郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(课后习题 傅里叶变换)【圣才出品】
第3章 傅里叶变换
3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。
图3-1
解：
（1
）三角形式由图3-1可知，f(t)为奇函数，故有
所以三角形式的傅里叶级数为。
（2）指数形式
因
所以指数形式的傅里叶级数为。
3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：重复频率f=5kHz
脉宽τ=20μs
幅度E=10V
求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
图3-2
解：由图3-2可知，f(x)为偶函数，且f=5kHz，得：
所以
直流分量为1V
基波分量为
1
sin() 1.39
10
V
π
=≈
二次谐波为
2
sin( 1.32
5
V
π
=≈
三次谐波为。
33sin() 1.2110V π=≈3-3 若周期矩形信号f 1（t ）和f 2（t ）波形如图3-2所示，f 1（t ）的参数为τ=0.5μs，T=1μs，E=1V ；f 2（t ）的参数为τ=1.5μs，T=3μs，E=3V ，分别求：
（1）f 1（t ）的谱线间隔和带宽（第一零点位置）频率单位以kHz 表示；
（2）f 2（t ）的谱线间隔和带宽；
（3）f 1（t ）与f 2（t ）的基波幅度之比；
（4）f 1（t ）基波与f 2（t ）三次谐波幅度之比。
解：由题3-2的结论可知，f(t)的傅里叶级数可表示为
其中，。
（1）f 1（t ）的谱线间隔
，则
带宽：。
（2）f 2（t ）的谱线间隔
带宽：。
（3）由题3-2可知
，所以
f 1（t ）的基波幅度为：
f 2（t ）的基波幅度为：
故。
（4）的三次谐波幅度为：
故。
3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅里叶级数并画出频谱图。
图3-3
解：由图3-3可知，f(t)为偶函数，故。
b
n
所以的傅里叶级数可表示为
()f t
其幅度谱如图3-4所示。
图
3-43-5 求图3-5所示半波余弦信号的傅里叶级数。
若E=10V ，f=10kHz ，大致画出幅度谱。
图3-5
解：
由图
3-5
可知，f(t)为偶函数，因而b n =0
，
（）；
所以其傅里叶级数可表示为
若E=10V ，，则幅度谱如图3-6所示。
10f kHz
图3-63-6 求图
3-7
所示周期锯齿信号的指数形式傅里叶级数，并大致画出频谱图。
图
3-7解：信号指数形式的傅里叶级数为
其中
所以。
郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(课后习题 绪 论)【圣才出品】
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（1） ut ut T sin 4π t ；
T
（2） ut 2ut T ut 2T sin 4π t 。
T
解：（1）信号 sin 4π t 的周期为 T ，截取信号 sin 4π t 在区间[0，T]上的波形如
T
2
T
图 1-5(a)所示。
（2）信号 sin 4π t 的周期为 T ，截取信号 sin 4π t 在区间[0，T]上的波形，在区
2
1-3 分别求下列各周期信号的周期 T：
（1） cos10t cos30t；
（2） e j10t ；
（3） 5sin8t2 ；
（4）
1n
ut
nT
ut
nT
T
n为正整数。
|
解：（1）分量 cos(10t) 的周期T1
2 10
5
，分量 cos(30t) 的周期T2
，两者的 15
最小公倍数是 ，所以此信号的周期T 。
eatu(t) 台eatu(t t0 ) eatu(t t0 ) ea(tt0 )u(t t0 )
eatu(t) ea(tt0 )u(t t0 )
（2）表达式（1-17）为
t
（f ）d
1
=
a
(1 eat ), (0
t
t0 )
1 a
(1
e at
)
1 a
1
e a (tt0 )
以上各式中 n 为正整数。
解：（1） eat sin(t) 时间、幅值均连续取值，故为连续时间信号（模拟信号）；
（2） enT 时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）；
（3） cos(n ) 时间、幅值均离散，故为离散时间信号（数字信号）；
郑君里《信号与系统》(第3版)课后习题(系统的状态变量分析)【圣才出品】
(2)给定系统用微分方程描述为
求对应于(1)问所示状态方程的各系数。
图 12-6 解：（1）由图 12-6 可知状态方程为
利用梅森公式可得，图 12-6 所示系统的系统函数为 其对应的微分方程为 对比原方程得
