傅里叶变换与傅里叶级数
傅里叶级数和傅里叶变换
第九章 傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。
例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。
为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。
当然这类函数也要体现出周期性。
这类函数称为周期函数。
在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。
但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。
9.1 周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数 凡满足以下关系式：)()(x f T x f =+ （T 为常数） （9.1.1） 的函数，都称为周期函数。
周期的定义（1） 满足式（9.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。
9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。
如下形式的函数系：1，x l πcos，x l πsin，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x lk πsin ，… （9.1.2）称为基本三角函数系。
所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x lk πsin 的周期为kl2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。
通常这个周期命名为函数系的周期。
所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l 2。
如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。
例如图9.1（a ）是两个函数的组合x lx l x f ππ2sin 21sin )(-=；图9.1（b ）是三个函数的组合x lx l x l x f πππ3sin 312sin 21sin )(+-=。
最新傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换第九章傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。
例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。
为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。
当然这类函数也要体现出周期性。
这类函数称为周期函数。
在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。
但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。
9.1周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数凡满足以下关系式：«Skip Record If...»（T为常数）（9.1.1）的函数，都称为周期函数。
周期的定义（1）满足式（9.1.1）的T值中的最小正数，即为该函数的周期；（2）一个常数以任何正数为周期。
9.1.2基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。
如下形式的函数系：1，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…（9.1.2）称为基本三角函数系。
所有这些函数具有各自的周期，例如«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的周期为«Skip Record If...»，但它们的共有周期为«Skip Record If...»（即所有周期的最小公倍数）。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是现代数学以及工程学领域中非常重要的概念。
它们广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、电子电路等方面。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、原理和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是一种用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。
