(完整版)信号与系统第三章陈后金习题解答
信号与系统考题参考解答(完整版)
《信号与系统》作业参考解答第一章（P16-17）1-3 设)(1t f 和)(2t f 是基本周期分别为1T 和2T 的周期信号。
证明)()()(21t f t f t f +=是周期为T 的周期信号的条件为T nT mT ==21 （m ,n 为正整数） 解：由题知)()(111t f mT t f =+ )()(222t f mT t f =+要使)()()()()(2121t f t f T t f T t f T t f +=+++=+则必须有21nT mT T == （m ,n 为正整数） 1-5 试判断下列信号是否是周期信号。
若是，确定其周期。
（1）t t t f πsin 62sin 3)(+= （2）2)sin ()(t a t f =（8）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 28sin 4cos )(k k k k f πππ解：（1）因为t 2sin 的周期为π，而t πsin 的周期为2。
显然，使方程n m 2=π （m ,n 为正整数）成立的正整数m ,n 是不存在的，所以信号t t t f πsin 62sin 3)(+=是非周期信号。
（2）因为)2cos 1()sin ()(22t a t a t f -==所以信号2)sin ()(t a t f =是周期π=T 的周期信号。
（8）由于)4/cos(k π的周期为8)4//(21==ππN ，)8/sin(k π的周期为16)8//(22==ππN ，)2/cos(k π的周期为4)2//(23==ππN ，且有16412321=⨯=⨯=⨯N N N所以，该信号是周期16=N 的周期信号。
1-10 判断下列系统是否为线性时不变系统，为什么？其中)(t f 、][k f 为输入信号，)(t y 、][k y 为零状态响应。
（1）)()()(t f t g t y = （2）)()()(2t f t Kf t y += 解：（1）显然，该系统为线性系统。
信号与系统习题部分参考答案
信号与系统第三章习题部分参考答案3-2 已知连续时间周期信号()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=35sin 432cos 2t t t f ππ。
将其表示成复指数傅立叶级数形式，求n F ，并画出双边幅度谱和相位谱。
解：由于()t f 为连续的时间周期信号。
由于题易知T=61ω=3π又()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=35sin 432cos 2t t t f ππ即有2=a 12=a 45=b 200==a F ()2121222=−=jb a F ()221555j jb a F −=−=431F F F ==故()53322212t j tj jee tf ππ−+=又nn F F −=其双边幅度谱如图 3-2-1所示易知43210ϕϕϕϕϕ====25πϕ−=25πϕ=−其相位谱如图 3-2-2所示15w −12w −012w 15w wnF 0F 2 15−F 2−F 2F 5F 图 3-2-115w −015w wnϕ2π2π−图3-2-2 相位谱3-4 如题图3-4所示信号，求指数形式和三角形式的傅里叶级数。
所示信号，求指数形式和三角形式的傅里叶级数。
()t f 1EE −T2/T 题图3－4t()t f 21T t()t f 31TT−00T−T 24T 4T −t()t f 61TT−04T 4T −2T 2T −()t f 5()t f 4A TT2T−A TT−4T 4T−00()a ()b ()c()d()e ()f ttt解：（a ） 由于)(1t f 为奇函数故有为奇函数故有 00=a })sin()sin([2202∫∫+=−TT n dt nwt dt nwt T E b=]1)[cos(2−ππn n E0 n=2k N k ∈πn E4− n=2k+1 N k ∈∴ ]))12sin((121)5sin(51)3sin(31)[sin(4)(1⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅+++−=wt k k wt wt wt E t f π=)sin(]1)[cos(121nwt n nEn −−∑∞=ππ]1)[cos()(21−−=−=ππn n E j jb a F n n njnwt jnwt n e n n E j e F t f }1)[cos(1)(1−−==∑∑+∞∞−+∞∞−ππ3-8：设()()ωF t f ↔，试用()ωF 表示下列各信号的频谱。
信号与系统课后习题与解答第三章
3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为Te jE e jE e jEe jEt f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20= 幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛==n tjn n tjn ne n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω 将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
信号与系统习题答案第三章
第三章习题基础题3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。
它是否是完备集?解：(积分???)此含数集在(0,2)π为正交集。
又有sin()nt 不属于此含数集02sin()cos()0nt mt dt π=⎰，对于所有的m 和n 。
由完备正交函数定义所以此函数集不完备。
3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。
3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T-内的能量定义为222()TT E f t dt -=⎰。
如有和信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;(2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。
解：(1)和信号f(t)的能量为[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2）由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122()()0T T f t f t dt -=⎰则有 22221222()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。