图 12-9 解：由图 12-9 知，可选电容两端的电压、流经电感的电流为状态变量，分别设为
1(t)、2(t)、3(t)、4(t) ， 如 图 12-10 所 示 。 设 三 个 回 路 电 流 分 别 为 i1(t)、i2(t)、i3(t)，则有
由 KCL 得方程组
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12-12 已知线性时不变系统的状态转移矩阵为：
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求相应的 A。 解：（1）设
由状态转移矩阵 (t) 的性质知：
所以
又 所以
对应可得
，解得
所以
。
（2）设
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图 12-4 解：首先由系统方框图 12-4 画出系统信号流图，如图 12-5 所示。
图 12-5
选各延时器的输出作为状态变量 1、2、3 ，可得状态方程为
输出方程为：
。
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12-6 (1)给定系统用微分方程描述为
解：将 H ( p) 作部分分式展开，可得
表示成信号流图如图 12-2 所示。
取积分器的输出为状态变量，有
郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(名校考研真题 连续时间系统的时域分析)【圣才出品】
0
0
1 [(1 cos t)u(t) (1 cos t)u(t 1)]
将 y0 (t) 代入，可得所求系统输出为
y1(t)
y0 (t)
y0 (t
1)
1
(1
cost)[u(t)
u(t
2)]
y1(t) 的波形如图 2-5 所示。
图 2-5
3．离散时间系统如图 2-6 所示，其中 D 为单位延时器。要求在时域求解。
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台
第 2 章 连续时间系统的时域分析
一、选择题 1．下列表达式中正确的是（ ）。[中山大学 2010 研] A．δ（2t）＝δ（t） B．δ（2t）＝1/2δ（t） C．δ（2t）＝2δ（t） D．δ（2t）＝δ（2/t） 【答案】B 【解析】根据单位冲激函数的时间尺度变换性质，有 (at) 1 (t) 。
，即 a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励
的零输入响应和零状态响应分别为 rzi（t）和 rzs（t），则
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为 h（t），则由线性时不变系统的叠加性可知
由式（1）、式（2），并设
，可得：
则
，解得：A1＝－2，A2＝1，A3＝1，故：
代入式（1），可得：
a
2．序列和 A．1 B．[k] C．k u [k] D．（k＋1）u[k] 【答案】D
等于（ ）。[北京交通大学研]
【解析】由于
。
3．已知一个 LTI 系统起始无储能，当输入
，系统输出为
，当输入
时，系统的零状态响应 r（t）是（ ）。
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台y(t) x(t) h(t)
e3tu(t) u(t 1)
t e3tdt (t 1) 0
1 [1 e3t ]u(t) (t 1) 3
e－（t－r）x（τ－2）dτ，则
该系统的单位冲激响应 h（t）＝（ ）。
【答案】 e( t2 )
【解析】零输入 x( 2 ) ( 2 )；则输出为
h( t ) e( t ) ( 2 )d e( t2 ) ( 2 )d e( t2 )
3．已知 f1（t）＝u（t）－u（t－3）和 f2（t）＝u（t），则 f（t）＝f1（t） ×○ f2（t）＝（ ）。
t
d d
f1
f2
d
t
2
4
2
6
f2
d
t
f2
2
f2
4
2
f2
6d
所以得 y 6 6
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台
8．下列叙述中正确的是（ ）。
（1）若 y（t）＝f（t）*h（t），则 y（2t）＝2f（2t）*h（2t）。
（2）若 f1（t）和 f2（t）均为奇函数，则 f1（t）*f2（t）为偶函数。
dr( t )
当激励为 dt 时，响应为 dt ，r2（t）＝
[r1(t)]= δ（t）－3e－3tu（t）。
5．
。则 f（t）*h（t）＝______。
【答案】 1 et1U t 1 et2U t 2
【解析】因为 f t t t0 f t0 ，且
