2_傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换
第九章 傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。
例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。
为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。
当然这类函数也要体现出周期性。
这类函数称为周期函数。
在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。
但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。
9.1 周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数 凡满足以下关系式：)()(x f T x f =+ （T 为常数） （9.1.1） 的函数，都称为周期函数。
周期的定义（1） 满足式（9.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。
9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。
如下形式的函数系：1，x l πcos，x l πsin，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x lk πsin ，… （9.1.2）称为基本三角函数系。
所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x lk πsin 的周期为kl2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。
通常这个周期命名为函数系的周期。
所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l 2。
如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。
例如图9.1（a ）是两个函数的组合x lx l x f ππ2sin 21sin )(-=；图9.1（b ）是三个函数的组合x lx l x l x f πππ3sin 312sin 21sin )(+-=。
4种傅里叶变换
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4种傅里叶变换
DFT的变换 的变换
x(nT)=x(n)
Tp = 1 F
Tp = NT
x(e jkΩ0T ) x(k)
0 T 2T 1 2
Ωs = 2 π T 1 fs = T
NT
N
Ω0 =
2 π =2 F π Tp
t n
Ωs = N 0 Ω
( )
--Ω
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4种傅里叶变换
4.离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换
周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性离散时间信号从上可以推断： 从上可以推断 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的 得出其频谱为周期性离散的。 周期性离散
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4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
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Ω
正: X(e jω ) =
1 反 : x(n) = 2π
n=−∞
x(n)e − jnω ∑
∞
∫π
−
π
X(e jπ )e jnω dω
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4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的 频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T 时域：非周期、离散（取样间隔为T） 频域：连续、周期（ 频域：连续、周期（周期为 Ω = 2π ） s
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傅里叶变换与傅里叶级数
傅里叶级数和傅里叶变换的区别与联系以上我们分别讨论了傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其存在条件，现简要讨论一下二者的区别。
前已述及，傅里叶级数对应的是周期信号，而傅里叶变换对应的是非周期信号；前者要求信号在一个周期内的能量是有限的，而后者要求信号在整个时间区间内的能量是有此外，傅里叶级数的系数X(k Q2o )是离散的，而傅里叶变换x(jn)是Q的连续函数。
由此可见，傅里叶级数与傅里叶变换二者的物理含义不同，因而量纲也不同。
X(k Q。
)代表了周期信号x(t)的第k次谐波幅度的大小，而x(js2)是频谱密度的概念为说明这一点，我们可将一个非周期信号视为周期丁趋于无穷大的周期信号。
