信号与系统第四章(陈后金)3
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信号与系统ch04-(3)
所以 f (− t ) ↔ F (− jω )
又 所以
F (− jω ) = R (− ω ) + jX(− ω ) = R (ω ) − jX(ω ) = F * ( jω )
f (− t ) ↔ F (− jω ) = F ( jω )
∗
24
Signals & Systems
奇偶函数的傅里叶变换
离散谱
再用Fn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对 大小仍有区别，引入频谱密度函数。令 Fn F (jω ) = lim = lim FnT (单位频率上的频谱） T →∞ 1 / T T →∞ 称为频谱密度函数。
4
Signals & Systems
傅里叶变换的导出
由傅里叶级数 Fn T =
∫ −∞ F (jω ) e
∞
jω t
dt
sgn (t) e
–α|t|
⎛ω τ τ Sa⎜ ⎜ 2 ⎝ 2 jω
2α
α 2 +ω 2
19
Signals & Systems
§4.5
傅里叶变换的性质
• 线性 • 奇偶性 • 对称性 • 尺度变换 • 时移特性
• 频移特性 • 卷积定理 • 时域微分和积分 • 频域微分和积分 • 相关定理
∞
关于 ω 的偶函数 R (ω ) = R (− ω ) | F ( j ω ) |= | F ( − j ω ) |
| F ( jω ) |= R (ω ) + X (ω )
2
2
⎛ X (ω ) ⎞ ϕ (ω ) = arctan⎜ ⎜ R (ω ) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
关于 ω 的奇函数 X (ω ) = − X (− ω ϕ (ω ) = − ϕ ( − ω )
《信号与系统》陈后金
《信号与系统》是一门重要的工科基础课程，涉及到信号处理以及系统分析等多个方面。
此书由陈后金编写，是中国工程教育领域中
的经典教材之一。
本书系统地介绍了信号与
系统的基础知识，是学习这门学科必不可少
的参考书。
本书的内容从信号开始，首先介绍了信号的
基本概念，包括连续和离散信号、周期信号
和非周期信号、信号的幅值、频率和相位等
基本参数。
接着，本书介绍了信号的表示和
处理方法，包括采样、量化、编码以及滤波等，这些都是信号处理的基础操作。
此外，
本书还介绍了时域和频域分析方法，如傅里
叶变换、傅里叶级数以及拉普拉斯变换等，
这些方法可以帮助我们更好地理解信号和系统的性质。
在系统方面，本书涵盖了线性时不变系统的基本知识，包括单位采样响应、冲激响应和频率响应等。
此外，本书还介绍了系统稳定性的判别方法和数字信号处理的基本知识。
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =
信号系统(陈后金)第4章-信号的频域分析
w0 w0
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)
图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
北京交通大学陈后金教授信号处理课件
第8章 数字滤波器的实现
第9章 数字语音信号
主要参考书
[1] 陈后金等译:数字信号处理及MATLAB仿真, 机械工业出版社, 2015
[2] S.K. Mitra. 数字信号处理(第4版） 清华大学出版社, 2012
[3] A.V.Oppenheim. 离散时间信号处理(第3版)英文版 ,电子工业出版社, 2011 [4] 胡广书.数字信号处理.清华大学出版社(第3版), 2012. [5]P.P. Vaidyanathan, Multirate systems and filter banks, Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ,1993. [6] N.J.Fliege, Multirate digital signal processing. John Wiley &Sons, NY,1994. [7] I.Daubechies, 小波十讲（修订版） ,国防工业出版社, 2011 [8] S. Mallat 信号处理的小波导引：稀疏方法（第3版）英文影印版, 2012
第4章 IIR数字滤波器的设计
第5章 FIR数字滤波器的设计
第6章 随机信号功率谱估计
第7章 数字系统的结构 第8章 多速率信号处理基础Fra bibliotek主要教材
第1章 概述 第2章 离散时间信号 第3章 频域概念 第4章 抽样与重建 第5章 FIR滤波器设计与分析 第6章 IIR滤波器设计与分析 第7章 抽样速率转换
近代数字信号处理
(Advanced Digital Signal Processing)
信号与图像处理研究室 电子信息工程学院
主要教材
主教材: 普通高等教育“十一五”国家级规划教材
信号与系统(第四版)第四章课后答案
第5-3页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当 选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋近于 0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
0
β
σ
第5-7页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
e t , t 0 f 3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) t e , t 0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2
第5-10页
■
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
令s0 0
第5-12页
(t )
■
1
s
, 0
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F ( s) f (t ) e st d t
0
Re[s]>0
F (j ) f (t ) e
信号与系统-陈后金-北京交通大学-全
Ä ¿ Ð µ
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Ð Â Ä ¢ Ó Ó Ð Ï
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D/A
¼ ¬ Ë Å º Á ¨ð ² Å
2．线性系统与非线性系统 • 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。 (1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
数学解析式或图形
• 2. 表示
语音信号：空气压力随时间变化的函数
0
0.1
0.2
语音信号“你好”的波
0.3
0.4
静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。
静止的彩色图象： 三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。
I R ( x, y ) I ( x, y ) I G ( x, y ) I B ( x, y )
[例2] 试判断下列系统是否为时不变系统
(1)y(t)=sin[f(t)]
时不变系统
(2)y(t)=cost· f(t)
(3)y(t)=4f 2(t) +3f(t)
时变系统
时不变系统
(4)y(t)=2t· f(t)
时变系统
分析： 判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0)。 注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判 断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。
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则ax1 (t ) bx2 (t ) F aX1 ( j) bX2 ( j)
其中a和b均为常数。
2. 共轭对称特性
若 x(t ) F X ( j)
则
x * (t ) F X * (- j) x * (-t ) F X * ( j)
