信号与系统第3讲
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信号与系统第3章 信号通过LTI系统的频域分析
这里需要指出的是，上面的等式对信号 的间断点不成立。
从数学上说，周期信号能进行傅里 叶级数展开的条件是信号须满足狄里赫 利（Dirichlet）条件：
（1）在一个周期内，如果有间断点存在， 则间断点的数目应是有限个；
（2）在一个周期内，极大值和极小值的 数目应是有限个； （3）在一个周期内，信号是绝对可积的， T f (t )dt 等于有限值。 即 0
式（3-8）的意义与三角函数形式的傅 里叶级数一样，表明函数f(t)可以分解为无 限个复正弦谐波信号 e jn0t 的线性组合。
必须注意的是，这里出现了n为负 的频率，但这个负频率只是“视在”的 ，是数学表达上的存在。
傅里叶级数的复指数形式在高等数学 课程中并未出现，而且表达式中出现了n为 负的频率，初学者可能会感到困惑。
Im[ H ( j )]
∞
∞
h(t )sin(t )dt
因此，ReH(j)是的偶函数，而ImH(j) 是的奇函数。同时，由于
H ( j )
Re H ( j Im H ( j)
2
2
Re[ H ( j )] ( ) arctan Im[ H ( j )]
工程中广泛使用了频域分析的概念 与方法，其依据是：实际应用中遇到的 信号通常都可以分解为正弦信号的线性 组合。
因此，如果了解了正弦信号通过LTI系 统的响应情况，那么根据LTI系统的线性 与时不变性，就可以得到任意信号通过 LTI系统的响应。
建立在这一基础上的分析方法称为 频域分析，也就是著名的傅里叶分析。 为了进行频域分析，首先必须解决 的两个问题是： ①频域中的信号分解； ②正弦信号通过LTI系统后的响应。
一阶系统中，RC称为系统的时间常 数，可用来表征系统的惯性，并据此对输 出波形与输入波形之间的关系做出定量的 解释，但对系统中存在两个以上储能元件 的情况，也即对二阶以上的系统，就难以 用系统的时域参数来定量地表征对信号的 影响。
信号与系统2-3
∴ yzs (t) = g(t) ∗δ (t) − 2g(t) ∗δ (t − 2) + g(t) ∗δ (t − 3) = g(t) − 2 g(t − 2) + g(t − 3) = (2e−2t −1)ε (t) − 2[2e−2(t−2) −1]ε (t − 2) +[2e−2(t −3) −1]ε (t −3)
线性系统为
Kn N( p) N( p) K1 K2 = = + +⋯+ 其中 H( p) = D( p) ( p − λ1)( p − λ2 )⋯( p − λn ) p − λ1 p − λj
n
零输入响应 零状态响应 全响应
yzi (t) = ∑Cje j ε (t)
j =1
λt
yzs (t) = h(t) ∗ f (t)
y(t) = yzi (t) + yzs (t) =∑Cj e j ε (t) + h(t) ∗ f (t)
j =1 n
λt
长江大学电信学院
第二章第3讲
9
Signals And systems
例 2.14
p +3 , 已知 p2 + 3 p + 2
例 2.13
计算。 利用卷积的微积分性质 f (t) = f1(−1) (t) ∗ f 2′(t) = f1′(t) ∗ f2(−1) (t) 计算。
f1 (t)
f 2 (t)
1 2
1
0
f1 (t)
(−1)
1
t
0
1
2
3
t
1 2
f (t) = f1(−1) (t) ∗ f2′(t)
f2′(t)
线性系统为
Kn N( p) N( p) K1 K2 = = + +⋯+ 其中 H( p) = D( p) ( p − λ1)( p − λ2 )⋯( p − λn ) p − λ1 p − λj
n
零输入响应 零状态响应 全响应
yzi (t) = ∑Cje j ε (t)
j =1
λt
yzs (t) = h(t) ∗ f (t)
y(t) = yzi (t) + yzs (t) =∑Cj e j ε (t) + h(t) ∗ f (t)
j =1 n
λt
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第二章第3讲
9
Signals And systems
例 2.14
p +3 , 已知 p2 + 3 p + 2
例 2.13
计算。 利用卷积的微积分性质 f (t) = f1(−1) (t) ∗ f 2′(t) = f1′(t) ∗ f2(−1) (t) 计算。
f1 (t)
f 2 (t)
1 2
1
0
f1 (t)
(−1)
1
t
0
1
2
3
t
1 2
f (t) = f1(−1) (t) ∗ f2′(t)
f2′(t)
信号与系统第三章 连续信号的正交分解
f (t ) Ci gi (t )
i 1
n
第三章连续信号的正交分解
13
理论上讲
f (t ) lim Ci gi (t )
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t t1 f (t ) gi (t )dt Ci t 2 gi2 (t )dt t1
均方误差
n t2 2 ( t ) [ f ( t ) crgr ( t )]2 dt t 2 t 1 t 1 r 1
第三章连续信号的正交分解 23
1
若令 n 趋于无限大， 2 (t )的极限等于零 lim 2 (t ) 0
n
则此函数集称为完备正交函数集
第三章连续信号的正交分解
15
定义2：
如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外， 不存在函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
第三章连续信号的正交分解 8
