12.9周期为2l的傅里叶级数解析
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12.13 周期为2pi的函数的傅立叶展开
和
f
(x)
2
4
n1
1 (2n
1)2
cos(2n
1) x ,
当x 0时, f (0) 0,
从而有
2
8
1
1 32
1 52
设
1
1 22
1 32
1 42
,
1
1
1 32
1 52
(
2
8
)
2
1 22
1 42
1 62
,
3
1
1 22
1 32
1 42
,
4 2 1 2 ,
2
1
3
2
24
,
1
2
2
0
2
x2 2
x
0
2
y
an
2
( x 1)cos nx d x
0
1
o x
2
x sin nx n
cos nx n2
sin nx n
0
2
n2
cos n
1
4
(2k 1)2
,
n 2k 1
(k 1, 2,)
0, n 2k
x 1 1
2
4
k 1
1 (2k 1)2
cos(2k 1)x
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
1 7
sin
7t
)
所给函数满足Dirichlet充分条件.
当t k时, 收敛于ut .
在点t
k
(k
0,1,2,)处不连续
.
收敛于
1 2
1
12.9周期为2l的傅里叶级数
1
p
F (t ) sin ntdt. p p
1
p
t
px
l
F (t ) f ( x)
a0 np np f ( x) (an cos x bn sin x) 2 n 1 l l
1 l np 其中 an f ( x ) cos xdx, l l l 1 l np bn f ( x ) sin xdx. l l l
ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在 上的傅里叶级数 .
方法2
令
即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
x
2 0
4 np
2 2
(1)
n
1
1 (2k 1)p x cos f ( x) x 1 2 2 2 p k 1 (2k 1) (0 x2) 8
当函数定义在任意有限区间上时,其傅里叶展开方法:
方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba f ( x) F ( z ) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
例3. 将函数
则 解: 令 f ( x) f ( z 10) z F ( z )
展成傅里叶级数.
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定 理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 F ( z)
周期为2L的周期函数的傅立叶级数
1M
其中
an
—
I
F(t)cosntdt
"
(n
=
0,1,2,—) 冗J一
1 en
bn =
I F(t) sin ntdt (n = n ~n
1,2,…)
则f (x)的傅里叶级数为：3a+Z&( ann n* x+如sninnx).
2
l
l
n=1
板书
1
t =竺 =—其|中1 f a(xn =)co—s 1I^FnnX(~t)-ncnosdnxtndtJT
2n 23 2 5 2
(—8 v x v +8； x 主 0,±2,±4,…)
•令x = 1,则f (1) = k.于是
,111 n 357 4
例2将函数f (x) = 10 - x (5 v x v 15)展开成
傅里叶级数.
将f (x)以周期T = 2l = 10延拓, 其傅里叶级数在(5,15)内 收敛于f ( x ).
5 vnn
—nxn)xsin-nxdx1=0
(—1)n
—
(n
=
1,2,—)
n
5f5
'
Hr zv \ -t n 10。(—1)" . nn
A
故 f (x) = 10 一 x = V sin x (5 v x < 15).
n5
冗 n=1
I三、小结
•求傅里叶展开式的步骤：
1. 画图形验证是否满足收敛条件(收敛域); 2. 求出傅里叶系数； 3. 写出傅氏级数，注明它在何处收敛于f (x).
ll
1 ci nnx
=；Lf(x)cos；dx (n = 0丄2,…)
12.8 周期为2l的傅立叶级数
其中，an
1
F(z) cos
nzd
z，bn
1
F (z)sin nzd z
4
令 z x ，并注意到 F (z) f (x).
l
则
an
bn
1 l
1 l
l l l l
f (x) cos n x dx
l
f (x) sin n x dx
l
(n 0,1, 2, ) (n 1, 2, )
a0
a0 2
n1
an
cos
n
l
x
其中，an
2 l
l
n x
f (x) cos dx
0
l
(n 0,1, 2,
)
注：无论哪种情况，若 x 为 f (x) 在连续点，傅立叶级数
收敛于 f (x)；若 x 为 f (x) 在间断点，傅立叶级数
收敛于
f
(x)
f
(x ) .
2
6
例1 交流电压 E(t) E sin t，经半波整流后负压消失，
2
k1 1 4k 2
直流部分 交流部分
10
★ 定义在[-l,l]上的 f (x)的傅里叶级数展开 f (x)， x [l,l]
周期延拓
F
(x)
f
f (x),
(x 2k
),
x [其l,l它) ，以2l 为周期
傅立叶展开
F ( x)的傅里叶级数展开
限制
f (x)在[l,l]上的傅里叶级数展开
11
F(z 2 ) f [l(z 2 )] f (l z 2l) f (l z ) F(z)
即，F(z)是以2 为周期的周期函数，且满足收敛定理条件.
