4.《图形的初步认识与三角形》

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第 16 讲 等腰、等边及直角三角形
三、 知识清单梳理 知识点一：等腰和等边三角形
关键点拨与对应举例
（1）性质 ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即 AB＝AC ∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
1. 等 腰
互相重合;
三角
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线 AD 是对称轴.
中线
（1） 将三角形的面积等分 （2） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高 高
相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半
（1）角平分线、高结合求角度 时，注意运用三角形的内角和为 180°这一隐含条件. （2）当同一个三角形中出现两 条高，求长度时，注意运用面积 这个中间量来列方才能够求解.
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角 形是直角三角形．即若 AD＝BD＝CD，则△ABC 是 Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若 a2＋b2＝c2，则△ABC 是 Rt△.
长度，若斜边不明确，应分类讨 论. （3）在折叠问题中，求长度，往 往需要结合勾股定理来列方程解 决.
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（1）等边三角形是特殊的等腰三 角形，所以等边三角形也满足 “三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角 60°，所以当等边三角形出现 高时，会结合直角三角形 30° 角的性质，即 BD=1/2AB.
例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC， BC=3，则△ABC 的周长为 9.
例：如图，△ABC 中，∠C=90°， ∠A=30°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E，CD=2，则 AC=6.
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
2.概念 （2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相
等的角的射线
3.角的度 1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''
量
4.余角和 ( 1 ) 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1 与∠2 互为余角；
补角
( 2 ) 补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1 与∠2 互为补角.
角形的性 (3)全等三角形的周长等、面积等． 质
一 般 SSS（三边对 SAS（两边和它 ASA（两角和它 AAS（两角和其
三 角 应相等）
们的夹角对应 们的夹角对应相 中一个角的对边
形全
相等）
等）
对应相等）
7. 三 角 形 等
失分点警示：运用全等三角 形的性质时，要注意找准对 应边与对应角.
失分点警示 如图，SSA 和 AAA 不能判 定两个三角形全等.
3. 角 平
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则 PA＝PB.
分线 （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
4. 垂 直 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距
平 分 离相等．即若 OP 垂直且平分 AB，则 PA＝PB.
线 图 （2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂
形
（2）判定
则△ABC 是等腰三角形.
（1）三角形中“垂线、角平分线、 中线、等腰”四个条件中，只要 满足其中两个，其余均成立. 如： 如左图，已知 AD⊥BC,D 为 BC 的中点，则三角形的形状是等腰 三角形.
失分点警示：当等腰三角形的
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第 15 讲 一般三角形及其性质
二、 知识清单梳理
知识点一：三角形的分类及性质
关键点拨与对应举例
（1）按角的关系分类
（2）按边的关系分类
1. 三 角 形
的分类
直角三角形
三角形
斜三角形
锐角三角形 钝角三角形
不等边三角形 三角形等腰三角形等底边和三腰角不形相等的等腰三角形
失分点警示：
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
例：如图所示，点 A 到 BC 的距离为 AB， 点 B 到 AC 的距离为 BD，点 C 到 AB 的 距离为 BC.
8.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等 两直线平行 ②内错角相等 两直线平行 ③同旁内角互补 两直线平行
（2）平行公理及其推论 ①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
bd
n
a c ... m ＝k.（b、d、···、n≠0） b d ... n
一个参数的式子表示，再求代数式的值，也
可以用给出的字母中 的一个表示出其他的
字母，再代入求解.如下题可设 a=3k,b=5k,再
代入所求式子，也可以把原式变形得 a=3/5b
代入求解.
例：若
a
3
，则
a
b
8
.
b5
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果 p， 那么 q"的形式，其中 p 是题设，q 是结论.
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的 过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成 立就可以了.
例：下列命题是假命题的有( ③ ) ①相等的角不一定是对顶角； ②同角的补角相等； ③如果某命题是真命题，那么它的逆命题 也是真命题； ④若某个命题是定理，则该命题一定是真 命题.
两个角叫做对顶角. （2）性质：对顶角相等，邻补角之和为 180°.
一个角的同位角、内错角或同旁内角可能 不止一个，要注意多方位观察
例：在平面中，三条直线相交于 1 点，则 图中有 6 组对顶角.
7.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂 线．
（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短．
（2）外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
利用三角形的内、外角的性质求 角度时，若所给条件含比例，倍 分关系等，列方程求解会更简 便.有时也会结合平行、折叠、 等腰（边）三角形的性质求解.
4. 三 角 形
中的重 要线段
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
四线
性质
角平分线 （1） 角平线上的点到角两边的距离相等 （2） 三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）
第四单元 图形的初步认识与三角形
一、 知识清单梳理
第 14 讲 平面图形与相交线、平行线
知识点一：直线、线段、射线
关键点拨
1.
（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
基本事实 （2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．
知识点二 ：角、角平分线
例：在墙壁上固定一根横放的木条， 则至少需要 2 枚钉子，依据的是两 点确定一条直线.
b5
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若 l3∥l4∥l5，则 AB DE .
2
2
∠O；
1
如图④，BO、CO 分别为∠CBD、∠BCE 的平分线，则∠O=90°- ∠A.
2
对于解答选择、填空题，可 以直接通过结论解题，会起 到事半功倍的效果.
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知识点二 ：三角形全等的性质与判定
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
6. 全 等 三 (2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
（1）直角三角形的面积 S=1/2ch=1/2ab( 其 中 a,b 为 直 角 边，c 为斜边，h 是斜边上的高)， 可以利用这一公式借助面积这个 中间量解决与高相关的求长度问 题. （2）已知两边，利用勾股定理求
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6. 直 角 三角 形的 判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则 △ABC 是 Rt△；
2. 等 边
平分线或中线)所在的直线是对称轴.
三角形 （2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为 60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为 60°的等腰三角形是等边三角形.即若 AB＝AC，且∠B＝
60°，则△ABC 是等边三角形.
知识点二 ：角平分线和垂直平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
5. 三 角 形
中内、外 角与角 平分线 的规律 总结
1
1
如图①，AD 平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α= ∠BAC-∠CAE= (180°-∠B-
2
2
1
∠C）-（90°-∠C）= (∠C-∠B）；
2
如图②，BO、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，则有∠O= 1 ∠A+90°； 2
1
1
如图③，BO、CO 分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD 的平分线，则∠O= ∠A，∠O’=
腰和底不明确时，需分类讨论. 如 若等腰三角形 ABC 的一个内角为 30° ， 则 另外 两 个 角的 度数 为 30°、120°或 75°、75°.
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于 60°.
即 AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角
形 直平分线上．
知识点三：直角三角形的判定与性质
5. 直 角 三角形 的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°； (2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则 AC＝ 1 AB；
2 (3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若 CD 是中线，则
CD＝ 1 AB. 2
(4)勾股定理：两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方．即 a2＋b2＝c2 .