 2, , s ) r( 1, 2 , , n ) , 则两向量组等价；p教材94,例10? 任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价.7? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.? 若两个线性无关的向量组等价, 则它们包含的向量个数相等.?设A是m n矩阵, 若r ( A) m，A的行向量线性无关；若r ( A) n ，A的列向量线性无关, 即：1, 2 , , n 线性无关. √矩阵的秩的性质：r A r A r A A p教材101,T T①若A O r (A) ≥ 1 若A O r( A) 0 0≤r( A) ≤min( m, n) ②( ) ( ) ( )m n 例15③r (kA) r (A) 若k 0④若A , B ,若r( A B) 0m n n s r( A) r (B) nB的列向量全部是Ax 的解⑤r ( AB) ≤min r ( A), r (B)⑥若A可逆r ( AB) r (B)若B可逆r AB r A( ) ( )即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.Ax只有零解⑦若r (A m n) nr ( AB) r (B)A在矩阵乘法中有左消去律AB O B O AB AC B C；若r (B ) nn s r ( AB) r (B)B在矩阵乘法中有右消去律.8E O E Or r⑧( )若r A r A与唯一的等价，称为矩阵A的等价标准型.O O O O⑨r (A B) ≤r (A) r (B) max r ( A), r (B) ≤r(A,B) ≤r (A) r (B) p教材70A O O A⑩r r (A) r(B) O B B OA Cr r (A) r(B)O B当为方阵时AAx 有无穷多解 A 0n表示法不唯一, , , 线性相关0有非零解Ax 1 2 n可由, , , 线性表示Ax 有解r (A) r (A )1 2 n A当为方阵时Ax 有唯一组解 A 0 克莱姆法则n表示法唯一, , , 1 2线n性无关只有零解Axr (A) r (A )不可由, , , 线性表示Ax 无解r (A) r( A)1 2 n教材72r (A) 1 r ( A )讲义87Ax有无穷多解其导出组有非零解○注：Ax有唯一解其导出组只有零解式Ax 向量式x x x阵线性方程组的矩1 12 2 n n9a a a x b11 12 1n 1 11 ja a a x b21 22 2n 2 2A , x , j2 j, ,2, ,j 1 na a a x bm1 m 2 mn n mmjx1( , , , n)1 2 x 2 x nT T T T T T T 矩阵转置的性质：( A ) A ( AB) B A ( k A) kATT T TA A (A B) A B1 T T 1 T T(A ) (A ) ( A ) ( A )矩阵可逆的性质： 1 1( A ) A1 1 1( AB) B A1 1 1( k A) k A1A A1 1 1 1(A B) A B1 k k 1 k(A ) (A ) A伴随矩阵的性质：n 2( A ) A A ( AB) B A n 1( k A) k A A An 1 * * *(A B) A B1 1( ) ( ) AA A ( ) ( )k kA AAn r(A) n若r(A ) 1 r(A) n 1若AB A B nkA k AkkA A AB A B AA A A A E （无条件恒成立）0 r(A) n 1若10(1) , 是Ax 的解, 也是它的解1 2 1 2(2) 是Ax 的解,对任意k, k 也是它的解齐次方程组(3) , , , 是Ax 的解, 对任意k个常数1 2 k, , , , 也是它的解1 2 k 1 1 2 2 k k线性方程组解的性质：(4) , ,是Ax 的解是其导出组Ax 的解是Ax 的解(5) , Ax , Ax是的两个解是其导出组的解 12 1 2(6 ) Ax , Ax是的解则也是它的解是其导出组的解2 1 1 2(7) , , , Ax ,是的解则 1 2k也是的解Ax1 12 2 k k 1 2 k1是的解Ax 0 0 1 1 2 2 k k1 2 k√设A为m n矩阵, 若r (A) m r (A) r ( A ) Ax 一定有解，当m n 时, 一定不是唯一解方程个数未知数的个数向量维数向量个数, 则该向量组线性相关.m 是r ( A)和r (A ) 的上限.√判断1, 2, , s 是Ax 的基础解系的条件：①1, 2, , s 线性无关；②1, 2, , s 都是Ax 的解；③s n r (A) 每个解向量中自由未知量的个数.√一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是Ax 的一个解，1, , , s 是Ax 的一个解1, , , s , 线性无关√Ax 与Bx 同解（A,B 列向量个数相同）, 则：①它们的极大无关组相对应, 从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同的内在线性关系.A.√两个齐次线性线性方程组Ax 与Bx 同解r r ( A) r (B)BA. √两个非齐次线性方程组Ax 与Bx 都有解，并且同解r r (A) r(B)B11√矩阵A与B l n 的行向量组等价齐次方程组Ax 与Bx 同解PA B （左乘可逆矩阵P ）；m n p教材101矩阵A m n 与B l n 的列向量组等价AQ B （右乘可逆矩阵Q ） .√关于公共解的三中处理办法：①把(I) 与(II) 联立起来求解；②通过(I) 与(II) 各自的通解，找出公共解；当(I) 与(II) 都是齐次线性方程组时，设1 , 2, 3 是(I) 的基础解系, 4, 5 是(II) 的基础解系，则(I) 与(II) 有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：r ( , , ) r( , , c c )1 2 3 1 2 3 1 4 2 5当(I) 与(II) 都是非齐次线性方程组时，设1c1 1 c2 2 是(I) 的通解， 2 c3 3 是(II) 的通解，两方程组有公共解2c3 3 1 可由 1 , 2线性表示. 即：r( 1, 2) r ( 1, 2 2 c3 3 1)③设(I) 的通解已知，把该通解代入(II) 中，找出(I) 的通解中的任意常数所应满足(II) 的关系式而求出公共解。