对于任意周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为零频率分量的系数，an和bn为一系列傅里叶系数，n为正整数，ω=2π/T为基本频率。
傅里叶级数展开式中的每一项都代表了函数f(t)中具有不同频率的分量。
通过计算适当的系数an和bn，我们可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
这使得我们能够分析、合成和处理不同频率的信号。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个时域函数转换为频域函数的过程。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换表示为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，F(ω)为频域函数，ω为连续频率参数，e为自然对数的底，j为虚数单位。
傅里叶变换将时域函数转换为频域函数，可以帮助我们理解和分析信号在不同频率上的能量分布。
频域函数F(ω)表示了原始信号中不同频率的幅度和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波、调制、解调等操作，从而实现对信号的处理和传输。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上是相互关联的。
傅里叶级数是对周期函数进行频谱分析的方法，而傅里叶变换则适用于各种非周期信号的频谱分析。
当周期T趋于无穷大时，傅里叶级数就变成了傅里叶变换的极限形式。
傅里叶变换可以看作是傅里叶级数的一个推广，将其应用于非周期信号的频谱分析。
四、傅里叶级数与傅里叶变换的应用傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和通信领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 信号滤波：通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波操作，以去除不需要的频率成分或者保留感兴趣的频率成分。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的概念，并探讨它们之间的关系。
一、傅里叶级数的概念傅里叶级数是一种将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它基于傅里叶分析的原理，将一个周期为T的周期信号f(t)表示为：f(t) = a0 + Σ[an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是信号直流分量的系数，an和bn是信号的谐波分量的系数，n为谐波的阶数，ω0为基频的角频率。
傅里叶级数可以理解为将一个周期信号分解为不同频率成分的叠加。
二、傅里叶变换的概念傅里叶变换是一种将非周期信号分解为不同频率成分的方法。
它的基本思想是将信号f(t)在整个实数轴上进行积分变换，得到频率域上的表示。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，F(ω)表示信号在频率域上的表示，f(t)为原始信号，e^(-jωt)为旋转因子。
傅里叶变换将一个时域上的信号转换为频域上的表示，以便更好地分析信号的频谱特性。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期信号上的特殊情况。
当一个信号f(t)为周期信号时，其傅里叶变换和傅里叶级数之间存在着对应关系。
具体而言，傅里叶级数是傅里叶变换在周期为T的周期信号上的反离散化。
通过傅里叶级数，我们可以将一个周期信号分解为多个谐波成分，每个谐波成分对应着傅里叶变换的频谱。
四、应用实例傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
以音频信号为例，我们可以通过傅里叶级数将音频信号分解为不同频率的音调，进而进行声音合成和音乐分析。
而傅里叶变换则可以将非周期信号的频谱特性表示出来，如在图像处理中可以用于图像压缩和特征提取。
傅里叶级数和傅里叶变换的关系使得我们能够更好地理解和处理信号和图像。
总结傅里叶级数和傅里叶变换是处理周期信号和非周期信号的有效工具，它们在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
通俗浅谈傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换
通俗浅谈傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换中国航天科工集团二院706所宋晓秋一、傅里叶级数(1) 一个周期为2π的函数表示成不同周期的正弦函数、余弦函数之和。