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A．
1 s2
e s
s
B． s 12
es
C． s 12
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1
D． s 12
1
E． s 12
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【答案】D
【解析】因为
etu(t) 1 s 1
根据拉氏变换的频域微分性质
tet
u
t
1
s
1
1
=
s
1
12
3．信号
d dt
cos tU
t
s2 s2 1
又根据频域微分性质有
t
d dt
cos
tU
t
1
d ds
s2 s2
1
2s s2 1 2
4．信号 f t u t d 的拉普拉斯变换为（ ）。 0
A．1/s
B．1/（s2）
C．1/（s3）
D．1/（s4）
【答案】C
B．e－αtu（t－T）
C．e－αtu（t－α ）
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D．e－αu（t－T）
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【答案】B
【解析】u（t）的拉氏变换为 1/s，根据时移性，u（t－T）的拉氏变换为 e－sT/s，再
根据频域的时移性，e－αtu（t－T）的拉氏变换为 e－sT/s 的 s 左移α，即 e－sT/s 中的 s 加上
2s 1 2s 1
f（t）中包含Байду номын сангаас激函数 2δ（t），去掉冲激函数以后，根据初值定理
f
(0 )
lim
s
s
3 2s+1
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解：对汽车底盘进行受力分析。
图 2-4
图 2-5
设汽车底盘运动速度为 v(t) ，方向向上； Fk 为弹簧对汽车底盘的拉力，方向向下； Ff 为减震器阻尼力，方向向下。
汽车底盘的加速度：
a(t)
dv(t) dt
d dt
[ dy(t)] dt
d
2 y(t) dt 2
①
因弹簧的位移量为 x(t) y(t) ，所以拉力： Fk (t) k[ y(t) x(t)]
②
减震器对汽车底盘的作用力： Ff
(t)
f
d [ y(t) x(t)] dt
③
由牛顿第二定律知： Fk (t) Ff (t) ma(t)
将式①②③代入上式，可得微分方程
2-6 给定系统微分方程
若激励信号和起始状态为： 试求它的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应，自由响应、强迫响应各分量。
解：方程的特征方程为
特征根为
（1）设零输入响应
①
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由已知条件可得
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rzi (0 ) rzi (0 ) r(0 ) 1
台
（2）
d dt
r
t
2r
t
3
d dt
et
,r
0
0,et
ut
。
试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其 r0 值。
解：当微分方程右端包含 (t) 及其各阶导数时，系统从 0 状态到 0 状态发生跳变。
（1）将 e(t) u(t) 代入原方程得：
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(1-2章)【圣才出品】
第1章绪论
1.1复习笔记
本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。
本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。
通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。
一、信号概述
1．信号的概念及分类（见表1-1-1）
表1-1-1信号的概念及分类
2．典型的连续信号（见表1-1-2）
表1-1-2典型的信号及表示形式
3．信号的运算（见表1-1-3）
表1-1-3信号的运算
4．阶跃函数和冲激函数
阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。
具体见表1-1-4及表1-1-5。
（1）单位阶跃信号u（t）
表1-1-4单位阶跃信号u（t）
（2）单位冲激信号δ（t）
表1-1-5单位冲激信号δ（t）表示形式及性质
5．信号的分解
一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。
表1-1-6信号的分解