信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间
t 1 t t 2 内，用函数 f 1(t )
在另一
函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t ) 。
f 1(t ) C12 f 2(t )
1 jnt f (t ) An e cn e jnt 2 n n
cn
1 An 称为复傅里叶系数。 2
表明任意周期信号可以表示成 e jn t 的线性组合，加权因 子为 cn 。
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
信号与系统 第3讲
一、经典法
( p + a n 1 p
n
n 1
+ ... + a1 p + a0 )r ( t ) = 0
p+3 , 且r (0) = 1, r ' (0) = 2, 例1：已知一系统 H ( p ) = 2 p + 3p+ 2 求系统零输入响应
r (t ) = 4e t 3e 2t t≥0
分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母D(p) 分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母 解：第一步 求微分方程的特征根
m n m+n
m,n为任意整数 为任意整数
m , n同为正数或负数
微分和积分的次序不能交换
1 1 p 问： = p? p p
问:px(t)=py(t)
x(t)=y(t)
一般的微分方程： 一般的微分方程：
dn d n1 d r ( t ) + a n 1 n 1 r ( t ) + ... + a 1 r (t ) + a0r (t ) n dt dt dt dm d m 1 d e ( t ) + b m 1 m 1 e ( t ) + ... + b 1 e ( t ) + b0 e ( t ) = bm m dt dt dt
rzi ( t ) = C 1 e
若有k阶重根： 若有 阶重根： 阶重根
λ1t
+ C 2e
λ 2t
+ ... + C n e
λnt
rzi ( t ) = (C1 + C 2 t + C 3 t + ... + C k t
2
信号与系统-罗斯判据
§4 系统的稳定性
• 系统稳定的充分必要条件 – 冲激响应必须是绝对可积的，0即| h(t) | dt 要使系统稳定，H(s)的极点必须全部在S左半平面，或者是系统的特 征方程的根的实部全部为负。
罗斯判据 设线性系统的特征方程为：
D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
1 1F 2H
(1) 系统函数
H (s) U0(s) US (s)
解：用节点法列方程：
1
uS (t)
2 u1
u0 (t) Ku1
(1
1 2
1 11/ s
2s
)U1
1 11/ s
2s
KU1
US
(
3 2
s Ks 2s2 s
1)U1
U
S
H (s) U0 US
KU1 US
2K (2s2 s 1) 6s2 (5 2K )s 3
第六章第3讲
3
根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：
• 罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也 有不全为正数的情况：
– 特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一 列系数符号改变的次数。s4 2s3 3s2 4s 5 0
罗斯阵–为例：s4线性系统１的特征方３程为： ５
s3
２
４
０
s2
(6-4)/2=1 (10-0)/2=5 0
6 25
s
4 25
6s2 4s 3
1 25
s
7 25
s2 1
1 25
(s
1 3
)
(s
1 3
)2
7 18
1 25
(s
18 7
7 18
1 3
)
• 系统稳定的充分必要条件 – 冲激响应必须是绝对可积的，0即| h(t) | dt 要使系统稳定，H(s)的极点必须全部在S左半平面，或者是系统的特 征方程的根的实部全部为负。
罗斯判据 设线性系统的特征方程为：
D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
1 1F 2H
(1) 系统函数
H (s) U0(s) US (s)
解：用节点法列方程：
1
uS (t)
2 u1
u0 (t) Ku1
(1
1 2
1 11/ s
2s
)U1
1 11/ s
2s
KU1
US
(
3 2
s Ks 2s2 s
1)U1
U
S
H (s) U0 US
KU1 US
2K (2s2 s 1) 6s2 (5 2K )s 3
第六章第3讲
3
根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：
• 罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也 有不全为正数的情况：
– 特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一 列系数符号改变的次数。s4 2s3 3s2 4s 5 0
罗斯阵–为例：s4线性系统１的特征方３程为： ５
s3
２
４
０
s2
(6-4)/2=1 (10-0)/2=5 0
6 25
s
4 25
6s2 4s 3
1 25
s
7 25
s2 1
1 25
(s
1 3
)
(s
1 3
)2
7 18
1 25
(s
18 7
7 18
1 3
)
信号与系统 第二章 第3讲
第二节 起始点的跳变
电容电压的跳变 电感电流的跳变 冲激函数匹配法确定初始条件
信号与系统 第2章
一．起始条件与初始条件