f t=a02+a n cos nt+b n sin nt ∞n=1a n=1πf t cos nt dtπ−π,n=0,1,2,⋯b n=1πf t sin nt dtπ−π,n=1,2,3,⋯(2) 周期为T的函数怎么办？做下变换，令ω=2πTf t=a02+a n cos nωt+b n sin nωt ∞n=1a n=2Tf t cos nωt dtT2−T2,n=0,1,2,⋯b n=2Tf t sin nωt dtT2−T2,n=1,2,3,⋯(3) 时域、频域的概念f t是随时间t变化的函数，它转换成了不同频率(周期的倒数)三角函数的和，即对应成了反映频率特征的a n、b n。
直接分析f t那是时域分析，通过a n、b n分析那是频域分析。
(4) 傅里叶级数的复数表达形式基础知识：复数e ix=cos x+i sin x，可知cos nωt=12e inωt+e−inωtsin nωt=12ie inωt−e−inωt将其代入下式的傅里叶级数（这里ω=2πT）f t=a02+a n cos nωt+b n sin nωt ∞n=1a n=2Tf t cos nωt dtT2−T2,n=0,1,2,⋯b n=2Tf t sin nωt dtT2−T2,n=1,2,3,⋯得到傅里叶级数的复数表达形式f t=F n e inωt∞n=−∞F n=1Tf(t)e−inωt dtT2−T2,n=⋯,−2,−1,0,1,2,⋯同理，直接分析f t那是时域分析，通过F n分析那是频域分析。
记住周期函数的傅里叶级数复数表达形式，由此引出傅里叶变换。
二、傅里叶变换对于非周期函数怎么办？当然是让T→∞了,可以证明此时有f t=F n e inωt∞n=−∞→12πF(iΩ)e iΩt dΩ∞−∞F n T = f (t )e −inωt dt T 2−T 2→ f (t )e −iΩt dt ∞−∞=F (iΩ)直接分析 f t 那是时域分析，通过 F (iΩ)分析那是频域分析。
傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中常见且重要的概念，它们在信号处理、图像处理、电路分析以及物理学等领域中起着重要的作用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本原理、应用以及它们之间的关系。
一、傅里叶级数傅里叶级数是将一个周期性函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数。
在数学上，一个周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：f(t) = a0/2 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0表示直流分量，an和bn分别表示函数f(t)在一个周期内的cosine分量和sine分量，n为正整数，ω0为角频率，ω0 = 2π/T。
傅里叶级数的基本原理是，任何一个函数都可以用一系列基本的正弦和余弦函数来表示。
通过计算函数f(t)在一个周期内的各种正弦和余弦分量的系数，我们可以将函数f(t)展开成傅里叶级数的形式。
傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用，例如音频信号的分析与合成、图像压缩等。
通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以得到信号的频率成分，从而对信号进行频域分析和处理。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期性函数或一个有限区间内的函数表示为连续频谱的方法。
傅里叶变换可以将一个时域上的函数转换为频域上的函数，从而能够更方便地观察信号在不同频率上的分量。
函数f(t)的傅里叶变换定义为：F(ω) = ∫f(t) * exp(-jωt) dt其中，F(ω)表示函数f(t)的频域表示，ω为频率。
傅里叶变换将函数f(t)从时域转换到频域，提供了频域上对信号进行分析和处理的方法。
傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用，例如频率滤波、信号去噪、图像处理等。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号表示为一系列复指数函数的线性组合，从而得到信号的频谱信息。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系。
事实上，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换的一种特殊形式，即周期为T的函数的傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在频率上的离散表示。
傅里叶变换和傅里叶级数的区别和联系
傅里叶变换和傅里叶级数的区别和联系傅里叶变换和傅里叶级数是信号处理领域中两个重要的数学工具。
许多人对这两个概念有所了解，但是很难区分它们之间的差异和联系。