二、系统
1．系统概念及分类（见表1-1-7）
表1-1-7系统的概念及分类
系统模型如下：
输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。
表1-1-8不同系统特性
1.2课后习题详解
1-1分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）。
郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(名校考研真题 信号的矢量空间分析)【圣才出品】
1
而已知条件 y(t) 1 π
x( )d t
t
π
x( )d
，对比可得：
h(t)
1 πt
由变换对
sgn(t)
↔
2 j
，利用对称性
2 jt
↔
2π sgn()
2π sgn()
，得
1 πt
↔
jsgn()
，
即：
H
()
jsgn(
)
j
j
0 0
，
|
H
(
)
|
1
()
90o 90o
0 0
所以幅频特性和相频特性分别如图 6-1（a）、（b）所示。
106 )]
=
1 2
X
2
(
j)
[
(
2
106
)
(
2
106
)]
=
1 2
{X
2[
j(
2
106
)]
X
2[
j(
2
106
)]}
因此， X ( j) 的幅度频谱为
|X(j
)|=
1 2
{|
X
2[
j(
2
106
)]
|
|
X
2[
j(
2
106
)]
|}
又因为
|X2
(j)|=|X1(j)|=
1 2
g4 103
()
0.5 0
， ，
由（1）知 | H () | 1，所以 | Y () || X () | ，即 y( t) 与 x( t) 的能量相等。
2．已知连续时间信号
郑君里《信号与系统》(第3版)课后习题(离散傅里叶变换以及其他离散正交变换)【圣才出品】
图 9-6
图形如图 9-7 所示。
图 9-7
9-13 证 明 频 移 定 理 ： 若
。
证明：令
，则
，则
由于
及
都是以 N 为周期的函数，所以
。
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9-14 已知有限长序列
，试利用频移定理求：
解：（1）
（2）
9-15 利用教材例 9-3 的结果，分别求该例中的
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第 9 章 离散傅里叶变换以及其他离散正交变换
9-1 图 9-1 所示周期序列 xP(n)，周期 N=4，求
。
解：周期 N=4，则根据定义有
图 9-1
9-2 若 周 期 序 列 xP(n) 为 实 数 序 列 ， 则 。试证明此特性。
x(n)=xP(n)RN(n)，求 x(n)的离散傅里叶变换
。
解：根据 DFT 定义，有
由题 9-1 知，
则
故
。
9-7 任意假设一个实周期序列 xP(n)，其周期为 N。若 x(n)=xP(n)RN(n)，绘出
序列。
解：设 xP(n)如图 9-3(a)所示，由定义有
，即
序列
为 xP(n)序列以 n=0 为轴反转所得，如图 9-3(b)所示。
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图 9-3 9-8 若已知有限长序列 x(n)如下式
求 建议写作矩阵形式。
解：根据定义
，再由所得结果求 ，可写出矩阵形式
，验证你的计算是正确的，
因为 故
，所以
郑君里《信号与系统》(第3版)配套模拟试题及详解【圣才出品】
的单位冲激响应为
hn = n− n −1 ；hn 为有限长序列，则其收敛域包含整个坐标平面。可见包
含单位圆，则稳定。
4．若连续线性时不变系统的输入信号为 f（t），响应为 y（t），则系统无畸变传输的系
f2 (n)
= cos(n), 周期 N2
=2，
N1 N2
= 2
为无理数，所以
f
(n) =
f1 (n) +
f2 (n) 不是周期
函数。
2．任何系统的全响应必为零状态响应与零输入响应之和（ ）。 【答案】× 【解析】零输入响应为仅由起始状态所产生的响应。零状态响应是系统的初始状态为零 时，仅由输入信号引起的响应。由此可知仅当系统满足线性时，其全响应必为零状态响应与 零输入响应之和。
1
C．
(3 − 2w0) + jw 1
D．
3 + j(w − 2w0)
【答案】D
【解析】根据傅里叶变换频域特性可知
e−3tu (t )
1 3+ j
,则e−(3−2w0 )tu(t)=e20t
e1
j ( − 20
)
4．象函数 F(s) =
2s s
+
2
1
e
−2s
的原函数
f
(t ) 为（
郑君里《信号与系统》（第 3 版）配套模拟试题及详解（一）
一、判断题（本大题共 5 小题，每题 2 分共 10 分）判断下列说法是否正确，正确的打
√，错误的打×。
1．两个周期信号之和一定为周期信号。（ ）
【答案】×