和信号的能量为(2)[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2吧？）由1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内不正交可得2122()()0T T f t f t dt K -=≠⎰则有2222222212122222()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰⎰⎰即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。
信号与系统课后习题与解答第三章
3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数〔三角形式和指数形式〕。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数〔FS 〕为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数〔FS 〕的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为T e jE e jE e jE e jE t f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
假设：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20=幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数〔FS 〕的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n那么的指数形式的傅利叶级数〔FS 〕为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛==n tjn n tjn ne n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ 其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω 将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 假设周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：〔1〕)(1t f 的谱线间隔和带宽〔第一零点位置〕，频率单位以kHz 表示； 〔2〕)(2t f 的谱线间隔和带宽； 〔3〕)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； 〔4〕)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
信号与系统第三章习题部分参考答案
（7） (1 − t) f (1 − t) ；
（2） [1 + m f (t)]cosω0 t
（4） (t + 2) f (t)； ( ) （6） e− jω0 t df t
dt
（8） f (t)∗ f (t − 3)；
t
（9） ∫τ f (τ )dτ −∞
1−t / 2
（11） ∫ f (τ )dτ −∞
2π (sin π t )2 ↔ 2π (1− ⎜w⎜)[ε(w + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
即 (sin π t )2 ↔ (1− ⎜w⎜)[ε(ω + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
（3）双边指数信号
∵ e−a⎜t⎜
↔
2a a2 + w2
(−∞
<
t
<
+∞)
∴ 2a a2 + w2
（13） f (t)∗ Sa(2t) （15） t df (1 − t)
dt
t+5
（10） ∫ f (τ )dτ −∞
（12） df (t) + f (3t ) − 2 e− jt ；
dt
（14） f (t) u(t)
（16） (t − 2) f (t)e j2(t−3)
解：（1） f 2 (t) + f (t) = f (t). f (t) + f (t) ↔ 1 [F (w}* F (w)] + F (w)
又 f (t) = 2 + cos⎜⎛ 2πt ⎟⎞ + 4sin⎜⎛ 5πt ⎟⎞
⎝3⎠
信号与系统 习题部分参考答案
（2）[1 + mf (t)]cos(w0t) = cos(w0t) + mf (t) cos(w0 (t)
↔
π [δ
(w
+
w0
)
+
δ
(w
−
w0
)]
+
m 2
{F[
j(w
+
w0
)
+
F[
j(w
−
w0
)]}
（3） f (6 − 3t) = f [−3(t − 2)] ↔ 1 F (− 1 jw)e− j2w
↔ 2π e−a⎜−ω⎜
（4）单边指数信号 ∵ e−atu(t) ↔ 1 a + jw
∴ 1 ↔ 2π e−a(−w)u(−w) a + jt
即 1 ↔ 2π eawu(−w) a + jt
3.20 求下列各傅里叶变换的原函数
（1） F (ω) = δ (ω − ω0 ) （2） F (ω) = u(ω + ω0 ) − u(ω − ω0 )；
sin 2π (t − 1) π (t − 1)
⎡ ⎢ ⎣
sin(π
πt
t
)⎤2
⎥ ⎦
；
2a a2 + t2
,
a
>
0；
（4） 1 ； a+ jt
解：
（1）∵
Gτ
(t
)
↔
tSa(
wτ 2
)
∴
w0
Sa(
w0t 2
)
↔
2π
Gw0
(− w)
令 w0 = 4π
有
4π
信号与系统第三章习题部分参考答案
(w)
（14） f (t)u(t) ↔ 1 F ( jw) *[ 1 + πδ (w)]
2π
jw
（15） df (1 − t) ↔ jwF (−w)e− jw
dt t df (1 − t) ↔ jwF (−w)e− jw − F (−w)e− jw − wF ′(−w)e− jw
dt
（16） (t − 2) f (t)e j2(t−3) ↔ e− j6[F ′(w − 2) − 2F (w − 2)]
−τ τ
w
方法二 利用时域微分性质
对 f(t)求一阶导数得到
f
′(t)
=
1 τ
G2τ
(t)
−
δ
(t
+
τ
)
−
δ
(t
−
δ
)
F1 (w) = 2sa(wτ ) − 2 cos(wτ )
F1 (0) = 0
F (w) =
F1 (w) jw
+
πF1
(0)δ
(w)
=
j
2 [cos(wτ ) − sa(wτ )] w
1
− F(
jw )]
−∞
−∞
j2w 2
（12） df (t) ↔ jwF (w)
dt
df (t) + f (3t − 2)e− jt ↔ jwF (w) + 1 F ( w + 1)e j2(w+1) / 3
dt
33
（13） sa(t) ↔ πG4 (w) / 2
f
(t)
*
sa(t)
↔
π 2
F (w)G4
↔ 2π e−a⎜−ω⎜