一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应r（t）为 t 0 时方程的解，对于n阶系统，起始状态（ 0- 状态）指:
d r ( 0 - ) d 2 r (0 - ) d n1 r (0 - ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n1
0
0
vL ( ) d 0 ， 此时iL (0 ) iL (0 )
冲激电压或阶跃电流作 用于电感时：
如果vL (t )为 t
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时 i L 0 i L 0
信号与系统 第2章
iL (0 ) iL (0 )
信号与系统 第2章
例2-2-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
i L (t )
I s u(t )
L
d[ I s v(t )] L LI s (t ) dt
1 0 i L (0 ) i L (0 ) LI s (t ) d t L 0
v L (t )
i L (0 ) I s
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到0 状态有没 有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t ) 及其各 阶导数项。
信号与系统 第2章
1. 电容电压的跳变
t c i c (t ) 由伏安关系 vC (t ) 1 iC ( ) d C v (t ) 1 0 1 0 1 t c iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0
电容电压的跳变 电感电流的跳变 冲激函数匹配法确定初始条件
信号与系统 第2章
一．起始条件与初始条件
一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应r（t）为 t 0 时方程的解，对于n阶系统，起始状态（ 0- 状态）指:
d r ( 0 - ) d 2 r (0 - ) d n1 r (0 - ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n1
0
0
vL ( ) d 0 ， 此时iL (0 ) iL (0 )
冲激电压或阶跃电流作 用于电感时：
如果vL (t )为 t
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时 i L 0 i L 0
信号与系统 第2章
iL (0 ) iL (0 )
信号与系统 第2章
例2-2-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
i L (t )
I s u(t )
L
d[ I s v(t )] L LI s (t ) dt
1 0 i L (0 ) i L (0 ) LI s (t ) d t L 0
v L (t )
i L (0 ) I s
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到0 状态有没 有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t ) 及其各 阶导数项。
信号与系统 第2章
1. 电容电压的跳变
t c i c (t ) 由伏安关系 vC (t ) 1 iC ( ) d C v (t ) 1 0 1 0 1 t c iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0
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e(t) E 系统 0 E 系统 0 t0 T+t0 t 0 t0 t T e(t -t0) t 0 r(t-t0) t r(t)
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2013-7-20
判别方法：先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f(t)
f(t - )
] H [·
H[f(t - )]
f(t)
d 2 r(t ) d r(t ) d e(t ) 3 2r(t ) e(t ) 2 dt dt dt
方程左端只保留输出的最高阶导数项
d 2 r(t ) d r(t ) d e(t ) 3 2r(t ) e(t ) 2 dt dt dt
积分 n=2 次，使方程左端只剩下r(t) 项
上式与冲激信号的抽样特性完全一致 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积 积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。
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2013-7-20
§ 1.6 系统模型及其分类
（理解“模型”理论，掌握系统分类） 所谓模型，是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或 具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。 例如由R，C和L组合而成的串联回路，可抽象表示为图示 的模型。
t0 t0
系统1：系统的作用是对输入信号作余弦运算
经过系统 (1) e(t ) 时移 t 0 e(t t 0 ) r11 (t ) cos e(t t 0 ) t 0 时移 t 0 ( 2) e(t ) 经过系统 cos e(t ) r12 (t ) cos e(t t 0 ) t 0