本文将探讨傅里叶变换和傅里叶级数的异同，以及它们在信号处理中的应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期信号分解成若干个简单周期信号的方法。
简单周期信号包括正弦和余弦波形。
将周期信号分解成若干个频率分量之和，这些频率分量即为傅里叶级数的各项。
这些项被称为正弦项和余弦项，它们的系数决定了信号中每一个频率分量的能量大小。
在傅里叶级数中，信号的周期性是必要条件。
举个例子，我们可以将一个周期为T的三角波信号表示为以下傅里叶级数形式：f(x) = a0 + Σ(an cos(nω0x) + bn sin(nω0x))n=1其中，a0和an、bn分别代表0、正弦和余弦项的系数，ω0代表角频率（ω0 = 2π/T）。
根据傅里叶级数的定义，信号f(x)可以表示为n个特定频率分量的组合。
每个分量的能量与其系数平方成正比。
傅里叶级数的范围仅限于周期信号。
但是，实际应用中，我们会遇到非周期信号，这时候傅里叶级数就不再适用。
二、傅里叶变换与傅里叶级数类似，傅里叶变换也是一种将信号分解成频域分量的方法。
傅里叶变换可处理可瞬时信号，即非周期信号。
简单来说，通过傅里叶变换，我们可以将时域信号f(t)转换成频域表示F(ω)。
傅里叶变换的一般形式为：F(ω) = ∫f(t) e−iωtdt−∞< ω < ∞其中，F(ω)是频域表达式，表示信号f(t)在频率ω处的贡献。
ω代表角频率，f(t)是时域信号。
傅里叶变换主要通过频域分析来提取信号特征。
对于一个信号，我们可以通过傅里叶变换来分离出不同的频率分量，进一步分析其特征，例如幅度、频率和相位信息。
三、傅里叶变换和傅里叶级数的联系虽然傅里叶变换和傅里叶级数适用的信号类型不同，但两者有很多相似之处。
对于周期信号，我们可以使用傅里叶级数和傅里叶变换来得到相同的频率分量表示。
傅里叶级数展开与傅里叶变换
傅里叶级数展开与傅里叶变换是数学中重要的工具和方法，它们在信号处理、图像处理、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将从基本概念、数学表达以及在实际应用中的作用进行阐述。
首先，傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为正弦或余弦函数的无穷级数的方法。
对于一个周期为T的函数f(t)，可以用一系列正弦、余弦函数的叠加来表示：f(t) = a0 + Σ(an cos(nωt) + bn sin(nωt))其中，a0是常数项，an和bn是系数，n是正整数，ω是基本频率，ω=2π/T。
这个公式称为傅里叶级数展开式。
通过求解函数f(t)与正弦、余弦函数的内积，可以得到系数an和bn的值，从而完全描述了原始函数f(t)的特性。
傅里叶级数展开是非常有用的，它可以将一个复杂的周期函数分解为多个简单的正弦、余弦函数的叠加。
这样做的好处是，我们可以通过调整不同频率的正弦、余弦函数的系数来改变周期函数的形状。
例如，在音乐中，通过改变音调、音量等参数，我们可以产生不同的乐音。
然而，傅里叶级数展开只适用于周期函数，有一定的局限性。
当我们处理非周期函数时，就需要用到傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将非周期函数表示为连续频谱的方法。
对于一个非周期函数f(t)，可以用以下公式进行表示：F(ω) = ∫[f(t) * e^((-iωt)) dt]其中，F(ω)是频域函数，表示函数f(t)在频率ω上的分量大小。
这个公式称为傅里叶变换。
傅里叶变换利用了复数的性质，将时间域上的函数转换到频域上。
通过傅里叶变换，我们可以将原始函数f(t)分解成多个频率分量。
这样做的好处是，我们可以分析非周期函数中的频率分布情况。
例如，在图像处理中，我们可以通过对图像进行傅里叶变换，得到图像的频谱，从而分析图像的频率分布情况，实现图像滤波、边缘检测等操作。
傅里叶级数展开与傅里叶变换有着密切的联系。
事实上，傅里叶级数展开可以看作是傅里叶变换的一种特殊情况。
当周期T趋于无穷时，傅里叶级数展开就变成了傅里叶变换。
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重温傅里叶—笔记篇本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。
（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明）重温傅里叶—笔记篇一、傅里叶级数$关于三角函数系的正交性：三角函数系包括：1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,……“正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。
（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。
不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。