线性代数全公式_线性代数公式定理总结
线性代数全公式基本运算①A B B A +=+②()()C B A C B A ++=++③()cB cA B A c +=+ ()dA cA A d c +=+ ④()()A cd dA c =⑤00=⇔=c cA 或0=A 。
()A A TT=()TT TB A B A ±=±()()T TA c cA =。
()TT TA B AB =()()()212112-==-n n C n n n τn n A a A a A a D 2222222121+++=转置值不变A A T = 逆值变AA11=- A c cA n =γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+()321,,ααα=A ，3阶矩阵 ()321,,βββ=B B A B A +≠+()332211,,βαβαβα+++=+B A332211,,βαβαβα+++=+B A B A B A B A =*=*00()()1,=c j i E有关乘法的基本运算nj in j i j i ij b a b a b a C +++= 2211 线性性质 ()B A B A B A A 2121+=+， ()2121AB AB B B A +=+ ()()()cB A AB c B cA == 结合律 ()()BC A C AB =()TT TA B AB =B A AB =l k l k A A A += ()kl lkA A =()kk kB A AB =不一定成立！A AE =，A EA =()kA kE A =，()kA A kE =E BA E AB =⇔=与数的乘法的不同之处()kk kB A AB =不一定成立！无交换律 因式分解障碍是交换性一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 ()()E A E A E A A +-=--3322无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当0=AB 时0=⇒/A 或0=B 由0≠A 和00=⇒/=B AB由0≠A 时C B AC AB =⇒/=（无左消去律） 特别的 设A 可逆，则A 有消去律。
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1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质：①、A j和a^的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；3. 代数余子式和余子式的关系：M ij （ 1）i j A ij A ij （ 1）i j M ij4. 设n行列式D :n（n 1）n（n 1）将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D!，则U （ 1）F D；D2 （ 1L D 将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为D2，贝U；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3 D ；将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4 D ；5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n（n 1）②、副对角行列式：副对角元素的乘积（1）h ；③、上、下三角行列式（、i ）:主对角元素的乘积;n （n 1）④、匚和丄：副对角元素的乘积（1）F ；⑤、拉普拉斯展开式: A||B、(1)mgn A B⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；n6. 对于n阶行列式A，恒有：E A n（1）W nk，其中S k为k阶主子式;k 17. 证明A 0的方法：①、A A ；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax 0，证明其有非零解；④、利用秩，证明r（A） n ;⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：A 0 （是非奇异矩阵）；r（A） n （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax 0有非零解；b R n，Ax b总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积;A 的特征值全不为 0;A T A 是正定矩阵；A 的行(列)向量组是 R n 的一组基;1A CB矩阵的初等变换与线性方程组2.行最简形矩阵：① 、只能通过初等行变换获得； ② 、每行首个非0元素必须为1;③ 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为 0;3.初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) ① 、若(A, E) - (E ,X)，则 A 可逆，且 X A 1 ;c② 、对矩阵(A, B)做初等行变化，当 A 变为E 时，B 就变成A 1B ，即：(A,B) (E, A 1B);r③ 、求解线形方程组：对于 n 个未知数n 个方程Ax b ，如果(A,b)・ (E,x)，则A 可逆，且x A 1b ; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：① 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;B2. 