表示系统的变换
C 1 C 2
H[· ]
H[· ]
+
C1H[f1(t)] +C2H[f2(t)]
若H[C1f1(t) +C2f2(t)] ＝ C1H[f1(t)] +C2H[f2(t)]
则系统 H[· ]是线性系统,否则是非线性系统
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2013-7-20
二、时不变特性 如果 e(t) → r(t) 则有 e(t - t0) → r(t - t0)，即输入延时，输出亦延时。
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2013-7-20
2、即时系统与动态系统
即时系统：系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，
与历史无关（无记忆系统）。如：只有电阻元件的系统 动态系统：不仅同时刻的激励，而且历史决定其输出信号
（记忆系统）。凡包含有记忆作用的元件（如电容、电感、
磁芯等）或记忆电路（如寄存器）的系统
f1(t) f2(t) f1(t) f2(t) C 1 C 2 H[· ] H[· ] C1f1(t) C2f2(t)
+
C1t·1(t) f C2t·2(t) f
H[· ]
t· 1f1(t) +C2f2(t)] [C
t·1(t) f t·2(t) f
C 1 C 2
+
C1t·1(t) +C2 t·2(t) f f
5、时变系统与时不变系统 时变系统：系统的参量随时间改变（参变系统）。 时不变系统：系统的参量不随时间改变（定常系统）。
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2013-7-20
5、可逆系统与不可逆系统 可逆系统：系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应。
每个可逆系统都存在一个“逆系统”，当原系统与此逆系统
► Down
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2013-7-20
§1.5 信号的分解
（掌握信号从不同角度分解 ） 一、直流分量与交流分量 信号平均值即信号的直流分量，去掉直流分量即得信号的
交流分量。
f(t) = fD + fA(t)
f(t)
E 0
fD 直流分量，fA(t) 交流分量
fA(t)
E
fD(t)
0
t
t
0
t
◄ Up
1
t 1 d t 1 ,
t 1
t 1 0 t 1
lim t 1
f (t 1 )(t - t 1 )dt 1
出现在不同时刻的，不同强 度的冲激函数的和。
• 变量代换，将t1改为t，将t改为t0
f (t 0 ) f (t )(t 0 - t)dt f (t )(t - t 0 )dt
2013-7-20
r(t) = ae(t)
4.微分器
e(t)
5.积分器
d dt
r t
de(t ) dt
t
e(t)
6.延时器
∫ τ
r(t ) e( )d
e(t)
r t et
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2013-7-20
例1-6-1请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图
e(t)
∫
∫
＋
r(t)
∫
-3
∫
-2
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◙
Main
Return
2013-7-20
系统的分类 （从数学模型的差异来划分） 1、连续时间系统与离散时间系统 系统的输入与输出都是连续时间信号，且其内部也未转换 为离散信号的系统。 连续时间系统的模型是微分方程。（例如RLC电路） 系统的输入与输出都是离散时间信号。 离散时间系统用差分方程描述。（数字计算机） 实际中经常是两种系统混合运用，称为混合系统
r11 t r12 t 所以此系统为时不变系统。
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2013-7-20
系统2： rt et cos t
t0
系统作用：输入信号乘cost
(1) e(t ) 时移t 0 e(t t 0 ) 经过系统 r21 (t ) e(t t 0 ) cos t
若激励信号是电压源e(t)，欲求解 电流i(t)，可建立如下的微分方程
+ C e(t) L R
d 2i( t ) di(t ) de(t ) LC RC i( t ) C 2 dt dt dt 这就是电阻、电容与线圈串联组合系统的数学模型。
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2013-7-20
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Return
2013-7-20
二、偶分量与奇分量
任何信号都可分解为偶分量与奇分量两部分之和。
偶分量 fe(t) = fe(-t) 奇分量 fo(t) = -fo(-t)
f(t) = [f(t) + f(t) + f(-t) - f(-t)]/2
= [f(t) + f(-t)]/2 + [f(t) - f(-t)]/2 fe(t) = [f(t) + f(-t)]/2 fo(t) = [f(t) - f(-t)]/2 （利用此方法求奇偶分量）
f(t) Δt1
矩形窄脉冲分量
如图所示
窄脉冲的极限情 况就是冲激信号 的叠加。
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f(t1)
0
t1
t
◙
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Return