同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。
三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。
$上公式!①当周期为2π时：式（1）：上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件：1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点；2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。
下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。
第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
②当周期为2L时（这也是最一般的情形）：式（2）：第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值；第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
$傅里叶级数的复数表达方式同样设周期为2L。
根据欧拉公式，正余弦函数都可以用复指数表示出来。
这样上面式（2）中的第一行：可以表示为：令：c n与c-n互为共轭。
这样式（4）变为：由式（5）和式（2）中对a0 b0a n b n c0 c-n的定义，可以发现c n可统一表达为：将傅里叶级数用复数表示后，就是式（6）和式（7）这样简洁的形式。
简单分析：②若f(x)为偶（或奇）函数，则所有的b n(或a n)将为0，此时的c n将变为实数（或纯虚数），且a n(或b n)是转换后所得的c n的2（或2i）倍，而c-n与c n相等（或纯虚共轭）。
二、复变函数中的傅里叶变换$先上公式：定理：若f(t)在（-∞,+∞）上绝对可积，即f(t)的绝对值在（-∞,+∞）上收敛，则F(ω)在（-∞,+∞）上存在且连续（F(ω)的连续性在复变函数的教科书中一般都有证明）。
F(ω)是实变复值函数，即变量ω是在实数区间（-∞,+∞）定义，而函数值F(ω)却在复数空间。
式（9）的条件是：f(t)在（-∞,+∞）上绝对可积，并在任一有限区间满足狄立克雷充分条件。
$若f(t)为偶函数，则F(ω)将为纯实数，且同为偶函数；若f(t)为奇函数，则F(ω)将为纯虚数，且同为奇函数；而对任意f(t)，F(ω) 与F(-ω)始终共轭，这意味着|F(ω)| 与| F(-ω)| 恒相等，即F(ω)的绝对值是偶函数。
$由于要求f(t)绝对可积，所以对于周期函数一般是不能用傅里叶变换的，只能用傅里叶级数分析。
（周期函数往往不能收敛）。
三、总结性说明周期函数可以看成由很多频率是原函数频率整数倍的正余弦波叠加而成，每个频率的波都有各自的振幅和相位，必须将所有频率的振幅和相位同时记录才能准确表达原函数。
但从上面的公式来看，我们好像从没涉及到相位？其实不然，从式（2）来看，我们将每个频率的波分成了一个正弦分量和一个余弦分量，同时记录了这两个分量的振幅a n、b n其实就已经包含了这个频率的波的相位信息；而对于式（6a），每个频率的波被分成了正负两个频率的复数“波”，这种方式其实比正余弦形式更加直观，因为复振幅c n恰好同时记录了这个频率的振幅和相位，它的物理意义很明显：c n的幅值|c n| 即为该频率的振幅（准确的说是振幅的一半），而其辐角恰好就是相位（准确的说是反相的相位，c-n的辐角才恰好代表该频率波分量的相位）。
傅里叶变换针对的是非周期函数，或者说，周期为无穷的函数。
它是傅里叶级数的一个特例（好吧，我曾经一直以为傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例，正好相反，刚前几天才想通透）。
当傅里叶级数的周期L趋于无穷时，自然就变成了上面的傅里叶变换。
这种关系从二者的表达式中大概能看出点端倪，但是也不是特别明显，毕竟它们的表达形式差别还挺大。
如果不把傅里叶级数表达成复数形式，那就更加难看出二者之间的联系了，这也是为什么本文中详细列出了复数形式的傅里叶级数。
傅里叶变换要求f(t)在（-∞,+∞）上绝对可积，其实可以理解成“傅里叶级数要求函数在一个周期内的积分必须收敛”。
在深入篇中，我再好好说说二者是如何联系的。
重温傅里叶--深入篇1--傅里叶级数与傅里叶变换的关系以及频谱图的介绍在读本文前，请先大致浏览一下笔记篇里的东西，下面使用的符号及其意义都跟笔记篇里是一致的。
笔记篇里记录的大都是基础的公式，教科书上都可以找到。
（抱歉，刚发现有点小错误：在式（6-4）和式（11）里，积分项中的“dx”都应改为“dω”，由于改图不太好改，就只在这里说明了。
请读者看的时候注意）为了下面叙述方便，我先做几点约定和说明：本文中提到的傅里叶级数都是复数形式的级数，下标n都是负无穷到正无穷；对于笔记篇里经常出现的“ nπ/L ”，它可以看成一个角频率，用ω表示。