3.A 是R n 中某两组基的过渡矩阵； 对于n 阶矩阵A : AA * A * A A E 无条件恒 成立； 1 * * 1 1 T T 1 * T(A ) (A ) (A ) (A ) (A )T T T * * * 1 (AB) B A (AB) B A (AB)T * (A ) 1 1 B A 4. 5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和; 关于分块矩阵的重要结论， A 其中均 A 、B 可逆: A 2O A s ，则: A 1 A 2 L A s ； A 11n 、 A 21②、 ③、OA 1(主对角分块)(副对角分块)⑤、A B 1CA;(拉普拉斯)④、;(拉普拉斯) 1.一个n 矩阵 所有与E r O O O A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;A: B ;A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:等价类： 对于同型矩阵A 、B ，若r(A) r(B)1②、2，左乘矩阵A , i 乘A 的各行元素；右乘， i 乘A 的各列元素;5. 6. 7. ③、对调两行或两列, ④、倍乘某行或某列，⑤、倍加某行或某列，矩阵秩的基本性质:①、 ②、⑤、⑥、 ⑦、符号符号符号E(i, j)，且 E(i,j) 1E(i(k))，且 E(i(k)) 1E(ij(k))，且 E(ij (k)) 10 r(A m n ) min(m,n) r(A T ) r(A)；若 A : B ，则 r(A) r(B); 若P 、Q 可逆，则r(A)max(r(A),r(B)) r(A,B) r(A B) r(A) r(B)； E(i, j)，例如:E(i，例如:E(ij( k))，如:r(PA) r(AQ) r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩 r(A) r(B);(探)r(AB) min(r(A),r(B))； 如果A 是m n 矩阵，BI 、B 的列向量全部是齐次方程组 n 、r(A) r(B) n若A 、B 均为n 阶方阵，则r(AB) r(A)是n s 矩阵，且 AX AB 09:(小0解(转置运算后的结论)；r(B)(k 0)；k(k 0)；1三种特殊矩阵的方幕： ① 、秩为1的矩阵：一定可以分解为 列矩阵(向量)1 a② 、型如0 10 0cb 的矩阵：利用二项展开式; 1二项展开式: n On(a b) C ；a1 I C n a 1.1mb L C n a注: I 、 (ab)n 展开后有n1项; 行矩阵(向量)的形式, 再采用结合律;n 1 1. L C n a b1n . nC n bnm m ■ n mC n a b ;m 0n 、C n mn(n 1)L L (n m 1)n!1g2gg_ gmm!(n m)!C 0C ；『组合的性质：c ： C ； m ③、禾u 用特征值和相似对角化:伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩：r(A *)Cn 1Cnc m rC ；r(A)r(A) r(A)②、伴随矩阵的特征值： _A （AX X,A * A A 1 A *X — X ）;③ 、A * AA 1、A * A关于A 矩阵秩的描述：① 、r （A ） n , A 中有n 阶子式不为0, n 1阶子式全部为0;（两句话）② 、r （A ） n ，A 中有n 阶子式全部为0; ③ 、r （A ） n , A 中有n 阶子式不为0； 线性方程组：Ax b ，其中A 为m n 矩阵，则：① 、m 与方程的个数相同，即方程组 Ax b 有m 个方程； ② 、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b 为n 元方程；线性方程组Ax b 的求解： ① 、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；② 、齐次解为对应齐次方程组的解； ③ 、特解：自由变量赋初值后求得；由n 个未知数m 个方程的方程组构成 n 元线性方程：a 〔1 X [ a 〔2 X 2 La1n X n①、 a 21 X 1 a 22 X 2 L 氏n X nL L L L L L L L L L La m 1X 1 a m 2X 2L a nm X nb na11a12La1n X1b②、 a21比2 La 2nX2bAx b （向量方程，A 为mn 矩阵， m 个方程，n 个未知数）M M OM M Mam1 am 2La xmnmb mX 1b③、 a ! a 2 L aX 2 （全部按列分块，其中b2）；nMMX n b n④、 a X a 2 x 2 L a n X n（线性表出）⑤、有解的充要条件r(A) r （A, ） n （ n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性m 个 n 维列向量所组成的向量组 A :1, 2,L , m 构成n m 矩阵A(1,2,LT ,m )；m 个 n 维行向量所组成的向量组B :1T, 2丄，：构成m n 矩阵B1 T 2；MT m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;① 、向量组的线性相关、无关 Ax 0有、无非零解；（齐次线性方程组） ② 、向量的线性表出Ax b 是否有解；（线性方程组） ③ 、向量组的相互线性表示是否有 AX B 解；（矩阵方程）矩阵A m n 与B l n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 Ax 0和Bxr(A T A) r(A) ； ( R01 例 15)n 维向量线性相关的几何意义：① 、线性相关 0 ;② 、,线性相关 ，坐标成比例或共线（平行）； ③ 、,,线性相关，，共面；8. 9.10.11. 1. 2. 3. 4. 5. 