X(j)为复数，可以表示为
F[ ~(t )] X ( j ) F[ Cn e x
n -
jn0t
n -
F [ ~(t )] 2π Cnd ( - n0 ) x
n -
（二）常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
d T (t )
n -
d (t - nT )
因为dT (t)为周期信号，先将其展开为指数形式 傅里叶级数：
1 jn0t d T (t ) d (t - nT ) e T n - n -
1 F [d T (t )] 2 π d ( - n 0 ) 0 d ( - n0 ) n - T n -
（二）常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
( )
π/2
X ( j )
0
0
-π/2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
（一）常见非周期信号的频谱
6. 单位阶跃信号 u(t)
1 1 1 1 u (t ) {u (t ) u (-t )} {u (t ) - u (-t )} sgn( t ) 2 2 2 2
F [u (t )] πd ( )
-
x( )e
- j ( t 0 )
d X ( j) e
- jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
例1 试求图示延时矩形脉冲信号x1(t)的频 谱函数X1(j)。
x1 (t )
A
A
x (t )
T t
0
-
0
2
2
t
解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号x(t) 如图， 其对应的频谱函数为
幅度频谱 相位频谱
2a X ( j ) 2 a 2 ( ) 0
（一）、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
F[d (t )] x(t )e
- - jt
dt d (t )e- jt dt 1
-
d (t )
(1)
1
X ( j )
X ( j )
( π)
t
( )
( π)
π/2
- 0
0
0
0
-π/2
正弦信号及其频谱函数
（二）常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
~(t ) x
两边同取傅里叶变换
n -
Cn e
jn0t
2π (0 ) T0 ] Cn F [e jn0t ]
（一）常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
-
x(t ) e u(t )，a 0，
-at
X ( j ) x(t )e - jt dt 0 e -at e - jt dt
e -(a j )t 1 - (a j ) 0 a j
幅度频谱 相位频谱
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
x (t )
1
0
0
t
0
-π/2
（一）、常见非周期信号的频谱
2. 双边指数信号 e-a|t|
X ( j ) 2 x(t ) costdt 2 e-at costdt
0 0
2e
-at
( sin t - a cos t ) 2a 2 2 2 0 a 2 a
u (t )
1
(π)
1 j
( )
π/2
X ( j )
0
0
t
0
-π/2
阶跃信号及其频谱
（二）常见周期信号的频谱密度
1. 虚指数信号
由 -1 e - jt dt
e j t (- t )
0
X ( j )
(2π)
2πd ()
0
0
虚指数信号频谱密度
得F[e
x(2t)
x(t/2)
f (t)
f (1.5t)
f (0.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 = 22050Hz
d T (t )
n -
d (t - nT )
1 F [d T (t )] 2 π d ( - n 0 ) 0 d ( - n0 ) n - T n-
d T (t )
(1)
单位冲激串 及其频谱函数
F[d T (t )]
( 0 )
-T 0 T
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频域分析 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析 信号的时域抽样和频域抽样
连续非周期信号的频域分析
0
-
e
- ( j ) t
t -
j
- t
t 0
-1 1 - j j
F[sgn(t )] lim F[sgn(t )e
]
2 j
（一）常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
- 1 t 0 sgn(t ) 0 t 0 1 t 0
（一）、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
F[sgn(t )e
- t
- 1 t 0 sgn(t ) 0 t 0 1 t 0
]
0 -
(-1)e e
( - j ) t 0
t - jt
dt e -t e - jt dt
0
-
e
- j
连续时间信号的傅氏变换及其频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间傅氏变换的性质
二、常见连续时间信号的频谱
常见非周期信号的频谱(频谱密度) 单边指数信号 双边指数信号e-a|t| 单位冲激信号d(t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t) 常见周期信号的频谱密度 虚指数信号 正弦型信号 单位冲激串
F
-
证明:
F[ x(at)]
x(at)e - jt dt
令 = at，则 d = adt ，代入上式可得
1 F[ x(at)] a
-
x( )e
-j a
1 d X ( j ) a a
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
4. 展缩特性
若x(t ) X ( j)
3. 时移特性
若x(t ) F X ( j) 则x(t - t0 ) F X ( j) e- jt0
式中t0为任意实数 证明：
F[ x(t - t0 )]
-
x(t - t0 )e
- jt
dt
令x = t-t0，则dx = dt，代入上式可得
F[ x(t - t0 )]
t
- 0 0 0
三、傅里叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性
3. 对称互易特性
4. 展缩特性
9. 时域微分特性
10. 积分特性
5. 时移特性
6. 频移特性
11. 频域微分特性
12. 能量定理
1. 线性特性
若x1 (t ) F X1 ( j)； x2 (t ) F X 2 ( j)，
X ( j) X ( j) e
j ( )
X R ( j) jX I ( j)
当x(t)为实函数时，有 |X(j)| = |X(-j)| ， () - (-)
X R ( j) X R (- j), X I (- j) - X I (- j)
2. 共轭对称特性
0
t
0
单位冲激信号及其频谱
（一）、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号x(t)=1,-<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的 方法求出其傅里叶变换。 2 - | t| ] 2 πd ( ) F [1] lim F [1 e ] lim[ 2 2 0 0
0 2 lim[ ] 0 2 2
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π 2 2 -
（一）、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t )
1 t
0
直流信号及其频谱
X ( j )
(2π)
0
对照冲激、直流时频曲线可看出: 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄； 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
同理:
j0t
]
- j( -0 )t e dt -
- j0t
2πd ( - 0 )
2πd ( 0 )
F[e
]
- j( 0 )t e dt -