关于大学数学教材中“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题
关于大学数学教材中“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题本文关于清华大学数学科学系《微积分》编写组编写的清华大学公共基础平台课教材《微积分11》（清华大学出版社出版）4.3节中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题。
标签：大学数学；傅里叶级数；伪证明【文章編号】2236-1879（2017）10-0026-02（1）在清华大学数学科学系《微积分》编写组编写的清华大学公共基础平台课教材《微积分11》（清华大学出版社出版）4.3节中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”；（2）在伍胜建编著的北京大学数学教学系列丛书本科生数学基础课教材《数学分析》第二册12.1.4节：周期为2T的函数的傅里叶级数；（3）在同济大学数学教研室主编的高等数学教材《高等数学》下册第四版，第五版，第六版教材中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”一节；（4）在武汉大学数学与统计学院主编的大学公共数学系列教材《高等数学》下册中“一般周期函数的傅里叶级数”一节；（5）在萧树铁主编，郑建华编著的普通高等教育“十五”国家级规划教材《大学数学·微积分》（高等教育出版社出版）第二版6.3.1节“以T为周期的函数的傅氏级数”一节；在高等数学编写组编的高等院校教材《高等数学》下册（中国人民大学出版社出版）续篇第一章第5节“任意周期函数的傅里叶级数”一节，在以上六本教材中“周期为2L周期函数的傅里叶级数”一节中，均有定理：设周期为2L的周期函数f（x）满足收敛定理条件，则它的傅里叶级数展开式为：f（x）=a02+Σ∞n=1ancosnπxl+bnsinnπxl（1）a0，an，bn略。
随后给出了证明或推理，证明大致如下：第一步：做变量代换z=πxl，于是函数x∈[-L，L]变成z∈[-π，π].即函数周期从2L变成2π，f（x）变成F（z）；第二步：由上一节收敛定理得周期为2π的周期函数F（z）满足收敛定理，可得F（z）的傅里叶级数展开式F（z）=a02+Σ∞n=1（ancosnz+bnsinnz）（2）第三步：将z=πxl，F（z）=f（x）代入（2），即得证（1）。
一般周期函数的傅里叶级数
2 k12k 1
2
( x R，x 2m, m 0,1,2, )
a0 E, an 0 (n 1,2, )
二、定义在 [-l , l ]和[ 0, l ]区间上的函数 展成傅里叶级数
1. 将[–l , l ]上的函数展成傅里叶级数
思
周期延拓 F ( x) 傅里叶展开
想
T 2l
y y f (x)
例1 设f ( x) 的周期T 10，且当 5 x 5 时，
f ( x) x，将 f ( x) 展开成傅里叶级数.
y
解 l 5, f ( x) : 奇函数,
an 0 n 0,1,2,
5 o 5
x
bn
2 l
0l
f
xsin nπx d x
l
2 5
05
x
sin
nπx d 5
x
2 nπ
x
l l
l
(n 0,1,2, )
bn
1 l
l F ( x)sin nx d x,
l
l
(n 1,2, )
1 l f ( x)sin nx d x.
l l
l
例3 将f x e x在 π, π 上展成傅里叶级数
解 f ( x)在 π，π上连续,且满足狄利克雷条件.
(周期延拓
傅里叶展开
傅里叶级数之和函数：
S( xm )
f ( xm ) 2
f
(
xm
)
E. 2
l 2,
当x xm 时，f ( x)连续
f
(
x)
S(
x)
a0 2
(an
n1
cos
nx 2l
bn
以2L为周期的傅氏级数-PPT文档资料
于是由(1)与(2)式分别得
这里(4)式是以 2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数， (3)式是 f 的傅里叶级数.
n x a f ( x ) cos dx , n 0 , 1 , 2 , n l l (4) l n x b f ( x ) sindx , n 0 , 1 , 2 , n l l
若 f 在 l, l 上可积，则 F 在[-π ，π ]上也 可积，这时函数 F 的傅里叶级数展开式是： a F ( t ) ~0 ( a cos nt b sin nt ) (1) n n
2
其中
1 a F ( t ) cos ntdt , n 0 , 1 , 2 , n
且展开式在 ( 5 , 5 ) 内收敛于 F ( z ).
这拓广的周期函数满足 收敛定理的条件 ,
a 0 ,( n 0 , 1 , 2 , ) n
25 n z b z ) sin dz n ( 50 2 5 n 10 (1) , ( n 1 , 2 , ) n
氏 级 数 .
解 作变量代换 z x 10 ,
5 z 5 , 5 x 15
f ( x ) f ( z 10 ) z F ( z ),
补充函数 F ( z ) z( 5 z 5 ) 的定义 ,
F ( z ) 作周期延拓 ( T 10 ) 令 F ( 5 ) 5 , 然后将
15.2 以2L为周期的傅氏级数
一、以2L为周期的傅立叶级数 二 、偶函数与奇函数的傅立叶级数
本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶 级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级 数展开式．
一、以2L为周期的傅氏级数
一般周期的函数的傅里叶级数
n x d x ( n 0 , 1, 2 , ) 其中 an f ( x) cos l 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数
收敛于
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例1. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数. 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值? 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
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2 2 a0 x d x 2 0
1 (2k 1) x ( 0 x 2 ) f ( x) x 1 2 cos 2 2 k 1 (2k 1) 8
说明: 此式对
也成立,
y
据此有
1 2 (2k 1) 2 8 k 1
作业:
11.8 1 ; 2 .