0同解；（R 01例14）线性相关与无关的两套定理：若1, 2,L , s 线性相关，则 1, 2,L , s , s 1必线性相关；若i ，2，L , s 线性无关，则1，2 , L , s 1必线性无关；(向量的个数加加减减，二者为对偶) 若 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n r 个分量，构成 n 维向量组 B ：若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；(向量组的维数加加减减) 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示，且 A 线性无关，则r s(二版P /4定理7); 向量组A 能由向量组B 线性表示，则r(A) r(B) ； ( P &6定理3) 向量组 A 能由向量组 B 线性表示AX B 有解；r(A) r(A,B)( P $5定理 2)向量组A 能由向量组B 等价 r( A) r(B) r(A,B) ( P $5定理2推论) 方阵A 可逆 存在有限个初等矩阵 P i ，P 2,L ,P ，使A P 1P 2L P ,； ① 、矩阵行等价： A~B PA B (左乘，P 可逆) Ax 0与Bx 0同解c② 、矩阵列等价：A~B AQ B (右乘，Q 可逆)； ③ 、矩阵等价：A~ B PAQ B ( P 、Q 可逆)； 对于矩阵A m n 与 B , n :① 、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；② 、若A 与B 行等价，则Ax 0与Bx 0同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③ 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④ 、矩阵A 的行秩等于列秩；① 、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示， B 为系数矩阵；② 、 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示， A T 为系数矩阵； (转置)齐次方程组 Bx 0 的解一定是 ABx 0的解， 考试中可以直接作为定理使用，而无需证明①、 ABx 0 只有零解 Bx 0 只有零解； ②、 Bx 0 有非零解 ABx 0 一定存在非零解； 设向量组B n r ： b ,b 2,L ,b r 可由向量组A n s ：a i , a 2 ,L a 线性表示为：(Rio 题19结论) (b 1,b 2,L ,b r ) (a 1,a 2,L ,a s )K ( B AK )其中K 为s r ，且A 线性无关，贝U B 组线性无关 r(K) r ；( B 与K 的列向量组具有相同线性相关性 )(必要性： Qr r(B) r(AK) r(K),r(K) r, r(K) r ；充分性：反证法) 注：当r s 时，K 为方阵，可当作定理使用； ① 、对矩阵A m n ，存在Q n m ，AQ E m「(A) m 、Q 的列向量线性无关；(P $7 )② 、对矩阵A m n ，存在P n m ， PA E nr(A)n 、P 的行向量线性无关；1, 2 ,L , s 线性相关存在一组不全为0的数k i ,k 2,L,k s ，使得k i1k 2 2 L k ss0成立；(定义)x 1 x( 1, 2,L , s ) 2 0有非零解，即 Ax 0有非零解；1 2 sMxsr( 1, 2,L , s ) s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；设m n 的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组 Ax 0的解集S 的秩为：r(S) n r ； 若*为Ax b 的一个解，1, 2,L , n r 为Ax 0的一个基础解系，贝U *, 1, 2丄，nr 线性无关；(卩111题33 结论 )5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型正交矩阵 A T A E 或A 1 A T (定义)，性质:6. 7.8. 9. 10. 11. 12.13. 14.15. 16.1.若 A m s B s nC m n ，则：② 、右A 为正父矩阵，则 A 1 A T 也为正交阵，且|A③ 、若A 、B 正交阵，则 AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记2. 施密特正交化：（a,a 2,L,a 「）b i a i ；L L Lb a [ba]+ [b 2,a r ]壬,[b i ,a r ]从. a a r5Pl CP 2 Lgr 1 . [b,b] [P 2,b 2] [b r 1,b r 1] 5 6 73.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、 A 与B 等价 A 经过初等变换得到 B ；②、A 与B 合同 PAQ B ，P 、Q 可逆； r （A ） r （B ），A 、B 同型；C T AC B ，其中可逆；③、A 与B 相似X T A X 与X T B X 有相同的正、负惯性指数; P 1AP B ；5 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则C T AC B A : B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格） 6 A 为对称阵，则 A 为二次型矩阵； 7n 元二次型X T A X 为正定： A 的正惯性指数为n ；A 与E 合同，即存在可逆矩阵 C ，使C T AC E ；A 的所有特征值均为正数；A 的各阶顺序主子式均大于 0；a ii 0, A 0 ；（必要条件）①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 T a i aji J(i, j 1,2,L n)； i j施密特正交化和单位化；b 2a 2[b ,a 2] ibTKI。