由Q o=2 n /!可知，若T TS则必有Qo TO, k Qo 将(3. 1. 3)式两边同乘以T,并取时的极限，可得hm7'A (if)r ) - lim —- = X(jn) (3. t 13) 瞬以•从童姻上于IWift幅度除以類率显见*它是義墙麼度的If念.比较01翥】■ I, M 3. L2A(3, L5)W(3.1/12)^式；菱们看到•周期倩号的傅里叶系数和用谏倩号的一牛周期所求出的傅塑叶童换的黄索为只厲仏)=\a…^这一Jt累也可由图3. I, 1和图龙L 2曹岀，由(L2*飭)式可側周期值号了仃)的功率■= S= £ i xun)i f于垦有时".r{ t) |:d/ :一£W “我们*用同样的方注可&.导出匕厂J I 之〔門 a 匕| X(jjQ) dD (3t L 16)© 1.15)#(3* L 16)Xin .1i 的两t JtSft 为pfirwval 关系或Par^eval 定理.前# 反映的是劝率Jt 系，痞帰反映的是能H关累.现住•我I订不考慮(乳1.羅试的约电及Dirichlet条件,立接求鮮周期佰号的傅曬叶变换「将G I)式代人佩1.门式*有该式表明，一个周期信号的傅里叶变换是由频率轴上间距为Q。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的概念，并探讨它们之间的关系。
一、傅里叶级数的概念傅里叶级数是一种将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它基于傅里叶分析的原理，将一个周期为T的周期信号f(t)表示为：f(t) = a0 + Σ[an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是信号直流分量的系数，an和bn是信号的谐波分量的系数，n为谐波的阶数，ω0为基频的角频率。
傅里叶级数可以理解为将一个周期信号分解为不同频率成分的叠加。
二、傅里叶变换的概念傅里叶变换是一种将非周期信号分解为不同频率成分的方法。
它的基本思想是将信号f(t)在整个实数轴上进行积分变换，得到频率域上的表示。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，F(ω)表示信号在频率域上的表示，f(t)为原始信号，e^(-jωt)为旋转因子。
傅里叶变换将一个时域上的信号转换为频域上的表示，以便更好地分析信号的频谱特性。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期信号上的特殊情况。
当一个信号f(t)为周期信号时，其傅里叶变换和傅里叶级数之间存在着对应关系。
具体而言，傅里叶级数是傅里叶变换在周期为T的周期信号上的反离散化。
通过傅里叶级数，我们可以将一个周期信号分解为多个谐波成分，每个谐波成分对应着傅里叶变换的频谱。
四、应用实例傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
以音频信号为例，我们可以通过傅里叶级数将音频信号分解为不同频率的音调，进而进行声音合成和音乐分析。
而傅里叶变换则可以将非周期信号的频谱特性表示出来，如在图像处理中可以用于图像压缩和特征提取。
傅里叶级数和傅里叶变换的关系使得我们能够更好地理解和处理信号和图像。
总结傅里叶级数和傅里叶变换是处理周期信号和非周期信号的有效工具，它们在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中常见且重要的概念，它们在信号处理、图像处理、电路分析以及物理学等领域中起着重要的作用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本原理、应用以及它们之间的关系。
一、傅里叶级数傅里叶级数是将一个周期性函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数。
在数学上，一个周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：f(t) = a0/2 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0表示直流分量，an和bn分别表示函数f(t)在一个周期内的cosine分量和sine分量，n为正整数，ω0为角频率，ω0 = 2π/T。
傅里叶级数的基本原理是，任何一个函数都可以用一系列基本的正弦和余弦函数来表示。
通过计算函数f(t)在一个周期内的各种正弦和余弦分量的系数，我们可以将函数f(t)展开成傅里叶级数的形式。
傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用，例如音频信号的分析与合成、图像压缩等。
通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以得到信号的频率成分，从而对信号进行频域分析和处理。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期性函数或一个有限区间内的函数表示为连续频谱的方法。
傅里叶变换可以将一个时域上的函数转换为频域上的函数，从而能够更方便地观察信号在不同频率上的分量。
函数f(t)的傅里叶变换定义为：F(ω) = ∫f(t) * exp(-jωt) dt其中，F(ω)表示函数f(t)的频域表示，ω为频率。
傅里叶变换将函数f(t)从时域转换到频域，提供了频域上对信号进行分析和处理的方法。
傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用，例如频率滤波、信号去噪、图像处理等。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号表示为一系列复指数函数的线性组合，从而得到信号的频谱信息。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系。