2013-7-20
• 将函数f(t)近似写作 窄脉冲信号的叠加， 其中某个窄脉冲为 f(t1)[u(t-t1)-u(t-t1-Δt1)]
f(t1)
f(t)
Δt1
方框图表示系统模型（介绍几个基本运算单元）
1.加法器
e1(t)
e2(t) 2.乘法器 e1(t) e2(t)
Σ
或用
r(t) = e1(t) + e2(t)
×
r(t) = e1(t)·2(t) e
3.标量乘法器（数乘器，比例器） e(t) a a
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判别方法：[先线性运算，再经系统]＝[先经系统，再线性运算]
f1(t)
f2(t) f1(t) f2(t)
C 1
C 2
C1f1(t) C2f2(t) H[f1(t)] H[f2(t)]
+
C1H[f1(t)] C2H[f2(t)]
H[· ]
H[C1f1(t) +C2f2(t)]
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3、集总参数系统与分布参数系统 由集总参数元件组成的系统称为集总参数系统； 含有分布参数元件的系统是分布参数系统。(如传输线、 波导等)。 在一般的电路分析中，所涉及的电路系统都是集总参数的， 各点之间的信号是瞬间传递的, 并且这种瞬间传递对信号 本身没有影响。集总参数系统是一种理想化的模型
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4、线性系统与非线性系统
线性系统：具有叠加性与均匀性（齐次性）的系统 ①叠加性：当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出 响应等于各个激励单独作用所产生的响应之和。 ②均匀性：当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的 常数。 不满足叠加性或均匀性的系统是非线性系统。
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判别方法：先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f(t)
f(t - )
] H [·
H[f(t - )]
f(t)
d 2 r(t ) d r(t ) d e(t ) 3 2r(t ) e(t ) 2 dt dt dt
方程左端只保留输出的最高阶导数项
d 2 r(t ) d r(t ) d e(t ) 3 2r(t ) e(t ) 2 dt dt dt
积分 n=2 次，使方程左端只剩下r(t) 项
上式与冲激信号的抽样特性完全一致 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积 积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。
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§ 1.6 系统模型及其分类
（理解“模型”理论，掌握系统分类） 所谓模型，是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或 具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。 例如由R，C和L组合而成的串联回路，可抽象表示为图示 的模型。
t0 t0
系统1：系统的作用是对输入信号作余弦运算
经过系统 (1) e(t ) 时移 t 0 e(t t 0 ) r11 (t ) cos e(t t 0 ) t 0 时移 t 0 ( 2) e(t ) 经过系统 cos e(t ) r12 (t ) cos e(t t 0 ) t 0
表示系统的变换
C 1 C 2
H[· ]
H[· ]
+
C1H[f1(t)] +C2H[f2(t)]
若H[C1f1(t) +C2f2(t)] ＝ C1H[f1(t)] +C2H[f2(t)]
则系统 H[· ]是线性系统,否则是非线性系统
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二、时不变特性 如果 e(t) → r(t) 则有 e(t - t0) → r(t - t0)，即输入延时，输出亦延时。
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2、即时系统与动态系统
即时系统：系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，
与历史无关（无记忆系统）。如：只有电阻元件的系统 动态系统：不仅同时刻的激励，而且历史决定其输出信号
（记忆系统）。凡包含有记忆作用的元件（如电容、电感、
磁芯等）或记忆电路（如寄存器）的系统
f1(t) f2(t) f1(t) f2(t) C 1 C 2 H[· ] H[· ] C1f1(t) C2f2(t)
+
C1t·1(t) f C2t·2(t) f
H[· ]
t· 1f1(t) +C2f2(t)] [C
t·1(t) f t·2(t) f
C 1 C 2
+
C1t·1(t) +C2 t·2(t) f f
5、时变系统与时不变系统 时变系统：系统的参量随时间改变（参变系统）。 时不变系统：系统的参量不随时间改变（定常系统）。
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5、可逆系统与不可逆系统 可逆系统：系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应。
每个可逆系统都存在一个“逆系统”，当原系统与此逆系统