（角频率与频率(通常用f表示)之间的关系是：ω=2πf）。
（参见笔记篇中的式（3）、（4）、（6）等）；进一步，我将“π/L”称为“角基频”，这样的话“ nπ/L ”就是n倍角基频。
当周期为2π时，角基频恰好为1；一定别搞混：c n代表的不是角频率为n的波分量的振幅，而是角频率为n倍角基频的波分量的振幅；对于周期函数，除了角频率为整数倍（包括负整数倍）角基频的波分量振幅可以不为0外，角频率为其他值的波分量振幅都是0。
（下面介绍频谱图时会再提到此事）；*对于周期L等于无穷大的函数（非周期函数），其角基频为π/L = 0 ，这样实数范围内的所有角频率都可以看成整数倍角基频了，因此非周期函数在所有的角频率处都有波分量！（就是说，频谱图由离散变得连续了）。
什么，那不乱套了？如果所有的角频率都有波分量而且每个波分量都有一个不为0的振幅，那级数怎么可能收敛？还好，每个c n的表达式中都有一个1/2L 的系数，这样周期无穷大时，所有的振幅c n也都变成“0”了，所以不会乱套，但是这么多0加一块应该还是0，怎么能凑出原来的f(x)呢？这就像对一个函数积分一样，函数在任意一个点处的积分都是0（好吧我知道这说法不科学，但是方便理解），但对一个区间积分，这么多0加起来就成了一个有限值。
好了，不乱说了，越说越乱，本文就从这里开始，看完下面的几段大家就能清楚的知道是怎么一回事了。
为了方便大家翻阅，我先将一会儿涉及到的几个公式重新贴一遍在这里。
这些公式及公式的标号都与笔记篇中相同。
周期级数公式如式（6）和式（7）那样，我们现在要做的是，搞明白为什么周期L趋于无穷时，就会有式（9）和式（8）的结果。
好，现在我们对式（6）和式（7）进行第一步加工：将式中的“ nπ/L ”用角频率ωn来表示，代表n倍角基频。
这样，会产生下面的新式子：对比式（7-1）和式（8），发现他们右边的积分式主体部分形式几乎是一样的，只是上下限和系数不同。
好吧，为了更直观的对比，我再创造一个符号，F n，将它定义如下：F n=× 2L这样我们就可以彻底抛弃c n 这个碍眼的符号了，全部用F n代替。
然后重写式（6）和式（7）：再拿式（7-2）和式（8）对比，会发现很让人兴奋的结果，他们的形式几乎一样！但是式（6-2）和式（9）貌似差别还不小，他们的系数一个是(1/2L)，一个(1/2π)。
好吧，接着来，我们再创造一个符号，Δω，定义如下：Δω = （π/ L）（其实就是角基频的大小）利用它来再次加工式（6）：（式（7-2）不变，但还是一块列了出来）重新对比式（6-3）和式（9），发现形式已经很相近了，只不过一个是积分一个是和式……等一下！和式？再仔细看看看式（6-3），发现这时它很像一个函数积分的和式展开式！那我们现在来构造两个函数吧：F* (ω)和ω* (ω)，构造方法如下：F*(ω) =F n当[ ( n - 1/2 )Δω] < ω < [ ( n + 1/2 )Δω]时；ω* (ω) =ωn 当[ ( n - 1/2 )Δω] < ω < [ ( n + 1/2 )Δω]时；这是两个分段跳跃函数，它们都以ω为自变量，并每隔Δω，函数值变化一次。
好吧，数字太不直观，我把F*(ω)的函数图象大致画出来方便大家理解：上面这个阶梯状的东西就是F* (ω)的函数图象。
ω* (ω)的图像也是类似的阶梯状，而且它的更简单，是一个从负无穷到正无穷逐步升高的形状（每次升高一个角基频的大小）。
这里有必要说明一下，以免误导大家：F n一般都是复数，只有在f(x)本身是偶函数时才是实数，因此函数F*的值也应为复数。
也就是说，将F*的函数图象画成图1那样的实数形式其实是不合理的。
我这样做只是为了方便大家理解（6-3）中的和式是如何变成积分式的。
好了，有了这两个函数，我们再来仔细看看式（6-3），不难看出，这个和式其实就是函数F*在（-∞,+∞）上的积分（面积）！这次我们再进一步，将上面两个式子中的F n和ωn也都换掉，使其变成ω*和F*这两个函数之间的关系式（离成功不远了）：这就是转换后的结果。
笔记篇中的式（6b）与式（7），跟现在推出的式（6-4）与式（7-4），是完全等价的，因为后面的两个就是根据前两个换算来的，只不过借助了F*(ω)和ω* (ω)这两个新构造的函数而已。
表达的意义一样，适用范围也一样（都适用于周期函数），但形式却大变！这时再回头看看式（9）和式（8），我们终于可以松口气了，形式完全一样！好了，现在我们再看看看周期L趋于无穷时会发生什么。
如果直接分析笔记篇中的式（6b）与式（7），我们会很失望，因为L趋于无穷时，它们都“退化”了，很难直接地从这两个式子中得到有用的信息（如果用这两个式子，我们所能得到的“直观”结果就是：c n全变0了，所以f(x)是0。
显然这是错的）。
但我们后来创造出来的式（6-4）与式（7-4），适应环境的能力就很强了。
1. 首先，L趋于无穷时，Δω会变得越来越小直至变成0（Δω是什么？忘了？前面有，Δω= （π/ L））；2. 同时，对于ω* (ω) = ωn，由于Δω其实就是角基频，而相邻的两个ωn差就是一个角基频，根据1可知，L趋于无穷时，ω* (ω)就由阶梯跳跃变得连续了，这时ω* (ω) =ω。