事实上，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换的一种特殊形式，即周期为T的函数的傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在频率上的离散表示。
傅里叶变换和傅里叶级数的区别和联系
傅里叶变换和傅里叶级数的区别和联系傅里叶变换和傅里叶级数是信号处理领域中两个重要的数学工具。
许多人对这两个概念有所了解，但是很难区分它们之间的差异和联系。
本文将探讨傅里叶变换和傅里叶级数的异同，以及它们在信号处理中的应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期信号分解成若干个简单周期信号的方法。
简单周期信号包括正弦和余弦波形。
将周期信号分解成若干个频率分量之和，这些频率分量即为傅里叶级数的各项。
这些项被称为正弦项和余弦项，它们的系数决定了信号中每一个频率分量的能量大小。
在傅里叶级数中，信号的周期性是必要条件。
举个例子，我们可以将一个周期为T的三角波信号表示为以下傅里叶级数形式：f(x) = a0 + Σ(an cos(nω0x) + bn sin(nω0x))n=1其中，a0和an、bn分别代表0、正弦和余弦项的系数，ω0代表角频率（ω0 = 2π/T）。
根据傅里叶级数的定义，信号f(x)可以表示为n个特定频率分量的组合。
每个分量的能量与其系数平方成正比。
傅里叶级数的范围仅限于周期信号。
但是，实际应用中，我们会遇到非周期信号，这时候傅里叶级数就不再适用。
二、傅里叶变换与傅里叶级数类似，傅里叶变换也是一种将信号分解成频域分量的方法。
傅里叶变换可处理可瞬时信号，即非周期信号。
简单来说，通过傅里叶变换，我们可以将时域信号f(t)转换成频域表示F(ω)。
傅里叶变换的一般形式为：F(ω) = ∫f(t) e−iωtdt−∞< ω < ∞其中，F(ω)是频域表达式，表示信号f(t)在频率ω处的贡献。
ω代表角频率，f(t)是时域信号。
傅里叶变换主要通过频域分析来提取信号特征。
对于一个信号，我们可以通过傅里叶变换来分离出不同的频率分量，进一步分析其特征，例如幅度、频率和相位信息。
三、傅里叶变换和傅里叶级数的联系虽然傅里叶变换和傅里叶级数适用的信号类型不同，但两者有很多相似之处。
对于周期信号，我们可以使用傅里叶级数和傅里叶变换来得到相同的频率分量表示。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
它常被应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念和常用公式。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它用于将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：傅里叶级数公式傅里叶级数公式在上述公式中，f(t)表示周期为T的函数，a0是直流成分，ak和bk是傅里叶系数。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期信号表示为一组连续的频谱的过程。
傅里叶变换的公式如下：傅里叶变换公式傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，j是虚数单位。
4. 反傅里叶变换反傅里叶变换是将频域信号恢复为时域信号的过程。
反傅里叶变换的公式如下：反傅里叶变换公式反傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号。
5. 常见傅里叶变换公式下面列举了一些常见的傅里叶变换公式：5.1 正弦函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换的公式如下：正弦函数的傅里叶变换公式正弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是正弦函数，F(w)是其频域信号。
5.2 余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换的公式如下：余弦函数的傅里叶变换公式余弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是余弦函数，F(w)是其频域信号。
5.3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换的公式如下：矩形脉冲的傅里叶变换公式矩形脉冲的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是矩形脉冲，F(w)是其频域信号。
5.4 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换的公式如下：高斯函数的傅里叶变换公式高斯函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是高斯函数，F(w)是其频域信号。
6. 结论傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
本文介绍了傅里叶级数、傅里叶变换和反傅里叶变换的基本公式，并列举了一些常见的傅里叶变换公式。
傅里叶级数与傅里叶变换
最常见的三角级数是傅立叶级数。
傅立叶级数
直线
y kx b
y x
抛物线 y ax2 bx c
y x
傅立叶级数展开(T=2l)