本章已讲完,下次课为习题课,请复习.
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定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则在函数的连续点处其傅里叶展开式为:
其中
n x 1 l d x (n 0 , 1, 2 ,) an f ( x) cos l l l
1 l n x bn f ( x) sin dx l l l
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(x 间断点)
结束
思考与练习
1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其 图形? 答: 易看出奇偶性及间断点, 从而便于计算系数和写出 收敛域 . 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ? 答: 用系数公式计算 an , bn时 ,如分母中出现因子n－k
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2
2 2
(1)
n
1
1 o 1 x
故得
x [1,1]
得
故
1 p2 (2k 1) 2 8 k 1
1 2 n 1 n
p
2
6
例3. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数.
解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
y
np x 2 2 dx bn x sin 2 2 0 2 np x 2 x cos np 2 np 4 cos np np 4 (1) n 1 np x f ( x) sin p n 1 n 2
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
例3. 将函数
则 解: 令 f ( x) f ( z 10) z F ( z )
展成傅里叶级数.
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定 理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 F ( z)
5 5 z 2 5 np z n 10 bn z sin d z (1) 5 0 5 np ( n 1 , 2 , ) n 10 (1) np z F ( z) sin (5 z 5 ) p n 1 n 5 10 (1)n npx sin p n1 n 5
证明
令t
px
l lt
, l xl
p t p ,
设f ( x) f ( ) F (t ),
a0 F (t ) (an cos nt bn sin nt ), 2 n1
其中 an bn F (t ) cos ntdt , p p
p
则F (t )以2p 为周期，且
ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在 上的傅里叶级数 .
方法2
令
即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
1
p
F (t ) sin ntdt. p p
1
p
t
px
l
F (t ) f ( x)
a0 np np f ( x) (an cos x bn sin x) 2 n 1 l l
1 l np 其中 an f ( x ) cos xdx, l l l 1 l np bn f ( x ) sin xdx. l l l
o 2
x
2 0
2
np x sin 2
(0 x 2)
(2) 将 作偶周期延拓, 则有 2 2 a0 x d x 2 0 2 2 np x an x cos dx 2 0 2 2 np x 2 2 np x cos x sin np 2 np 2
y
o 2
( n 0,1,2,)
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2) 上的表达
0 2 x 0 式为 f ( x ) , 将其展成傅氏级数. k 0 x 2
. 解 l 2, 满足狄氏充分条件
1 0 1 2 a0 0dx kdx k , 2 2 2 0
a0 npx npx f ( x ) ( an cos bn sin ), 2 n 1 l l
其中系数 an , bn为
1 l npx an f ( x ) cos dx, l l l 1 l npx bn f ( x ) sin dx, l l l
( n 0,1, 2,) ( n 1, 2,)
f(x)的图形
1 2 np an 0 k cos xdx 0, ( n 1,2,) 2 2 1 2 np k bn k sin xdx (1 cos np ) 2 0 2 np 2k 当n 1,3,5, np , 0 当n 2,4,6,
当函数定义在任意有限区间上时, 其傅里叶展开方法: 方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba F ( z ) f ( x) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓
ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在 上的傅里叶级数
方法2 令 x za, 即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
将 z x a 代入展开式 在 上的正弦或余弦级数
特别:
(1) 如果f ( x )为奇函数, 则有
npx f ( x ) bn sin , l n 1 2 l npx 其中系数 bn为 bn f ( x ) sin dx, 0 l l
( 2) 如果f ( x )为偶函数,
( n 1,2,)
则有
a0 npx f ( x ) an cos , 2 n 1 l 2 l npx 其中系数 an为 an f ( x ) cos dx l 0 l
周期为2L的周期函数的傅里叶级数
到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以 2p 为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函数, 它 的周期不一定是2p. 怎样把周期为2l的周期函数f(x) 展开成三角级数呢？
一、以2L为周期的傅氏级数
定理 设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理的条件,
则它的傅里叶级数展开 式为
和函数的图形
k 2k px 1 3 px 1 5 px f ( x ) (sin sin sin ) 2 p 2 3 2 5 2
( x ; x 0,2,4,)
例2
展开成以2为周 的和.
y
2
期的傅立叶级数, 并由此求级数 为偶函数, 解:
np 因 f (x) 偶延拓后在
( 5 z 5)
内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 a0 f ( x) 2 (x 间断点) 1 l np x f ( x) cos d x (n 0 ,1,) l l l 其中 1 l np x (n 1, 2 ,) f ( x ) sin d x l l l 当f (x)为奇 (偶)函数时, 为正弦(余弦) 级数. 变换 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 延拓
x
2 0
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnp
2 2
(1)
n
1
1 (2k 1)p x cos f ( x) x 1 2 2 2 p k 1 (2k 1) (0 x2) 8
当函数定义在任意有限区间上时,其傅里叶展开方法:
方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba f ( x) F ( z ) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