天津大学线代2016-2017第一学期期末试题

2016 ～ 2017 学年第一学期期末考试试卷 《 线性代数及其应用 》 （A 卷 共4页）

（考试时间：2016 年 12月23日）

一、填空题（共15分，每小题3分）

1、子空间,,a b W a b c b c ⎧⎫⎡⎤

⎪⎪

=∈⎨⎬⎢⎥

-⎣⎦⎪⎪⎩⎭

的维数为________________.

2、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且

T T 123[2,3,4,5],[1,2,3,4]=+=ηηη，则该方程组的通解为________________.

3、向量T T 12[7,5,],[2,1,8]k ==--αα分别为实对阵矩阵A 属于互异特征值1212,()λλλλ≠的特征向量，则参数k 的值为________________.

4、设2阶方阵A 满足22|||3|0-=-=E A A E ，则21|9|-+-=A A A ________________.

5、设3阶实对称矩阵A 的秩为2，且满足25A =A ，则3元实二次型T ()f =X X AX 通过正交线性替换可化为标准形________________.

二、单项选择题（共15分，每小题3分）

1、设,A B 为同阶方阵，且A 可逆，则下列叙述错误的是( ).

(A) +A B 的特征值必为A 与B 的特征值之和； (B) AB 相似于BA ；

(C) AB 与BA 的特征多项式相同； (D) 若A 与B 相似，则B 可逆.

2、设矩阵02313124a -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦与12005031b -⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

相似，则( ).

(A) 2,0a b == (B) 2,1a b == (C) 3,0a b == (D) 3,1a b ==

3、设非齐次线性方程组β=AX 有唯一解， A

为增广矩阵，则下列叙述错误的是( ). (A) A 的列向量组线性无关 (B) A 的列秩与 A 的列秩相等 (C) A

的列向量组线性无关 (D) A 的列向量组与 A 的列向量组等价 4、设,A B 均为n 阶实对称矩阵，则A 与B 合同的充分必要条件是( ).

(A) A 与B 相似 (B) A 与B 具有相同的特征值

(C) A 与B 的秩相等 (D) A 与B 具有相同的正、负惯性指数 5、下列结论中，一定正确的是( ).

① 若n n ⨯∈A 有n 个正特征值，则A 是正定矩阵；

② 若,A B 为同阶正定矩阵，则对任意正实数a ，b ，矩阵a b +A B 正定； ③ 若A 是正定矩阵，则它的伴随矩阵*A 也是正定矩阵； ④ 若,A B 为同阶正定矩阵，则AB 也是正定矩阵.

(A) ①和② (B) ②和③ (C) ②和④ (D) ③和④

三、（共18分，其中第1题7分，第2题11分）

1、求线性空间3[]x 中的向量组(I): 232312()1,()1279,f x x x f x x x x =++=-+++ 2233345()2,()268,()f x x x f x x x x f x x x =-+-=++=+ 的秩和极大无关组.

2、设矩阵12001023k ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

A . (1) 问参数k 取何值时，A 可对角化？ (2) 当A 可对角化时，计

算10A .

四、（12分）讨论参数,s t 为何值时，线性方程组

12341

3412341234231,

21,22573,2579

x x x x x x x x x x x x x x s x t -++=-⎧⎪---=⎪⎨

-++=-⎪⎪-+++=-⎩ 有唯一解，无解，有无穷多解? 在有解时求其通解.

五、(共10分) 设向量组(I)123,,ααα和(II)123,,βββ分别是3维线性空间V 的两个基，且

11232123312322,22,22.=-+=--=++αβββαβββαβββ (1) 求由基(I)123,,ααα到基(II)123,,βββ的过渡矩阵； (2) 求12323=++ββββ在基123,,ααα下的坐标.

六、(共10分) 在3 中定义对应法则T 3(), [,,],x y z σ=∀=∈X AX X 其中

310212131⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

A =.

(1) 证明σ是3 上的线性变换；

(2) 求σ在基T T T 123[2,0,0],[0,4,6],[0,3,5]===βββ下的矩阵.

七、（共14分）设实二次型 222

123123121323(,,)22244f x x x x x x x x x x x x =+-++-.

(1) 求一个正交线性替换，将二次型123(,,)f x x x 化为标准形，并写出标准形；

(2) 求二次型123(,,)f x x x 的规范形.

八、（6分）设123,,ααα分别为3阶方阵A 的属于互异特征值123,,λλλ的特征向量，向量

123=++βααα.证明向量组2,,A A βββ线性无关.