y
f (x)
a0 2
n x
(an cos
二维Hartley变换
F f (x)eix d x
一维傅立叶变换
FF
,
F f
x, y
f (x, y)ei2 x yd x d y
二维傅立叶变换
傅立叶变换存在问题：核函数中出现了复数，这就意 味着即使在空域中的实序列经过傅立叶变换之后也会 变成复数，如果实序列用复序列来处理，问题本身将 被复杂化。
恩格斯把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔的辩证法 相提并论。他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证 法的诗。
傅立叶级数
常见的表示函数的工具：幂级数和三角级数。
幂级数简单、方便，但条件苛刻，要求函数在相应的区 间内不仅必须无限次可微，还有其它一些要求（例如收 敛性等），因而从理论上说其使用范围比较有限。
周期函数展开成傅立叶级数的核心思想是：f(x)可以分解 为不同频率的谐波之和。
傅立叶级数 例2：周期为τ =1的方波函数
傅立叶级数
若设f(x)是定义在(-∞,+∞)区间上的非周期函数，它 是否可以表示为不同频率谐波的迭加？
设f(x)，及其一阶导数f΄(x)在任意一个有限区间上
分段连续，且
f xd存x 在。
由于
1 1 1 , n
l l
n
lim l
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• 傅里叶的主要贡献
– 任何周期信号可以用成谐波关系的正弦函数级数表 示。
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7
• 傅里叶理论的发展历程
• 傅里叶之前周期性现象的研究
– 古代巴比伦（Babylonians）时代，利用这一理论来 研究天体运动。 – —1748年，欧拉（Euler）用于研究弦的振动，其 结论为： – 如果某一时刻，振动弦的形状是这些标准振荡模式 的线性组合，则其后任何时刻，振动的弦的形状也 都是这些振荡模式的线性组合。
2012/10/21 大连理工大学 9
• 傅里叶理论的意义
– 在数学、科学、工程上产生巨大影响，是电子信息 与通信技术的基石之一。 • 有了傅里叶理论，才有： – 信号的频域分析处理； – 通信的频率划分与复用； – 其他科学与工程问题的分析与解决。 – 近年来，傅里叶理论有新发展： • 本部分介绍4种：FS，DFS，FT，DTFT • 近年来：STFT与WT （第V部分介绍），FRFT
大连理工大学硕士研究生校管课程 信号分析与数据处理
第2章
傅里叶级数与傅里叶变换
电子信息与电气工程学部 邱天爽 2012年9月
2012/10/21 大连理工大学 1
内容概要
• §2.1 • §2.2 • §2.3 • §2.4 • §2.5 概述 周期性连续时间信号的傅里叶级数 周期性离散时间信号的傅里叶级数 连续时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换
a0 1/ 2
2012/10/21 大连理工大学 14
2012/10/21
周期性连续时间信号的频谱
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• 3.狄利赫莱条件（收敛问题）
x(t ) 必须绝对可积，即满足： x (t ) dt – 在任何周期内，
T
– 在任意有限区间内，x(t ) 具有有限个起伏变化。 – 在任何有限区间内，x(t ) 只有有限个不连续点，且在不 连续点上，函数值有限。 – 一般实际应用中的信号，都满足上述三个条件。
2012/10/21 大连理工大学 20
• 2.计算
ak • 【例2.3】：已知： x[n] sin 0 n ，求：
• 说明：给定不同的 0 值， x[n] 可能是周期的（有不同 的周期），或者可能是非周期的。
• 【解】：假设1：0 2 / N ，则 x[n] 为周期信号。
• 由欧拉公式，有， • 则：
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• 3.傅里叶生平与傅里叶理论的发展
– Joseph Fourier，法国科学家，工程师（1768-1830） – 1768年3月21生于欧塞尔，1830年5月16卒于巴黎。 – 9岁父母双亡，17岁回乡教书（数学）。 – 1794年法国高等师范学校首批学员，次年到巴黎综 合工科学校任教。 – 1798年随拿破仑远征埃及；1801年回国，任伊泽尔 省地方长官。 – 1817年当选科学院院士。 – 1822年任科学院终身秘书，后任法兰西学院理工科 大学校务委员会主席。
x[n ]e jk0n
1 N
n N
x[n ]e
正变换
– 式中：N ：基波周期；0 ：基波角频率；x ( n )：周 期性离散时间信号； ak ：傅里叶级数的系数 – 说明： ak 是周期性的，即：
a0 a N , a1 a N 1 , , ak ak N
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• FSFT的图示
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• 2.计算
• 【例2.3】：已知 x(t ) e at u(t )，a 0 ，求 • 【解】：由定义，有：
X (j)= e at e jt dt
0
X ( j ) ：
1 1 e ( a j ) t , a0 a j a j 0
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• 离散傅里叶级数的频谱