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§1.5 信号的分解
（掌握信号从不同角度分解 ） 一、直流分量与交流分量 信号平均值即信号的直流分量，去掉直流分量即得信号的
交流分量。
f(t) = fD + fA(t)
f(t)
E 0
fD 直流分量，fA(t) 交流分量
fA(t)
E
fD(t)
0
t
t
0
t
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1
t 1 d t 1 ,
t 1
t 1 0 t 1
lim t 1
f (t 1 )(t - t 1 )dt 1
出现在不同时刻的，不同强 度的冲激函数的和。
• 变量代换，将t1改为t，将t改为t0
f (t 0 ) f (t )(t 0 - t)dt f (t )(t - t 0 )dt
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r(t) = ae(t)
4.微分器
e(t)
5.积分器
d dt
r t
de(t ) dt
t
e(t)
6.延时器
∫ τ
r(t ) e( )d
e(t)
r t et
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例1-6-1请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图
e(t)
∫
∫
＋
r(t)
∫
-3
∫
-2
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系统的分类 （从数学模型的差异来划分） 1、连续时间系统与离散时间系统 系统的输入与输出都是连续时间信号，且其内部也未转换 为离散信号的系统。 连续时间系统的模型是微分方程。（例如RLC电路） 系统的输入与输出都是离散时间信号。 离散时间系统用差分方程描述。（数字计算机） 实际中经常是两种系统混合运用，称为混合系统
r11 t r12 t 所以此系统为时不变系统。
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系统2： rt et cos t
t0
系统作用：输入信号乘cost
(1) e(t ) 时移t 0 e(t t 0 ) 经过系统 r21 (t ) e(t t 0 ) cos t
若激励信号是电压源e(t)，欲求解 电流i(t)，可建立如下的微分方程
+ C e(t) L R
d 2i( t ) di(t ) de(t ) LC RC i( t ) C 2 dt dt dt 这就是电阻、电容与线圈串联组合系统的数学模型。
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二、偶分量与奇分量
任何信号都可分解为偶分量与奇分量两部分之和。
偶分量 fe(t) = fe(-t) 奇分量 fo(t) = -fo(-t)
f(t) = [f(t) + f(t) + f(-t) - f(-t)]/2
= [f(t) + f(-t)]/2 + [f(t) - f(-t)]/2 fe(t) = [f(t) + f(-t)]/2 fo(t) = [f(t) - f(-t)]/2 （利用此方法求奇偶分量）
f(t) Δt1
矩形窄脉冲分量
如图所示
窄脉冲的极限情 况就是冲激信号 的叠加。
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f(t1)
0
t1
t
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• 将函数f(t)近似写作 窄脉冲信号的叠加， 其中某个窄脉冲为 f(t1)[u(t-t1)-u(t-t1-Δt1)]
f(t1)
f(t)
Δt1
方框图表示系统模型（介绍几个基本运算单元）
1.加法器
e1(t)
e2(t) 2.乘法器 e1(t) e2(t)
Σ
或用
r(t) = e1(t) + e2(t)
×
r(t) = e1(t)·2(t) e
3.标量乘法器（数乘器，比例器） e(t) a a
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判别方法：[先线性运算，再经系统]＝[先经系统，再线性运算]
f1(t)
f2(t) f1(t) f2(t)
C 1
C 2
C1f1(t) C2f2(t) H[f1(t)] H[f2(t)]
+
C1H[f1(t)] C2H[f2(t)]
H[· ]
H[C1f1(t) +C2f2(t)]
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3、集总参数系统与分布参数系统 由集总参数元件组成的系统称为集总参数系统； 含有分布参数元件的系统是分布参数系统。(如传输线、 波导等)。 在一般的电路分析中，所涉及的电路系统都是集总参数的， 各点之间的信号是瞬间传递的, 并且这种瞬间传递对信号 本身没有影响。集总参数系统是一种理想化的模型
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4、线性系统与非线性系统
线性系统：具有叠加性与均匀性（齐次性）的系统 ①叠加性：当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出 响应等于各个激励单独作用所产生的响应之和。 ②均匀性：当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的 常数。 不满足叠加性或均匀性的系统是非线性系统。
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