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大连理工大学23来自• 3.离散傅里叶级数的性质（略）
– 线性； – 时移特性；频移特性； – 共轭特性； – 时间反转特性；时域尺度变换； – 微分性质，积分性质； – 周期卷积；乘法性质； – 帕色伐尔定理； – …… – 请自行阅读相关教材。
X (j)= e
a t 0
e
j t
dt e e
at jt
dt e at e jt dt
0
1 1 2 2 a j a j a 2
信号波形
信号频谱
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• 【例2.5】：已知： x(t ) (t ) ，求 X ( j) 。 • 【解】：
T1
X (j)= e jt dt
1 j t e j
T1
1 jT1 2 jT1 e e sin(T1 ) j
信号波形
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信号频谱
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•
• 【解】：
1 x ( t )= 2π
W
1， W 【例2.7】：已知：X ( j) ，求 x (t ) 0， W
– （1）连续周期信号的傅里叶级数（FS） – （2）离散周期信号的离散傅里叶级数（DFS） – （3）连续非周期信号的傅里叶变换（FT） – （4）离散非周期信号的离散时间傅里叶变换 （DTFT） – （5）离散非周期信号的离散傅里叶变换（DFT） – （6）离散非周期信号的快速傅里叶变换（FFT） – 其他傅里叶变换（STFT，FRFT，……）
n n 1 j2N 1 j2N x[n ] e e 2j 2j
1 1 a1 , a1 , 且 ak 0 (if k 1) 2j 2j
a1 a N 1 a4 (when N =5)
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•
N 和 m 无公因子，则 x[n] 可 确定一个基波周期为N的信号。将 x[n] 改写为：
• 幅度谱和相位谱：
， X (j)= tan X (j) 2 2 a a 1
1
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• 上例的频谱
幅度谱
相位谱
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• 【例2.4】：已知：x(t) eat u(t)， a 0 ，求 X ( j) 。 • 【解】：
。
1 j t j t 1 e d t e W 2 π jt
W
W
1 1 j Wt j Wt sin(Wt ) e e 2 π jt πt
信号频谱
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• 讨论（比较【2.6】和【2.7】）
2012/10/21 大连理工大学 10
§2.2 周期性连续时间信号的 傅里叶级数
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• 1. 定义（FS）
x (t )
jk 0 t a e k
k
k
ae
k
jk
2 t T
逆变换
1 ak T
T
x (t )e jk0t dt
X (j)= (t )e jt dt 1
(t )
信号波形
t
0
信号频谱
X ( j )
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0
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•
• 【解】：
T1 T1
1， t T 【例2.6】：已知：x(t ) ，求 X ( j) 。 0， t T1
正变换
– 式中：T ：信号周期； 0 ：基波角频率； x(t ) ：周 期性连续时间信号； ak ：傅里叶级数的系数
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• 2.傅里叶级数的计算
• 【例2.1】：已知 x(t ) sin 0t ，求
ak 。
jk 0 t a e k 。
• 【解】：方法：利用逆变换公式 x(t )
1 j 0 t sin 0t (e e j0t ) 2j
– 与逆变换的定义式比较，有：
k
1 1 a1 , a1 , 其余 ak 0 2j 2j
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• 【例2.2】：信号 x(t ) 如图，
1， t T1 x (t ) T 0， T1 t 2
x (t )
k
ae
k
jk 0 t
k
ae
k
jk
2 t T
1 x (t )= X (j)e jt d 2π -
1 ak T
T
x (t )e
jk 0 t
dt
X (j)= x (t )e jt dt
-
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n n 1 jm 2N 1 jm 2N x[n ] e e 2j 2j
假设2： 0
2 m (m 1) ，且 N
• 则：
am
1 1 （在一个周期内） , a m , 其余 ak 0 2j 2j
•
1 1 , a3 =a2 , a k =a N k ; ak =a N +k 2j 2j 1 1 if N =3, m=2, then a2 , a2 =a1 , a k =a N k ; ak =a N k 2j 2j if N =5, m=3, then a3